Intervalos de Confiança Estimação Estimar é a ação de fazer uma

Intervalos de Confiança
Estimação
Estimar é a ação de fazer uma suposição generalizada a respeito de
um todo baseado em informações lógicas sobre uma amostra. Para
atingir o objetivo da estimação, devemos identificar aquilo que
represente o que se deseja pesquisar, o problema.
Exemplo: pesquisar o salário médio da população de trabalhadores na
indústria automobilística brasileira?
Podemos pesquisar com toda a população, ou seja, todos os
trabalhadores. Este método é o mais caro e o mais demorado. Uma
solução mais simples e barata é analisar uma amostra (parte da
população), sendo depois projetada para o todo. A escolha desta
amostra deve ser imparcial e atender a sua proposição.
Continuando o exemplo fornecido sobre salário dos trabalhadores na
indústria automobilística, tomemos como amostra 50 trabalhadores
apresentando um salário médio de $ 900,00. Na primeira suposição,
poderemos entender que todos os trabalhadores deste segmento
ganham em média, igual a $ 900,00.
Porém, esta interpretação está sujeita a margem de erro. A margem
de erro deixa claro o fato de a amostra não ser um reflexo fiel da
população.
O cálculo da probabilidade é um instrumental que viabiliza avaliar
parâmetros da distribuição a partir de estimadores, a qualidade da
estimação depende basicamente da representatividade da amostra,
que é a capacidade de a amostra reproduzir as características
importantes da população.
Vejamos uma situação onde uma empresa está querendo avaliar a
qualidade nutricional existente em uma sopa preparada por um
fornecedor e que será servida para seus funcionários, para isto
contratou uma nutricionista. Os funcionários estão reclamando que a
sopa não está satisfazendo o padrão de qualidade nutricional exigido
pela empresa. Caso for comprovado que a sopa não atende a este
padrão, a empresa devolve a sopa e exige o pagamento da multa
contratual.
Para avaliar esta situação deverá ser necessário obter uma amostra
do produto. Se a nutricionista tiver o cuidado de mexer bem a sopa
antes da retirada da amostra, para garantir uma boa homogeneidade,
esta amostra será bem representativa da população, permitindo um
alto grau de precisão nesta avaliação. Caso isto não ocorra, a
amostra terá um erro na avaliação. Se a nutricionista, mesmo que
mexendo bem a sopa, tenha ainda dúvidas, ela poderá aumentar o
tamanho da amostra.
Esta situação permite concluir que a população com pequeno grau de
variabilidade de seus elementos podem ser estudadas por pequenas
amostras. À medida que a variabilidade aumenta é necessário
aumentar o tamanho da amostra.
A representação de um intervalo de confiança pode ser considerada
como 1 –
α
Intervalo de Confiança
Fórmula:
p [ ẋ - zα/2 ơ (x) < µ < ẋ + zα/2 ơ (x)] = 1 – α
√n
√n
Exemplo:
O departamento de RH de uma empresa informa que o tempo de
execução de tarefas que envolvem participação manual varia de
tarefa para tarefa, mas que o desvio-padrão permanece
aproximadamente constante em 3 minutos.
Uma nova tarefa está sendo implantada na empresa. Uma amostra
aleatória do tempo de execução de 50 destas novas tarefas forneceu
o valor médio de 15 minutos. Determine um intervalo de confiança de
95% para o tempo médio de execução desta nova tarefa.
n = 50 ( número de tarefas)
ẋ = 15 ( tempo médio de execução na amostra)
ơ (x) = 3 (desvio-padrão populacional)
1–
α = 95% (nível de confiança do intervalo)
Z associado a probabilidade
tabela é = 1,96.
α/2 =
0,95 /2 = 0,475, localizando na
p [ 15 – 1,96 3 < µ < 15 + 1,96 3 ] = 0,95
√50
√50
p [ 15 – 0,83 < µ < 15 +0,83 ] = 0,95
p [ (14,17 < µ < 15,83 ] = 0,95
Podemos afirmar com confiança de 95% que o tempo médio de
execução da nova tarefa é um valor entre 14,17 min e 15,83 min.
Exercícios:
1. Uma amostra aleatória de 5 elementos retirados de uma
população normal com desvio-padrão 2 unidades, apresentou
um valor médio de 52 unidades. Determine um intervalo de
confiança de 95% para a média populacional.
2. Um levantamento das cotações para o preço de um produto na
bolsa de mercadorias apontou, a partir de uma amostra de 100
cotações, um preço médio de $2,40/kg. Sabe-se por
experiência anterior, que a variância para este tipo de cotação
é aproximadamente constante e valor 0,16. Construa um
intervalo de confiança de 90% para o preço médio deste
produto.
TESTES DE HIPÓTESES
Para a Estatística, uma hipótese é qualquer afirmativa formulada
sobre uma ou mais populações.
Exemplo: A média das notas de todos os alunos do curso é maior que
7,0?
O principal objetivo dos testes de hipótese é verificar se a hipótese
formulada deverá ou não ser rejeitada.
Hipótese Nula (H0) e Hipótese Alternativa (H1)
A hipótese nula (H0) é a afirmativa a respeito da população que será
testada. A hipótese alternativa (H1) será a afirmativa a ser aceita
caso existam evidências de que a hipótese nula deva ser rejeitada ou
seja, o oposto.
Exemplo: Em um exemplo hipotético utilizando postos de gasolina. A
afirmativa é que a venda média mensal dos postos do Rio é de
20.000 litros. Supondo a possibilidade do valor ser diferente:
H0: µ = 20.000 litros
H1: µ ≠ 20.000 litros
Nível de Significância(α)
Será o risco de rejeitar a Hipótese nula sendo ela na realidade
verdadeira. O nível de confiança do teste será (1-
α).
Exemplo:
Para um nível de significância de 5%, o nível de confiança será de
95%.
Grau de Liberdade(Ф)
É uma medida da possibilidade de combinações ao acaso.
Exemplificando:
Um conjunto de elementos representados por A, B e C. Se
combinarmos ao acaso, sem repetição, teremos:
1. A e B
2. A e C
3. Não existe acaso, restou B e C, portanto torna-se obrigatório.
Nesta situação o número de graus de liberdade é 2.
Sua fórmula é:
Ф=K–1
K = número de eventos possíveis
Teste do Qui-Quadrado (x2)
Analisa a hipótese nula de não existir discrepância entre as
freqüências observadas de um determinado evento e as freqüências
esperadas. A hipótese alternativa alega haver a discrepância.
Tomemos como exemplo: um aluno quer analisar se as freqüências
de aparições de faces cara e coroa em uma moeda poderiam sugerir
ou não o fato de esta moeda ser honesta (ou seja a probabilidade de
sair cara e coroa ser a mesma). Após lançar a moeda 50 vezes,
contou 33 “coroas” e 17 “caras”. A um nível de significância padrão,
considerando alfa igual a 5%, seria possível dizer que a moeda não é
honesta, ou seja, que apresenta uma probabilidade maior de sair face
“coroa”?
Para aplicar o teste, devem ser seguidos os cinco passos a saber:
1º. Passo
Definir as hipóteses de trabalho. A hipótese nula contém a alegação
de igualdade das freqüências. A hipótese alternativa alega a
desigualdade.
H0: F cara = F coroa (se são iguais então aceita-se a suposição da
moeda ser honesta)
H1: F cara ≠ F coroa (se são diferentes então aceita-se a suposição
de a moeda não ser honesta)
2º. Passo
Como o nível de significância é igual 5%, selecionaremos um X21.
Existe apenas 1 grau de liberdade, já que o número de eventos
possíveis é igual a 2 (cara ou coroa).
3º. Passo
Utilizando uma tabela padronizada para a distribuição do quiquadrado, devemos determinadas as áreas de aceitação e rejeição da
hipótese nula, tomando por base o nível de significância
predeterminado igual a 5% (0,05) e grau de liberdade(Ф) igual a 1.
O valor de X2c (valor crítico) na tabela é igual a 3,841%.
Área de Rejeição
HO = 5%
Área de Aceitação HO = 95%
3,841
4º. Passo
Para calcular a estatística teste (X2c) é preciso comparar freqüências
esperadas (FEi ) e freqüências observadas (FOi ). Se a moeda for
honesta, a frequencia esperada de cada face é de 50% do número de
lances, ou 50% x 50 = 25.
Evento
Frequencias Observadas
Frequencias Esperadas
xt
2
Sair Face Cara
17
25
Sair Face Coroa
33
25
k
= ∑ (FOi – FEi)2 = (17 – 25)2 + (33 -25)2 = 64 + 64 = 5,12
i=1
Fei
25
25
25
Como o valor encontrado é superior a 3,841 então é possível aceitar
a hipótese alternativa, ou seja, que a moeda não é honesta.