Física I - Centro de Estudos Espaço

Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Ementa
Introdução à Física, Vetores, Movimento em uma
dimensão;Movimentos em duas e três dimensões, Leis de
Newton, Trabalho e energia, Energia potencial e
conservação da energia, Sistema de partículas e
conservação do momento linear, Colisões;Rotações.
Bibliografia Básica
HALLIDAY, D., RESNIK, D. e WALKER, J.;
Fundamentos de Física 3: Mecânica. 6ª Edição. Rio de
Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos LTDA, 2002.
Bibliografia Complementar:
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica
:Mecânica. Volume 1. 3ª Edição . São Paulo: Editora
Edgard Blücher LTDA, 1997.
Sears, F. W.;Zemansky, M. W.; Young. H. D. Física.
2ed. Rio de Janeiro: livros técnicos e científicos, 2000. v.1.
Tipler, P. A. Física. 4 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
V.1.
www.claudio.sartori.nom.br
Introdução:
A Física é uma ciência baseada em observações
experimentais e quantitativamente mensuráveis. Seu
objetivo é encontrar um conjunto de Leis fundamentais que
governam os fenômenos naturais e utilizá-las para poder
prever resultados em futuros experimentos.
As Leis fundamentais utilizadas no desenvolvimento
de teorias são expressas em linguagem matemática, uma
espécie de ―ponte‖ que liga a teoria ao experimento.
Quando ocorre uma discrepância entre a teoria e o
experimento, novas teorias são formuladas para remover a
discrepância. Muitas vezes as teorias são satisfatórias sob
um conjunto limitado de condições; as teorias mais gerais
devem ser satisfatórias sem limitações. Por exemplo, as
Leis do movimento descobertas por Isaac Newton (16421727) descrevem precisamente o movimento de corpos sob
velocidades normais, porém, não se aplicam a corpos com
velocidades próximas à da luz. Em contraste, a Teoria
especial da relatividade desenvolvida por Albert Einstein
(1879-1955) em torno de 1900 descreve o movimento de
corpos com quaisquer velocidades, coincidindo os
resultados com a teoria de Newton para corpos com
velocidades inferiores à da luz.
A física clássica, que consiste de toda física
desenvolvida antes de 1900, inclui a teoria, conceitos, leis e
experimentos em mecânica clássica, termodinâmica e
eletromagnetismo.
Importante contribuição para a física clássica veio dos
trabalhos desenvolvidos por Newton, que desenvolveu a
mecânica clássica como uma teoria sistemática e foi um
dos criadores do cálculo e de todo um verdadeiro
ferramental matemático.
O desenvolvimento da mecânica continuou pelo século
18, mas nos campos da termodinâmica, eletricidade e
1
magnetismo não foram desenvolvidos até por volta
do século 19, pprincipalmente porque antes dessa
época, havia difículdade para avaliar os aparatos
para o controle de experimentos e seus resultados.
Uma nova era da física, conhecida como física
moderna, iniciou-se por volta do início do século 19,
pois foram descobertos vários fenômenos que não
eram explicados pela física clássica.
Os mais importantes desenvolvimentos da física
moderna são as teorias da relatividade e a teoria da
mecânica quântica. A teoria de Einstein da
relatividade revolucionou os conceitos de massa,
tempo e energia; a mecância quântica, a qual se
aplica ao mundo macro e microscópico, foi
originado por um grande número de distintos
cientistas que descreveram fenômenos físicos em
nivel atômico.
Os cientistas constantemente trabalham
para improvisar experimentos qua auxiliem no
entendimento de fenômenos naturais, desenvolvem
teorias e novas descobertas sugem nas mais
diferentes áreas da ciência, como na física, geologia,
química e biologia, causando um enorme impacto
na sociedade.
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
CAPITULO 1
UNIDADES, GRANDEZAS FÍSICAS E
VETORES.
SISTEMA INTERNACIONAL DE
UNIDADES DE MEDIDA (SI);
ERROS SISTEMÁTICOS E ALEATÓRIOS.
MEDIDAS.
 1971 – 14a conferência geral de pesos e
medidas – Sistema Internacional de unidades (SI).
Quantidade
Nome da
Símbolo
Fundamentais
unidade
Comprimento
metro
m
Massa
kilograma
kg
Tempo
segundo
s
Prefixos para o sistema SI:
Fator Prefix Símbolo Fator Prefix Símbo
lo
1024
yotta
Y
10-24 yocto
y
1021
zetta
Z
10-21 zepto
z
1018
exa
10-18
Atto
a
1015
peta
P
10-15 femto
f
1012
tera
T
10-12
Pico
p
G
109
giga
10-9 Nano
n
6
M
10
mega
10-6 micro
k
103
kilo
10-3
Milli
m
2
10
hecto
h
10-2
centi
c
101
deka
da
10-1
Deci
d
 Prefixos mais usados:
Fator
Prefix
Símbolo
M
106
mega
3
k
10
kilo
10-2
centi
c
-3
10
Milli
m
10-6
micro
10-9
Nano
n
Alguns fatores de conversão:
Massa
Comprimento
Volume
1kg=1000g=6.02 1m=100cm=39. 1m3=1000l
.1023u
4in=3.28ft
=35,3ft3=2
64gal
1slug=14,6kg
1mi=1.61km=5
Tempo
280ft
1u=1,66.10-27kg
1 in=2.54cm
1d=86400s
1nm=10-9m=10
1year=
Densidade
0
A
3
1kg/m =10
3
g/cm3
-
1 lightyear=9,46.1015
m
365 14
d=3,16.107s
Medida
Angular
1rad=57,30
=0,159rev
rad=1800=
1/2 rev
2
Velocidade
Pressão
Energia
1m/s=3,27ft
1Pa= 1N/m2
1J=107erg=0,239cal=0
/s=2.24mi/h
.738ft-lb
1km/h=0.27 1Pa=1dyne/cm2
1kWh=3,6.106J
8m/s
1km/h=0.62
1Pa=1,45.101cal=4,19J
4
1mi/h
lb/in2
1atm=1,01.105Pa
1eV=1,60.10-19J
Força
5
2
1N=10 dyn 1atm=14,7lb/pol
Potência
e
1lb=4,45N
1atm=76cm1
Hg=760mm-Hg horsepower=746W=5
50 ft.lb/s
 Observações:
inch: polegada
feet: pé
light-year: ano-luz, distância que a luz
percorre em um ano.
horsepower: cavalovapor
 Notação Científica:
Resultados obtidos em calculadoras ou
computadores , possuem formatos do tipo dos
exemplos abaixo:
Exemplo 1 - Visor:
126,096E+06=126,096.106
Escrito em notação científica:
1,26096.108
Exemplo 2- Visor:
0,0108E-08=0,0108.10-8
Escrito em notação científica:
1,08.10-10
Teoria dos erros:
 Erros aleatórios e Sistemáticos
Na medição de grandezas físicas, como
comprimentos, intervalos de tempo, voltagem entre
dois pontos, carga elétrica, etc, há fontes de erros
que a afetam. As medidas são afetadas por erros
experimentais classificados em dois grandes grupos:
 Erros sistemáticos
 Erros aleatórios
Os erros sistemáticos são causados por
fontes identificáveis, podendo ser eliminados ou
compensados. Prejudicam a exatidão (―accuracy‖)
da medida.
Causas dos erros sistemáticos:
Instrumento que foi utilizado.
Método de observação utilizado.
Efeitos ambientais.
Simplificação do modelo teórico
utilizado.
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
3
Onde:
N
Ao realizar as medidas, deve-se identificar e
2
f i xi
eliminar o maior número possível de fontes de erros
sistemáticos.
x2 i 1 N
Os erros aleatórios são flutuações pacima ou para
fi
baixo, que fazem com que aproximadamente a metade das
i 1
medidas realizadas de uma mesma grandeza numa mesma
(Média Quadrática).
situação experimental esteja desviada para mais e a outra
metade esteja desviada para menos, afetando portanto a
 A distribuição Normal ou de
precisão.
Gauss:
Algumas fontes de erro típicas:
Foi Gauss (&&) quem deduziu a expressão
Métodos de observação.
para a chamada distribuição Gaussiana ou Normal:
Flutuações ambientais.
2
x
Os erros aleatórios podem ser tratados
2
1
quantitativamente através de métodos estatísticos, de
Y
e 2
2
maneira que seus efeitos na grandeza física medida
podem ser em geral, eliminados.
(&&)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855),
Brunswick, Germany
Podemos trabalhar com a variável
denominada de variável reduzida z:
z
x
Nesse caso, a distribuição Normal ou
Gaussiana fica:
 O Tratamento Estatístico
Tendo N conjunto de dados xi, calculamos a média
o desvio padrão da forma:
Y
e
N
1
2
e
z2
2
Esta é uma expressão mais simplificada,
cujo gráfico está dado a seguir:
xi
0,4
i 1
N
N
2
xi
i 1
Y
0,3
68,7%
0,2
0,1
95,45%
N
Se os dados xi forem distribuídos em frequência fi:
N
0,0
-4
-2
0
2
4
Z
xi f i
i 1
N
fi
i 1
N
2
f i xi
i 1
N
fi
i 1
A variância é definida como o quadrado do desvio
padrão ( 2). Relações importantes:
x2 x 2
Veja que há uma área sob a curva de 1.
Quando x se encontra no intervalo de ( - , + ),
a área sob a curva é de 68,7%; já quando x se
encontra no intervalo ( - 2 , + 2 ) a área já é de
95% ou 0.95.
Distribuição Normal ou Gaussiana
Média
Variância
2
Desvio Padrão
Coeficiente de simetria
0
Observe que a curva Gaussiana ou Normal
é uma curva simétrica em relação ao eixo Oy, tendo
50% de área à esquerda e a direita do eixo Oy.
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
4
Veja como se aproxima da distribuição Normal
F xn ym
um resultado para N=8 para um exemplo de lançamento de
2
2
y
x
moeda ) p = 0.5 = q:
n m
F x y
n
m
 Erros na Fase de Modelagem:
x
y
Necessita-se de várias simplificações do mundo físico,
Tais regras são conhecidas como regras de
em geral, para se tentar representar um fenômeno natural propagação de erro.
por um modelo matemático. Esses erros levam em
 Caso Geral:
consideração a precisão dos instrumentos de medidas.
Se tivermos uma função f de n variáveis, o
Em geral se um instrumento possui precisão p,
erro na função f é dado por:
definida em geral pela metade da menor divisão; faz-se um
2
2
2
conjunto de N medidas. Ao apresentar o resultado final
f
f
f
f
D
x2
y2
z2
teremos que calcular a média x do conjunto de xi medidas
x
y
z
e o desvio padrão :
Ny
Nx
xi
i
x

yi
Nx
y
i
xi
x
O resultado deve ser apresentados em
termos dos algarismos significativos (todos os
corretos da medida mais o primeiro duvidoso, ou
seja matematicamente, todos da esquerda para a
direita) . Por exemplo:
Ny
N
2
i 1
N 1
12,345 5 Algarismos significativos
(digito 5:duvidoso)
0,00012 – 2 AS
-1,234.10-5 – 4 AS
O erro x associado à média será:
N 1x
x
N
;
N 1y
y
N
Assim o resultado a apresentar será dado por:
Se
p
y
y
s x px
x
x; sy py
Se
Exemplo 3 – Mediu-se a espessura de uma
lâmina e encontrou-se a seguinte tabela: (medido
com paquímetro p=0.025mm)
<p
px
x
p
px ; s y
Espessura (mm)
2,23
2,25
2,31
2,18
2,21
2,23
x
sx
py
y
py
Tais erros em operações matemáticas se
propagam: Assim, suponha que faz-se medidas diretas das
variáveis x e y com médias x; y , desvios x e y e erros
dados por x e y. Teremos que fazer o que se chama de
propagação de erros nas operações matemáticas:
1) Soma S = x + y e diferença D = x - y:
Nesse caso o erro na soma ou na diferença é dado
por:
S
D
x
2
y
2) Produto P = x.y
P
xy
x
x
2
y
y
2
3) Quociente Q = x/y
Q
x
y
x
x
Apresentação do resultado
2
4) Potenciação: F = xnym
y
y
2
2
e
e 2.24 0.01mm pois
0,03437
x
0,0140
6
Como a precisão p = 0.025, ou seja, maior
que o desvio padrão, aí escrevemos como:
e
p
2.24 0.03
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Sistemas
de
Unidades.
Grandezas
Fundamentais
O SI também é conhecido como sistema métrico.
As grandezas derivadas do SI são dadas em
termos das fundamentais.
As grandezas fundamentais são:

Intervalo de Tempo
Tempo de vida de um próton
Idade do universo
Idade da pirâmide de Quéops
Expectativa de vida humana (EUA)
Duração de um dia
Tempo entre duas batidas do
coração humano
Tempo de vida de um múon
Menor pulso luminoso no
laboratório (1989)
Tempo de vida da mais instável
partícula
Constante de tempo de Planck
5
(s)
1039
5.1017
1.1011
2.109
9.104
8.10-1
Metro: (m)
O metro foi definido, em 1792 na França, como 1
2.10-6
décimo de milionésimo da distância do pólo norte para o
6.10-15
equador. Atualmente é definido como a distância entre
duas linhas finas gravadas em uma barra de platina-irídio,
10-23
mantida no International Bureau of Weights and Measures
próximo à Paris.
10-43
Em 1960 foi adotado um novo padrão para o
metro, baseado no comprimento de onda da luz.
 Massa: (kg)
Especificamente, o metro foi redefinido como 1650763,73
A unidade padrão para a massa é um
comprimentos de onda de uma particular luz vermelhocilindro
de
platina-irídio guardada no International
alaranjada emitida por átomos de Kriptônio-86.
Bureau of Weights and Measures , próximo à Paris,
França,
como
mostramos
na
figura
COMPRIMENTOS TÍPICOS
m
abaixo:corresponde a uma massa de 1kg, de acordo
26
Distância ao mais afastado quasar (1990)
2.10
internacional.
Distância à galáxia de Andrômeda
2.1022
1kg padrão internacional.
16
Distância à mais próxima estrela (Próxima
4.10
Algumas massas típicas:
Centauri)
Distância ao mais afastado planeta (Plutão)
6.1012
Massa
kg
Raio da Terra
6.106
53
Universo conhecido
10
2
Altura do monte Everest
9.10
Nossa galáxia
2.1041
Espessura dessa página
1.10-4
Sol
2.1030
Comprimento de onda da luz
5.10-7
Lua
7.1022
Comprimento de um vírus típico
1.10-8
Asteróide Eros
5.1015
Raio do átomo de hidrogênio
5.10-11
Pequena Montanha
1.1012
Raio de um próton
10-15
Periferia do Oceano
7.107
Elefante
5.103
 Tempo: (s)
Grampo
3.10-3
Para medir tempo-padrão, os relógios atômicos
Grão de Areia
7.10-10
foram desenvolvidos em diversos países.
Molécula de
5.10-17
A 13a conferência geral de pesos e medidas adotou
Penicilina
o segundo padrão baseado no relógio atômico de césio.
Próton
2.10-27
(NIST- Colorado USA)
Elétron
9.10-31
Em princípio, dois relógios de Césio funcionando
por 6000 anos não atrasariam 1s em relação ao outro.
Relógio de Césio Padrão, no NIST (USA)
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Análise de Equações e variáveis em Física.
Análise dimensional:
Muitas vezes em problemas e medidas é de
extrema utilidade analisar a dimensão da grandeza a ser Unidade de
kelvin
medida ou da variável em questão. Para isso representamos temperatura
as grandezas fundamentais como:
termodinâmica
Medida
Comprimento
Massa
Tempo
Nome da
unidade
metro
kilograma
segundo
de 2 x 10-7 newton por
metro de comprimento.
O kelvin, unidade de
temperatura
termodinâmica, é a fração
de 1/273.16 da temperatura
do ponto triplo da água.
Símbolo Dimensão
m
kg
s
[L]
[M]
[T]
Unidade da
mole
quantidade de
uma substância
Exemplo 4 – Analisar a dimensão da grandeza
pressão:
P=F/A
F=ma
Grandeza (unidade SI)
Aceleração a (m/s2)
Massa (kg)
Força (1N=kgm/s2)
Pressão (N/m2)
6
Dimensão
[L][T]-2
[M]
[M][L][T]-2
[M][L][T]-2/[L]2
[M][L]-1[T]-2
Assim, a análise dimensional para a Pressão nos
dá: =[M][L]-1[T]-2.
Definições do sistema de unidades básicas do
SI:
Unidade de
comprimento
metro
É o comprimento
atravessado pela luz no
vácuo num intervalo de
1/299 792 458 de um
segundo.
Unidade de
massa
kilograma
Massa de um protótipo
padrão internacional.
Unidade de
tempo
segundo
O Segundo é a duração de
9 192 631 770 períodos da
radiação correspondente
para a transição de dois
níveis hiperfinos do estado
fundamental do átomo de
Césio 133.
Unidade de
corrente
elétrica
ampere
O ampére é uma corrente
a qual, mantidos dois fios
condutores
de
comprimentos infinitos e
paralelos
e
de
negligenciável área de
seção reta circular, s
separados por 1 metro no
vácuo, produzir-se-á entre
esses condutores uma força
1. O mole é a quantidade
de uma substância de um
sistema o qual contém
quantidades elementares
existentes em 0,0012 kg de
carbono 12, simbolizando
o "mol."
2. Quando n mole é usado,
as entidades elementares
devem ser especificadas,
podendo ser átomos ou
moléculas, íons, elétrons
ou outras partículas.
A candela é a intensidade
luminosa, em uma dada
direção, de uma fonte que
emite
radiação
monocromática
de
frequência 540 x 1012 hertz
e que tem uma intensidade
de radiação na direção of
1/683
watt
por
estereoradiano.
 Unidade de
Acrônimos: CGPM,
comprimento (metro)
CIPM, BIPM
As origens do metro voltam para o 18º século. Naquele
momento, havia duas aproximações competindo à definição de
uma unidade standard (padrão) de duração. O astrônomo
Christian Huygens sugestionou definindo o metro como a
duração de um pêndulo que tem um período de um segundo;
outros sugestionaram definindo o metro como um décimo de
milionésimo da duração do meridiano da terra ao longo de um
quadrante (um quarto a circunferência da terra). Em 1791, em
seguida a Revolução francesa, a Academia francesa de Ciências
escolheu a definição meridiana em cima da definição de pêndulo
porque a força de gravidade varia ligeiramente em cima da
superfície da terra e afeta o período do pêndulo.
Assim, era pretendido que o metro igualava 10 -7 ou um
décimo de milionésimo da duração do meridiano por Paris para o
equador. Porém, o primeiro protótipo era pequeno através de 0.2
milímetros porque os investigadores calcularam mal o aplainando
da terra devido a sua rotação. Ainda esta duração se tornou o
padrão. ( gravura à certos espetáculos de arremesso da liga de
platina-irídio chamado a " 1874 Liga ".) Em 1889, um protótipo
internacional novo foi feito de uma liga de platina com 10 % de
irídio, para dentro de 0.0001, isso seria medido ao ponto de
derretimento do gelo. Em 1927, o metro foi definido mais
justamente como a distância, a 0°, entre os machados das duas
linhas centrais marcados na barra de platina-irídio persistida no
BIPM, e declarou Protótipo do metro pelo 1º CGPM, esta barra
que está sujeito a pressão atmosférica standard e apoiada em dois
cilindros de pelo menos um diâmetro de centímetro,
simetricamente colocadas no mesmo plano horizontal a uma
distância de 571 mm de um ao outro.
A definição de 1889 do metro, fundamentada no protótipo
internacional de platina-irídio, foi substituída pelo CGPM em
1960 usando uma definição fundada em um comprimento de
onda de radiação kryptônio-86. Esta definição foi adotada para
Unidade de
quantidade
luminosa
candela
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
reduzir a incerteza com que o metro pode ser percebido. Em 1983 o
CGPM substituiu esta definição posterior pela seguinte definição:
O metro é a duração do caminho percorrido pela luz no
vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de um segundo.
Note que o efeito desta definição é fixar a velocidade de luz no vácuo
a exatamente 299 792 458 m·s-1. O protótipo internacional original do
metro que foi sancionado pelo 1º CGPM em 1889 ainda é persistido no
BIPM debaixo das condições especificadas em 1889.
 Unidade de massa
Acrônimos: CGPM,
(kilograma)
CIPM, BIPM
Ao término do 18º século, um quilograma era a massa de um
decímetro cúbico de água. Em 1889, o 1º CGPM sancionou o protótipo
internacional do quilograma, feito de platina-irídio, e declarou: Será
considerado daqui em diante que este protótipo é a unidade de massa. A
figura anterior mostra o bloco de platina-irídio, um protótipo
internacional, como está na Agência Internacional de Pesos e Medidas
debaixo de condições especificadas pelo 1º CGPM em 1889.
O 3d CGPM (1901), em uma declaração pretenderam terminar a
ambigüidade em uso popular relativo ao palavra " peso, " confirmou isso:
O quilograma é a unidade de massa; é igual à massa do
protótipo internacional do quilograma.
 Unidade de tempo
Acrônimos: CGPM,
(segundo)
CIPM, BIPM
A unidade de tempo, o segundo, foi definida originalmente como a
fração 1/86 400 do dia solar médio. A definição exata de "dia " solar
médio permaneceu sob as teorias astronômicas. Porém, a medida mostrou
que não pudessem ser levadas em conta irregularidades na rotação da
Terra pela teoria e tem o efeito que esta definição não permite alcançar a
precisão exigida. Para definir a unidade de tempo mais justamente, o 11º
CGPM (1960) adotou uma definição dada pela União Astronômica
Internacional que estava baseado no ano tropical. Porém, um trabalho
experimental já tinha mostrado que um padrão atômico de intervalo de
tempo, baseado numa transição entre dois níveis de energia de um átomo
ou uma molécula, poderia ser reproduzida muito mais justamente.
Considerando que uma definição muito precisa da unidade de tempo é
indispensável para o Sistema Internacional, o 13º CGPM (1967) decidiu
substituir a definição do segundo pelo seguinte (afirmou pelo CIPM em
1997 que esta definição se refere a um átomo de césio em seu estado
fundamental à uma temperatura de 0 K):
O segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da
radiação que corresponde à transição entre o dois níveis hiperfinos do
estado fundamental do átomo de césio 133.
 Unidade de corrente
Acrônimos: CGPM,
elétrica (ampere)
CIPM, BIPM
Unidades de corrente elétrica, chamada " internacional, " para corrente
e resistência foi introduzida pelo Congresso Elétrico Internacional em
Chicago em 1893, e as definições do " ampère internacional " e o " ohm
internacional " eram confirmadas pela Conferência Internacional de
Londres em 1908.
Embora já era óbvio na ocasião do 8º CGPM (1933) que havia um
desejo unânime para substituir essas " unidades internacionais " através de
unidades absolutas " denominadas ", a decisão oficial para aboli-los só foi
levada pelo 9º CGPM (1948) que adotou o ampère para a unidade de
corrente elétrica e segue a definição proposta pelo CIPM em 1946:
O ampère é aquela corrente de constante que, se manter
diretamente em dois condutores paralelos e infinitos, de seção circular
transversal desprezível, colocados paralelamente a 1 metro no vácuo,
produziria entre estes condutores uma força igual para 2 x 10 -7 newton
por metro de comprimento.
A expressão " unidade de MKS de força " que acontece no texto
original foi substituída aqui através de " newton, " o nome adotou para
esta unidade pelo 9º CGPM (1948). Note que o efeito desta definição é
fixar a constante magnética (permeabilidade do vácuo) a exatamente 4 x
10-7 H · m-1 .
7
 Unidade de temperatura
Acronimos: CGPM,
termodinâmica (kelvin)
CIPM, BIPM
A definição da unidade de temperatura termodinâmica era
determinada em substância pelo 10º CGPM (1954) que
selecionou o ponto triplo de água como o ponto fixo fundamental
e nomeou a isto a temperatura 273.16 K, definindo a unidade
assim. O 13º CGPM (1967) adotou o kelvin de nome (símbolo K)
em vez de " grau Kelvin " (símbolo °K) e definiu a unidade de
temperatura termodinâmica como segue:
O kelvin, unidade de temperatura termodinâmica, é a
fração 1/273.16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo
da água.
Por causa das escalas termométricas de temperatura,
permanece prática comum para expressar temperatura
termodinâmica, símbolo T, em termos de sua diferença da
referência temperatura T0 = 273.15 K, o ponto de gelo. Esta
diferença de temperatura é chamada uma temperatura Celcius
(em graus Centígrados, símbolo t, e é definido pela equação de
quantidade
t = T – T0 .
A unidade de temperatura Celcius é o grau Centígrado,
símbolo °C que é por definição igual em magnitude para o kelvin.
Uma diferença ou intervalo de temperatura podem ser
expressados em kelvins ou em graus Centígrado (13º CGPM,
1967). O valor numérico de uma temperatura t graus Celcius é
determinada por
t/°C = T/K - 273.15.
O kelvin e o grau Centígrado também são também unidades
de Temperatura Internacional. A Escala de 1990 (ITS-90) adotou
pelo CIPM em 1989.
 Unidade de quantidade de Acrônimos: CGPM,
substância (mole)
CIPM, BIPM
Seguindo a descoberta das leis fundamentais de química, as
unidades foram chamadas, por exemplo, ―átomo-grama" e
"molécula-grama‖, foram usadas para especificar quantias de
elementos químicos ou combinações. Estas unidades tiveram uma
conexão direta com "pesos" atômicos e "pesos moleculares" que
eram de fato massas relativas. Referiram ―pesos" atômicos
originalmente ao peso atômico de oxigênio, por acordo geral
levado como 16. Mas considerando os isótopos físicos separados
no espectrógrafo de massa, atribuiu o valor 16 a um dos isótopos
de oxigênio; os químicos atribuíram aquele mesmo valor para o
(ligeiramente variável) mistura de isótopos 16, 17, e 18 que eram
para eles o oxigênio de elemento naturalmente acontecendo.
Finalmente, um acordo entre a União Internacional de Puras e
Aplicadas Físicas (IUPAP) e a União Internacional de Pura e
Aplicada Química (IUPAC) trouxe esta dualidade para um fim
em 1959/60. Os Físicos e Químicos concordaram nomear o valor
12, exatamente, desde então para o "peso atômico" corretamente
a massa atômica relativa, do isótopo de carbono com massa
número 12 (carbono 12, 12C). A balança unificada assim obtida
dá valores de massa atômica relativa.
Permaneceu definir a unidade de quantidade de substância
fixando a massa correspondente de carbono 12; por acordo
internacional, esta massa esteve fixa em 0.012 kg, e a unidade
da quantidade de “substância" era determinada de nome mole
(mol de símbolo).
As Propostas seguintes da IUPAP, IUPAC, e a Organização
Internacional para Padronização (ISO), o CIPM cedeu 1967, e
confirmou em 1969, a definição de mole, eventualmente adotados
pelo 14º CGPM (1971):
1. mole é a quantia de substância de um sistema que
contém tantas entidades elementares quanto há átomos em 0.012
quilograma de carbono 12; seu símbolo é " mol ".
2. quando o mole é usado, as entidades elementares
devem ser especificadas e podem ser átomos, moléculas, íons,
elétrons, outras partículas, ou especificados grupos de tais
partículas.
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
A sua 1980 reunião, o CIPM aprovou a proposta de 1980 pelo Comitê de
Consultas em Unidades do CIPM que especifica isso nesta definição, é
compreendido que átomos não ligados de carbono 12, em repouso e no
estado de solo deles/delas, se refere.



 Unidade de intensidade
Acrônimos: CGPM,
luminosa (candela)
CIPM, BIPM
Originalmente, cada país teve seu próprio, e bastante mal
reprodutível, unidade de intensidade luminosa; era necessário esperar até
as 1909 para ver um começo de unificação no nível internacional, quando
os laboratórios nacionais dos Estados Unidos da América, França, e Grã
Bretanha decidiram adotar a vela internacional representada por
luminárias de filamento de carbono. Ao mesmo tempo, a Alemanha ficou
com a vela de Hefner, definida por um padrão de chama, e igual para
aproximadamente nove décimos de uma vela internacional. Mas um
padrão baseado em luminárias incandescentes, e conseqüentemente
dependente na sua estabilidade, nunca teria sido completamente
satisfatório e poderia ser então só provisional; por outro lado, as
propriedades de um corpo negro proveram uma solução teoricamente
perfeita e, já em 1933, foi adotado o princípio que unidades de fotometria
novas estariam baseado na emissão luminosa de um corpo negro na
temperatura de fusão da platina (2045 K).
As unidades de intensidade luminosa eram baseadas em chama ou
padrões de filamento incandescentes e foram substituídas em uso em
vários países antes de 1948 inicialmente pela "vela" baseado no
luminance da radiação de corpo negro (Teoria feita por Planck) à
temperatura de platina citada acima. Esta modificação tinha sido
preparada pela Comissão Internacional em Iluminação (CIE) e pelo CIPM
antes das 1937, e foi promulgado pelo CIPM em 1946. Foi ratificado
então em 1948 pelo 9º CGPM que adotaram um nome internacional novo
para esta unidade, candela (cd de símbolo); em 1967 o 13º CGPM deu
uma versão emendada da definição de1946.
Em 1979, por causa das dificuldades experimentais que ocorriam na
radiação de corpo negro (Teoria de Planck) a temperaturas altas e as
possibilidades novas ofereceu através da radiometria, i.e., a medida de
poder de radiação óptico, o 16º CGPM (1979) adotou uma definição nova
para o candela:
O candela é a intensidade luminosa, em uma determinada
direção, de uma fonte que emite radiação monocromática de freqüência
540 x 1012 hertz e tem uma intensidade radiante naquela direção de
1/683 watt por stereoradianos.
Apêndice:
Modo Estatístico das calculadoras.
Casio fx-82MS
Comando
on
Mode 2
Shift CLR 1 =
Dado 1 M+
Shift 2
Shift 2 1 =
Shift 2 2 =
Shift 2 3 =
Shift CLR 3 =
Mode 3
x1,y1 M+
Exemplo:
1.879EXP()5,2.456EXP4 M+
Shift 2 1 =
Shift 2 2 =
Shift 2 3 =
Shift 2 1 =
Shift 2 2 =
Shift 2 3 =
Shift 2
1=
Shift 2

8
2=
Shift 2
3=
Série HP
Função
Liga
Entra no modo sd
(statistical data)
Limpa memórias
Inseri dado 1
Entra no s-var
Dá a média
Dá o DPP
Dá o DPA
Limpa tudo
Entra no modo reg
1 (regressão
linear)
Inseri ponto (x1,y1)
Insere o ponto
(1.879.10-5,
2.46.104)
Dá a média de x
Dá o DPP de x
Dá o DPA de x
Dá a média de x
Dá o DPP de x
Dá o DPA de x
Dá o coeficiente
linear A
Dá o coeficiente
angular B
Dá a correlação r
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
 Recursos estatísticos:
Σx, Σx2, Σy, Σy2, Σxy
Desvio padrão de amostra, média
Desvio padrão de população
Regressão linear
Combinações, permutações
Média ponderada
Editar, gravar, nomear, listar
Ajuste de curva ( LIN, LOG, EXP, POW )
Plotagem de dados estatísticos
Testes de hipóteses
Intervalos de confiança
Comando


9
GRANDEZAS FÍSICAS
escalares.
VETORES
Vetoriais e
Vetores no plano R2:

Versores: São vetores de módulo
1 e perpendiculares entre si. No plano R2 definimos
iˆ
os versores
y
1
1,0 e ĵ
0,1
ĵ
Função
iˆ
Entra no modo
estatístico
0
Single-var
Edit
population
sample
chk
Entra no modo de
edição. Escolha a
coluna que inserirá os
dados
Dpp
Dpa
Marque para mostrar
o valor
1
Representação:

v
x
vx iˆ v y ˆj

v
ou
(v x , v y ) ou


v OA
A O

v x : Componente horizontal do vetor v .

v y : Componente vertical do vetor v .
Entra no modo de
ajuste de curvas
Fit data
Edit
Insira os dados (x,y)
nas colunas 1 e 2, por
exemplo
Valeu,
carinha ?

v cos

v sen
vx
vy
CD
CD
CD
CD
xD , yD
xD
xD
D C
xC , yC
xC , yD
xC iˆ
yD
yC
yC
ˆj
Módulo ou magnitude do vetor:

v
v x2
v y2
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
o
Importante:

 v é um vetor, por tanto possui módulo direção e
sentido.
10
Conversões de quadrantes:
i) Vetor no segundo quadrante


 v é o módulo do vetor v , sendo portanto um
número.
arctg
y
Direção do vetor:
A direção de um vetor é dada pelo ângulo que o
vetor forma com o eixo horizontal Ox, com o ângulo
medido no sentido anti-horário.

v
0
vx
θ
0

v
900
0
180 0
0
vx
iii) Vetor no quarto quadrante
y
180 0
 Modo angular na calculadora:
Lembre-se que para encontrar o ângulo em graus
o modo que se deve trabalhar na calculadora é deg (de
―degree”) e se quisermos operar em radianos, rad.
A relação entre um ângulo medido em grau 0 e um
é dada por:
0
0
180
arctg
0x

v
0
vx
0
2
vx
cos
vx

v
v
arccos x
v
sen
vy

v
vy
arcsen 
v
arctan
vy
360 0
(rad )
vy
3.14159...
Determinação do ângulo :
vx
vx
(rad )
vy
0
tan
vy
0x
O radiano é dado pela correspondência: a cada π
radianos corresponde a 1800. Assim:
vy
0
x
arctg
0
ângulo medido em radiano
180 0
ii) Vetor no terceiro quadrante
y
Unidades angulares:
Definimos o grau (em inglês: degree) como um
noventa avos do ângulo reto.
O grado é definido de tal forma que a cada 100
grados corresponde a 900. Assim:
(rad )
vx
(rad )
vy
( grados) 100
vy
vy
vx
Operações com vetores

u

Multiplicação por um escalar

Soma de vetores
Regra do Polígono

v

w
    
S u v w t

t
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Ângulo
Regra do Paralelogramo
 
u v

u
 
u v
11
Ângulo formado pelo:
Cossenos
diretores
Vetor e eixo Ox
θx
cos
x
cos
y
cos
z
vx

v
Vetor e eixo Oy
θy

v
vy

v
Vetor e eixo Oz
 
u v
2
u
2
v
 
2 u v cos
 
u v
2
u
2
v
 
2 u v cos
θz

Versores:
Obs.: Vide demonstração no Apêndice I

Subtração de vetores

Vetores no espaço R3:
vz

v
iˆ
1,0,0
ĵ
0,1,0
k̂
0,0,1
 Módulo do vetor:

v
v x2
v y2
v z2
Representação:
 Normalização de um vetor:

Dado um vetor u qualquer, o vetor de
módulo 1 que aponta na mesma direção e sentido de

u é dado por:
nˆ

u

u

u
n̂
Ou:
nˆ
cos
iˆ
sen
ˆj
 Regra do paralelogramo:
  
S u v
  
D u v
x

v
v x iˆ v y ˆj v z kˆ
ou

v

u
 
u v
(v x , v y , v z )

v
2
u
2
v
 
2 u v cos
ou


v OA
A O


v.
v x : Componente x do vetor v .
v y : Componente y do vetor

v z : Componente z do vetor v .
Determinação dos ângulos formados pelo vetor
com os eixos:
Analogamente, podemos provar que:
 
u v
2
u
2
v
 
2 u v cos
Física I – Sistemas de unidades, Grandezas, Erros e Vetores – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori


Relações trigonométricas:
 Apêndice II
Regra do Paralelogramo: Demonstração:
sen(a b)
sena cos b senb cos a
cos(a b)
cos a cos b  senb sena
cos 2
sen(2
sen 2
)
1
2 sen
cos(2 ) cos2
Observe que:

u cos

u cos
ux
uy

u

v
12
u
u

v cos

v cos
vx
e
vy
sen
sen2
v
v


u cos u iˆ u sen u ˆj


v cos viˆ v sen v ˆj
 
u v

u cos
 
u v
 
u v

v cos
u

u cos
2
u (cos 2
u
u
v

u sen
iˆ

v cos
sen 2
u
)

v sen
u
2
v
2
v (cos 2
v
ˆj

u sen
u
sen 2
u
u

v sen
 
) 2 u v (cos
Como:
cos
cos( u
v
) cos
u
cos
v
Teremos:
 
u v
2
u
2
v
 
2 u v cos
Analogamente, podemos provar que:
 
u v
2
u
2
v
 
2 u v cos
2
v
sen u sen
v
u
cos
v
sen
u
sen
v
)
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
 Apêndice II

cos
Lei dos Cosenos:
c
a2
b2
2 a b cos
b
a2
c2
2 a c cos
a
c2
b2
2 c b cos
sen
sen
1
sen
2
sen(
sen
a
h
c
m
a
2
n
c
1
m1 h
a c
Portanto: h
c
h c cos
2
m a sen
1
n c sen
2
2
) sen 1 cos
sen
2
2
cos
nh
(m n)h bh
c a1
ac
ac
ac
sen {3}; Reunindo {1},
b
{2} e {3}:
b

sen
c
Lei dos Senos:
a
sen
b
sen
h a sen
c sen
Dividindo
sen
sen
a
b
os
Ou:
c
sen
a
sen
ac
sen
b
membros
b
sen
por
a.c:
c
sen
Produtos entre vetores
Dados dois vetores:
Prova:Observe que:
1
2
a
h
c
u
ux iˆ u y ˆj uz kˆ
v
vx iˆ v y ˆj vz kˆ
θ
Definimos:
 Produto escalar:
O produto escalar entre dois vetores tem como
u e v resultado um número.
m
n
Representamos por: u v
b
h
a
h
c
sen
sen
cos
cos
h
a sen
u v
{1}
u x vx u y v y u z v z
Também podemos demonstrar que:
h
1
h
a
1
h
a
c sen
h
h
a cos
a cos
{2}
1
u v
u v cos
Onde θ é o ângulo entre os vetores u e v .
 Produto vetorial:
O produto escalar entre dois vetores tem como
1
u e v resultado um vetor.
1
13
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(a) em km/h e (b) em m/s.
Representamos por: u v
u v
iˆ
ux
ˆj
uy
kˆ
uz
vx
vy
vz
1.8 Em um país europeu você vê o seguinte aviso:
limite máximo de velocidade = 100 mi/h. Expresse este
limite em km/h e em m/s.
1.9 O consumo de gasolina de um cairo pequeno
é aproximadamente igual a 15,0 km/L. Expresse este
consumo em dam/cm3.
Também podemos demonstrar que:
u v
O vetor u v
 SEÇÃO 1.6
 INCERTEZA
 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS
u v sen
é um vetor perpendicular ao
plano formado pelos vetores u e v .

EXERCÍCIOS
 SEÇÃO 1.4
UNIDADES
PADRÕES
 SEÇÃO 1.5
COERÊNCIA E CONVERSÃO
UNIDADES
1.10 Um modo útil de saber quantos segundos
existem em um ano é dizer que um ano ê
aproximadamente igual a 107segundos. Calcule o erro
percentual deste valor aproximado.
(Em um ano existem 365.24 dias.)
E
DE
1.1 Usando a delmição l milha = l.61 km. calcule o
número de quilômetros em 5 milhas.
1.2 De acordo com o rótulo de uma garrafa de
molho para salada, o volume do conteúdo é de 0,473
litros (L). Usando a conversão l L = 1000 cm3 ,
expresse este volume em milímetros cúbicos.
1.3 Calcule o tempo em nanossegundos que a luz
leva para percorrer uma distância de l.00 km no
vácuo.
1.4 A densidade do chumbo é l l .3 g/cm3. Qual e
este valor em quilogramas por metro cúbico?'
1.5 O cilindro de um potente automóvel Chevrolet
Corvette possui um volume de 5.3 l.. Sabendo que l
decâmetro (dam) é igual a 10 m, expresse este volume
em decametros cúbicos.
1.11
(a) Suponha que um trem tenha percorrido 890
km de Berlim ate Paris e superou em 10 m o limite final
do trilho. Qual o erro percentual na distância total
percorrida?
(b) Seria correto dizer que ele percorreu uma
distância total de 890.010 m? Explique.
1.12 Usando uma régua de madeira, você mede
o comprimento de uma placa metálica retangular e
encontra 12 mm. Usando um micrômetro para medir a
largura da placa você encontra 5,98 mm.
Forneça as respostas dos seguintes itens com o número
de algarismos significativos correio,
(a) Qual a área do retângulo?
(b) Qual a razão entre a largura do triângulo e
o seu comprimento?
(c) Qual o perímetro do retângulo?
(d) Qual a diferença entre o comprimento do
retângulo e a sua largura?
(e) Qual a razão entre o comprimento do
retângulo e a sua largura?
1.13 Estime o erro percentual ao medir:
(a) a distancia de 75 cm usando uma régua de l
m.
1.6 Para controlar seu consumo de bebida
alcoólica, você resolveu beber 0,04 m3 de vinho durante
um ano. Supondo que todo dia você beba a mesma
quantidade de vinho, quantos cm3 de vinho você
deveria beber por dia?
1.7 O Concorde é o avião comercial mais veloz do
mundo. Ele pode viajar a 1450 mi/h (cerca de duas
vezes a velocidade do som ou Mach 2. Calcule esta
velocidade
(b) a massa de 12 g com uma balança química:
(c) o intervalo de tempo de 6 min com um cronômetro.
1.14 Uma placa retangular de alumínio possui
comprimento de:
5.60 ±0.01 cm e largura de:
l.90 ±0.01 cm.
(a) Ache a área do retângulo e a incerteza na
área.
14
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(b) Verifique se a incerteza fracionaria na área
é igual à soma das incertezas fracionárias do
comprimento e da largura.
1.15 Um disco fino de chocolate possui
diâmetro igual a 8,50 ± 0,02 cm e espessura igual a
0.050 ± 0,005 cm.
(a) Ache o volume e a incerteza no volume,
(b) Ache a razão entre o diâmetro e a espessura
e a incerteza desta razão.
 SEÇAO
1.7
ESTIMATIVAS
ORDENS DE GRANDEZA
E
1.16 Faça uma estimativa do volume da
gasolina consumida no Brasil durante um ano.
1.17 Uma caixa possui volume de 28 cm x 22
cm x 42 cm e está cheia de folhas de papel de 28 cm x
22 cm. Esta caixa contém aproximadamente 10 mil ou
10 milhões de folhas?
1.18 Quantas laranjas você deve espremer para
obter 2 L de suco de laranja?
1.19 Estime a ordem de grandeza do número
de palavras de um livro (200 páginas).
1.20 Qual é o volume de ar que uma pessoa
respira em toda sua vida? Compare este volume com o
volume de um apartamento de dois quartos. (Estime que
para cada respiração o volume de ar aspirado é
aproximadamente igual a 500 cm3.)
1.26 Quantas notas de um dólar seriam
necessárias para fazer uma pilha de notas com uma
altura igual ã distância entre a Terra e a Lua? Este total
seria maior ou menor do que o valor gasto em um
projeto para construir e lançar uma nave até a Lua?
1.27 Quantas notas de um dólar seriam
necessárias para cobrir a área total dos Estados Unidos
(incluindo o Alasca e o Havaí)?
Quanto isto custaria para cada americano?
 SEÇÃO
VETORIAL
1.8
VETORES
E
SOMA
15
1.28 Ouvindo o ruído de uma serpente, você faz
dois deslocamentos rápidos com módulos de 1.8 e 2.4
m. Usando diagramas (aproximadamente em escala),
mostre como esses deslocamentos deveriam ser
cfetuados para que a resultante tivesse módulo igual
a:
(a) 4.2 m. (b) 0.6 m, (c) 3,0 m.
1.29 Um empregado do Correio dirige um
caminhão de entrega e faz trajeto indicado na Figura l
.24. Determine o módulo, a direção e o sentido do
deslocamento resultante usando diagramas em escala.
(Ver o Exercício l.34 para usar um método alternativo
na solução deste problema.)
FIGURA 1 Exercícios l.29 e 1.34.
1.21 Quantos fios de cabelo há em sua cabeça?
1.22 Quantas vêzes o coração de uma pessoa
bale em toda sua vida? Quantos litros de sangue ele
bombeia neste período?
(Estime que em cada batida do coração o volume de
sangue bombeado é aproximadamente igual a 50 cm3).
1.23 Na ópera de Wagner O anel dos
Niebelungos, a deusa Freia é resgatada em troca de uma
pilha de ouro com largura e altura suficientes para
escondê-la. Estime o valor desta pilha de ouro.
(Use o Exemplo l .4 para obter os dados necessários
para a densidade e o preço do ouro.)
1.24 Quantas gotas de água existem em todos
os oceanos da Terra?
1.25 Quantas pilhas são consumidas durante
um ano acadêmico em sua faculdade?
1.30 Para os vetores A e B indicados na
Figura 2 use diagramas em escala para determinar:
(a) a soma vetorial A
B
(b) a diferença velorial A B . Com as
respostas obtidas em (a) e em (b), ache o módulo, a
direçao e o sentido de
(c)
A B
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(d) B A (Veja o Exercício l.35 para usar um
método alternativo na solução deste problema.)
FIGURA 2 Exercícios l.30. l.35, l .40 c 1.48.
1.31 Uma espeleóloga está pesquisando uma
caverna. Ela percorre 180 m em linha rela de leste para
oeste, depois caminha 210 m em uma direçao formando
450 com a direção anterior e em sentido do sul para o
leste: a seguir, percorre 90 m a 300 no sentido do norte
para o oeste. Depois de um quarto deslocamento não
medido, ela retorna ao ponto de partida. Use um
diagrama em escala para determinar o módulo, a
direçao c o sentido do quarto deslocamento. (Veja o
Problema l.59 para usar um método alternativo na
solução de um problema semelhante a este).
 SEÇÃO 19
 COMPONENTES DE VETORES
1.32 Use um diagrama em escala para
A e B dos vetores
determinar os componentes
seguintes. Para cada vetor, os números indicam
(i) o módulo do velor
(ii) o ângulo que ele faz com o eixo Ox medido
supondo-se uma rotação no sentido do eixo +Ox para o
eixo +Oy. Ache para
(a) módulo 9,3 m e ângulo de 60,00;
(b) módulo 22.0 km e ângulo 1350;
(c) módulo 6.35 cm e ângulo de 3070.
1.33 Determine os componentes A , B e C
indicados na Figura 3.
FIGURA 3 Exercícios 1.33, 1.41. l.44 e Problema 1.58.
1.34 Um empregado do serviço postal dirige
um caminhão de entrega e faz o trajeto indicado na
Figura 4. Use o método dos componentes para
determinar o módulo, a direção e o sentido do
deslocamento resultante. Mediante um diagrama
vetorial (aproximadamente em escala), mostre que o
deslocamento resultante obtido com este diagrama
concorda aproximadamente com o resultado obtido pelo
método dos componentes.
1.35 Para os vetores A , B indicados na
Figura 3 use o método dos componentes para
determinar o módulo, a direção e o sentido
(a) a soma vetorial A
B
(b) a diferença velorial A B . Com as
respostas obtidas em (a) e em (b), ache o módulo, a
direçao e o sentido de
A B
(d) B A
(c)
1.36 Determine o módulo, a direção e o
sentido dos vetores representados pêlos seguintes
pares de componentes:
(a) Ax = -8.60 cm, Ay = 5.20 cm;
(b) Ax = -9.70 m, Ay = -2.45cm;
(c) Ax = 7.75 km, Ay = -2.70 km.
1.37 Um professor de física desorientado
dirige 3.25 km do sul para o norte, depois 4.75 km de
leste para oeste, a seguir l.50 km do norte para o sul.
Determine o módulo, a direção e o sentido do
deslocamento resultante, usando o método dos
componentes. Usando diagramas (aproximadamente em
escala), mostre que o deslocamento resultante
encontrado
em
seu
diagrama
concorda
aproximadamente com o resultado obtido pelo método
dos componentes.
1.38 O vetor A possui componentes Ax = l.30
cm, Ay = 2,25 cm; o vetor B possui componentes Bx =
4,10 cm, By = -3.75 cm.
Ache
(a) os componentes da soma vetorial A B
(b) o módulo, a direçao e o sentido da soma
vetorial A B
(c) os componentes da diferença vetorial
A B
(d) o módulo, a direçao e o sentido da
diferença vetorial A
B
16
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
1.39 O vetor A possui comprimento igual a
2,80 cm e esta no primeiro quadrante a 60.00 acima do
eixo Ox. O vetor B possui comprimento igual a l .90
cm e está no quarto quadrante a 60,00 abaixo do eixo Ox
(Figura 4). Ache o módulo, a direção e o sentido de:
(a) a soma vetorial A
B
(b) a diferença velorial A B .
(c) A B
Em cada caso faça um diagrama da soma ou da
diferença e mostre que os resultados concordam
aproximadamente com as respostas numéricas obtidas.
FIGURA 5 Exercícios B (2,40 m). Exercício 1.42
e Problema 1.66.
17
1.43 Dados os vetores
A 4,00 iˆ 3,00 ˆj e B 5,00 iˆ 2,00 ˆj
FIGURA 4 Exercícios
(a) ache o módulo, a direção e o sentido de
cada vetor;
(b) escreva uma expressão para a diferença
vetorial A B usando vetores unitários;
(c) ache o módulo, a direção e o sentido da
diferença vetorial A
B
(d) faça um diagrama vetorial para A , B e
A B e mostre que os resultados queconcordam
aproximadamente com a resposta do item (c).
 SEÇÃO 1.10
 VETORES UNITÁRIOS


1.40 Escreva cada vetor indicado na Figura 5 em
termos dos vetores unitários
iˆ e ĵ .
1.41 Escreva cada vetor indicado na Figura 1.26
em termos dos vetores unitários
iˆ e ĵ .
SEÇÃO 1.1
PRODUTOS DE VETORES
1.44 Para os vetores A , B e C , indicados na
Figura 6, ache os produtos escalares
(a) A B
(b) B C
(c) A C
1.42
(a) Escreva cada vetor indicado na Figura 6 em
termos dos vetores unitários
iˆ e ĵ .
(b) Use vetores unitários para escrever o vetor
onde
(a) Ache o produto escalar dos dois vetores A e
C,
B mencionados no Exercício 1.43.
(b) Ache o ângulo entre estes vetores.
C 3 A 4 B
(c) Ache o módulo, a direção e o sentido do vetor
C.
1.45
1.46 Ache o ângulo entre cada par de vetores:
2, 00 iˆ 6, 00 ˆj e
2,00 iˆ 3,00 ˆj
(a) A
B
3,00 iˆ 5,00 ˆj e
B 10, 00 iˆ 6, 00 ˆj
4, 00 iˆ 2, 00 ˆj e
(c) A
B 7, 00 iˆ 14, 00 ˆj
(b) A
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
1.47 Supondo um sistema de coordenadas com
orientação da mão direita, ache a direção e o sentido do
eixo Oz.
1.48 Para os vetores indicados na Figura 4,
(a) ache o módulo, a direção e o sentido do
produto vetorial A B ;
(b) ache o módulo, a direção e o sentido do
produto vetorial B
A
1.49 Encontre o produto vetorial A B
expresso em termos dos vetores unitários.
Qual o módulo deste produto vetorial?
1.50 Para os vetores indicados na Figura 5,
(a) ache o módulo, a direção e o sentido do
produto vetorial A B ;
(b) ache o modulo, a direção e o sentido do
produto veional B

A.
PROBLEMAS
1.51 A milha é uma unidade de comprimento
muito usada nos Estados Unidos e na Europa. Sabendo
que l mi é aproximadamente igual a 1,61 km, calcule:
(a) o número de metros quadrados existentes
em uma rnilha quadrada;
(b) decímetros cúbicos existentes em uma
milha cúbica.
1.52 Suponha que uma fazenda seja avaliada
em R$ 4,00 o metro quadrado. Calcule o preço desta
fazenda sabendo que sua áreatotal é igual a 100 milhas
quadradas.
1.53 O Maser de Hidrogénio. As ondas de
rádio geradas por um maser de hidrogénio podem ser
usadas como um padrão de freqüência. Afreqüência
dessas ondas é igual a 1420405751.786 hertz. (Um
hertz significa o mesmo que um ciclo por segundo.)
Um relógio controlado por um maser de hidrogênio
pode atrasar ou adiantar apenas l s em 100.000 anos.
Para as respostas das perguntas seguintes, use apenas
três algarismos significativos. (O grande número de
algarismos significativos nesta frequência ilustra a
impressionante acurácia desta medida).
(a) Qual é o intervalo de tempo de um ciclo desta
onda de rádio?
(b) Quantos ciclos ocorrem em 1h ?
(c) Quantos ciclos poderiam ter ocorrido durante a
idade da Terra, estimada em 4,6.109 anos?
(d) Quantos segundos um relógio controlado por um
maser de hidrogênio poderia atrasar ou adiantar durante
a idade da Terra?
1.54 Estime o número de átomos existentes em seu
corpo.
(Sugestão: com base em seus conhecimentos de
biologia e de química; diga quais os tipos mais comuns
de átomos existem em seu corpo. Qual a massa de cada
um destes átomos? O Apêndice D apresenta uma
relação das massas dos diferentes elementos, expressas
em unidades de massa atómica; você encontrará o valor
De uma unidade de massa atômica).
1.55 (a) Estime o número de dentistas em sua
cidade. Você deve considerar nesta estimativa o número
de habitantes, a frequência com a qual se costuma ir a
um dentista, a duração típica de um procedimento no
tratamento dentário (obturações, tratamento de canais
etc.) e quantas horas um dentista trabalha durante a
semana. Confira sua estimativa consultando uma lista
Telefônica local.
1.56 Os matemáticos, os físicos e outros
pesquisadores trabalham com números grandes. Os
matemáticos inventaram o nome extravagante de
googol para designar 10100 . Vamos comparar alguns
números grandes existentes na física com o googol.
{Nota: Este problema necessita do uso de alguns
valores numéricos nos apêndices deste livro, com os
quais seria conveniente você se familiarizar.}
(a) Estime o número aproximado de átomos
existentes em nosso planeta. Para facilitar, considere a
massa atómica dos átomos igual a 14 g/mol. O número
de Avogadro fornece o número de átomos existentes em
um mol. NA = 6.02.1023 átomos/mol.
(b) Estime o número aproximado de nêutrons
existentes em uma estrela de nêutrons. Uma estrela de
nêutrons é constituída quase que exclusivamente de
nêutrons e possui massa igual a duas vezes a massa do
Sol.
(c) Na teoria principal acerca da origem do
universo, todo o universo observável ocupava em em
tempos primordiais um raio igual à atual distância entre
a Terra e o Sol. Naquela época, o universo possuía
densidade (massa/volume) de 1015 g/cm3 .
Estime o número de partículas existentes no
universo supondo que naquela época a composição das
partículas era: 1/3 de prótons, 1/3 de elétrnns e 1/3 de
nêutrons.
1.57 Você deseja programar o movimento do
braço de um robô em uma linha de montagem. Seu
primeiro
deslocamento
é
A
A;
seu
segundo
deslocamento é B , cujo módulo é igual a 6,40 cm,
18
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
orientado formando um ângulo de 63,0°, medido
considerando-se uma rotação do eixo +0x para o eixo
Oy. A resultante C A B dos dois deslocamentos
deve também possuir módulo igual a 6,40 cm, porém
formando um ângulo de 22,0°, medido considerandose uma rotação do eixo +Ox para o eixo +Oy.
(a) Desenhe um diagrama em escala aproximada
para estes vetores.
(b) Ache os componentes de A .
(c) Ache o módulo, a direção e o sentido de A .
FIGURA 6 - Exercício 1.58
37,00
60,00
A 12,0m
Dê o módulo. a direção e o sentido do terceiro
deslocamento. Faça um diagrama em escala da soma
vetorial dos deslocamentos e mostres que eles
concordam aproximadamente ocorrem com o resultado
obtido mediante a solução numérica.
1.61 Um esquiador percorre 2.80 km com
ângulo de 45,0° considerando rotação em sentido do sul
para o oeste, a seguir 7,40 km a 30,0° em sentido do
leste para o norte, e finalmente 3,30 km a 22.0° em
sentido do oeste para o sul.
(a) Mostre estes deslocamentos em um
diagrama,
(b) Qual é a distância entre o início ë o fim do
trajeto?
FIGURA 6 - Exercício 1.60
40,00
C 6,0m
B 15,0m
1.58
(a) Ache o módulo, a direção e o sentido do
vetor R que é a soma dos vetorea A, B e C Figura6.
Desenhe um diagrama para mostrar como R é formado
com a soma os três vetores indicados na Figura 6.
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido do
vetor S
C A B . Desenhe um diagrama para
mostrar como S é formado com os três vetores
indicados na Figura 6.
1.59 Como dissemos no Exercício 1.31. uma
espeleóloga está pesquisando uma caverna. Ela percorre
180 m em linha reta de leste para oeste; depois caminha
210m em uma direção que forrna 45° com a direção
anterior e em sendito do do sul para o leste, a seguir
percorre 280 m a 30° no sentido do norte para o leste.
Depois de um quarto deslocamento, ela retorna ao
ponto de partida. Use o método dos componentes para
determinar o módulo, a direção e o sentido do quarto
deslocamento. Verifique quê a solução obtida usando-se
um diagrama sm escala é, aproximadamente igual ao
resultado obtido pelo método dos componentes.
1.60 Uma velejadora encontra ventos que
impelem seu pequeno barco a vela. Ela veleja 2,00 km
de oeste para leste, a seguir 3,50 km para sudeste e
depois uma certa distância em direção desconhecida.
No final do trajeto ela se encontra a 5,80 km
diretamente a leste de seu ponto de partida (Figura 7 ).
1.62 Em um voo de treinamento, uma aprendiz
de piloto voa de Lincoln, no Estado de NeBraska: até
Clarinda, no lowa; a seguir até St. Joseph, no Missouri;
depois até Manhattan, no Kansas (Figura l .30). Os
ângulos formados pêlos deslocamentos são medidos em
relação ao norte: 0° significa o sentido do sul para o
norte. 90° é o leste, 180° é o sul e 270° é o oeste. Use o
método dos componentes para achar
(a) a distância que ela terá de voar para voltar
para Lincoin; b) a direção e o sentido que ela deverá
voar para voltar ao ponto de partida. Ilustre a solução
fazendo um diagrama vetorial.
(b) Ajude-o a impedir que ele se perca na
floresta fomecendo-lhe o vetor deslocamento, calculado
pelo método dos componentes, necessário para que ele
retome para sua cabana.
1.64 Uma artista está criando um novo
logotipo para a página de sua companhia na Internet.
No programa gráfico que ela está usando, cada pixel em
um arquivo de imagem possui coordenadas (x, y) onde a
origem (0,0) está situada no canto superior esquerdo da
imagem, o eixo +Ox aponta para a direita e o eixo +Oy
aponta para baixo. As distâncias são medidas em pixels.
(a) A artista desenha uma linha ligando o local
do pixel (10,20) com o local (210,200). Ela deseja
19
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
desenhar uma segunda linha que começa em (10,20),
tem comprimento de 250 pixels e forma um ângulo de
300 medindo no sentido dos ponteiros do relógio a partir
da direção inicial. Qual o local do pixel no qual esta
segunda linha deve terminar?
(b) A artista agora desenha uma flecha ligando
a extremidade direita inferior da primeira linha com a
extremidade direita inferior da segunda linha.
Determine o módulo, a direção e o sentido desta flecha.
Faça um diagrama mostrando as três linhas.
FIGURA 6 - Exercício 1.62
1.64 Um explorador de uma densa floresta na
África equatorial deixa sua cabana. Ele dá 40 passos no
sentido nordeste, depois 80 passos em uma direção que
forma 600 considerando a rotação no sentido de oeste
para o norte, a seguir 50 passos diretamente para o sul.
(a) Faça um diagrama aproximadamente em
escala dos três vetores e da resultante da soma vetorial.
(b) Ajude-o a impedir que ele se perca na
floresta fornecend-lhe o o vetor deslocamento,
calculado a partir do método das componentes,
necessário para que ele retorne a sua cabana.
20
1.66 Para os vetores A e a desenhados na
Figura 6,
(a) Ache o produto escalar A B ;
(b) Determine o módulo, a direçao e o sentido
1.65 Os vetores A, e B são desenhados a
do produto vetorial A B .
partir de um ponto. O vetor A possui módulo A e
forma um ângulo θA, medido supondo-se uma rotação
no sentido do eixo +0x para o eixo +0y. As grandezas
1.67 A Figura 7 mostra um paralelogramo
cujos lados são os vetores A e B .
(a) Mostre que o módulo do produto vetorial
destes vetores é igual à área deste paralelogramo.
(Sugestão: área = base. altura.)
(b) Qual é o ângulo entre o produto vetorial e o
plano deste paralelogramo?
correspondentes do vetor B são o módulo B e o
ângulo θB Logo:
A
A cos
A
iˆ
A sen
A
ˆj
B
B cos
B
iˆ
B sen
B
ˆj
1.68 O vetor A possui comprimento de 3,50
(a) Deduza a Equação:
A B
cm e aponta para o interior desta página. O vetor B
aponta do canto direito inferior desta página para o
canto esquerdo superior desta página. Defina um
sistema apropriado de coordenadas com orientação da
mão direita e ache os três componentes do produto
A B cos
B
A
(b) Mostre que:
A B
Ax Bx
Ay By
vetorial A B , medidos em cm2. Faça um diagrama
Observação: Para vetores em 3-D:
A B Ax Bx
Ay By
mostrando o sistema de coordenadas e os vetores A ,
Az Bz
B e A B.
Onde:
A
A cos
iˆ
Ax
A cos
ˆj
Ay
A cos
kˆ
Az
B cos
Bx
iˆ
B cos
By
ˆj
B cos
B Bx iˆ By ˆj Bz kˆ
Bz
2 iˆ 3
e A 3 iˆ 1
A
A Ax iˆ Ay ˆj Az kˆ
B
1.69 Dados dois vetores:
kˆ
ˆj 4 kˆ
ˆj 3 kˆ
determine:
(a) o medulo de cada vetor;
(b) uma expressão para a diferença vetorial
A B usando vetores unitários;
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(c) o módulo da diferença vetorial A B
(d) É este valor igual ao módulo da diferença
vetorial B
A ? Explique.
1.70 Ângulo da ligação no metano. Na
molécula do metano, CH4, cada átomo de hidrogênio
ocupa o vértice de um tetraedro regular em cujo centro
se encontra o átomo de carbono. Usando coordenadas
de tal modo que uma das ligações C—H esteja na
FIGURA 7 - Problema 1.73 e 1.74
z
ˆj kˆ , uma ligação C—H adjacente estará
na direção iˆ ˆj kˆ . Calcule o ângulo entre estas duas
direção iˆ
b
c
21
d
ligações.
a
y
1.71 Os dois vetores A e B são desenhados a
partir de um mesmo ponto e C A B
(a) Mostre que quando C2 = A2 + B2 o ângulo
entre os vetores A e B é 90°.
(b) Mostre que quando C2 < A2 + B2 ,
1.74 Obtenha um vetor unitário ortogonal
aos dois vetores indicados no Problema l .69.
o ângulo entre os vetores A e B é maior do que 90°.
(c) Mostre que quando C2 > A2 + B2 o ângulo
entre os vetores A e B está compreendido entre 0° e
90°.
1.72 Quando dois vetores A e B são
desenhados a partir de um mesmo ponto, o ângulo entre
eles é φ.
(a) Usando técnicas vetoriais, mostre que o
módulo da soma destes vetores é dado por:
A B
A
2
B
2
2 A B cos
(b) Se A e B possuem o mesmo módulo, qual
deve ser õ valor A ou de B ?
(c) Deduza um resultado análogo ao do item
(a) para o módulo da diferença vetorial A
B.
(d) Se A e B possuem o mesmo módulo, qual
deve ser o valor de φ para que o módulo de A
x
B seja
igual ao módulo de A ou de B ?
1.73 Um cubo é colocado de modo que um dos
seus vértices esteja na origem e três arestas coincidam
com os eixos +Ox, +Oy e +Oz de um sistema de
coordenadas (Figura l .31). Use vetores para calcular
(a) O ângulo entre a aresta ao longo do eixo
+Oz (linha az) e a diagonal da origem até o vértice
oposto (linha ad);
(b) o ângulo entre a linha ac (a diagonal de
uma das faces) e a linha ad.
1.75 Mais tarde em nossos estudos de física
encontraremos
grandezas
representadas
por
A B C.
(a) Quaisquer que sejam os vetores A , B e
C , prove que:
A B C
(b) Calcule
A B C
A B C para os três vetores
seguintes: A com modulo 5.00 e ângulo θA = 26,0°
medido supondo-se uma rotação no sentido do eixo +0x
para o eixo +0y, B com módulo 4,00 e ângulo θB =
63,0° e C com módulo 6,00 e orientado ao longo do
eixo +0z. Os vetores A e B estão sobre o plano xy.

PROBLEMAS DESAFIADORES
1.76 O comprimento de um retângulo é dado
por L ± l e sua largura é W ± w.
(a) Mostre que a incerteza na área A é dada por
a = Lw + W. Suponha que as incertezas l e w sejam
pequenas, de modo que o produto lw é muito pequeno e
pode ser desprezado,
(b) Mostre que a incerteza fracionária na área é
igual à soma da incerteza fracionária do comprimento
com a incerteza fracionária da largura,
(c) Um paralelepípedo possui dimensões L± l,
W ±w e H ±h. Ache a incerteza fracionária do seu
volume e mostre que ela é igual à soma das incertezas
fracionárias do comprimento, da largura e da altura.
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
1.77 Em um jogo de futebol, a bola está
inicialmente no centro do campo. Considere um sistema
de coordenadas Oxy no plano do campo e cujo centro O
coincida com o centro do campo. Depois do primeiro
(b) Para um habitante de um planeta que orbita
Méraque, qual seria a separação angular entre o Sol e
Alcaide?
chute, a bola se encontra na posição 3 iˆ 4 ˆj onde
as unidades são em metros. Determine:
(a) o módulo do deslocamento inicial da bola,
(b) o ângulo entre este vetor e o eixo +0x.
r x iˆ y ˆj z kˆ
1.80
O
vetor
denomina-se vetor posição e aponta da Origem uo
Sistema de coordenadas (0,0,0) para o espaço cujas
coordenadas são (x, y, z). Use seus conhecimentos sobre
vetores para provar o seguinte:
Todos os pontos (x, y, z)que satisfazem a
equação Ax + By + Cz = 0, onde A, B e C são
constantes, estão situados em um plano que passa na
1.78 Navegando no Sistema Solar. A
espaçonave Mars Polar Lander (explorador do pólo de
Marte) foi lançada em 3 de janeiro de 1999. No dia 3 de
dezembro de 1999 ela pousou na superfície de Marte,
ocasião em que as posições de Marte e da Terra eram
dadas pelas coordenadas:
x
y
z
Terra 0,3182 UA 0,9329 UA 0,0000 UA
Marte 1.3087UA -0,4423 UA -0,0414 UA
Nessas coordenadas, o Sol está na origem e o plano da
órbita da Terra é o plano xy. A Terra corta o eixo +Ox
uma vez por ano no equinócio de outono no Hemisfério
Norte (ou primavera no hemisfério Sul, o que ocorre no
dia 22 de setembro). Uma UA, ou Unidade
Astronômica, equivale a 1.496.108 km, a distância
média entre a Terra e o Sol.
(a) Em um diagrama, mostre as posições da
Terra, de Marte e do Sol no dia 3 de dezembro de 1999.
(b) Calcule as seguintes distâncias em UA no
dia 3 de dezembro de 1999:
(i) entre o Sol e a Terra,
(ii) entre o Sol e Marte,
(iii) entre a Terra e Marte
(c) Observando da Terra, qual era o ângulo
entre a reta que unia a Terra a Marte e a reta que unia a
Terra ao Sol no dia 3 de dezembro de 1999?
(d) Verifique e explique se Marte era visível à
meia-noite no seu local no dia 3 de dezembro de 1999.
(Quando é meia noite no horário local, o Sol está do
lado oposto da Terra relação a você.)
1.79 Navegando na Ursa Maior. As sete
estrelas principais Ursa Maior parecem estar sempre
situadas a uma mesma distância da Terra, embora elas
estejam muito afastadas entre si. A Figura indica a
distância entre a Terra e cada uma dessas estrelas.
As distâncias são dadas em anos-luz (al), um ano-luz é
a distância percorrida pela luz durante um ano. Um anoluz equivale a 9.461.1015 m.
(a) Alcaide e Méraque estão separadas de
25,6° no céu. Em um diagrama, mostre as posições do
Sol, de Alcaide e Méraque. Calcule a distância em
anos-luz entre Alcaide e Méraque.
origem e é ortogonal ao vetor A iˆ B ˆj
Faça um esquema deste vetor e do plano.
FIGURA 8 - Problema 1.79
: Alcaide (1.38 al)
: Mizar (73 al)
: Arioto (64 al)
: Megrez (81 al)
: Feeda (80 al)
: Dube(105 al)
: Méraque (77 al)
C kˆ .
22
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.

Q2.1 O velocímetro de um automóvel mede a
velocidade escalar ou o vetor velocidade? Explique.
Q2.11 É possível ter uma velocidade nula e
uma aceleração média diferente de zero? Velocidade
nula e uma aceleração instantânea diferente de zero?
Ilustre suas respostas usando um gráfico v-t.
Q2.2 Maria afirma que uma velocidade com
módulo igual a 60 km/h é equivalente a uma velocidade
com módulo igual a 17 m/s. Qual foi o erro percentual
cometido por ela nessa conversão de unidades?
Q2.12 um automóvel está se deslocando de
leste para oeste. Ele pode ler uma velocidade orientada
para oeste e ao mesmo tempo uma aceleração orientada
para leste? Em que circunstâncias?
Q2.3 O limite de velocidade nas estradas de alguns
países da Europa é de 110 km/h. Diga qual é o valor
desse limite em m/scom aproximação de três algarismos
significativos.
Q2.4 Em que condições uma velocidade média
pode ser igual a uma velocidade instantânea?
Q2.13 A caminhonete oficial da Figura 2.2
está em x1 = 277 m para t1 = 16.0 s e em x2 = l9 m para
t2 = 25.0 s.
(a) Desenhe os diferentes grálicos possíveis
para o movimento da caminhonete. As duas velocidades
medias vm durante os intervalos de tempo de t1 até t2
possuem o mesmo valor nos dois gráficos? Explique.
02.5 Para um determinado intervalo de tempo, o
deslocamento total é dado pelo produto da velocidade
media pelo intervalo de tempo. Essa afirmação continua
válida mesmo quando a velocidade não é constante.
Explique.
Q2.14 Em movimento com aceleração
constante, a velocidade de uma partícula e igual á
metade da soma da velocidade inicial com a velocidade
final. Isto é verdade quando a aceleração não é
constante? Explique.
Q2.6 Sob quais condições o módulo do velor
velocidade media e igual ao módulo da velocidade
escalar.
Q2.15 Você lança uma bola de beisebol
verticalmente para cima e ela atinge uma altura máxima
maior do que sua altura. O módulo da aceleração e
maior enquanto ela está sendo lançada ou logo depois
que ela deixa a sua mão? Explique.
QUESTÕES PARA DISCUSSÃO
Q2.7 Para lazer um mesmo percurso um carro de
potência menor levou o dobro do tempo de outro carro
com maior potência. Como estão relacionadas as
velocidades medias desses carros.
Q2.8 Um motorista em Massachusells foi
submetido a julgamento por excesso de velocidade. A
evidencia contra o motorista foi o depoimento de um
policial que notou que o carro do acusado estava
emparelhado com um secundo carro que o ultrapassou.
Segundo o policial, o segundo carro já havia
ultrapassado o limite de velocidade. O motorista
acusado se defendeu alegando que "o segundo carro me
ultrapassou, portanto eu não estava acelerando". O Juiz
deu a sentença contra o motorista, porque, pelas
palavras do Juiz, "se dois carros estão emparelhados,
ambos estavam acelerando". Se você fosse o advogado
de defesa do motorista acusado, como contestaria?
Q2.9 É possível ter deslocamento nulo e
velocidade media diferente de zero? E uma velocidade
instantânea? Ilustre suas respostas usando um gráfico
x-t.
Q2.10 Pode existir uma aceleração nula e uma
velocidade diferente de zero?' Ilustre suas respostas
usando um gráfico v-t.
Q2.16 Prove as seguintes afirmações:
(i) Desprezando os efeitos do ar, quando você
lança qualquer objeto verticalmente para cima, ele
possui a mesma velocidade em seu ponto de lançamento
tanto durante a ascensão quanto durante a queda.
(ii) O tempo total da Irajelória e igual ao dobro
do tempo que o ohjeto leva para atingirsua altura
máxima.
Q2.17 No Exemplo 2.7 substituindo y = -18.4
m na Equação (2.13) obtemos v = ± 24.2 m/s. A raiz
negativa é a velocidade para t = 4.00 s. Explique o
significado da raiz positiva.
Q2.18 A posição inicial e a velocidade inicial
de um veículo são conhecidas e faz-se um registro da
aceleração a cada instante. Pode a posição do veículo
depois de um certo tempo ser determinada a partir
destes dados? Caso seja possível, explique como isto
poderia ser feito.
23
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.



EXERCÍCIOS

SEÇÃO 2.2
DESLOCAMENTO.
TEMPO E VELOCIDADE MÉDIA
2.1 Um foguete transportando um satélite e acelerado
verticalmente a partir da superfície terrestre. Após l.15 s
de seu lançamento, o foguete atravessa o topo de sua
plataforma de lançamento a 63 m acima do solo. Depois
de 4.75 s adicionais ele se encontra a l .00 km acima do
solo. Calcule o modulo da velocidade média do foguete
para
(a) o trecho do voo correspodente ao intervalo
de 4,75 s;
(b) os primeiros 5 s do seu voo.
2.2 Em uma experiência, um pomho-correio
foi retirado de seu ninho, levado para um local a 5150
km do ninho e libertado. Ele retoma ao ninho depois de
13,5 dias. Tome a origem no ninho e estenda um eixo
+Ox ate o ponto onde ele foi libertado. Qual a
velocidade media do pomho-correio em m/s
(a) para o vôo de retorno ao ninho?
(b) para o trajeto todo. desde o momento em
que ele é retirado do ninho ate seu retorno?
2.3 Uma viagem de carro de San Diego a Los
Angeles dura 2 h e 20 min quando você dirige o carro
com uma velocidade media de 105 km/h. Em uma
sexta-feira na parte da tarde, contudo, o trânsito está
muito pesado e você percorre a mesma distância com
uma velocidade media de 70 km/h. Calcule o tempo que
você leva nesse percurso.
2.4 De um pilar até um poste. Começando em
um pilar, você corre 200 m de oeste para leste (o
sentido do eixo +Ox) com uma velocidade média de 5.0
m/s e a seguir corre 280 m de leste para oeste com uma
velocidade média de 4.0 m/s até um poste. Calcule
(a) sua velocidade escalar do pilar até o poste:
(b) o módulo do velor velocidade média do
pilar até o poste.
2.5 (a) Seu carro velho pode desenvolver uma
velocidade média de 8.0 m/s durante 60 s. a seguir
melhorar o desempenho e uma velocidade média de
20,0 m/s durante 60 s. Calcule sua velocidade média
para o intervalo total de 120 s.
(b) Suponha que a velocidade de 8.0 m/s seja
mantida durante um deslocamento de 240 m, seguido de
uma velocidade média de 20.0 m/s em outro
deslocamento de 240 m. Calcule a velocidade média
para o deslocamento total,
(c) Fim qual dos dois casos a velocidade
escalar do percurso total é igual à média das duas
velocidades escalares?
2.6 Um carro percorre um trecho retilíneo ao
longo de uma estrada. Sua distância a um sinal de
parada é uma função do tempo dada por:
x t
t2
t 3 , onde = l.50 m/s2 e
= 0.0500 m/s3 . Calcule a velocidade média do carro
para os seguintes intervalos de tempo:
(a) t = 0 até t = 2.00 s;
(b) t = 0 até t = 4.00 s;
(c) t = 2 s até t = 4.00 s.


SEÇÃO 2.3
VELOCIDADE INSTANTÂNEA
2.7 Um carro pára em um semáforo. A seguir ele
percorre um trecho retilíneo de modo que sua distância
ao sinal é dada por :
x t
b t 2 c t 3 , onde b = 2.40 m/s2 e c =
0.120 m/s3;
(a) Calcule a velocidade média do carro para o
intervalo de tempo t = 0 até t = 10.0 s.
(b) Calcule a velocidade instantânea do carro para
(i) t = 0
(ii) t = 5.0 s
(iii) t = 10,0 s
(c) Quanto tempo após partir do repouso o carro
retorna novamente ao repouso?
2.8 Uma professora de física sai de sua casa e se
dirige a pé para o campus. Depois de 5 min começa a
chover e ela retorna paracasa. Sua distância da casa em
função do tempo é indicada pelo gráfico da Figura 2.25.
Em qual dos pontos indicados sua velocidade e
(a) zero? (b) constante e positiva?
(c) constante e negativa? (d) crescente em módulo?
(e) decrescente em módulo?
FIGURA 1 - Problema 2.8
24
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
 SEÇÃO 24
 ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA
 ACELERAÇÃO MÉDIA
2.9 Em um teste de um novo modelo de automóvel
da empresa Motores Incríveis, o veloeímetro é calibrado
para ler m/s em vê de km/h. A série de medidas a seguir
foi registrada durante o teste ao longo de uma estrada
retilínea muito longa:
Tempo (s)
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Velocidade (m/s) 0 0 2 6 10 16 19 22 22
(a) Calcule a aceleração media durante cada
intervalo de 2.0 s. A aceleração é constante? Ela é
constante em algum trecho do teste?
(b) Faça um gráfico v-t dos dados tabelados usando
escalas de l cm = l s no eixo horizontal e de l cm = 1 s
no eixo vertical. Desenhe uma curva entre os pontos
piotados. Medindo a inclinação dessa curva, calcule a
aceleração instantânea para os tempos t = 9 s, t = 13 s e
t = 15 s.
2.10 A Figura 2.26 mostra a velocidade em função
do tempo de um carro movido a energia solar. O
motorista acelera a partir de um sinal de parada e se
desloca durante 20 s com velocidade constante de 60
km/h, e a seguir pisa no freio e pára 40 s após sua
partida do sinal. Calcule sua aceleração média para os
seguintes intervalos de tempo:
(a) t = 0 até t = 10 s;
(b) t = 30 s até t = 40 s;
(c) t = 10 s até t = 30 s;
(d) t = 0 até t = 40 s.
c (km/li)
(d) Qual é a aceleração instantânea a para t =
35 s?
(e) Faça um diagrama do movimento (como o
da Figura 2.
(f) mostrando a posição, a velocidade e a
aceleração do carro para os tempos t =5 s, t = 15 s, t
=25 s t = 35 s.
2.12 Um astronauta saiu da Estação Espacial
Internacional para testar um novo veículo espacial. Seu
companheiro permanece a bordo e registra as seguintes
variaçóes de velocidade, cada uma ocorrendo em
intervalos de 10 s. Determine o módulo, a direção eo
sentido da aceleração média cm cada intervalo.
Suponha que o sentido positivo seja da direita para a
esquerda,
(a) No início do intervalo o astronauta se move
para a direita ao longo do eixo +Ox com velocidade de
15,0 m/s e no final do intervalo ele se move para a
direita com velocidade de 5.0 m/s.
(b) No início do intervalo o astronauta se move
a 5.0 m/s para a esquerda e no final se move para a
esquerda com velocidade de 15.0 m/s.
(c) No início do intervalo ele se move para a
direita com velocidade de 15.0 m/s e no final se move
para a esquerda com velocidade de 15,0 m/s.
2.13 (a) Com base em sua experiência de
dirigir um automóvel, estime o módulo da aceleração
média de um carro quando pisa forte no freio em uma
pista de alta velocidade até uma parada repentina,
(b) Explique por que essa aceleração média
poderia ser considerada positiva ou negativa.
2.14 A velocidade de um carro em função do
tempo é dada por
v t
t2
Onde = 3.00 m/s e = 0.1 m/s3
(a) Calcule a aceleração média do carro para o
intervalo de tempo de t = 0 a t = 5,00 s.
(b) Calcule a aceleração instantânea para
(i) t = 0s; (ii) t = 5,00 s.
(c) Desenhe gráficos acurados v-t e a-t para o
movimento do carro entre t = 0 e t = 5,00 s.
FIGURA 2 - Exercícios 2.10 e 2.l l.
2.11 Tome como referência o Exercício 2. IO c
a Figura 2.26.
(a) Em qual intervalo de tempo a aceleração
instantânea a possui seu maior valor positivo?
(b) Em qual intervalo de tempo a aceleração
instantânea u possui seu maior valor negativo?
(c) Qual é a aceleração instantânea a para t =
20 s?
2.15 A Figura 3 mostra a coordenada de uma
aranha que se desloca lentamente ao longo do eixo 0x
(a) Faça um gráfico de sua velocidade e
aceleração em função do tempo,
(b) Faça um diagrama do movimento
mostrando a posição, a velocidade e a aceleração da
aranha para cinco tempos: t1 = 2,5 s, t2 = 10 s, t3 = 20 s,
t4 = 30 s e t5 = 37.5 s.
25
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
2.20 Um avião precisa de 280 m de pista para
atingir a velocidade necessária para decolagem. Se ele
parle do repouso, se move com aceleração constante e
leva 8.0 s no percurso, qual é sua velocidade no
momento da decolagem?
FIGURA 3 – Exercício 2.15.
x(t) (m)
Linha Parábola Linha
reta
reta
Parábola
0
Parábola
5
10 15
20 25 30 35
40 t(s)
2.16 Um microprocessador controla a posição
do pára-choque dianteiro de um carro usado em um
teste. A posição é dada pela equação
x t
2.17 m
4.80 m s 2 t 2
0.1m s 6 t 6
Determine:
(a) sua posição e aceleração para os instantes em que
o carro possui velocidade zero.
(b) Desenhe gráficos x-tl, v-t e a-t para o movimento
do pára-choque entre t =0 e t = 2.00 s.


SEÇAO 2.5
MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO
CONSTANTE
2.17 Um antílope que se move com aceleração
constante leva 7.00 s para percorrer uma distância de
70.0 m entre dois pontos. Ao passar pelo segundo
ponto, sua velocidade é de 15,0 m/s.
(a) Qual era sua velocidade quando passava pelo
primeiro ponto?
(b) Qual era sua aceleração?
2.18 Ao ser lançado pela catapulta da plataforma de
um porta-avióes. um caça a jato atinge a velocidade de
decolagem de 270 km/h em uma distância aproximada
de 90 m. Suponha aceleração constante,
(a) Calcule a aceleração do caça em m/s2.
(b) Calcule o tempo necessário para o caça atingir
essa velocidade de decolagem.
2.19 Airbag de Automóvel. O corpo humano pode
sobreviver a um trauma por acidente com aceleração
negativa (parada súbita) quando o módulo de aceleração
é menor do que 250 m/s2 (cerca de 25g'). Suponha que
você sofra um acidente de automóvel com velocidade
de 105 km/h e seja amortecido por um airbag que se
infla automaticamente. Qual deve ser a distância que o
airbag se deforma para que você consiga sobreviver?
2.21 Um carro está parado na rampa de acesso de
uma auto-cstrada. esperando uma diminuição do
tráfego. O motorista verifica que existe um espaço
vazio entre um caminhão com l8 rodas e uma
caminhonete e acelera seu carro para entrar na autoestrada. O carro parte do repouso, se move ao longo de
uma linha reta e atinge uma velocidade de 20 m/s no
final da rampa de 120 m de comprimento,
(a) Qual e a aceleração do carro?
(b) Quanto tempo ele leva para percorrer a rampa?
(c) O tráfego na auto-estrada se move com uma
velocidade constante de 20 m/s. Qual é o deslocamento
do tráfego enquanto o carro atravessa a rampa?
2.22 A Figura 4 foi desenhada para movimento
com aceleração constante com valores positivos de x0,
v0 e a. Refaça essas quatro figuras para os seguintes
casos:
(a) x0 < 0; v0 < 0 e a < 0.
(b) x0 > 0; v0 < 0 e a > 0.
(c) x0 > 0; v0 > 0 e a < 0.
FIGURA 4 – Exercício 2.22
26
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(b) Faça um diagrama do movimento
mostrando aposição, a velocidade e a aceleração do
carro.
2.25 O gráfico da Figura 5 mostra a velocidade
da motocicleta de um policial em função do tempo,
(a) Calcule a aceleração instantânea para t = 3
s, t = 1 s e t = l l s.
(b) Qual foi o deslocamento do policial nos 5 s
iniciais? E nos 9 s iniciais? E nos 13 s iniciais?
2.26 O gráfico da Figura 2.29 mostra a
aceleração de um modelo de locomotiva que se move
no eixo Ox. Faça um gráfico da velocidade e da posição
sabendo que x = 0 e v = O para t = 0.
FIGURA 5 – Exercício 2.25
2.23 No instante t = 0 um carro está se
movendo ao longo de uma auto-estrada no Estado de
São Paulo com uma velocidade constante de 30 m/s.
Esse movimento continua durante 20 s. A seguir, para
não atrapalhar o tráfego, o motorista resolve acelerar
com uma taxa constante, elevando a velocidade do
carro até 40 m/s. Q carro se move durante 10 s com esta
nova velocidade. Porem o motorista avista um policial
em uma motocicleta escondido atrás de uma árvore e
diminui sua velocidade com uma taxa constante de 4.0
m/s ale que a velocidade do carro se reduz ao limite
legal de 30 m/s. Ele então mantém essa velocidade e
acena para o policial quando passa por ele 5 s mais
tarde,
(a) Para o movimento do carro desde o instante
t = O até o momento em que ele cru/.a com o policial,
desenhe gráficos acurados x-t. v-t e a-t.
(b) Faça um diagrama do movimento
mostrando a posição, a velocidade e a aceleração do
carro.
2.24 Para t = 0 um carro pára em um semáforo.
Quando a luz fica verde, o carro começa a acelerar com
uma taxa constante. Elevando sua velocidade para 20
m/s, 8 s depois de a luz ficar verde, ele se move com
essa nova velocidade por uma distância de 60 m. A
seguir, o motorista avista uma luz vermelha no
cruzamento seguinte e começa a diminuir a velocidade
com uma taxa constante. O carro pára no sinal vermelho
a l80 m da posição para t = 0.
(a) Para o movimento do carro, desenhe
gráficos acurados de x-t, v-t e a-t.
2.27 Uma espaçonave se dirige em linha reta
para a Base Lunar I situada a uma distância de 384000
km da Terra. Suponha que ela acelere 20,0 m/s2 durante
os primeiros 15.0 minutos da viagem e a seguir viaje
com velocidade constante até os últimos 15.0 minutos,
quando acelera a -20,0 m/s2, atingindo o repouso
exalamente quando toca a Lua.
(a) Qual foi a velocidade máxima atingida?
(b) Qual foi a Iração do percurso total durante
o qual ela viajou com velocidade constante?
(c) Qual foi o tempo total da viagem?
2.28 Um trem de metro parte do repouso em
uma estação acelera com uma taxa constante de l .60
m/s2 durante 14.0 s. Ele viaja com velocidade constante
durante 70.0 s e reduz a velocidade com uma taxa
constante de 3,50 m/s2 até parar na estação seguinte.
Calcule a distância total percorrida.
2.29 Dois carros, A e R. se movem no eixo 0x.
O gráfico da figura 6 mostra as posições de A e B em
função do tempo.
27
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(a) Faça um diagrama do movimento
mostrando a posição, a velocidade e a aceleração do
carro para t =0, t = l s e t = 3s.
(b) Para que tempo(s) caso exista algum A e B
possuem a mesma posição?
(c) Faça um gráfico da velocidade contra o
tempo para A e B.
(d) Para que tempo(s), caso exista algum, A e B
possuem a mesma velocidade?
(e) Para que tempo(s), caso exista algum, o
carro B passa o carro A?
FIGURA 6 – Exercício 2.28
percorrida pela motocicleta ate que sua velocidade fosse
igual a do carro?


SEÇÃO 2.6
QUEDA LIVRE DE CORPOS
2.32 Se a resistência do ar sobre as gotas de
chuva pudesse sei desprezada poderíamos considerar
essas gotas objetos em queda livre,
(a) As nuvens que dão origem a chuvas estão
em alturas típicas de algumas centenas de metros acima
do solo. Estime a velocidade de unia gola de chuva ao
cair no solo se ela pudesse ser considerada um corpo em
queda livre. Forneça essa estimativa em m/s e km/h.
(b) Estime (pela sua experiência pessoal sobre
chuva) a velocidade real de unia gola de chuva ao cair
no solo.
(c) Com base nos resultados (a) e (b), verifique
se e uma boa aproximação desprezar a resistência do ar
sobre as gotas de chuva. Explique.
2.33 (a) Se uma pulga pode dar um salto e
atingir uma altura de 0.440 m. qual seria sua velocidade
inicial ao sair do solo?
(b) Durante quanto tempo ela permanece no
ar?
2.30 Quando uni sinal luminoso fica verde, um
carro que eslava parado começao movimento com
aceleração constante de 3.20 m/s . No mesmo instante,
uni caminhão que se desloca com velocidade constante
de 20,0 m/s ultrapassa o carro. ai y>ial a distância
percorrida a partir do sinal para qiiL' o carro ultrapasse
o caminhão?
(b) Qual é a velocidade do carro no momento
em que ultrapassa o caminhão?
(c) Faça um gráfico x-t dos movimentos desses
dois veículos. Considere x = 0 o ponto de interseção
inicial.
(d) Faça um gráfico v-t dos movimentos desses
dois veículos.
2.31 Um carro se move com velocidade
constante de módulo igual a vc . No momento em que o
carro passa por um policial numa motocicleta, a
motocicleta e acelerada a partir do repouso com uma
aceleração aM,
(a) Faça um gráfico x-t dos movimentos desses
dois veículos. Mostre que quando a motocicleta
ultrapassa o carro a velocidade da motocicleta e igual
ao dobro da velocidade do carro, qualquer que seja o
valor de aM.
(b) Seja a distância percorrida pela motocicleta
até alcançar o carro. Em lermos de d qual foi a distância
2.34 Descida na Lua. Um módulo explorador
da l.ua esta pousando na Base -lunar l. Ele desce
lentamente sob a ação dos retro-propulsores do motor
de descida. O motor se separa do modulo quando ele se
encontra a 5 m da superfície lunar e possui uma
velocidade para baixo igual a 0.8 m/s. Ao se separar do
motor, o modulo inicia uma queda livre. Qual é a
velocidade do modulo no instante em que ele toca a
superfície?
A aceleração da gravidade na Lua é igual a l.6
m/s2 .
2.35 Um teste simples para o tempo de
reaçao. Uma régua de medição e mantida verticalmente
acima de sua mão com a extremidade inferior entre o
polegar e o indicador. Ao ver a régua sendo largada,
você a segura com estes dois dedos. Seu tempo de
reaçao pode ser calculado pela distancia percorrida pela
régua medida diretameiile pela posição dos seus dedos
na escala da régua,
(a) Deduza uma relação para seu tempo de
reaçao em função da distância d.
(b) Calcule o tempo de reação supondo uma
distância medida igual a 17.0 cm.
2.36 Um tijolo e largado (velocidade inicial
nula) do alto de um edifício. Ele atinge o solo em 2.50
28
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
s. A resistência do ar pode ser desprezada, de modo que
o tijolo esta em queda livre,
(a) Qual e a altura do edifício?
(b) Qual e o modulo da velocidade quando ele
atinge o solo?
(c) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o
movimento do tijolo,
2.37 Maria lança seu anel verticalmente para
cima a partir do telhado de um edilício, a l2 m acima do
solo com umavelocidade inicial de 5.0 m/s. Despreze a
resistência do ar. Determine o modulo e o sentido
(a) da velocidade media do anel,
(b) da aceleração media do anel
(c) Calcule o tempo que o anel leva para
atingir o solo desde o momento em que ele foi lançado,
(d) Qual e a velocidade do anel quando ele
atinge o solo?
(e) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o
movimento do anel.
2.38 Um balonista de ar quente que se desloca
verticalmente para cima com velocidade constante de
modulo igual a 5.0 m/s deixa cair um saco de areia no
momento em que ele esta a uma distância de 40.0 m
acima do solo (Figura 7). Depois que ele e largado, o
saco de areia passa a se mover em queda livre,
(a) Calcule a posição e a velocidade do saco de
areia 0,20 s e l ,00 s depois que ele é largado.
(b) Calcule o tempo que o saco de areia leva
para atingir o solo desde o momento em que ele foi
lançado,
(c) Qual e a velocidade do saco de areia
quando ele atinge o solo?
(d) Qual e a altura máxima em relação ao solo
atingida pelo saco de areia?
(e) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o
movimento do saco de areia.
FIGURA 7 – Exercício 2.34 e 2.38
2.39 Um estudante no topo de uni edifício joga
uma bola com água verticalmente para baixo. A bola
deixa a mão do estudante com uma velocidade de 6,0
m/s. A resistência do ar é ignorada, de modo que a bola
pode ser considerada em queda livre após o lançamento,
(a) Calcule sua velocidade depois de 2.0 s de
queda.
(b) Qual a distância percorrida nesses 2.0 s?
(c) Qual o modulo da velocidade quando a bola
caiu 10,0 m?
(d) Faça gráficos x-t, v-t e a–t para o
movimento.
2.40 Um ovo e atirado verticalmente de baixo
para cima de um ponto próximo da cornija na
extremidade superior de um edifício alto. Ele passa
rente da cornija em seu movimento para baixo,
atingindo um ponto a 50.0 m abaixo da cornija 5.0 s
após ele abandonar a mão do lançador. Despreze a
resistência do ar.
(a) Calcule a velocidade inicial do ovo.
(b) Qual a altura máxima atingida acima do
ponto inicial do lançamento?
(c) Qual o módulo da velocidade nessa altura
máxima?
(d) Qual o módulo e o sentido da aceleração
nessa altura máxima?
(e) Faça gráficos de x-t, v-t e a–t para o
movimento do ovo.
2.41 O Sonic Wind No 2 é uma espécie de trenó
movido por um foguete, usado para investigar os eleitos
fisiológicos de acelerações elevadas. Fie se desloca em
uma pista retilínca com 1070 m de comprimento.
Partindo do repouso pode atingir uma velocidade de
224 m/s em 0.900 s.
(a) Calcule a aceleração em m/s2 supondo que
ela seja constante,
(b) Qual a razão entre essa aceleração e a
aceleração de um corpo em queda livre ?
(c) Qual a distância percorrida cm 0.900 s?
(d) Um artigo publicado por uma revista
afirma que no final de uma corrida a velocidade desse
trenó diminui de 2S3 km/h ate /ero em 1.40 s e que
durante este intervalo de tempo a aceleração e maior
que 40 g. Esses valores são coerentes?
2.42 Uma pedra grande e expelida
verticalmente de baixo para cima por um vulcão com
velocidade inicial de 40.0 m/s Despreze a resistência do
ar.
(a) Qual e o tempo que a pedra leva, após o
lançamento, para que sua velocidade seja de 20,0 m/s
de baixo para cima?
(b) Qual o tempo que a pedra leva após o
lançamento, para que sua velocidade seja de 20,0 m/s
de cima para baixo?
(c) Quando o deslocamento da pedra e igual a
zero?
(d) Quando a velocidade da pedra e igual a
zero?
29
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(e) Qual o módulo e o sentido da aceleração
enquanto a pedra
(i) está se movendo de baixo para cima?
(ii) esta se movendo de cima para baixo?
(iii) está no ponto mais elevado da sua
trajetória?
(f) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o
movimento.
que sua velocidade escalar media no percurso total de
30 km seja de
(a) 6 km/h?
(b) 18 km/h?
(c) Dada a referida velocidade média para os
primeiros 15 km. você poderia ou não atingir uma
velocidade escalar media de 24 km/h no percurso total
de 30 km? Explique.
2.43 Suponha que a aceleração da gravidade
seja de apenas 0.98 m/s2 em vez de 9.8 m/s2 , porém a
velocidade inicial para você pular ou lançar uma bola
continua sendo a mesma,
(a) Calcule a altura que você poderia atingir
caso desse um salto para cima, sabendo que a altura
atingida pelo salto com g = 9.81 m/s2 e igual a 0.75 m.
(b) Ate que altura você poderia lançar uma
bola, caso você lançasse a mesma bola ate uma altura
de 18 m supondo g = 9.81 m/s2?
(c) Supondo que você possa pular com
segurança de uma janela para uma calçada situada a
uma altura de 2.0 m da janela, considerando g = 9.8
m/s2 . calcule a altura máxima da janela, considerando o
valor reduzido da aceleração da gravidade.
2.47 A posição de uma partícula entre t = 0 e t
= 2,0 s é dada por:


SECAO 2.7
VELOCIDADE E POSIÇÃO POR
INTEGRAÇÃO
2.44 A aceleração de um ónihus e dada por
a(t )
t onde = l .2 m/s3 .
(a) Se a velocidade do ônibus para t = l .0 s é igual
a 5,0 m/s. qual e sua velocidade para
(a) t = 2.0 s?
(b) Se a posição do ônibus para t = l .0 s é igual a
6,0 m, qual sua posição para t = 2.0 s?
(c) Faça grálicos x-t, v-te a-t para esse movimento.
2.45 A aceleração de uma motocicleta e dada por
a(t) A t B t 2 ,
onde A = l,5 m/s3 e B = 0.120
m/s4 A motocicleta está em repouso na origem no
instante t = 0.
(a) Calcule sua velocidade e posição em função do
tempo,
(b) Calcule a velocidade máxima que ela pode
atingir.

PROBLEMAS
2.46 Em uma competição de bicicletas com
percurso de 30 km, você percorre os primeiros 15 km
com uma velocidade media de 12 km/h. Qual deve ser
sua velocidade escalar media nos 15 km restantes para
x t
3 t 3 10 t 2 9 t SI
(a) Faça gráFicos de x-t, v-t e a-t para essa
partícula,
(b) Para que tempo entre t = 0 s e t = 2.00 s a
partícula está em repouso? O resultado obtido por você
estado acordo com o gráfico da parte (a)?
(c) Para qual tempo calculado na parte (b) a
aceleração da partícula e positiva ou negativa?
Mostre que em cada caso podemos obter a
mesma resposta pelo grafico v-t ou pela função a(t).
(d) Para que tempo(s) entre t = 0 e t = 2.00 s a
velocidade da partícula não varia instantaneamente?
Localize esse ponto nos grálicos a-t e v-t da parte (a).
(e) Qual a maior distancia entre a partícula e a
origem (x = 0) no intervalo entre t = 0 e t = 2.00 s?
(f) Para que tempo(s) entre t = 0 e t = 2.00 s a
partícula está diminuindo de velocidade com a maior
taxa? Para que tempo(s) entre t = 0 e t = 2.00 s a
partícula está aumentando a velocidade com a maior
taxa? Localize esses pontos nos grálicos v-t e a-t da
parte (a).
2.48 Em uma gincana, cada concorrente corre
25.0 m transportando um ovo equilibrado em uma
colher, dá a volta e retorna ao ponto de partida. Elaine
corre os primeiros 25.0 m em 20,0 s. Quando volta, ela
se sente mais segura e leva apenas 15.0 s. Qual o
módulo do vetor velocidade media para
(a) os 25.0 m?
(b) a viagem de volta?
(c) Qual o módulo do vetor velocidade média
no percurso lodo quando ela volta ao ponto de partida?
(d) Qual e a velocidade escalar média no
percurso lodo quando ela volta ao ponto de partida?
2.49 Daniel dirige na Estrada I-SO em Seward.
no Estado de Nebraska e segue por um trecho retilíneo
de leste para oeste com uma velocidade média com
módulo igual a 72 km/h. Depois de percorrer 76 km. ele
atinge a saída de Aurora. Percebendo que ele foi longe
demais, retorna 34 km de oeste para leste até a saída
paraYork com uma velocidade média com módulo igual
a 72 km/h. Para a viagem total desde Seward até a saída
de York, qual é:
30
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(a) sua velocidade escalar média?
(b) o modulo do vetor velocidade média?
2.50 Tráfego em uma auto-estrada. De
acordo com um artigo (da revista Scientific American
(maio de 1990) circulam normalmente em uma autoestrada americana cerca de 2400 veículos por hora em
cada pista com velocidade de 96 km/h para um tráfego
considerado regular. Depois desse limite o fluxo do
tráfego começa a ficar "turbulento" (com aceleraçóes e
paradas).
(a) Se cada veículo possui comprimento
aproximadamente igual a 4.6 m. qual é o espaçamento
médio entre os veículos para a densidade do tráfego
mencionado?
(b) Um sistema automático para evitar colisões
que opera com sinais de radar ou sonar. e que pode
acelerar ou parar um veículo quando necessário, poderia
reduzir sensivelmente a distância entre os veículos.
Supondo uma distância de 9,2 m (igual a dois
comprimentos de carro), quantos veículos por hora
poderiam circular em cada pista com velocidade de 96
km/h?
FIGURA 8 - Problema 2.49.
2.51 Um velocista pode acelerar ate sua
velocidade máxima em 4.0 s. Ele então mantém esta
velocidade durante o trajeto restante em uma
competição de 100 m, terminando a corrida com um
tempo total de 9, l s.
(a) Qual a aceleração media do velocista
durante os 4,0 s iniciais?
(b) Qual sua aceleração média durante os
últimos 5,1 s?
(c) Qual sua aceleração média durante a
corrida toda?
(d) Explique por que sua resposta do item (c)
não é a média das respostas (a) e (b).
2.52 Um trenó esta em repouso no alto de uma
montanha e escorrega para baixo com aceleração
constante. Em um dado instante está a 14,4 m de
distancia do topo; 2,00 s mais tarde está a 25,6 m de
distância do topo; 2.00 s mais tarde está a 40,0 m de
distancia do topo e 2,00 s mais tarde esta a 57,6 m de
distância do topo.
(a) Qual o módulo da velocidade média do
trenó durante cada um dos intervalos de 2,0 s depois de
passar pelo ponto a 14.4 m de distância do topo?
(b) Qual a aceleração do trenó?
(c) Qual a velocidade escalar do trenó quando
ele passa pelo ponto a 14,4 m de distancia do topo?
(d) Quanto tempo ele leva para ir do topo até
o ponto a 14.4 m de distância do topo?
(e) Qual a distância percorrida pelo trenó
durante o primeiro segundo depois de passar pelo ponto
a 14,4 m de distância do topo?
2.53 Um carro de 3.5 m de comprimento se
desloca com velocidade constante de 20 m/s
aproximando-se de uni cru/amenio (Figura 9). A largura
do cruzamento é de 20 m. A luz do sinal fica amarela
quando a frente do carro esta a 50 m do início do
cruzamento. Quando o motorista pisa no freio, o carro
diminui de velocidade com uma taxa igual a -3,8 m/s2.
Se em vêz de pisar no freio o motorista pisar no
acelerador, o carro aumenta de velocidade com uma
taxa igual a 2.3 m/s2 . A luz fica amarela durante 3,0 s.
Despreze o tempo de reação do motorista. Para evitar
que o carro fique no espaço do cruzamento, o motorista
deve pisar no freio ou no acelerador?
FIGURA 8 - Problema 2.53.
2.54 O maquinista de um trem de passageiros
que viaja com velocidade v = 25.0 m/s avista um trem
de carga cuja traseira se encontra a 200,0 m de distância
da frente do trem de passageiros (Figura 9). O trem de
carga se desloca no mesmo sentido do trem de
passageiros com velocidade v = 15,0 m/s. O maquinista
imediatamente aciona o freio, produzindo uma
aceleração constante igual a -0.100 m/s2 , enquanto o
trem de carga continua com a mesma velocidade.
Considere t = 0 como o local onde se encontra a frente
do trem de passageiros quando o freio é acionado.
(a) As vacas das vizinhanças assistirão a uma
colisão?
(b) Caso a resposta anterior seja positiva, em
que ponto ocorrera a colisão?
31
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(c) Faça um gráfico simples mostrando a
posição da frente do trem de passageiros e a traseira do
trem de carga.
FIGURA 10 - Problema 2.56.
32
FIGURA 9 - Problema 2.54.
2.55 Uma barala grande pode desenvolver uma
velocidade igual a 1,50 m/s em intervalos de tempo
curtos. Suponha que ao ligar lâmpada em um motel
você aviste uma barata que se move com velocidade de
1.50 m/s na mesma direção e sentido que você. Se você
está a 0,90 m atras da barata com velocidade de 0.8 m/s,
qual deve ser sua aceleração mínima para que você
alcance a barata antes que ela se esconda embaixo de
um móvel situado a 1,20 m da posição inicial dela?
2.56 Considere a situação descrita no Exemplo
2.5. O exemplo é ligeiramente irreal, porque se o
policial está acelerado ele deve ultrapassar o motorista.
Em uma perseguição real. ele deve ultrapassar o
motorista e depois diminuir a velocidade para ficar com
a mesma velocidade do motorista. Suponha que o
policial do Exemplo 2.5 acelere sua motocicleta a partir
do repouso com aceleração de 2.5 m/s2 ate que sua
velocidade seja de 20 m/s. Ele diminui sua velocidade
com uma taxa constante ale se emparelhar com o carro
para x = 360 m deslocando-se com a mesma velocidade
do carro de 15.0 m/s.
(a) Qual o tempo necessário para o policial se
emparelhar com o carro?
(b) Qual o tempo no qual o policial deixa de
acelere e passa a diminuir de velocidade? Nesse
instante, qual a distância entre o policial e o sinal? Qual
a distância entre ele e o carro nesse instante?
(c) Encontre a aceleração do policial quando
sua velocidade diminui.
(d) Desenhe um diagrama x-t para os dois
veículos.
(e) Desenhe um diagrama v-t para os dois
veículos.
2.57 Um automóvel e um caminhão partem do
repouso no mesmo instante, estando o automóvel uma
certa distância atrás do caminhão. O caminhão possui
aceleração constante de 2.10 m/s e o automóvel tem
aceleração de 3.40 m/s . O automóvel ultrapassa o
caminhão depois que o caminhão se deslocou 40,0 m.
(a) Qual o tempo necessário para que o
automóvel ultrapasse o caminhão?
(b) Qual era a distância inicial entre o
automóvel e o caminhão?
(c) Qual a velocidade desses veículos quando
eles estão lado a lado?
(d) Em um único diagrama, desenhe a posição
de cada veículo em função do tempo. Considere x = 0
como a posição inicial do caminhão.
2.58 Dois motoristas malucos resolvem dirigir
uni de encontro ao outro. No instante t = 0 a distância
entre os dois carros é D e o carro l esta em repouso e o
carro 2 se move da direita para a esquerda com
velocidade v0. O carro l começa a acelerar a partir de t =
0 com aceleração constante a. O carro 2 continua a se
mover com velocidade constante,
(a) Em que instante ocorrerá a colisão?
(b) Ache a velocidade do carro l
imediatamente antes de colidir com o carro 2.
(c) Faça diagramas x-t e v-t para o carro l e
para o carro 2. Desenhe curvas para cada veículo
usando o mesmo eixo.
2.59 Em seu Mustang. José contorna uma
curva e atinge uma estrada retilínea no campo enquanto
se desloca a 20 m/s e avista um trator que espalha
adubo bloqueando completamentc a pista a uma
distância de 37 m a sua frente. Surpreso, ele pisa no
freio depois de 0.80 s de tempo de reação, conseguindo
parar bem próximo do tralor. Considerando o mesmo
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
tempo de reação e a mesma aceleração, se ele estivesse
a 25.0 m/s em vez de 20 m/s.
(a) qual seria sua velocidade ao colidir com o
trator?
(b) quanto tempo de vida ele teria desde o
momento em que viu o trator ate n instante da colisão?
2.60 Um carro da polícia se desloca em linha
rela com velocidade constante vp. Um caminhão que se
move no mesmo sentido com velocidade 3vp/2
ultrapassa o carro. A motorista que dirige o caminhão
verifica que está acelerando e imediatamente começa a
diminuir sua velocidade com uma taxa constante.
Contudo, ela estava em um dia de sorte e o policial
(ainda movendo-se com a mesma velocidade) passa
pelo caminhão sem aplicar-lhe a multa,
(a) Mostre que a velocidade do caminhão no
instante em que o carro da polícia passa por ele não
depende do módulo da aceleração do caminhão no
momento em que ele começa a diminuir sua velocidade
e calcule o valor dessa velocidade,
(b) Faça um gráfico x-t para os dois veículos.
2.61 O motorista de um carro deseja passar um
caminhão que se desloca com velocidade constante de
20.0 m/s. Inicialmente o carro também se desloca com
velocidade de 20.0 m/s e seu pára-choque dianteiro esta
a 24.0 m alias do para-choque traseiro do caminhão. Ele
acelera com taxa constante de 0.60 m/s2 , a seguir volta
para a pista do caminhão quando a traseira do carro esta
a 26,0 m da frente do caminhão. Ele possui
comprimento de 4,5 m e o comprimento do caminhão e
igual a 21.0 m.
(a) Qual o tempo necessário para o carro
ultrapassar o caminhão?
(b) Qual a distância percorrida pelo carro nesse
intervalo de tempo?
(c) Qual e a velocidade fina] do carro?
professor de física, que possui l.80 m de altura, está
caminhando próximo do edifício com uma velocidade
constante de l.2 m/s. Se você deseja jogar um ovo na
cabeça dele, em que ponto ele deve estar quando você
largar o ovo? Suponha que o ovo esteja em queda livre.
2.65 Um estudante de física com bastante
tempo livre deixa cair uma melancia do alto do telhado
de um edifício. Ele escuta o barulho da melancia ao se
espatifar 2,50 s depois do lançamento. Qual a altura do
edifício? A velocidade do som no ar e igual a 340 m/s.
Despreze a resistência do ar.
FIGURA 11 - Problema 2.64.
2.66 Estime a velocidade máxima e o módulo
da aceleração de um elevador. Você precisa usar suas
observações sobre o tempo que o elevador leva para ir
de um andar para outro, a distância vertical aproximada
de um andar para outro e a distância percorrida quando
o elevador acelera ate sua velocidade máxima ou
quando diminui de velocidade ate parar.
2.62 A velocidade de um objelo e dada por
v t
t2
Onde = 4,0 m/s e = 2.0 m/s3 .
Para t = 0, o objeto está em x = 0.
(a) Calcule a posição e a aceleração do objeto
em função do tempo.
(b) Qual a distância entre o ohjeto e a origem?
2.63 A aceleração de uma partícula e dada por:
a t
2 3 t SI
(a) Calcule a velocidade inicial de modo que a
partícula tenha a mesma coordenada x para t = 0 s.
(b) Qual seria sua velocidade para t = 4.0 s?
2.64 Você está sobre o telhado do edifício de
um físico, 46 m acima do solo (Figura 11). Seu
2.67 Os visitantes de um parque de diversões
observam uma mergulhadora saltar de uma plataforma
situada a uma altura de 21.3 m de um pequeno lago. De
acordo com o apresentador, a mergulhadora entra na
água com velocidade de 25 m/s. Despreze a resistência
do ar.
(a) A aFirmação do anúncio está correia?
(b) A velocidade de 25 m/s poderia ser atingida
caso a mergulhadora saltasse diretamcnte para cima
sobre uma prancha de modo que abandonasse a prancha
no momento cm que ela se abaixa? Em caso afirmativo,
qual deveria ser sua velocidade para cima? Essa
velocidade inicial seria Fisicamente atingível?
2.68 Um vaso de flores cai de um peitoril de
uma |anela e passa pela janela de baixo. Despreze a
33
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
resistência do ar. Ele leva 0.420 s para passar por essa
janela. cuja altura e igual a l ,90 m. Qual é a distância
entre o topo dessa janela e o peitoril de onde o vaso
caiu?
2.69 Uma bola de futebol e chutada
verticalmente de baixo para cima e um estudante que
está olhando para fora de uma janela a vê subir e passar
por ele com velocidade de 5.00 m/s. A janela está a uma
altura de 12.0 m acima do solo. Despreze a resistência
do ar.
(a) Qual e a altura máxima atingida pela bola
em relação ao solo?
(b) Qual e o tempo que a bola leva para ir do
solo ate a altura máxima?
2.70 Um modelo de foguete possui uma
aceleração constante de baixo para cima igual a 40.0
m/s2 enquanto seu motor está funcionando. O foguete e
lançado verticalmente e o motor funciona durante 2.50 s
ale o combustível terminar. Depois que o motor pára de
funcionar, o foguete está em queda livre. O movimento
do foguete e puramente na vertical:
(a) Faça diagramas de a-t, v-t e x-t para o
foguete
(b) Qual a altura máxima atingida pelo
foguete?
(c) Qual a velocidade do foguete
imediatamente antes de ele se chocar com o solo?
(d) O tempo total de vôo e igual ao dobro do
tempo que o foguete leva para atingir a altura máxima?
Explique.
2.71 Sérgio arremessa uma eslera de chumbo
de 7 kg de baixo para cima. Aplicando-lhe um impulso
que a acelera a partir do repouso ale 45.0 m/s para um
deslocamento vertical de 64.0 cm. Ela sai de sua mão a
2.20 m acima do solo. Despreze a resistência do ar.
(a) Qual a velocidade da esfera imediatamente
apôs sair da sua mão?
(b) Qual a altura máxima atingida pela esfera?
Qual o tempo que ele dispõe para sair da vertical antes
que a esfera volte até a altura da sua cabeça, situada a
1.83 m acima do solo?
2.72 Desejando testar a lei da gravidade, um
estudante doido pula de um arranha-céu com altura de
l80 m com um cronômetro na mão iniciando sua queda
livre (com velocidade inicial nula). Cinco segundos
mais tarde, o Super-Homem entra em cena e mergulha
do alto do edifício para salvá-lo.
(a) O Super-Homem dá um impulso com
velocidade v0 de cima para baixo com suas pernas de
aço. A seguir ele cai com uma aceleração igual á de
qualquer corpo em queda livre. Qual deve ser o valor de
v0 para que o Super-Homem possa segurar o estudante
imediatamente antes de ele se chocar com o solo?
(b) Usando um mesmo gráfico desenhe a
posição do Super-Homem e do estudante em função do
tempo. Considere a velocidade inicial do Super-Homem
calculada no item (a), (c) Quando a altura do arranhacéu for menor do que um certo limite, nem mesmo o
Super-Homem seria capaz, de salvar o estudante. Qual é
essa altura mínima?
2.73 Outro estudante doido pula da Torre CN
em Toronto, que possui uma altura de 553 m. iniciando
sua queda livre. Sua velocidade inicial é igual a zero.
Cinco segundos mais tarde, o Homem-Foguete entra em
cena e mergulha do alto do edifício para salvá-lo. O
Homem-Foguete parte com velocidade v0 de cima para
baixo. A fim de suavizar a queda Final, ele segura o
estudante a uma certa altura do solo e diminui a
velocidade até atingir o solo com velocidade nula. A
aceleração para cima necessária para isso é obtida por
um dispositivo a jato transportado pelo HomemFoguete, o qual e acionado no momento em que ele
segura o estudante. Para que o percurso seja confortável
para o estudante, o modulo da aceleração não deve ser
maior do que 5g.
(a) Qual é a altura mínima acima do solo onde
o Homem-Foguete segura o estudante?
(b) Qual deve ser o valor de v0 para que o ele
possa segurar o estudante na altura mínima calculada
em (a)?
(c) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o HomemFoguete e para o estudante. Para cada gráfico, desenhe
as curvas para o Homem-Foguete e para o estudante
usando os mesmos eixos.
2.74 Uma bola é lançada do solo diretamente
de baixo para cima com velocidade v0. No mesmo
instante, outra bola é largada do repouso a uma altura H
diretamente acima do ponto onde a primeira bola foi
lançada para cima. Despre/e a resistência do ar.
(a) Calcule o instante em que as duas bolas
colidem.
(b) Ache o valor de H em lermos de v0 de
modo que no momento da colisão a primeira bola atinja
sua altura máxima.
2.75 Dois carros, A e B se deslocam ao longo
de uma linha reta. A distancia de A ao ponto inicial é
dada em função do tempo por:
xA t
t 2 SI
t
Onde = 2,60 m/s e = 1,20 m/s2 . A distância de B
ao ponto inicial é dada em funçáo do tempo por:
xB t
onde =2.80 m/s2 e
t2
t 3 SI
= 0.20 m/s3.
34
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(a) Qual carro está na frente logo que eles
saem do ponto inicial?
(b) Em que instante(s) os carros estão no
mesmo ponto?
(c) Em que inslante(s) a distância entre os
carros A e B não aumenta nem diminui?
(d) Em que instante(s) os carros A e B possuem
a mesma aceleração?
2.76 A queda da maça de uma macieira pode
ser considerada uma queda livre. A maçã está
inicialmente a uma altura H acima do topo de um
gramado espesso, o qual e constituído por camadas de
grama de espessura h. Quando a maçã penetra na
grama, ela diminui sua velocidade com uma taxa
constante e atinge o solo com velocidade igual a zero.
(a) Ache a velocidade da maça imediatamente
antes de ela penetrar na grama,
(b) Ache a aceleração da maçã enquanto ela
penetra na grama,
(c) Faça gráficos x-t, v-t e a-t para o
movimento da maçã.

PROBLEMAS DESAFIADORES
2.77 Uma estudante está se deslocando com sua
velocidade máxima de 5,0 m/s para pegar um ônibus
parado. Quando a estudante está a uma distancia de
40,0 m do ônihus, ele começa ase mover com
aceleração constante igual a 0.170 m/s .
(a) Durante quanto tempo e qual é a distância
percorrida para que a estudante alcance o ônibus?
(b) Quando a estudante alcança o ônihus, qual é
a velocidade do ônibus?
(c) Faça um gráfico de x-t para a estudante e
para o ônibus. Considere v = 0 como a posição inicial
da estudante.
(d) As equações usadas para calcular o tempo
na parte (a) possuem uma segunda solução que
corresponde a um tempo posterior para o qual a
estudante e o ônibus estão na mesma posição caso
continuassem com seus movimentos especificados.
Explique o significado desta segunda solução. Qual a
velocidade do ônihus neste ponto?
(e) Caso sua velocidade máxima fosse igual a
3.5 m/s ela poderia alcançar o ônihus?
(f) Qual seria sua velocidade inicial para que
ela pudesse alcançar o ônibus? Neste caso, quanto
tempo e qual seria a distância percorrida para que a
estudante pudesse alcançar o ônihus?
2.78 Estando inicialmente agachado, um atleta
dá um salto vertical para atingir a altura máxima
possível. Qs melhores atletas permanecem cerca de 1,0
s no ar (o "tempo de suspensão"no ar). Considere o
atleta como uma partícula e denomine de yM, sua altura
máxima acima do solo. Despreze a resistência do ar.
Para explicar por que ele parece estar suspenso no ar.
calcule a razão entre o tempo que ele leva para atingir a
altura yM/2 e o tempo que ele leva para atingir a altura
y M.
2.79 Uma bola é atirada de baixo para cima do
canto superior do telhado de um edifício. Uma segunda
bola é largada do mesmo ponto 1.00 s mais tarde.
Despre/e a resistência do ar.
(a) Sabendo que a altura do edifício e igual a
20.0 m, qual deve ser a velocidade inicial da primeira
bola para que ambas atinjam o solo no mesmo instante?
Em um mesmo grálico, desenhe a posição de cada bola
em função do tempo medido a partir do lançamento da
primeira bola. Considere a mesma situação, mas agora
suponha que seja conhecida a velocidade inicial v0 da
primeira bola e que a altura h do edifício seja uma
incógnita.
(b) Qual deve ser a altura do edifício para que
ambas atinjam o solo no mesmo instante para os
seguintes valores de v0,:(i) 6,0 m/s; (ii) 9.5 m/s?
(c) Quando v0 for superior a um certo valor
máximo vM não existirá nenhum valor de h que
satisfaça a condição de as bolas atingirem o solo no
mesmo instante. O valor vM, possui uma interpretação
física simples. Qual é ela?
(d) Quando v0 for inferior a um certo valor
mínimo vM não existirá nenhum valor de h que
satisfaça a condição de as bolas atingirem o solo no
mesmo instante. O valor vmin também possui uma
interpretação ftísica simples. Qual é ela?
2.80 Um excursionista atento vê uma pedra
cair do alto de um morro vizinho e nota que ela leva
l,30 s para cair a última terça parte da sua trajetória até
o solo. Despreze a resistência do ar.
(a) Qual ê a altura do morro em metros?
(b) Se na parle (a) você obtiver duas soluções
de uma equação do segundo grau e usar apenas uma na
resposta, o que representará a outra solução?
35
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.

QUESTÕES PARA DISCUSSÃO
03.1 Um pêndulo simples (um corpo oscilando
na extremidade de um fio descreve um arco de círculo
em cada oscilação. Qual é adireção e o sentido da
aceleração nas extremidades da oscilação? E no ponto
médio? Explique como você obteve cada resposta.
relativamente pequena, de modo que o dardo já tenha
ultrapassado a altura máxima de sua trajetória e esteja
descendo quando ele atinge o macaco (que ainda
está no ar quando isso ocorre). No instante em que o
dardo estava na altura máxima, a altura do macaco em
relação ao solo era a mesma, maior ou menor do que
essa altura máxima? Explique sua resposta com um
diagrama.
03.2 Refazer a Figura 3.9a supondo a
antiparalelo v . A partícula se move em linha reta? O
que ocorre com a velocidade escalar?
36
03.3 Desprezando a resistência do ar, um projétil
se move em uma trajetória parabólica. Existe algum
ponto em que a é paralelo a v ? E perpendicular a v ?
Explique.
03.4 Quando um rifle é disparado para um alvo
distante a direção do cano não coincide com a do alvo.
Por que não coincide? O ângulo da correção depende da
distância ao alvo?
03.5 No mesmo instante em que a bala sai
horizontalmente do cano de uma arma, você larga um
corpo da mesma altura do cano. Desprezando a
resistência do ar. qual dos dois chegará primeiro ao
solo? Explique.
03.6 Um pacote é largado de um avião que voa
em uma mesma altitude com velocidade constante.
Desprezando a resistência do ar, qual seria a trajelória
do pacote observada pelo piloto? E a trajetória
observada por uma pessoa no solo?
03.7 Desenhe os seis gráficos para os
componentes x e y da posição, da velocidade e da
aceleração em função do tempo para movimento de um
projêtil com x0 = y0 = 0 e 0 < 0 < 900.
03.8 Supondo y0 = 0 e 0 negativo, y nunca
pode ser positivo para um projétil. Contudo, a expressão
de h encontrada no Exemplo 3.9 parece que fornece
uma altura máxima positiva para 0,negativo. Explique
essa aparente contradição.
03.9 Supondo que uma rã possa pular sempre
com a mesma velocidade inicial em qualquer direçâo
que ela pule (para a frente ou diretamente de baixo para
cima), como a altura máxima que ela pode atingir se
relaciona com o alcance horizontal máximo
Rmax
v02
g
03.10 Suponha que o dardo tranquilizante da
Figura 3.21 seja atirado com uma velocidade v0
Q3.11 Em um movimento circular uniforme,
qual é a velocidade média e a aceleração média para
uma revolução? Explique.
Q3.12 Em um movimento circular uniforme,
como varia a aceleração quando a velocidade cresce de
um fator igual a 3? Quando o raio decresce de um fator
igual a 2?
Q3.13 Em um movimento circular uniforme, a
aceleração é perpendicular à velocidade em cada
instante, embora ambas mudem de direção
continuamente. O movimento circular uniforme é o
único movimento que goza dessa propriedade ou existe
algum outro?
Q3.14 As gotas da chuva vistas através do
vidro lateral de um carro em movimento caem em uma
direçâo diagonal. Por quê? A explicação é a mesma ou
diferente para a diagonal vista através do pára-brisa?
Q3.15 No caso de uma chuva forte, o que
determina a melhor posição do guarda-chuva?
Q3.16 Você se encontra na margem oeste de
um rio cujas águas se escoam do sul para o norte com
velocidade de 1,2 m/s. Sua velocidade de natação em
relação à água é igual a 1,5 m/s e o no possui 60 m de
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
largura. Qual é a trajetória em relação ao solo para você
atravessar o rio no menor intervalo de tempo possível?
Explique seu raciocínio.




EXERCÍCIOS
SEÇÃO 3.2
VETOR POSIÇÃO
VETOR VELOCIDADE
37
3.1 Um esquilo possui coordenadas x e y (l. l m e
3.4 m) para t1 = 0 e coordenadas (5.3 m e -0,5 m) para t2
= 3.0 s. Para esse intervalo de tempo, calcule
(a) os componentes da velocidade média;
(b) o módulo c direçâo da velocidade média.
3.2 Um rinoceronte está na origem do sistema de
coordenadas para t1 = 0. Para o intervalo de tempo
entre t1 = 0 e t2 = 12.0 s, sua velocidade média possui
componente vx = -3.8 m/s e componente vy = 4.9 m/s.
Para t2 = 12,0 s:
(a) quais são as coordenadas x e y do
rinoceronte?
(b) qual é a distância entre a origem e o
rinoceronte?
3.3 Um projelista de páginas da Internet cria uma
animação naqual um ponto da tela do computador
possui posição r
iˆ 5 t ˆj (SI).
4 2.5 t 2
(a) Ache o módulo, a direção e o sentido da
velocidade média do ponto para o intervalo entre t0 = 0
e t = 2,0 s.
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido da
velocidade instantânea para t0 = 0 e t1 = 2,0 s.
(c) Faça um desenho da trajetória do ponto no
intervalo t0 = 0 e t1 = 2,0 s e mostre as velocidades
calculadas em (c).
3.4 Se r b t iˆ c t ˆj onde b e c são
constantes positivas, quando o vetor velocidade faz um
ângulo de 45.00 com o eixo Ox ou com o eixo Oy?
2
3
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.


SEÇÃO 3.3
VETOR ACELERAÇÃO
3.6 A velocidade de um cachorro correndo em
um campo aberto possui componentes vx = 2,6 m/s e vy
= -1.8 m/s para t = 10.0 s. Para o um intervalo de tempo
entre t1 = 10.0 s e t2 = 20.0 s, a aceleração média do
cachorro possui módulo igual a 0.45 m/s2, formando um
ângulo de 31,00 medido considerando uma rotação do
eixo +0x para o eixo +0y. Para t = 20,0 s,
(a) quais são os componentes vx e vy da
velocidade do cachorro?
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido da
velocidade do cachorro,
(c) Faça um desenho mostrando o vetor
velocidade para t1 e para t2. Qual é a diferença entre
estes velores'?
3.7 Um pássaro voando em um plano xy possui
2
t , com = 2,4
te y 3
coordenadas x
2
m/s e = 1.2 m/s ,
(a) Faça um esboço da trajetória do pássaro
entre t0 = 0 e t1 = 2.0 s.
(b) Ache o velor velocidade e o vetor
aceleração do pássaro em função do tempo,
(c) Ache o módulo, a direção e o sentido do
vetor velocidade e do vetor aceleração do pássaro para t
= 2,0 s.
(d) Faça um esboço do vetor velocidade e do
vetor aceleração do pássaro para t = 2.0 s. Nesse
instante, a velocidade escalar do pássaro está
aumentando, diminuindo ou é constante? O pássaro
está fazendo uma volta? Em caso positivo, em que
sentido?
3.8 Uma partícula segue uma trajelória
indicada na Figura 3.31. Entre os pontos B c D. a
trajetória é uma linha reta. Desenhe o vetor aceleração
em A, C e E para os casos em que
(a) a partícula se move com velocidade escalar
constante;
(b) a partícula se move com velocidade escalar
que cresce uniformemente;
(c) a partícula se move com velocidade escalar
que decresce uniformemente.
3.5 Um avião a jato está voando a uma altura
constante. No instante t = 0. os componentes da
velocidade são vx = 90 m/s, vy = 110 m/s. No instante t2
= 30,0 s, os componentes são vx = -170 m/s, vy = 40
m/s.
(a) Faça um esboço do vetor velocidade para t1
e para t2? Qual a diferença entre estes vetores? Para esse
intervalo de tempo, calcule
(b) os componentes da aceleração média,
(c) o módulo, a direção e o sentido da
aceleração média.
38
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.


SEÇÃO 3.4
MOVIMENTO DE UM
PROJET1L
3.9
Um livro de
física escorrega
horizonlalmente para fora do topo de uma mesa com
velocidade de 1,10 m/s e colide com o solo em 0.350 s.
Desprezando a resistência do ar, ache
(a) a altura do topo da mesa até o solo;
(b) a distância horizonlal entre a extremidade
da mesa e o ponto onde ele colidiu com o solo;
(c) os componentes da velocidade do livro e o
módulo, a direção e o sentido da velocidade
imediatamente antes de o livro atingir o solo;
(d) faça diagramas x-t, y-t, vx-t, vy-t para o
movimento.
3.10 Um helicóptero militar em missão de
treinamento voa horizontalmente com velocidade de
60,0 m/s e acidentalmente deixa cair uma bomba
(felizmente não ativa) a uma altura de 300 m. Despreze
a resistência do ar.
(a) Quanto tempo a bomba leva para atingir o
solo?
(b) Qual a distância horizontal percorrida pela
bomba durante a queda?
(c) Ache os componentes da velocidade na
direção horizontal e na vertical imediatamente antes de
a bomba atingir o solo.
(d) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t, vy-t para o
movimento da bomba,
(e) Mantida constante a velocidade do
helicóptero, onde estaria ele no momento em que a
bomba atingisse o solo?
3.11 Uma bola de futebol é chutada com
velocidade inicial v0 = 15.0 m/s. formando um ângulo
inicial 0 = 45,00.
(a) Ache o tempo t quando a bola atinge a
altura máxima,
(b) Nos três instantes t1 = T - 0,50 s, t2 = T s e
t3 = T + 0,50 s, ache os componentes vx e vy do vetor
posição,
(c) Para os instantes t1, t2 e t3 determine o
módulo, a direção e o sentido do velor velocidade,
(d) Para os instantes t1, t2 e t3, determine os
componentes do vetor aceleração que sejam paralelos
(ou antiparalelos) ao vetor velocidade e ache os
componentes do vetor aceleração que sejam
perpendiculares ao vetor velocidade.
(e) Faça um esboço da trajetória da bola. Nesse
esboço, identifique a posição da bola nos instantes t1, t2
e t3. Em cada um desses pontos, desenhe o velor
velocidade
e
os
componentes
paralelos
e
perpendiculares do vetor aceleração,
(f) Discuta como a velocidade escalar e a
direção do movimento da bola variam com o tempo nos
instantes t1, t2 e t3, e explique como os vetores do seu
desenho descrevem essas variações.
3.12 Uma bola de tênis rola para fora da
extremidade de uma mesa situada a uma altura igual a
0.750 m acima do solo e atinge o solo em um ponto
situado a 1,40 m da extremidade da mesa.
Despreze a resistência do ar. Ache o tempo de
percurso.
(a) Ache o módulo da velocidade inicial,
(b) Ache o módulo, a direção e o sentido da
velocidade da bola imediatamente antes de a bola
atingir o solo.
(c) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t, vy-t para o
movimento.
3.13 Uma pistola de sinalização atira uma bala
luminosa com velocidade inicial (velocidade na saída
do cano) igual a 120 m/s.
(a) Se a bala é atirada a 550 acima da
horizontal em uma região plana de Brasília, qual é seu
alcance horizonlal? Despreze a resistência do ar.
(b) Se a bala fosse atirada nas mesmas
condições em uma região plana da Lua, onde g = l .6
m/s2, qual seria seu alcance horizontal?
3.14 Pelé chuta uma bola de futebol com
velocidade inicial tal que o componente vertical é igual
a 16,0 m/s e o componente horizontal é igual a 20.0
m/s. Despreze a resistência do ar.
(a) Que tempo a bola leva para atingir a altura
máxima de sua trajetória?
(b) Qual a altura desse ponto?
(c) Quanto tempo a bola leva (desde o
momento do chute inicial) até o instante cm que ela
retorna ao mesmo nível inicial? Qual é a relação entre
esse tempo e o calculado no item (a)?
39
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(d) Que distância hori/ontal ela percorreu
durante esse tempo?
(e) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy -t para o
movimento.
3.15 Mark McGwire bate uma bola de beisebol
de forma que ela abandona o bastão com velocidade de
30,0 m/s formando um ângulo de 36.9° acima da
hori/.ontal. Despreze a resistência do ar.
(a) Ache os dois instantes para os quais a
altura da bola esta a 10,0 m acima do nível inicial,
(b) Calcule o componente vertical e o
componente horizontal da velocidade da bola em cada
um dos dois tempos calculados no item (a).
(c) Determine o módulo, a direção e o sentido
da velocidade da bola quando ela retorna ao nível
inicial.
3.16 Um taco golpeia uma bola de golfe em
uma pequena elevação acima do solo com uma
velocidade de 12,0 m/s e um ângulo inicial de 51.00
acima da horizontal. A bola atinge o campo 2,08 s após
a tacada. Despreze a resistência do ar.
(a) Quais são os componentes da aceleração da
bola durante o vôo?
(b) Quais são os componentes da velocidade da
bola no início e no final de sua trajetória?
(c) Qual é a distancia horizontal percorrida
pela bola?
(d) Por que a expressão de K obtida no
exemplo 3.9 não pode ser usada para dar a resposta
correia do item (c)?
(e) Qual era a altura da bola no momento cm
que ela saiu do taco?
(f') Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o
movimento.
3.17 Em um parque de diversões você pode
ganhar uma girafa inflável se conseguir encaixar uma
moeda de 25 centavos em um prato pequeno. O prato
está sobre uma prateleira acima do ponto em que a
moeda deixa sua mão, a uma distância horizontal de 2,1
m deste ponto. Se você lança a moeda com velocidade
de 6,4 m/s formando um angulo de 600 acima da
horizontal, a moeda se encaixa no prato. Despreze a
resistência do ar.
(a) Qual a altura da prateleira em relação ao
nível da sua mão?
(b) Qual ê o componente vertical da velocidade
da moeda imediatamente antes de a moeda pousar no
prato?
40
FIGURA 3.32 Exercício 3.17.
3.18 Suponha que o ângulo inicial da figura
3.21 seja 420 e que d seja igual a a 3.0 m. Onde o dardo
e o macaco se encontrarão se a velocidade inicial do
dardo for:
(a) 12.0 m/s?
(b) 8,0 m/s?
(c) O que ocorreria se a velocidade inicial do
dardo fosse 4,0 m/s? Faça um esboço da trajetória em
cada caso.
3.19 Um homem está parado no alto de um
edifício de 15.0 m de altura e atira uma pedra com
velocidade de módulo de 30,0 m/s formando um ângulo
inicial de 33,00 acima da horizontal. Dcspreze a
resistência do ar. Calcule:
(a) a altura máxima acima do telhado atingida
pela pedra.
(b) o módulo da velocidade da pedra
imediatamente antes de ela atingir o solo.
c) a distância horizontal entre a base do
edifício e o ponto onde ela atinge o solo.
(d) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o
movimento.


SEÇÃO 3.5
MOVIMENTO CIRCULAR
3.20 Em seu primeiro dia de trabalho em uma
fábrica de eletrodomésticos. você é solicitado a
informar o que é necessário para que a centrifugadora
de uma máquina de lavar triplique sua aceleração
centrípeta. Você impressiona a sua chefe respondendo
imediatamente. O que você diz a ela?
3.21 A Terra possui um raio igual a 6380 km e faz
um giro completo em 24 horas,
(a) Qual é a aceleração radial de um objeto no
equador da Terra? Dê sua resposta em m/s2 e como uma
fração de g.
(b) Se arad no equador fosse maior do que g os
objetos seriam ejetados da Terra e voariam para o
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
espaço. (Veremos a razão disso no Capítulo 5.) Qual
deveria ser o período mínimo de rotação da Terra para
que isso ocorresse?
3.22 Um modelo de rotor de helicóptero possui
quatro lâminas, cada qual com 3.40 m de comprimento
desde o eixo central até sua extremidade. O modelo gira
em um túnel de vento com 550 rev/min.
(a) Qual é a velocidade linear da extremidade da
lâmina em m/s?
(b) Qual é a aceleração radial da extremidade da
lâmina expressa como múltiplo da aceleração da
gravidade, g ?
3.23 Em um teste de um "aparelho para g" um
voluntário gira em um círculo horizontal de raio igual a
7.0 m. Qual é o período da rotação para que a
aceleração centrípeta possua módulo de
(a) 3.0g (b) 10g?
3.24 O raio da órbita da Terra em torno do Sol
(suposta circular) é igual a l.50.108km e a Terra
percorre esta órbita em 365 dias.
(a) Qual é o módulo da velocidade orbital da Terra
em m/s?
(b) Qual é a aceleração radial da Terra no sentido
do Sol em m/s2?
(c) Repita os cálculos de (a) e de (b) para o planeta
Mercúrio (raio da órbita = 5,79.107 km, período da
órbita = 88.0 dias).
3.25 Uma roda-gigantc com raio igual a 14.0 m
está girando em torno de um eixo horizontal passando
pelo seu centro (Figura 3.33). A velocidade linear de
uma passageira em sua periferia é igual a 7.00 m/s.
Determine o módulo, a direção e o sentido da
aceleração da passageira a) no ponto mais baixo do
movimento circular,
(a) no ponto mais alto do movimento circular,
(b) Quanto tempo leva a roda-gigante para
completar uma revolução?
FIGURA 3.33 Exercícios 3.25 c 3.26.
3.26 A roda-gigante da Figura 3.3.3. que gira o
sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio,
começa a se mover. Em dado instante, um passageiro na
periferia da roda e passando no ponto mais baixo do
movimento circular se move a 3,00 m/s e está ganhando
velocidade com uma taxa de 0,500 m/s2,
(a) Determine o módulo, a direção e o sentido
da aceleração do passageiro nesse instante,
(b) Faça um desenho do passageiro e da rodagigante mostrando o vetor velocidade e o vetor
aceleração.
3.27 Uma pista de corrida plana possui forma
elíptica. (Consulte um manual de matemática ou uma
enciclopédia para caracterizar uma elipse.) Um carro
viaja ao longo dessa pista com velocidade escalar
constante,
(a) Faça um desenho mostrando o velor
velocidade e o vetor aceleração do carro em cinco
pontos dilerentes dessa trajelória.
(b) O vetor aceleração do carro sempre aponta
para o centro geométrico da elipse? Explique.
(c) Para qual(isl ponto(s) da elipse a aceleração
do carro possui maior módulo? Explique.


SEÇÃO 3.6
VELOCIDADE RELATIVA
3.28 Um vagão plano aberto de um trem se
desloca para a direita com velocidade de 13,0 m/s
relativa a um observador lixo no solo. Uma motoneta
está se deslocando sobre o vagão Qual é a velocidade
(módulo e sentido) da motoneta em relação ao vagão se
a sua velocidade em relação a um observador fixo no
solo e
(a) 18 m/s para a direita?
(b) 3,0 m/s para a esquerda?
(c) 0?
3.29 A "esteira rolante horizontal" do terminal
de um aeroporto possui comprimento igual a 35,0 m e
se desloca a l ,0 m/s. Suponha uma mulher se
deslocando a l ,5 m/s em relação à esteira e partindo da
extremidade da esteira. Quanto tempo leva para atingir
a outra extremidade da esteira se ela se move:
(a) no mesmo sentido da esteira?
(b) em sentido contrário ao da esteira?
3.30 Dois píeres estão localizados em um rio: o
píer K está situado a 1500 m de A corrente abaixo. Dois
amigos devem fazer um percurso do píer A ao píer B e
depois voltar. Um deles vai de barco com velocidade
constante de 4 km/h em relação à água. O outro
caminha pela margem do rio com velocidade constante
de 4,00 km/h. A velocidade do rio é 2,80 km/h no
41
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.

sentido de A para B. Calcule o tempo de cada um para
fazer o percurso de ida e de volta.
3.31 Uma canoa possui velocidade de 0,40 m/s
do sul para leste em relação à Terra. A canoa se desloca
em um rio que escoa a 0.50 m/s do oeste para leste em
relação à Terra. Determine o módulo, a direção e o
sentido da velocidade da canoa em relação ao rio.
3.32 O piloto de um avião deseja voar de leste
para oeste. Um vento de 80 km/h sopra do norte para o
sul.
(a) Se a velocidade do avião em relação ao ar
(sua velocidade se o ar estivesse em repouso) é igual a
320.0 km/h, qual deve ser a direção que o pilotodeve
escolher?
(b) Qual é a velocidade do avião em relação ao
Solo? Ilustre sua solução com um diagrama vetorial.
3.33 A água de um rio se escoa com
velocidade de 2,0 m/s do norte para o sul. Um homem
dirige um barco com motor através do rio; sua
velocidade em relação à água é igual a 4.2 m/s de oeste
para leste. A largura do rio é igual a 800 m.
(a) Determine o módulo, a direção e o sentido
da sua velocidade em relação à Terra,
(b) Quanto tempo e necessário para atravessar
o rio?
(c) A que distância ao sul do ponto inicial ele
atingirá a margem oposta?
3.34 (a) Em que direção o barco do Exercício
3.33 deveria se deslocar para atingir a margem oposta
diretamente a leste do ponto inicial?
(Sua velocidade em relação à água permanece
igual a 4.2 m/s.) (b) Qual a velocidade do barco em
relação à Terra? (c) Quanto tempo é necessário para
atravessar o rio?
3.35 Um avião ultraleve aponta de norte para
sul, e seu indicador de velocidade em relação ao ar
mostra 35 m/s. O avião está submetido a um vento de
10 m/s que sopra na direção sudoeste em relação à
Terra,
(a) Faça um diagrama vetorial mostrando a
relação entre os vetores dados e vPE (a velocidade do
avião em relação à Terra),
(b) Usando a coordenada X para o leste e a
coordenada y para o norte, determine os componentes
de vPE .
(c) Determine o módulo, a direção e o sentido
de
vPE .
PROBLEMAS
3.36 Um modelo de foguete se move no plano
xy (o sentido positivo do eixo vertical 0y é de baixo
para cima). A aceleração do foguete possui os
t 2 ay t
ax t
componentes
4
2
t onde
3
= 2,50 m/s , = 9,00 m/s e = l,40 m/s .
Para t = 0, o foguete está na origem e possui velocidade
v0
v0x iˆ v0 y ˆj
sendo v0x = 1,00 m/s e v0y = 7,00
m/s.
(a) Determine o vetor velocidade e o vetor
posição em função do tempo,
(b) Qual a altura máxima atingida pelo
foguete?
(c) Faça um desenho da trajetória do foguete,
(d) Qual o deslocamento horizontal do foguete
quando ele retorna para o ponto y = 0?
3.37 Um estudante se move em um plano xy
num quarto escuro tentando localizar uma nota de R$
50. As coordenadas do estudante em função do tempo
são
x t
te y t
15
t 2 onde
= l .20 m/s e = 0,500 m/s2. Embora o estudante não
saiba, a nota de R$ 50 se encontra na origem,
(a) Em que instantes a velocidade do estudante
é perpendicular à sua aceleração?
(b) Em quais instantes a velocidade do
estudante não varia instantaneamente?
(c) Em quais instantes a velocidade do
estudante é perpendicular ao seu vetor posição? Onde se
encontrão estudante nesses instantes?
(d) Qual é a distancia mínima entre a nota de
R$ 50 e o estudante? Em que instante essa distância
mínima é atingida?
(e) Faça um desenho da trajetória do infeliz
estudante.
3.38 Um pássaro voa em um plano xy com um
vetor velocidade dado por:
v
t 2 iˆ
t ˆj
sendo = 2.4 m/s e = l .6 m/s e = 4,0 m/s2.
Em t = 0 o pássaro está na origem. O sentido positivo
do eixo vertical Oy e de baixo para cima.
(a) Determine o vetor posição e o vetor
aceleração do pássaro em função do tempo.
(b) Qual é a altura do pássaro (coordenada y)
quando ele voa sobre x = O pela primeira vêz, depois de
t = 0?
3.39 Um Piper Warrior. um pequeno avião
com quatro lugares, necessita de 300 m de pista para
levantar voo. Sua velocidade de decolagem é igual a 88
km/h. A seguir ele se inclina com velocidade constante
42
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
de 88 km/h ao longo de uma trajetória retilinea.
passando rente uma linha de transmissão com 15 m de
altura situada a uma distância horizontal de 460 m do
local onde o avião decola,
(a) Qual era a aceleração inicial do Piper
(suposta constante) durante seu movimento na pista
para decolar?
(b) Depois de o Piper decolar, qual era seu
ângulo de vôo acima da horizontal?
(c) Qual era sua taxa de elevação (em m/s2)
(d) Qual o tempo decorrido desde o início do
movimento ate o instante em que o Piper passa rente â
linha de transmissão?
m acima do solo com velocidade de 64,0 m/s, a que
distância horizontal do alvo deve o piloto lançar a
caixa? Despreze a resistência do ar.
3.40 Um instrutor (que também e professor de
tísica) treina um atleta a arremessar um dardo de modo
que ele saia da mão do atleta, a uma altura h com
3.45 Maior alcance de uma bola de beisebol.
De acordo com o Guinness Book of World Records o
recorde de alcance de uma bola de beisebol foi obtido
cm uma batida feita por Roy "Dizzy" Carlyle. A bola
percorreu uma distância horizontal de 188 m ale atingir
o solo fora do campo,
(a) Supondo que a bola tenha sido lançada a
45,00 acima da horizontal e desprezando a resistência
do ar, qual era a velocidade inicial da bola para que isso
ocorresse, sabendo-se que a bola foi batida em um
ponto a 0,9 m acima do nível do solo? Suponha que o
solo seja perfeitamente plano.
(b) Em que ponto a bola passou acima da cerca
de 3,0 m de altura, sabendo-se que a cerca estava a uma
distância de 116 m do ponto do lançamento da bola?
velocidade
25gh 8 formando um ângulo de 36.90
acima da horizontal. O dardo continua voando ate
atingir o solo. O campo em torno do atleta é plano e a
resistência do ar é desprezível.
(a) Faça um desenho da velocidade horizontal
do dardo cm função do tempo e da velocidade vertical o
dardo em função do tempo,
(b) Calcule a altura máxima alcançada pelo
dardo,
(c) Calcule a distância horizonlal que o dardo
percorreu desde o instante em que ele deixou a mão do
atleta até o instante em que atingiu o solo.
3.41 Uma equipe de demolição usa dinamite
para explodir um edifício velho. Fragmentos da
explosão voam em todas as direções, e mais tarde são
encontrados num raio de 50 m da explosão. Faça uma
estimativa da velocidade máxima atingida pêlos
fragmentos da explosão. Descreva todas as hipóteses
que você usar.
3.42 Uma dublê de cinema pula de um
helicóptero em voo a 30.0 m acima do solo com
velocidade constante cujo componente vertical e igual a
10.0 m/s de baixo para cima c cujo componente
horizontal é igual a 15.0 m/s do norte para o sul.
Despreze a resistência do ar.
(a) Em que lugar do solo (em relação ao ponto
onde ela abandonou o helicóptero) a duble colocou
almofadas de espuma para amortecer sua queda?
(b) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o
movimento.
3.43 No combate a incêndios em florestas,
avióes jogam água para ajudar equipes que trabalham
no solo. Um piloto em treinamento lança uma caixa
com corante vermelho, na esperança de atingir um alvo
no solo. Se o avião está voando horizontalmente a 90.0
3.44 Uma garota joga um saco com água a um
ângulo de 50.00acima da horizontal com velocidade de
12.0 m/s. O componente horizontal da velocidade do
saco é direcionado para o carro que se aproxima da
garota com velocidade constante de 8.00 m/s. Supondo
que o saco atinja o carro na mesma altura em que ele
abandona a mão da garota, qual é a distância máxima
que o carro pode estar da garota quando o saco c
jogado? Despreze a resistência do ar.
v = 8,00 m/s..
FIGURA 3.36 - Problema 3.44.
3.46 Um dia após sua graduação, você decidiu
lançar um fósforo aceso no topo de uma lixeira
cilíndrica (diâmetro D e altura 2D) cheia de papéis
velhos com exercícios para casa. Para tomar esse evento
mais esportivo, a parte inferior da lixeira está no mesmo
nível do ponto em que o fósforo deixa a sua mão, e a
lixeira está a uma distância horizontal de 6D do ponto
em que o fósforo deixa a sua mão. Você lança o fósforo
com ângulo de 45.00 acima da horizontal. Ache o valor
máximo e o valor mínimo da velocidade inicial do
lançamento para que o fósforo entre pela parle superior
da lixeira. Despreze a resistência do ar e dê sua resposta
em termos de g e de D.
43
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
3.47 Você deseja jogar uma bola para um
amigo segurá-la no meio do seu quarto. A distância
entre o chão e o teto é igual a D evocê lança a bola com
velocidade
v0
6 gD . Qual é a distância horizontal
máxima (cm termos de D) que a bola pode se deslocar
sem que ela seja rebatida pelo teto? (Suponha que a
bola tenha sido lançada do chão.)
3.48 Uma bola de beisebol ê batida com
ângulo de 60,00 acima da horizontal e atinge um edifício
a 18.0 m de distância em um ponto a 8.00 m acima do
ponto de lançamento. Despreze a resistência do ar.
(a) Calcule o módulo da velocidade inicial da
bola de beisebol (a velocidade de lançamento da bola de
beisebol),
(b) Determine o módulo, a dircção e o sentido
da bola de beisebol imediatamente antes de ela atingir o
edifício.
(c) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o
movimento.
3.49 Um projétil é lançado com velocidade v0
formando um ângulo 0 com a horizontal. O ponto de
lançamento está situado a uma altura l: acima do solo.
(a) Desprezando a resistência do ar, mostre que
a distância horizontal percorrida pelo projétil antes de
ele atingir o solo é dada por
x
v0 cos
g
0
v0 sen
0
v02 sen2
0
2 gh
Verifique que, se o ponto de lançamento estivesse
situado no mesmo nível do solo. isto é, h = 0 essa
expressão se reduziria ao alcance horizontal R
encontrado.
(b) Para o caso v0 = 10 m/s e h = 5,0 m, faça
um gráfico de x em função do ângulo de lançamento 0
para valores de 0 de 00 a 900. Seu gráfico deve mostrar
que x é igual a zero para 0 = 900, mas x é diferente de
zero para 0 = 00; explique a razão disso,
(c) Vimos no Exemplo 3.9 que, quando o
projétil atinge o solo no mesmo nível em que ele é
lançado, o alcance horizontal é máximo para 0 = 450.
Para o caso desenhado no item (b), o ângulo de
lançamento para o alcance horizontal máximo é igual a,
maior que ou menor que 450?
(Este problema fornece um resultado geral para o
lançamento de um projétil lançado de um ponto mais
elevado do que o ponto onde ele atinge o solo.)
3.50 Uma bola de neve rola do telhado de um
celeiro que possui uma inclinação para baixo igual a 400
A extremidade do telhado está situada a 14.0 m acima
do solo e a bola de neve possui velocidade de 7,00 m/s
quando ela abandona o telhado. Despreze a resistência
do ar.
(a) A que distância do celeiro a bola de neve
atingirá o solo caso não colida com nada durante sua
queda?
(b) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o
movimento da parte (a),
(c) Um homem de 1.9 m de altura está parado
a uma distância de 4,0 m da extremidade do celeiro. Ele
será atingido pela bola de neve?
3.51 – (a) Prove que um projétil lançado em
um ângulo 0 possui o mesmo alcance horizontal de
outro lançado com a mesma velocidade em um ângulo
(90 - 0).
(b) Uma râ pula com uma velocidade de 2.2
m/s e chega ao solo a 25 cm de distância de seu ponto
inicial. Para que ângulos acima da horizontal ela
poderia ter pulado?
3.52 No trapézio voador. Em um novo circo,
Maria oscila em um trapézio, projeta-se a um ângulo de
53 e deve ser segurada por João, cujas mãos estão a 6.1
m acima e 8.2 m horizontalmente do ponto de
lançamento de Maria. Despreze a resistência do ar.
(a) Qual deve ser a velocidade inicial de Maria
para que ela seja segurada por João?
(b) Para a elocidade inicial calculada em (a),
qual é o módulo, a direção e o sentido da velocidade de
Maria quando ela é segurada por João?
(c) Supondo que Maria possua a velocidade
inicial calculada em (a), faça diagramas x-t, y-t, vx-t e
vy-t para o movimento dos dois trapezistas.
Seus gráficos devem mostrar o movimento
para cima até o instante cm que Maria alcança João.
(d) Na noite de estreia, João não consegue
segurar Maria. Qual a distância horizontal percorrida
por Maria, a partir de seu ponto inicial, até o momento
em que ela atinge a rede de segurança situada a 8.6 m
abaixo de seu ponto inicial?
3.53 Um professor de física faz. proezas loucas
em suas horas vagas. Sua última façanha foi saltar sobre
um rio com sua motocicleta. A rampa de decolagem era
inclinada de 53.00, a largura do rio era de 40,0 m, e a
outra margem estava a 15.0 m abaixo do nível da
rampa. O rio eslava a 100 m abaixo do nível da rampa.
Despreze a resistência do ar.
(a) Qual deveria ser sua velocidade para que
ele pudesse alcançar a outra margem sem cair no rio?
(b) Caso sua velocidade lesse igual á metade
do valor encontrado em (a), onde ele cairia?
44
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
(c) No segundo lançamento livre, a bola entra
na cesta. Para esse segundo lançamento, o jogador
novamente lança a bola com um ângulo de 350 acima da
horizontal e a uma altura de 1.83 m acima do solo. Qual
foi a velocidade inicial desse segundo lançamento?
(d) Para o segundo lançamento, qual a altura
máxima atingida pela bola? Qual a distância ao longo
do solo entre o ponto onde a bola atinge a cesta e a
linha do lançamento livre?
45
FIGURA 3.38- Problema 3.50.
FIGURA 3.40 Problema 3.55.
3.56 Romeu joga um seixo na janela de JuliEta
para acordÁ-la. Infelizmente, o seixo nÃo era muito
pequeno e a velocidade inicial do lançamento lambem
não era muito pequena. Imediatamente antes de quebrar
o vidro da janela, o seixo se move horizontalmente,
tendo já percorrido uma distância horizontal x e uma
distância vertical y como um projétil. Determine o
módulo, adireção e o sentido da velocidade inicial do
seixo no momento em que ele abandona a mão de
Romeu.
FIGURA 3.37- Problema 3.50
3.54 Uma pedra é atirada do telhado de um
edifício com velocidade v0, formando um ângulo 0
com a horizontal. Despreze a resistência do ar.
Determine o módulo, a direção e o sentido da
velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o
solo e mostre que essa velocidade não depende de
ângulo 0.
3.55 Um jogador de basquete recebe uma
pancada na disputa de um lance. Como prémio, ele
poderá lazer dois lances livres. O centro da cesta está
situado a uma distância horizontal de 4,21 m da linha
do lançamento livre e a uma altura de 3,05 m acima do
solo. Na primeira tentativa do lance livre, ele lança a
bola com velocidade V0 = 4.88 m/s formando um
ângulo de 350 acima da horizontal. A bola é lançada a
1.83 m acima do solo. Esse lançamento não atingiu a
cesta. Despreze a resistência do ar.
(a) Qual a altura máxima atingida pela bola?
(B) Qual a distância ao longo do solo entre o
ponto onde a bola atinge o solo e a linha do lançamento
livre?
3.57 Um foguete está inicialmente em repouso
no solo. Quando seu motor é ligado, ele dispara em
linha rela com uma aceleração constante de módulo
igual a g formando um angulo de 53, l0 acima da
horizontal. O motor para em um dado instante 7s após o
lançamento, depois do qual o foguete se torna um
projétil. Despreze a resistência do ar e suponha que g
não depende da altura,
(a) Faça um diagrama do movimento do
foguete, desde o momento em que ele é lançado até o
instante em que ele retorna ao solo. Indique o vetor
velocidade e o vetor aceleração em vários pontos ao
longo da trajelória.
(b) Faça diagramas x-t, y-t, vx-t e vy-t para o
movimento do foguete desde o momento em que ele é
lançado ate o instante cm que cie retorna ao solo.
(c) Ache a altura máxima atingida pelo
foguete. Sua resposta deve ser dada em função de T e de
g.
(d) Ache a distância horizontal entre o ponto
em que ele e lançado ate o ponto em que ele retorna ao
solo (isto é, seu alcance). Sua resposta deve ser dada em
função de T e de g.
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
3.58 Em um filme de aventura, o herói joga
uma granada de seu carro, que se desloca a 90.0 km/h.
atingindo o carro do inimigo, que se desloca a 110,0
km/h. O carro do inimigo está a 15.8 m a frente do carro
do herói quando ele joga a granada. Se o lançamento é
tal que sua velocidade inicial em relação a ele forma um
ângulo de 450 acima da horizontal. qual deve ser o
módulo da velocidade inicial? Os dois carros se
deslocam no mesmo sentido numa estrada retilínea e
plana. Despreze a resistência do ar. Ache o modulo da
velocidade inicial em relação ao herói e em relação a
Terra.
3.59 Uma pedra amarrada em uma corda se
move no plano xy. Suas coordenadas são dadas em
função do tempo por:
x t
R cos
t
y t
R s en
t
onde R e são constantes,
(a) Mostre que a distancia da pedra até a
origem é constante e igual a R, ou seja, sua trajetória e
uma circunferência de raio R.
(b) Mostre que cm cada ponto o velor
velocidade é perpendicular ao vetor posição,
(c) Mostre que o vetor aceleração é sempre
oposto ao vetor posição e possui módulo igual a R.
(d) Mostre que o módulo da velocidade da
pedra e constante c igual a v2/R.
(e) Combine os resultados das partes (c) e (d)
para mostrar que a aceleração da pedra possui modulo
constante igual a v2/R.
3.60 A velocidade escalar de uma partícula que
se move em um plano xy é igual ao módulo da
velocidade instantânea.
v
vx2 vy2
v
(a) Mostre que a taxa de variação da
velocidade escalar e dada por :
vx ax
vy ay
v x2
v y2
(b) Use essa expressão para achar dv/dt no
instante t = 2.0 s para o carro com controle remoto dos
Exemplos 3.1. 3.2 c 3.3. Compare sua resposta com os
componentes da aceleração encontrados no Exemplo
3.3. Explique por que sua resposta não é igual ao
módulo da aceleração encontrado na parte (b) do
Exemplo 3.2.
(c) Mostre que a taxa de variação da
velocidade escalar pode ser expressa como:
dv
dt
v a
v
e use esse resultado para entender por que
dv
dt
a
o componente de a paralelo a v.
3.61 Uma partícula se move em um plano xy .
Suas coordenadas são dadas em função do tempo por:
x t
R
t sen
y t
R 1 s en
t
t
onde R e
são constantes,
(a) Faça um esboço da trajelória da partícula.
(Essa curva e a trajetória de um ponto que se desloca na
periferia de uma roda que rola com velocidade escalar
constante numa superfície horizonial. A curva traçada
por esse ponto enquanto ele se move no espaço
denomina-se ciclóide)
(b) Determine os componentes da velocidade e
da aceleração da partícula em qualquer tempo.
(c) Para que instantes a partícula está
momentaneamente em repouso? Quais são as
coordenadas da partícula nesses instantes? Determine o
vetor aceleração.
(d) O módulo da aceleração é função do
tempo? Compare com o movimento circular uniforme.
3.62 Você esta voando em um avião leve.
relatando as condições do tráfego para uma emissora de
rádio. Seu vôo se dirige de oeste para leste sobre uma
estrada. Os marcos da estrada abaixo indicam que sua
velocidade e igual a 50.0 m/s em relação ao solo e seu
indicador de velocidade do ar também mostra 50.0 m/s.
Contudo, a frente de seu avião aponta ligeiramente para
uma direção sudeste e um luncionário do serviço de
meteorologia informa a você que está soprando um
vento de 20.0 m/s. Qual é a direção do vento?
3.63 O problema do pombo-correio. Lúcia
está dirigindo de oeste para leste a 40 km/h. Seu irmão
gémeo Fernando dirige de leste para oeste a 30 km/h. se
aproximando de Lúcia em um carro idêntico na mesma
estrada retilínca. Quando a distância entre eles e de 42
km. Lúcia solta um pomho-correio que voa com
velocidade constante de 50 km/h. (Todas as velocidades
são em relação á Terra.) O pombo voa no sentido de
Fernando, fica confuso e retorna no sentido de Lúcia,
fica mais confuso e retorna no sentido de Fernando. Isso
continua ate que os gêmeos se encontram, instante em
que o pombo correio cai no chão exausto. Desprezando
o tempo das mudanças de direção, qual foi a distância
percorrida pelo pombo-correio?
3.64 Quando a velocidade de um trem e de l2,0
m/s de oeste para leste, gotas de chuva caindo
46
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
verticalmente em relação à Terra fazem traços
inclinados de 30.00 nas janelas do trem.
(a) Qual o componente horizontal da
velocidade da gota de chuva em relação à Terra? E em
relação ao trem?
(b) Qual o módulo da velocidade da gota de
chuva em relação à Terra? E em relação ao trem?
3.65 Dm piloto de avião coloca o curso da
direção de leste para oeste com uma bússola e mantém
uma velocidade em relação ao ar de 220 km/h. Depois
de voar durante 0.500 h, ele se encontra sobre uma
cidade a 120 km a oeste e 20 km ao sul da sua posição
inicial,
(a) Ache a velocidade do vento (módulo,
direção e sentido).
(b) Se a velocidade do vento tosse igual a 40
km/h do norte para o sul, em que direção o piloto
deveria orientar seu curso para que pudesse se dirigir de
leste para oeste. Considere a mesma velocidade em
relação ao ar de 220 km/h.
3.66 Um avião voa de um ponto diretamentc
sobre Metrópolis a um ponto diretamente sobre
Bra.sópolis, a seguir dá, uma volta e retorna ao ponto de
partida. A velocidade do ar (isto é, a velocidade do
avião em relação ao ar) é constante e igual a u durante o
voo. Brasópolis esta a uma distância D a leste de
Metrópolis.
(a) Caso não exista vento, quanto tempo é
necessário para a viagem de ida e volta? Quanto tempo
é necessário para a viagem de ida e volta se o vento
sopra com velocidade w,
(b) de oeste para leste,
(c) do norte para o sul?
(d) Supondo D = 3.00.102 km, v = 4,00.102
km/h e w = l ,00.102 km/h, calcule o tempo necessário
para a viagem de ida e volta nos casos (a), (b) e (c).
Qual dos três fornece a viagem de ida e volta mais
lenta?
3.67 Um elevador se move de baixo para cima
com velocidade constante de 2,50 m/s. Um parafuso no
teto do elevador está frouxo e cai.
(a) Quanto tempo ele leva para atingir o piso
do elevador? Qual é a velocidade do parafuso no
momento em que ele atinge o piso do elevador
(b) para um observador dentro do elevador?
(c) E para um observador parado fora do
elevador?
(d) Para o observador do item (c), qual é a
distância percorridapelo parafuso entre o teto e o piso
do elevador?
 PROBLEMAS DESAFIADORES
3.68 Um homem está sobre uni vagão largo e
aberto, que sedesloca com velocidade de 9,10 m/s
(Figura 3.41). Ele deseja lançar uma bola através de um
aro em repouso a uma altura de 4,90 m de sua mão, de
tal modo que a bola se mova horizontalmente quando
ela passar através do aro. Ele lança a bola com
velocidade de 10,8 m/s em relação a si próprio,
(a) Qual deve ser o componente vertical da
velocidade inicial da bola?
(b) Quantos segundos após o lançamento da
bola ela passará através do aro?
(c) A que distância horizontal à frente do aro
ele deve lançar a bola?
(d) Quando a bola deixa a mão do homem,
qual é a direção de sua velocidade relativa em relação
ao vagão? E em relação a um observador em repouso no
solo?
FIGURA 3.41 Problema Desafiador 3.68.
3.69 Uma espingarda dispara de baixo para
cima um grande número de pequenas pelotas. Algumas
delas se deslocam aproximadamente na vertical e outras
divergem cerca de 1,0° da vertical. Suponha que a
velocidade inicial das pelotas seja uniforme para todas e
igual a 150,0 m/s. Despreze a resistência do ar.
(a) Dentro de que raio a partir do ponto do
disparo as pelotas se distribuem?
(b) Caso haja 1000 pelotas e elas caiam em um
círculo cujo raio foi calculado na parte (a), qual a
probabilidade de que pelo menos uma pelota caia na
cabeça da pessoa que fez o disparo?
Suponha que seja de 10 cm o raio da sua
cabeça,
(c) A resistência do ar de fato produz diversos
efeitos. Ela faz diminuir a velocidade da pelota que
sobe, faz diminuir o seu componente horizontal e limita
a velocidade com a qual elas caem. Qual desses efeitos
poderá fazer aumentar o raio no cálculo que você tez
para responder ao item (a) e qual poderá fazer
diminuir? O que você pensa sobre o efeito global da
resistência do ar? (O efeito da resistência do ar sobre
um componente da velocidade aumenta quando o
módulo da velocidade desse componente aumenta.)
3.70 Um projétil é lançado de um ponto P. Ele
se move de tal modo que sua distância ao ponto P é
sempre crescente. Determine o ângulo máximo acima
47
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
da horizontal com o qual o projétil foi lançado.
Despreze a resistência do ar.
v
E
3.71 Uma bola de beisebol recebe uma
velocidade inicial com módulo v0 formando um ângulo
φ com um plano que está inclinado de um ângulo θ
acima da horizontal (Figura 3.42).
(a) Calcule a distância, medida ao longo do
plano inclinado, entre o ponto de lançamento e o ponto
em que a bola colide com o plano inclinado. Suas
respostas serão em termos de v0, g, θ e φ .
(b) Qual o ângulo φ que fornece o alcance
máximo, medido ao longo do plano inclinado?
(Nota: Você poderia se interessar pêlos três
diferentes métodos de solução apresentados por L R.
Lapidus na revista Am. Jour. Of Phys., Vol. 51. (1983).
pp. 806 e 847. Veja também H. A. Buckmaster na
revista/tf». Jour. Of Phys., Vol. 53 (1985), pp. 63S-641.
para um estudo aprofundado deste e de outros
problemas semelhantes.)
FIGURA 3.42 Problema Desafiador 3.71.
3.72 Considere o Problema Desafiador 3.71.
(a) Um arqueiro se encontra em um terreno
com inclinação constante de 30.00 e deseja atingir um
alvo situado a uma distância de 60.0 m para cima do
plano inclinado. O arco, a flecha e o centro do alvo
estão situados a uma distância de 1,50 m acima do
plano inclinado. A velocidade inicial da flecha no exato
momento em que ela sai do arco possui módulo igual a
32,0 m/s. Para que ângulo acima da horizontal o
arqueiro deve apontar para atingir o centro do alvo?
Caso existam dois ângulos, ache o menor entre os dois.
Você poderia resolver a equação que fornece o ângulo
através de uma iteração, ou seja, pelo método das
tentativas. Como esse ângulo estaria relacionado com o
ângulo que seria obtido supondo-se um terreno plano
com inclinação igual a zero?
(b) Repita o item (a) para uma inclinação pura
baixo constante e igual a 30,00.
3.73 Sem nenhum motivo aparente, um cão
poodie corre com velocidade constante v = 5,00 m/s em
torno de um círculo com raio R = 2,50 m. Seja v1 o
vetor velocidade no tempo t1 e v2 , o vetor velocidade
no tempot2. Considere:
v2
v1
t t2 t1 Lembre-se de que:
v
am
t
Para Δt = 0,5 s, 0,1s, calcule o módulo (com
quatro algarismos significativos), a direção e o sentido
da aceleração média. Compare seus resultados com a
expressão geral da aceleração instantânea a obtida no
texto para o caso do movimento circular uniforme.
3.74 Um foguete projetado para colocar
pequenas cargas em órbita é conduzido a uma altura de
12,0 km acima do nível do mar por uma aeronave
convertida. Quando a aeronave está voando em linha
reta com velocidade constante de 850 km/h, o foguete é
lançado. Depois do lançamento, a aeronave mantém a
mesma altitude e velocidade e continua a voar cm linha
reta. O foguete cai durante um intervalo de tempo
pequeno, depois do qual seu motor éacionado. Com o
motor funcionando, o efeito combinado da gravidade e
da força motriz produzem uma aceleração constante de
módulo 3,00 g dirigida para cima e formando um
ângulo de 30,00 com a horizontal. Por razões de
segurança, o foguete deve pemanecer pelo menos a uma
distância de l ,00 km à frente da aeronave quando ele
sobe até atingir a altura da aeronave. Sua tarefa é
calcular o intervalo de tempo mínimo da queda do
fogueie antes do seu motor ser acionado. Despreze a
resistência do ar. Sua solução deve incluir:
(i) um diagrama que mostre as trajetórias do
voo do foguete e da aeronave, identificadas mediante
seus respectivos velores para a velocidade e a
aceleração em diversos pontos;
(ii) um gráfico x-t que mostre os movimentos
do foguete e da aeronave; e
(iii) um gráfico v-t que mostre os movimentos
do foguete e da aeronave. Nos diagramas e nos gráficos,
indique o instante em que o foguete é lançado, o
instante em que o motor é acionado e o instante em que
o foguete sobe atingindo a altura da aeronave.
3.75 Dois estudantes estão praticando
canoagem em um rio. Quando eles estão se dirigindo no
sentido contrário ao da corrente, uma garrafa vazia cai
acidentalmente da canoa. A seguir, eles continuam
remando durante 60 minutos, atingindo um ponto 2.0
km a montante do ponto inicial. Nesse ponto eles notam
a falta da garrafa e, pensando na preservação do meio
ambiente, dão uma volta e retomam no sentido da
corrente. Eles recolhem a garrafa (que acompanhou o
movimento da corrente) em um ponto situado a 5,00 km
a jusante do ponto onde eles retornaram,
(a) Supondo que o esforço feito para remar
48
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
seja constante em todas as etapas do trajeto, qual a
velocidade de escoamento do rio?
(b) Qual seria a velocidade da canoa em um
lago calmo, supondo que o esforço feito para remar seja
o mesmo?
Figuras
49
Física 1 – Capítulo 1 – Sistemas de Unidades, Grandezas e Medições – Prof. Dr. Cláudio. Sérgio Sartori.
 Referência:
Sears e Zemansky – Física I, 10a Edição –
Mecânica – Editora Pearson.

Provas
P1
P2
P3
R
MS
MS
5
Data
25/03
13/05
24/06
28/06
P1 P2 P3
3
MS R
Ms
2
50