v - UFPa

ASSUNTO: Mecânica
por
Jordan Del Nero
[email protected]
UFPA/CCEN/DF
Campus Universitário do Guamá
66.075-110 - Belém - Pará - Brasil
Capítulo 1 – Medidas Físicas
1- Grandezas físicas, padrões e unidades;
2- Sistema Internacional de Unidades (ou Sistema Métrico)
3- Definição de metro, segundo e quilograma;
4- Transformações de unidades;
5- prefixos e notação científica.
A Física baseia-se na medida.
Definição:
estabelece
um
padrão e atribui uma unidade
através de acordo Internacional.
Muitas das comparações com o
padrão são indiretas.
Comecemos, então, por aprender como medir as grandezas físicas, em termos
das quais as leis das físicas são expressas.
Obs: Muitos dos termos usados em física são também utilizados na linguagem
cotidiana.
Para R. Oppenheimer: “Freqüentemente, o fato de usarmos em física as
mesmas palavras do dia-a-dia e na linguagem coloquial pode dar mais motivo
para confusão do que para esclarecimento”.
(1971)
(popularmente conhecido como sistema métrico)


padrão
unidade
As unidades estão na escala humana.
Os E.U.A que não adotou o SI. Adotou a jarda como
medida de comprimento oficial.
14a Conferência de Pesos e
Medidas.
Padrão
de
massa
1kg
(1983, 17a CGPM)
1a definição: República Francesa (1792) estabeleceu o metro como a décima
milionésima parte da distância do Pólo Norte até o Equador. Depois, como a
distância entre 2 traços gravado próximos às extremidades de uma barra de
platina-irídio.
metro padrão mantido no Bureau de Pesos e Medidas, na França.
metro padrão atômico como sendo 1,65.106 alaranjada emitida por átomos de
criptônio-86 em tubo de descarga de gás.
(1967, 13a CGPM)
1a definição: em termos da rotação da Terra. Qualquer fenômeno repetitivo é um
possível padrão de tempo.
(1kg)
Padrão secundário de massa é o isótopo de C12
1u.m.a  1,6605402.1027 kg
(espectrômetro de massa)
Variações na duração do dia (ms)
Variação da rotação da Terra, para
um período de 4 anos, comparada
com um relógio de Césio.
4
3
Ex: Isaac Asimov propôs uma unidade de
tempo, baseada na mais alta velocidade e
na menor distância mensurável, chamada
o fermiluz – o tempo gasto pela luz para
percorrer uma distância de 1 fermi (=10-15m
= 1 femtômetro = 1fm). A) Quantos
segundos há em 1fermiluz?
2
1 fm
1015 m
24
1 fermiluz 


3,33.10
s
8
c
3.10 m / s
1
A partícula mais instável até hoje conhecida
tem vida média de 10-23s, antes de
desintegrar-se.
1980
1981
1982 1983
B) Quantos metros há em 1ano-luz?.
Essas variações podem ser atribuídas
as marés provocadas pela Lua e às
variações sazonais dos regimes de
ventos.
Obs: os átomos são usados como
marcadores de tempo para verificar
as variações na velocidade da Terra.
1ano  luz  c.t  3.108 m / s.3,16.107 s
1ano  luz  9, 48.1015 m  9, 48Pm
A estrela mais próxima (Alfa do Centauros)
está a uma distância de 4.1016m. Ela está
afastada 4,2anos-luz da terra.
Obs: Para expressar números muito grandes ou muito pequeno, freqüentemente,
utilizados em Física, usamos a chamada notação científica.
3.560.000.000 m = 3,56.109m
e
0,000 000 492 s = 0,492.10-6m
3.560.000.000 m = 3,56.109m = 3,65Gm
e
0,000 000 492 s = 0,492.10-6m = 0,429m
10-18
atto
a
d2
m2
GF
N 2
Mm
kg
(SI)
2
d2
L
GF
 MLT 2 2  M 1L3T 2
Mm
M
Transformações de Unidades
Com bastante freqüência precisamos mudar as unidades nas quais as grandezas
físicas acha-se expressa. Isto é feito por meio da chamada conversão em cadeia.
1min
1
60s
60s
1
1min
1
Isso não é equivalente a:
1
60
Obs: O número e a unidade devem ser considerados em conjunto.
60
e
1
1
Ex: O submarino de pesquisas ALVIN está submergindo a 36,5 braças/minuto
(fathon/minute). A) Expresse essa velocidade em m/s. Dado: 1braça = 6pés = 1,8m.
braça
braça 1min 6 pés
1m
36,5
 36,5
.
.
 1,11m / s
min
min 60s 1braça 3, 28 pés
B) Quanto vale esta velocidade em milhas por hora?
36,5
braça
braça 60 min 6 pés
1mi
 36,5
.
.
 2, 49mi / h
min
min
1h 1braça 5280 pés
C) Quanto vale esta velocidade em anos-luz por ano?
1ano  365dias  365.86400s  3,1536.10 7 s
1a.l  3.108 m / s.3,1536.10 7 s  9, 46.1015 m  9, 46.10 12 km
braça
m
1a.l
3,16.107 s 3,5076 8
9
36,5
 1,11 .
.

.10

3,
71.10
a.l / a
15
min
s 9, 46.10 m
1a
9, 46
Obs:
1 jarda = 0,9144m
e
1 polegada = 2,54cm
Ex: Em prova de velocidade, tanto 100 jardas como 100 metros são usados como
Distâncias para corrida. A) Qual é maior?
1 jarda = 0,9144m
1 jarda -------- 0,9144m
100jardas-------- x (m)
x = 91,44m
Logo, 100 jardas é maior que 100 metros.
B) Qual é a diferença, em metros, entre estas distâncias?
x = 100m – 100 jardas = 100m - 91,44m = 8,56m
C) E em pé?
x  8,56m.
3, 28 pés
 28,1 pés
1m
Logo, 100 jardas é maior que 100 metros por 8,56 metros ou 28,1 pés.
Casa de boneca:
V2
3
144 10 5
1
V1    .20.12.6 
  0,83m3 +
144 12 6
 12 
3
10 3
5
1
V2    .20.6.3 

 0, 2083m3
12 12 24
 12 
Vt  1,0383m3
V1
3
Casa-miniatura:
144 10
 1 
4 3
V3  
.20.12.6


4,8225.10
m

144 20736
 144 
3
2,5
 1 
4 3
V4  
.20.6.3


1,
205.10
m

20736
 144 
Vt  6,0275m3
+
1UA = dTS = 1,5.1011m
Capítulo 2 – Movimento Retilíneo
1- Consideraremos o movimento apenas em linha reta (vertical
ou horizontal);
2- Buscaremos apenas descrever o movimento sem nos
preocupar com as suas causas;
3- Consideraremos apenas aqueles objetos que possam ser
representados como partículas (massa puntiforme) se cada
parte dele (cada átomo) mover-se exatamente do mesmo
modo.
Posição
1a questão em cinemática é: “Onde está a partícula móvel?”
x = x(t) descreve o M.R.
Tipo de movimento mais simples – o
repouso. Representa um carro
estacionado no km 60.
Gráfico similar para um carro que se
move com velocidade constante de
80 km/h (ou 4/3 km/min).
Posição
1a questão em cinemática é: “Onde está a partícula móvel?”
x = x(t) descreve o M.R.
Representa o gráfico de x(t) para 3
animais correndo com velocidades
diferentes.
Obs: Se a curva x(t) é uma linha reta, a velocidade é constante e igual à inclinação da
Reta. Vemos que o leopardo corre 500m em aproximadamente 16s. Logo, v = 31,1m/s.
A pergunta seguinte é: “ Quão rápido se move a partícula?”
x = x(t) descreve o M.R.
vmed > 0 => x2 > x1.
vmed = 0 => x2 = x1.
vmed < 0 => x2 < x1.
x = xo +vmed.t
(função horária da posição)
É a inclinação da linha reta que liga
os extremos do intervalo.
a
N
tga 
x x2  x1

 vmed
t t2  t1
Obs: Entretanto, não queremos
saber vmed e sim vinst.
Continua a pergunta: “ Quão rápido se move a partícula num instante de tempo?”
Ou seja, é a inclinação da reta naquele ponto.
taxa de variação de
x em relação a t.
Tabela: ajudará a compreender o processo de tomada do limite e o significado
da derivada.
posição x tempo
2,0
posição (m)
1,5
1,0
0,5
0,0
0
1
2
tempo (t)
3
4
x  3t 2  4t  2
2
dx d  3t  4t  2 
v

dt
dt
v  6t  4
v v  vo v  vo
a


t t  to
t
v  vo  at
at 2
x
 vot  xo  3t 2  4t  2
2
v  vo  a.t  4  6t
v = vo +amed.t (função horária da velocidade)
Designa decréscimo na velocidade escalar.
velocidade escalar média (vm):

x = xo + vmed.t
vmed. = v + vo
2
vm = deslocamento total percorrido
tempo total
x = xo + (v + vo).t
2
x = xo + (2vo + a.t).t
2
v = vo + amed.t
t = v - vo
amed
x = xo + vo(v-vo) + a.(v-vo)2
a
2 a2
v2 = vo2 + 2a.(x-xo)
x = xo + vot + a.t2
2
(função horária de x(t))
Gráficos de x, v e a em função de t:
x  t   7,8  9, 2t  2,1t 2
dx  t 
 9, 2  4, 2t
dt
dv  t 
a
 4, 2
dt
v
at 2
x  t   xo  vot 
 7,8  9, 2t  2,1t 2
2
v  vo  at  9, 2  4, 2t
a  2.2,1  4, 2
Isto é,
MRUV
na horizontal
MRUV
na vertical
(queda livre)


Tabela: Equações para o movimento com aceleração constante.
Relação
v  vo  at
at 2
x  xo  vot 
2
v 2  vo 2  2a  x  xo 
v v
x  xo   o
t
2


at 2
x  xo  vt 
2
v  vo  gt
gt 2
y  yo  vot 
2
v 2  vo 2  2 g  y  yo 
v v
y  yo   o
t
 2 
gt 2
y  yo  vt 
2
Grandeza que Falta
x  xo
v
t
a
vo
y  yo
v
t
a
vo
Obs: Queda livre
(cair no vácuo sem os
efeitos da resistência
do ar ou atrito).
Foto estroboscópica,
fhashes, observe que
a bola ganha velocidade
à medida que ela vai
caindo. A rotação da
terra influencia no valor
de g.
Obs: Queda livre (cair no vácuo sem os efeitos da resistência do ar ou atrito).
Foto estroboscópica, fhashes, observe que o corpo ganha velocidade à medida
que ele vai caindo. A rotação da terra influencia no valor de g.
Experiência de Galileu
queda livre dos corpos
Ausência da resistência do ar
na queda dos corpos
Efeitos da resistência do ar
na queda dos corpos
Ex: Se você reduzir a velocidade de 75km/h para 45km/h, percorrendo uma distância
de 88m. A) Qual é a aceleração, supostamente constante?
 45km / h    75km / h   2, 05.104 km / h2  1, 6m / s 2
v 2  vo 2
a

2  x  xo 
2.0, 088km
2
Falta t
2
B) Qual é o tempo decorrido neste processo?
Falta a
t
2  x  xo 
2.0, 088km

 1,5.103 h  5, 4s
 vo  v  45km / h  75km / h
C) Se você continuar freando com a aceleração calculada no item (a), quanto tempo
Passará até o carro parar?
Falta x - xo
t
v  vo
0  75km / h
3


3,
7.10
h  13s
4
2
a
2, 05.10 km / h
D) Qual será a distância percorrida?
x  vot 
2
at
  75km / h  .  3, 7.103 h  
2
Falta v
 2, 05.104 km / h2  .3, 7.103 h 
2
2
 0,137km  140m
E) Suponha que a = -1,6m/s2 percorrendo x = 200m. Determine t?
Falta vo e v = 0
t
2  x  xo 
2.  200m 

 16s
2
a
1, 6m / s
Ex: Um operário deixa cair uma ferramenta do topo de um edifício. A) Qual a posição
da ferramenta 1,5s após ter sido largada?
9,8m / s 2 . 1,5s 
at
y  vot 
 0. 1,5s  
 11m
2
2
2
2
Falta v
B) Com que velocidade a ferramenta cai neste instante?
Falta y - yo
v  vo  gt  0  9,8m / s 2 .1,5s  15m / s
Tabela: características do movimento até 4s.
t
0
1s
2s
3s
4s
.
.
y = yo –gt
0
-4,9m
-19,6m
-44,1m
-78,4m
.
.
v = vo – gt
0
-9,8m/s
-19,6m/s
-29,4m/s
-39,2m/s
.
.
a = -g
-9,8m/s2
-9,8m/s2
-9,8m/s2
-9,8m/s2
-9,8m/s2
.
.
(indica que a ferramenta
está abaixo do ponto
em que foi largada)
(indica que a ferramenta
está se movimentando
para baixo)
Ex: Um arremessador atira uma bola para cima, com velocidade inicial de 25m/s.
A) Quanto tempo ela demora para atingir o ponto máximo (v = 0)?
Falta y - yo
t
vo  v 25m / s  0

 2, 6s
2
g
9,8m / s
B) Qual a altura atingida pela bola?
Falta t
2
vo 2  v 2  25m / s   0
y

 32m
2
2g
19, 6m / s
2
C) Quanto tempo demora para a bola atingir uma altura igual a 25m acima do ponto de
lançamento?
y  vot 
2
gt
 25m   24m / s  t  4,9m / s 2 .t 2
2
4,9t 2  24.t  25  0  t 
24  86
9,8
t´ 1, 4s............t´´ 3, 7 s
Obs1: Isso não é surpreendente, pois a bola passa 2 vezes pelo ponto 25m (na subida
e na descida). Isto é, o tempo em que a bola atinge o ponto mais alto deve estar no
meio do intervalo definido por estes 2 valores.
t
t´t´´ 1, 4s  3, 7 5,1s


 2, 6s
2
2
2
Obs2: Caso o tempo dê negativo não o abandone , pois refere-se a tempos
anteriores a t = 0, o instante arbitrário do qual você decidiu dar a partida no seu
cronômetro.
Capítulo 3 – Cálculo Vetorial
1- Grandezas escalares obedecem às leis da Álgebra Elementar
e vetoriais obedecem as leis da Álgebra Vetorial (x, v, a,...);
2- Soma, subtração, multiplicação e divisão de vetores;
3- Produto escalar e vetorial;
4- Vetores e seus componentes.
O que é um Vetor?
GRANDEZAS FÍSICAS
Tudo que pode ser medido
GRANDEZA ESCALAR
Possui valor numérico e unidade
Massa
m
Tempo
GRANDEZA VETORIAL
Possui valor numérico,unidade,direção e sentido
Temperatura
Força
Velocidade
T
F ou
F



t
Aceleração
v ou
v
a ou
a
Uma partícula limitada a mover-se numa reta pode ter apenas 2 sentidos de movimento.
x, v, a < 0
-15m -10m -5m
x, v, a > 0
0
5m
10m 15m
Obs: Foi o que vimos no capítulo2, como o movimento era apenas em 1-D tratamos
ele escalarmente.
Para uma partícula que se movimenta em 2-D ou 3-D, entretanto, as coisas não são
tão simples e apenas um sinal negativo ou positivo não é suficiente para definir a
direção de x, v e a. Necessitamos, então de um vetor (do latim vectore e significa o
que carrega. Ele parece apropriado para o vetor posição r, que carrega a partícula
de um ponto para outro).
Geometricamente um vetor pode ser representado por uma flecha.
O tamanho desta é proporcional ao módulo do vetor, o ângulo que a flecha
forma com um eixo de referência nos fornece a direção do vetor, e o sentido do vetor é
dado pela extremidade da flecha. Veja figura:
A figura mostra como uma fecha, pode ser usada para
representar um vetor. O seu tamanho é proporcional
ao módulo do vetor. O ângulo de 45º nos fornece a
direção e a extremidade da flecha nos indica o sentido
do vetor.
v
taco
a
r
Bola de beisebol
Obs: O vetor r nada diz a respeito
da trajetória da partícula.
Obs: O vetor r nada diz a respeito da trajetória da partícula.
1
B
2
3
Trajetórias diferentes
1, 2 e 3
3 é o vetor deslocamento (ou posição).
A
Soma e Subtração de Vetores: Método Geométrico
Soma: Dois ou mais vetores podem ser somados geometricamente, simplesmente
deslocando os vetores, sem mudar sua direção e sentido, fazendo com que a origem de
um coincida com a extremidade do outro. O vetor soma ou resultante é obtido unindose a origem do primeiro com a extremidade do ultimo vetor, como mostra figura:
A figura mostra como podemos
somar geometricamente vetores.
Em (a) somamos os vetores A e B e
em (b) somamos três vetores A, B e
C.
S  A B
S  A B C
A
B
Propriedades da Adição vetorial:
B
A

A B  B  A


C
B
(lei comutativa)
A B C  A B C

(lei associativa)
A
Obs: As 2 leis também são válidas na álgebra elementar.
Oposto de um Vetor: è um vetor que possui o mesmo módulo e direção, porém
sentido trocado, veja:
Subtração: Para subtrairmos geometricamente um vetor de outro, usamos o mesmo
método da soma, porém devemos antes criar o oposto do vetor que desejamos subtrair.
Feito isso, a subtração é feita somando-se o vetor com o oposto do outro. Veja
figura:
O vetor subtração ou diferença d é indicado na
figura (b). Ele é uma forma especial da adição.
 
d  a  b  a  b
Método Analítico
- consiste em definir um sistema de coordenadas cartesianas e decompor os vetores
segundo as suas componentes nestes eixos.
A fig. mostra um vetor a cuja origem coincide com a origem de um sistema de
coordenadas retangular. Se desenharmos perpendiculares da ponta de a aos eixos, as
grandezas ax e ay assim formadas são chamadas de componentes cartesianas do vetor a .
Relações métricas num triângulo retângulo
Dado o triângulo abaixo, as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente,
são definidas como:
cateto oposto b
sen  

hipotenusa
c
cateto adjacente a

hipotenusa
c
cateto oposto
b
tg 

cateto adjacente a
cos  
c 2  a 2  b 2 Teorema de Pitágoras
Uma vez que o vetor esteja decomposto em suas
componentes, podemos usá-las para encontrar o módulo
e a direção do vetor, fazendo-se:

ax  a cos 

e a y  a sen 
Modulo : | a | a x2  a y2
Direção :   arctg
ay
ax
VETORES UNITÁRIOS
Quando decompomos um vetor em suas componentes, às vezes é útil introduzir um
vetor de comprimento unitário em uma dada direção. Freqüentemente é conveniente
desenhar vetores unitários ao longo dos eixos de coordenadas escolhidos. No sistema de
coordenadas retangulares os símbolos especiais i, j e k são usualmente utilizados para
indicar vetores unitários, nos sentidos positivos x, y e z respectivamente, conforme
mostra a fig.
-
Qualquer vetor pode ser escrito em termos dos vetores unitários. Cada um
desses vetores especificam uma direção. Veja os vetores a e b.
Soma e Subtração de Vetores pelo Método das projeções:
Considere os vetores a e b, os quais desejamos somá-los, usando o método das
projeções.
Obs: “2 vetores são iguais se, e somente se, os seus
componentes forem iguais”.
j





a  a x  a y  iax  ja y b  b x  b y  ibx  jby
s



ax | a | cos 


i
bx | b | cos 

Modulo : | a | a  a
2
x
Direção :   arctg
ay
ax
2
y

e a y | a | sen 

e by | b | sen 

Modulo : | b | bx2  by2
Direção :   arctg
by
bx
     
s  a  b   a x  b x    a y  b y   i  ax  bx   j  a y  by 

 




sx  ax  bx

s  sx 2  s y 2
s y  a y  by
2) Encontre as componentes resultantes nas
direções x e y, as quais chamaremos de:
Rx= ax + bx
Ry= ay + by
j
i
     
R  Rx  R y   a x  b x    a y  b y 

 







R  R x  R y  i  ax  bx   j  a y  by 
3) Encontre o módulo e a direção do vetor
resultante R, através das equações:
Modulo : | R | Rx2  Ry2
Direção :   arctg
Ry
Rx
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES
Como os escalares, vetores de diferentes tipos podem ser multiplicados entre si para
gerar grandezas com novas dimensões físicas. Como os vetores possuem direção e
sentido além de módulo, a multiplicação vetorial não pode seguir as mesmas regras
algébricas da multiplicação escalar. Temos de estabelecer novas regras:
1) Multiplicação de um vetor por um escalar: A multiplicação de um vetor por um
escalar tem significado simples: o produto de um escalar c por um vetor a, escrito como
c a, é definido como um novo vetor cujo módulo é c vezes o módulo de a . O novo
vetor tem a mesma direção e sentido de a se c for positivo e a mesma direção porém
sentido oposto se c for negativo.




b  c. a
F  m. a
2) Produto Escalar: É quando multiplicamos dois vetores e o resultado é um escalar. O
 
 
 
 
produto escalar é definido como:
a b  | a || b |cos 
W  F  d  | F || d |cos 
3) Produto Vetorial: É quando multiplicamos dois vetores e o resultado é um novo vetor.
O produto vetorial de dois vetores a e b é escrito como a  b e é um vetor c, onde c = a
 b. O módulo de c é definido por:

 
 
Onde: |a| e |b| são os módulos dos vetores a e b
e cos é o co-seno do ângulo , formado entre
os vetores.
c | a b |  | a || b |sen 





 | d  F |  | d | F |sen 
A direção do vetor c obtido através do produto vetorial é sempre perpendicular ao
plano formado pelos vetores a e b e seu sentido é dado pela regra da mão direita . Veja
figura. Nesta regra devemos desenhar os vetores a e b com origens coincidentes e
imagine um eixo perpendicular ao plano formado por a e b que passe pela origem.
Agora dobre os dedos da sua mão direita em torno desse eixo, “empurrando” com a
ponta dos dedos o vetor a sobre o vetor b pelo menor ângulo possível entre eles e
,mantendo o polegar estendido; o polegar apontará no sentido do produto vetorial a 
b.
Regra da Mão Direita
Ex1: Com os vetores abaixo, encontre geometricamente os vetores:
a) R = A + B + C + D, b) S = A - B - C - D e c) Q = A - B + C - D
Solução:
a) R = A + B + C + D,
R
c) Q = A - B + C – D
-C
C
D
A
B
b) S = A - B - C - D
C
-B
-D
S
-D
-B
A
A
Q
Ex2: Eis aqui 3 vetores expressos por intermédio dos vetores unitários i e j:


a  4, 2i  1,6 j
b   3,6i  2,9 j

c   3, 7 j
Todos os 3 vetores estão no plano xy, nenhum deles tem componente z. Determinar o
vetor r que seja a soma destes 3 vetores. Por conveniência, não mencionamos as
unidades nestas expressões vetoriais. Se achar necessário, pode tomá-las como metros.
Solução:
rx  ax  bx  cx  4,2  3,6  0  0,6
Logo,


ry  ay  by  cy  1,6  2,9  3,7  2,4

r  r x  r y  irx  jry  0,6i  2,4 j
Encontre o módulo e a direção do vetor r?
 ry 
 62,7km 
o
  arctg    arctg 

74

r
18,3
km


 x
r  rx 2  ry 2 
18,3   62,7 
2
2
 65km
(vetor soma)

a



c
r
b
Ex3: O vetor a está localizado no plano xy. O seu módulo é igual a 18 unidades e
aponta em uma direção que faz um ângulo de 250o com o eixo x. O vetor b tem
módulo igual a 12 unidades e aponta na direção z. (a) Qual é o produto escalar destes
2 vetores?
z
 


a . b  a . b cos   18.12.cos90  0
o


a
b

250o

a b
z


a
b
y
160o
x
y
Isto quer dizer que nenhum dos 2 vetores
tem componentes na direção do outro.
z
x
(b) Qual é o produto vetorial dos vetores a e b? a





a b


b

a b  a . b s en  18.12.s en90o  216
y
160o
x
Exercícios:
2) Dado os vetores abaixo encontre o módulo a direção e o sentido do vetor soma, e
faça um esboço do mesmo, nos seguintes casos:
3) Encontre as componentes dos vetores mostrados na figura
ao lado. Encontre o módulo do vetor soma e sua direção. Faça
um esboço do vetor soma. Escreva o vetor soma utilizando a
nomenclatura dos vetores unitários
4) São dados os vetores: a= 4i -3j+2k e b= -i +5j+3k.
Encontre e escreva em notação de vetores unitários os vetores:
a) a + b ; b) a - b , c) um vetor c tal que a - b +c = 0.
5) Uma estação de radar detecta um míssil que se aproxima
do leste. Ao primeiro contato, a distância do míssil é 3600 m,
a 40º acima do horizonte. O míssil é seguido por 123º no
plano leste-oeste, e a distância no contato final era de 7800 m.
Ache o deslocamento do míssil durante o período de contato
com o radar.
Capítulo 4 – Movimento num Plano
1- Movimento em 2-D e 3-D;
2- Auxílio de vetores para descrever o movimento;
3- No movimento 1-D pode ou não está acelerado;
4- No movimento 2-D ou 3-D não escapará da aceleração.

d
Onde se localiza a partícula no movimento em 3-D?
Qual o seu deslocamento vetorial (d) e sua trajetória (ΔS)?
Onde se localiza a partícula no movimento em 2-D?
O deslocamento vetorial (d)
Trajetória ou caminho percorrido
(ΔS)
s
A
B
  
d  PB - PA

d  Δs
Qual é a velocidade da partícula no movimento em 2-D?
A velocidade vetorial (v)
t1

vm
t2

d
t2

vm  vm
y
t1

v2
t2
x
Sistema de referência
 t1
v1


d
vm 
Δt

v3
t3

vv

Onde se localiza a partícula no movimento em 3-D?
Qual é a velocidade da partícula no movimento em 3-D?
Qual é a aceleração da partícula no movimento 3-D?
vz
v
trajetória
y
r=x+y+z
r = ix + jy + kz
r
(soma vetorial)
(vetor posição em 3-D)
vx
vz
Obs: No plano (2-D), fazemos z = 0.
x
z
v = dr = d(ix + jy + kz) = idx + jdy + kdz
dt dt
dt dt
dt
v = ivx + jvy + kvz
a = dv = d(ivx + jvy + kvz) = idvx + jdvy + kdvz
dt dt
dt
dt
dt
v = iax + jay + kaz
Ex1: Um coelho corre através de um estacionamento, no qual um sistema de coordenadas foi estabelecido. A trajetória do coelho é tal que os componentes da sua
posição são dados como função do tempo por
x  t   0,31t 2  7, 2t  28
y  t   0, 22t 2  9,1t  30
e
(a) Calcule a posição do coelho (módulo, direção e sentido) em t = 15s.
x  t  15s   0,3115  7, 2 15  28  66m
2
y  t  15s   0, 22 15  9,115  30  57m
2
O módulo de r é:
r x y 
2
2
 66   75
2
2
 87m
O ângulo  é:
 y
 57 
o
  arctg    arctg 


41

x
66
 


Obs: Apesar de  = 139o tenha a mesma tangente de -41o, o estudo dos sinais das
componentes de r exclui esta solução, como se pode ver no outro slide.
(b) Calcule a posição do coelho nos instantes t = 0, 5, 10, 15, 20 e 25s e esboce a
trajetória do coelho?
y (m)
x  t   0,31t 2  7, 2t  28
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
y  t   0, 22t 2  9,1t  30
e
x (m)
y (m)
r (m)
0
5
10
15
x (m)
20
25
(c) Calcule o módulo e a direção do vetor velocidade e aceleração do coelho no
instante t = 15s.
d  0,31t 2  7, 2t  28
d  0,62t  7, 2 
dvx
t  
 0,62t  7, 2 ax 
dt
dt
dt
2
a


0,62
m
/
s
x
vx  t  15s   0,62 15  7, 2  2,1m / s
dv y
d  0, 44t  9,1
2
d
0,
22
t

9,1
t

30
ay 


t  
dy
vy   t  
 0, 44t  9,1
dt
dt
dt
dt
a y  0, 44m / s 2
vy  t  15s   0, 44 15  9,1  2,5m / s
dx
vx   t  
dt
O módulo de a é:
O módulo de v é:
v  vx  v y 
2
2
 2,1   2,5
2
2
v  3,3m / s
a  ax 2  a y 2 
 0, 44    0,62 
2
2
a  0,76m / s 2
O ângulo  é:
O ângulo  é:
 vy 
  arctg    arctg 1,19   130o
 vx 
 ay 
 0, 44 
o
  arctg    arctg 

145

a

0,62


 x
(d) O gráfico da trajetória dos vetores posição (r), velocidade (v), aceleração (a), bem
com os seus respectivos ângulos:
y(m)
y(m)
0s
0s
28
28
66
66
x(m)
-41o 5s
trajetória
r
-57
60
25s
15s
20s
coelho
a
tangente
5s
145o
15s
-57
60
25s
x(m)
20s v
-130o
coelho
Movimento de um projétil (2-D) para cima fazendo um ângulo o
Obs1: z = 0 e a resistência do ar é desprezível (ou atrito).
Obs2: os movimento na direção x (MR) e y (queda livre) são independentes.
y
trajetória do projétil
v
v
vy
vx
vo
voy
O
vy
vx
vox
v v
x
x
vy
o
v
Ex: bala de canhão
R (alcance)
Logo,
Movimento na direção y:
Movimento na direção x:
x  xo  voxt   vo coso  .t
vox  vo cos o

voy  vo s eno
o
vy
vy  voy  gt  vo s eno  gt
vy  voy  2 g  y  y o    vo s eno   2 g  y  y o 
2
2
2
gt 2
gt 2
y  yo  voy t 
  vo seno  .t 
2
2
Movimento de um projétil (2-D) para cima fazendo um ângulo o
Determinação da equação da trajetória:
x  xo   vo cos o  .t
t
x  xo
 vo cos o 
 x  xo  g  x  xo 
y  yo   vo seno  . 
 

v
cos

2
v
cos

o 
o 
 o
 o
2
Ex: bala de canhão
Onde xo = 0 e yo = 0. Logo, temos:

 2
g
y   tgo  .x  
x
2
 2  v cos  
o
o


Determinação do alcance horizontal (R):
R  x  xo
R   vo cos o  t
e
y  yo  0
gt 2
0   vo seno  .t 
2
g, o e vo são constantes. A eq. tem a forma:
y  ax 2  bx
2vo
t
seno
g
(equação da parábola)
R   vo cos o  t
2vo
R   vo cos o 
seno
g
vo 2
vo 2
R
2seno coso 
sen2o
g
g
Ex1: Uma jogadora de futebol chuta uma bola fazendo um ângulo de 38o com a
horizontal, com uma velocidade inicial de 15m/s. (a) Quanto tempo a bola
permanece no ar?
vo = 15m/s
y
Dados:
trajetória da bola
o = 38o
v
v
v
y
voy
vx
vo
H = ? vy
vx
O
vox

gt 2
gt 2
y  yo  voy t 
  vo seno  .t 
2
2
v v
x
x
o = 38o
No solo y – yo = 0
o
vy
gt 2
 vo seno  .t   0
2
v
R (alcance) = ?
(b) Em que ponto a bola tocou o solo?
R   vo cos o  .t
2vo
t
seno
g
R  15.cos38.1,88  22m
(c) Qual a altura máxima atingida pela bola?
vy 2  voy 2  2 gH   vo s eno   2 gH  0
2
vo s eno 

H
 4, 4m
2g
2
t
2.25
sen38o  1,88s  1,9s
9,8
Movimento de um projétil (2-D) para cima fazendo um ângulo o
Obs1: A medida que vo aumenta maior é a discrepância em não se considerar os
efeitos da resistência do ar.
y
trajetória do projétil
II
vo =160km/h
o = 60o
sem a resistência do ar (vácuo)
(com a resistência do ar => movimento real)
I
x
O
Obs: No capítulo 6, discutiremos o efeito do atrito sobre o movimento dos corpos.
y
a
b
c
x
Movimento de um projétil (2-D) na horizontal
trajetória do projétil
y
vo
Determinação do alcance horizontal (D):
gt 2
y  yo  voy t 
2
vo = vox
vx
H
vy
tq = ?
v v
x
y  y  yo  H
e
x
vy
v
D (alcance) = ?
gt 2
H
2
tq 
2H
g
D  x  xo  votq
D  vo
2H
g
voy  0
Movimento de um projétil (2-D) na horizontal
Ex1: um avião de resgate voa numa altura de 1200m com uma v = 430km/h em
direção a um ponto diretamente acima de uma pessoa que luta contra a água. Em
que ângulo de visada, , deverá o piloto lançar a cápsula de salvamento de modo
que ela chegue (bem próximo) até a pessoa na água?
y
vox = vo = 430km/h = 119,4m/s
O

trajetória do projétil
tq = ?
H
vx
x
vy
v

D (alcance) = ?
D
 1869 
o
  arctg    arctg 

57

H
 1200 
o =
0
0o
gt 2
y  yo  voy t 
2
1200  4,9t 2
1200
tq 
 15,65s
4,9
D  x  xo  votq
D  119, 4.cos 0o.15,65
D  1869m  1,869km
Movimento Circular Uniforme
A a e a v = cte em módulo, mas não em direção (circunferência ou arco circular de raio r).
Ex: Movimento de rotação (diário) e translação (anual) da Terra.
v = |vp| = |vq|
y
Arco circular 
vpy
pontos simétricos

v
q vqx
vpx = v.cos vpy = v.sen
p
vpx
vqy
v
r   r
vqx = v.cos vqy = -v.sen
x
O


Qual o tempo necessário para que a partícula se mova de p para q com v = cte?
y
q
p
2
r
 
O
pq
v
t
r
x
pq
t 
v
r.  2 
t 
v
pq é o comprimento do arco
que vai de p para q. Logo,
pq  r.  2 
Movimento Circular Uniforme
Agora podemos determinar a aceleração média e suas componentes quando a
partícula vai de p para q.
y
Arco circular

vpy
v
q
p
a
v = |vp| = |vq|

vqx
vpx
av

r 
r
vqy
x
O

pontos simétricos

vpx = v.cos
vpy = v.sen
vqx = v.cos vqy = -v.sen
vqx  v px v.cos   v.cos 


0
a x 
t
t


2
2
vqy  v py v.s en  v.s en
2
v
.s
en

v
 s en 
a y 


 



t
r
2

/
v
r
2

r

 



O sinal (-) indica que a aceleração aponta verticalmente para baixo.
Fazendo   0o. Isto é, se aproximar
do ponto médio P, temos:
v2
 s en
a y   lim 
r  0  


v


a


y

r

2
Movimento Circular Uniforme
Agora podemos determinar a aceleração média quando a partícula vai de p para q.
v = |vp| = |vq|
 2

 2
a  ay  ay

2
 v 
v2
 0   
r
 r 
2
2
(aceleração radial ou
centrípeta)

v2
a  ay 
r
Conclusão: MCU => sua aceleração está dirigida para o centro da circunferência e o
y tangente a trajetória no sentido do movimento.
módulo é igual a v2/r e v é sempre
Conclusão: MCU => v e a tem módulos constantes, mas mudam de direção
vqx
continuamente.
v
a
v
v
v
Movimento Circular Uniforme
Não existe relação fixa entre a direção dos vetores v e a para uma partícula nos
seus vários movimentos.
 = 180o
180o >  > 90o
 = 90o
90o >  > 0o
 = 0o
v

v
v

a

projétil
a
lançado
verticalmente
para cima
v
a
v
a
a
projétil
lançado
obliquamente
para cima
projétil no
topo.
descida do
projétil
 projétil
lançado
Para
baixo
Movimento Relativo em 1-D para baixas velocidades
v1
Supor 2 patos voando para o Norte:
v2
v1 = v2
(eles estão em repouso
entre si).
A velocidade de uma partícula depende do sistema de referência (objeto físico ao
qual associamos nosso sistema de coordenadas) do observador.
sistema de referência (natural) => solo. Entretanto, este pode não ser o mais
conveniente. Somos livres para escolher o sistema de referência que quisermos.
No entanto, escolhido o sistema de referência, devemos ficar atentos para que
todas as medidas sejam feitas em relação a ele.
Supor:
Alex
A e B observam P.
Bárbara
Referencial A
Está parado
(Repouso)
xBA
xPA
Referencial B
Move-se com v = cte
vBA (velocidade relativa)
P (carro) move-se
xPB
vPB
vPA
x
x
A posição de P medida por A é
igual à posição de P medida em B
mais a posição de B medida por
A;
xPA  xPB  xBA
d
d
d
 xPA    xPB    xBA 
dt
dt
dt
vPA  vPB  vBA
Movimento Relativo em 1-D para baixas velocidades
A e B observam P.
Supor:
Alex
Bárbara
Referencial A
Está parado
(Repouso)
xBA
xPA
A posição de P medida por A é
igual à posição de P medida em B
mais a posição de B medida em
por A;
Referencial B
Move-se com v = cte
vBA (velocidade relativa)
P (carro) move-se
xPB
vPB
vPA
x
x
vB = cte com relação a vA => vBA nunca muda.
d
 vBA   0  aBA
dt
d
d
d
 xPA    xPB    xBA 
dt
dt
dt
vPA  vPB  vBA
Como,
Consideramos apenas os referenciais que se
movimentam com v = cte um em relação ao outro
(referencial inercial)
vA = 0 e vB = v. Logo, vBA = v = cte.
xPA  xPB  xBA
vBA  cte
vPA  vPB  vBA
d
d
d
 vPA    vPB    vBA 
dt
dt
dt
aPA  aPB
Conclusão: Para sistemas inerciais (v = cte),
ambos os observadores medirão a mesma
aceleração para a partícula móvel.
Ex: Movimento Relativo em 1-D para baixas velocidades
Alex, estacionado no acostamento de uma auto-estrada leste-oeste, observa o carro
P, que se move rapidamente na direção oeste. Bárbara, dirigindo para leste com
uma velocidade vBA = 80km/h, observa o mesmo carro. Considere a direção leste
(+). (a) Se Alex medisse uma velocidade vPA = -129km/h de carro P, qual seria a
velocidade medida por Bárbara?
vPA  vPB  vBA
vPB  vPA  vBA
vPB  129  80  209km / h
(b) Se Alex visse o carro P frear, parando em 10s, qual seria a aceleração,
supostamente constante, que ele mediria?
v  vo 0   129 
a

 3,6m / s 2
t
3,6.10
P pára apenas para A.
(c) Se Bárbara visse o carro P frear, parando em 10s, qual seria a aceleração,
supostamente constante, que ele mediria?
v  vo 80   209 
a

 3,6m / s 2
t
3,6.10
P se move com -80km/h.
Movimento Relativo em 1-D para altas velocidades
Para baixas velocidades: v << c
Supor:
Alex
A natureza deu-nos um padrão.
Bárbara
Referencial A
Está parado
(Repouso)
xBA
xPA
Referencial B
Move-se com v = cte
vBA (velocidade relativa)
P (carro) move-se
xPB
vPB
vPA
x
x
A e B observam P.
c = 299.792.458 m/s
Relatividade: c é a velocidade
limite para uma partícula ou
onda no vácuo viajar
independente do referencial.
Entretanto, c depende do meio.
vPB  vBA
vPA 
1  vPB vBA / c 2 (Einstein)
Obs: A mecânica de Newton é
Um caso particular da Teoria da
Relatividade Restrita.
xPA  xPB  xBA
d
d
d
x

x

 PA 
 PB  xBA
dt
dt
dt
vPA  vPB vBA
Para altas velocidades: v  c

(Newton)
vPB  c, vBA  c
vPB vBA
0
2
c
vPA  vPB  vBA
Ex: Movimento Relativo em 1-D para altas velocidades
(Baixas velocidades) Para vPB = vBA = 0,0001c ( 108.000km/h), qual é a previsão
que pode ser feita para vPA com base nas 2 equações de velocidade?
Para altas velocidades: v  c
Para baixas velocidades: v << c
vPA  vPB  vBA
vPA  2.0,0001c
vPA  0,0002c
vPB  vBA
vPA 
1  vPB vBA / c 2
0,0002c
vPA 
1  0,00000001
vPA 
0,0002c
1   0,0001 c 2 / c 2
2
vPA  0,0002c
Conclusão: Para qualquer velocidade adquirida por um objeto comum, as 2 equações
Fornecem essencialmente o mesmo resultado.
(Altas velocidades) Para vPB = vBA = 0,65c, qual é a previsão que pode ser feita para
vPA com base nas 2 equações de velocidade?
vPA  vPB  vBA
vPA  2.0,65c
vPA  1,3c
vPB  vBA
1  vPB vBA / c 2
1,3c
vPA 
1  0, 42
vPA 
vPA 
1,3c
1   0,65  c 2 / c 2
vPA  0,91c
2
Movimento Relativo em 2-D (movimento vetorial)
Para baixas velocidades: v << c
A e B observam P.
Bárbara
r PA  r PB  r BA
Supor:
Alex
Referencial B
Referencial A
Está parado
(Repouso)
 
vPA
vPB
y
y
 
v PA  v PB  v BA
P
rPB
vBA
rPB
x
rBA
 
d
d
d
r PA 
r PB 
r BA
dt
dt
dt
(Move-se com v = cte)
(carro) move-se
x
As coordenadas x e y dos 2 referenciais
são paralelos.
Como,
v BA  cte
 
 
d
v BA  0  a BA
dt
 
 
d
d
d
v PA 
v PB 
v BA
dt
dt
dt
a PA  a PB
O que valia para o movimento 1-D vale
para 2-D.
Capítulo 5 – Força e Movimento I
1- Definição de Leis de Força e Leis de Movimento;
2- sistemas de referências (inercial e não-inercial);
3- Inércia e força;
4- Leis de Newton;
Força e Movimento - l
Dinâmica – parte da Mecânica que estuda
os movimentos, suas causas e efeitos.
Ex.:
- o corpo que entra em movimento;
Para entrar em movimento um
corpo precisa de um força.
- uma corda que é deformada;
A força que na corda atua é
elástica.
- o corpo que é atraído por outro mesmo distante dele,
”pedra x Terra” etc.
Dizemos que:
Força = causa
Aceleração = efeito
Força e Movimento - l
Força 
“ 1
toda ação capaz de provocar variação
“mudança” na velocidade de um corpo” . “ 2 ação capaz de
deformar um corpo” .
- o corpo que entra em movimento;
Para entrar em movimento um
corpo precisa de um força.
- uma corda que é deformada;
A força que na corda atua é
elástica.
- o corpo que é atraído por outro mesmo distante dele,
”pedra x Terra” etc.
Força e Movimento - l
Dinâmica => O movimento está associado a suas causas.
O que acontece quando uma partícula altera sua velocidade?
- Aparece uma aceleração.
Em Dinâmica, nós associamos a aceleração da partícula, à interação entre
ela e as suas vizinhanças (ente externo, pois um ente interno não provoca tal
variação da velocidade).
Tabela: Alguns movimentos acelerados e suas causas
Partícula
movimento
causa
Elétrons
circula em torno do núcleo
núcleo
de um átomo de H
Planetas
giram em torno do Sol
Sol
Prego
atraído por um ímã
ímã
Problema central da Mecânica: (1) é dada uma partícula, da qual
conhecemos algumas características (massa, volume, forma, carga elétrica);
(2) são conhecidas também as posições e as propriedades dos objetos
próximos (isto é, sabemos a respeito das vizinhanças do corpo); (3) como se
moverá o corpo? Isaac Newton (1642-1727) => Leis de movimento e teoria
da gravidade.
Força e Movimento - l
Plano feito por Newton:
(1) Introduziu o conceito de força, a partir da aceleração provocada em um
corpo padrão; (2) mostrou como massas diferentes, na mesma vizinhança,
reagem de modo diferente, adquirindo acelerações diferentes; (3) por fim, leis
da força, meios de calcular a força atuante em um corpo a partir das
propriedades dele e de sua vizinhança.
Leis de força (a força é uma interação entre o ambiente e o corpo)
Como calcular F?
ambiente
força
corpo
aceleração
Leis de movimento (a força que atua no corpo o acelera)
Logo, a força surge da interação entre o objeto e a sua vizinhança (ambiente).
1a Lei de Newton (bases em Galileu que morreu no ano em que Newton
nasceu)
Antes de Galileu
F  corpo  movimento com v = cte.
Corpo no seu estado natural quando em repouso.
Força e Movimento - l
Se não houvesse força continuamente o corpo parava. Isto não está
totalmente errado. Por causa do atrito. Imaginando uma superfície sem atrito
o corpo não pára.
Conclusão: Não é preciso força para manter o corpo em movimento com v =
cte (coincide com o movimento relativo em 1-D).
Um corpo, em repouso em um referencial, move-se com v = cte para um
outro observador.
Repouso e movimento com v = cte: não são absolutamente diferentes. Nos
leva a 1a Lei para o movimento ou Lei da Inércia: FR = 0. Se este corpo
estiver em repouso, ele assim permanecerá. Se estiver em movimento com v
= cte, manter-se-á neste estado.
Força e Movimento - l
1a Lei de Newton ou Lei da Inércia: Sendo nula FR = 0, é possível encontrar um
conjunto de sistemas de referência tais que o corpo não tenha aceleração.
1a Lei ou Lei da Inércia: Afirmação a respeito do sistema de referência, no
sentido em que, define o tipo de referencial (inercial) nos quais as leis da
mecânica Newtoniana são verdadeiras.
referencial
(inercial)
repouso
FR = 0
(na bolinha)
Determinado o referencial inercial qualquer outro que se mova com v = cte a
ele, também é um referencial inercial.
Obs: os referenciais girantes não são inerciais (são não-inerciais).
Ex: A terra não é um referencial inercial devido ao seu movimento de rotação.
Isto é, um corpo em queda livre não segue exatamente uma trajetória vertical,
mas desvia-se lentamente para leste.
Na latitude de 45o, um corpo a uma altura de 50m chega a 5mm do pé da
vertical mesmo desprezando os efeitos da resistência do ar.
Força e Movimento - l
Força e Movimento - l
Outros exemplos de aplicações da 1º Lei de Newton
Força e Movimento - l
Resumindo: 1º Lei de Newton
Fr = 0
Repouso => Equilíbrio Estático (v = 0)
M.R.U = >Equilíbrio Dinâmico (v = cte)
Força e Movimento - l
- Definição de Força: Considerando a aceleração que ela imprime em um
corpo de referência padrão (corpo padrão: corpo de 1kg de massa).
L
F1  ma1  1kg .1m / s 2
a1 = 1m/s2
m
1kg
F1  1kg .m / s 2
F1 = ?
F1  1N
L+L
F2  ma2  1kg .2m / s 2
a2 = 2m/s2
m
1kg
F2 = ?
F2  2kg .m / s 2
F2  2 N
Obs: Se a força atuar em um corpo-padrão sabemos que a magnitude dessa força
(em N) é igual numericamente à sua aceleração (em m/s2).
Força e Movimento - l
Logo,
A aceleração é um vetor? E a força também é um vetor?
A direção da força como sendo a da aceleração que ele produz nesse corpo-padrão.
Isto é, não prova que a força é um vetor.
A força tem que obedecer às leis da soma vetorial (experimental).
y
a = 5m/s2 (experimental)
F2 = 3N
m = 1kg
2
2
F

F

F
1
2
F1  ma1  a1  4m / s (eixo..x)
2
F  25
F

ma

a

3
m
/
s
(
eixo
..
y
)
2
2
2
x
Simultaneamente, isso mostra que F é vetor. F  5 N
2

F1 = 4N
Medida de F:
Força e Movimento - l
Obs: Experiências diárias mostram que a mesma força (F) pode produzir acelerações
diferentes em corpos de massa diferentes.
Medida da massa:
Fp  m p a p  Fx  mx ax
Fp  Fx
mp = 1kg
Fp = 1N
mx = ?
Fx = 1N
ax = 0,25m/s2
Se,
m p a p  mx ax
mx 
mp a p
ax
Medida da massa:
1kg.1m / s 2
 mx 
0, 25m / s 2
mx  4kg
Fp  m p a p  Fx  mx ax
mp = 1kg
ap = 5m/s2
mx = ?
Fx = 5N
ax = 1,25m/s2
Fp  Fx
m p a p  mx ax
mx 
mp a p
ax
Medida da massa:
1kg.5m / s 2
 mx 
 mx  4kg
2
1, 25m / s
Força e Movimento - l
Obs: Experiências diárias mostram que a mesma força (F) pode produzir acelerações
diferentes em corpos de massa diferentes.
Agora, comparando o corpo y com o corpo x:
Fy  m y a y  Fx  mx ax
mx = 4kg
ax = 2,4m/s2
my = ?
ay = 1,6m/s2
Fy  Fx
my a y  mx ax
Medida da massa:
mx a x
4kg.2, 4m / s 2
my 
 my 
ay
1, 6m / s 2
my  6kg
Assim, o nosso método direto de atribuir massas a corpos arbitrários (escalar) fornece
respostas consistentes, independentemente da força utilizada para fazer comparações
e do corpo usado como padrão.
Conclusão: a massa é verdadeiramente uma característica do corpo.
: Ela resume tudo isso em:
 F  ma
 F   F   F  ma
i  F  j  F  k  F  m  ia  ja  ka 
i  F  j  F  k  F  ima  jma  kma
F
ext
 ma
ext
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
x
y
y
z
z
Essa lei prediz a a de um objeto sob
a ação de uma ou mais F.
A massa m não varia com o tempo, isto é, não muda se mantém constante.
Essa lei inclui o enunciado formal da 1a lei como caso especial, isto é, se nenhuma
força age sobre o corpo, ele não estará acelerado. Isto não significa minimizar a
importância da 1a lei; o seu papel na definição de um conjunto de sistemas de
referência para a mecânica newtoniana justifica o seu status como uma lei em
separado.
Sistemas de unidades
S.I
CGS
Inglês
Força
massa
Newton kilograma
dyna
grama
libra
slug
aceleração
m/s2
cm/s2
milhas/s2
Tipos de Forças Deformáveis
Tração
Ocorre quando há duas forças, na
mesma
direção,
puxando
em
sentidos opostos.
Flexão
Ocorre quando há carregamento
transversal entre os apoios.
Compressão
Ocorre quando há duas forças, na
mesma direção, empurrando em
sentidos opostos.
Torção
Ocorre quando há o giro das
extremidades em direções opostas.
Fação
Fbc
Fcp
Freação
Fcb
Fpc
Fação
Freação
3a Lei de Newton
As forças surgem de interação mútua de pares de objetos.
Resumindo: Não se pode tocar sem ser tocado.
Essa lei estabelece que, em cada interação, existem sempre 2 forças – uma em cada
objeto – e que estas 2 forças são iguais em intensidades, tendo sentidos opostos e
mesma direção.
Exemplo1:
Mão (M)
Vara (V)
massa m
- FMV
FVM
1o par ação-reação
Bloco (B)
Massa M
- FVB
FBV
Bloco (B)
Massa M
2o par ação-reação
FVM = -FMV
FBV = -FVB
|FVM| = |-FMV|
|FBV| = |-FVB|
Obs: o sinal negativo indica que o sentido é oposto.
Obs: FVM e FVB não formam
Um par ação-reação,
Pois atuam no mesmo
corpo (na vara).
3a Lei de Newton
Onde está a reação?
Na frase: a cada ação corresponde uma reação igual e oposta.
Qualquer uma das forças pode ser a ação.
Por que elas não se cancelam? Como pode alguma coisa mover-se?
As 2 forças do par ação-reação sempre atuam em corpos diferentes, de forma que
nunca se cancelam. Caso contrário, não é um par ação-reação..
Exemplo2: Satélite em órbita.
FST
FTS

-FST age sobre o satélite;
-FTS age sobre a terra;
Terra (T)
Não tem contato.
Essa força é de origem gravitacional.
3a Lei de Newton

Exemplo3: Livro em repouso.
Livro (L)
Mesa (M)
FLT
- 1o par ação-reação: FLT = - FTL (livro e terra);
- 2o par ação-reação : FLM = - FML (livro e mesa);
FML
Terra (T)
FTL
Massa e Peso:
FLM
Obs: FLT e FLM não formam um par
ação-reação, pois atuam no mesmo
corpo (no livro). Ou seja, se cancelam.
Porém, são iguais em módulo e
opostos em sentido.
P = P(x)
P = mg
posição
vetor
vetor
escalar
não muda
Porque g varia de
ponto para ponto.
propriedade intrínseca do corpo
Em qualquer lugar:
m  m(x)
Exemplo:
bola
Terra
PbT = 71N
bola
Marte
PbM = 27N
Lua
PbL = 7N
mbT = mbM = mbL = 7,2kg
Dois Instrumentos de Medida: m  P
Balança de braços iguais:
Esquerda (E)
Direita (D)
régua
Bolas de chumbo
PE = PD
P = P(x)
Balança de mola:
Marcadores em
unidades de massas
g fixo
mE = 1kg

m  m(x)
mola
mD = 1kg
(estão em equilíbrio)
Pt = mg
Obs1: Esses intrumntos são adequados para objetos grandes.
Obs2:Eles não servem para objetos na escala atômica ou subatômica. As Fg = P são
diminutas. Logo, as massas atômicas são medidas pelo uso de campos E e B (em
vez de peso) para acelerar as partículas.
Obs3: O instrumento é denominado espectrômetro de massa.
Aplicações das Leis de Newton
Obs1: Prestar atenção para o caso da polia (partes diferentes dela movem-se de
modos diferentes, sua função é mudar a direção da corda que une os 2 corpos), pois
não é representado por partícula (cada uma de suas partes, por menores que sejam
movem-se exatamente da mesma maneira).
polia
Sistema M
Sistema m
M>m
T
a
a
T
a
m
m
p
M
M
p
P
2a Lei de Newton para os 2 corpos:
P
Para o bloco m:
Para o bloco M:

T – mg = ma
(+)
Mg - T = Ma
Mg – mg = Ma +ma
a(M+m) = g(M-m)
a = g.(M-m)
(M+m)
Aplicações das Leis de Newton
1- polia
Sistema M
Sistema m
M>m
T
a
a
T
m
m
p
M
a
Se M = m, temos:
a = g.(M-m)
(M+m)
M
a=0
p
P
T=P
(é de se esperar)
P
T = ?:
T – mg = ma
T – mg = mg.(M-m)
(M+m)
T (M+m) – mg (M+m) = mg (M – m)
T (M+m) = mg (M+m) + mg (M – m)
T (M+m) = 2mMg
T = 2mMg
(M+m)

Temos 2 modos de escrever:
T = (M + M) .mg
(M – m)
T > mg
T = (m + m) .Mg
(M – m)
T < Mg
Mg > T > mg
Aplicações das Leis de Newton
Forças normais:referenciais não inerciais
sobe…
a>0
Isaac Newton dentro de um elevador
sobre uma balança.
O peso aparente é dado pela força normal.



N  mg  ma
N
balança
mg



a  0  N  mg



a  0  N  mg



a  0  N  mg
Aplicações das Leis de Newton
2- elevador
g
P`
balança
P`
m
observador fixo a Terra
(referencial inercial)
b) a  0 (subindo):
a) a = 0 (parado):
F
ext
 ma
0
P  P´ 0
P  P´ mg
e) a > g (descendo):
P`
a
P` = 0
a=0
a=0
a
Aplicação da 2a Lei de Newton
P´ = peso marcado
na balança
F
ext
 ma
m
P
m
a <g
P
P
m
P
a)
b)
c) a  0 (descendo):
F
ext
 ma
P´P  ma
P´mg  ma
P  P´ ma
mg  P´ ma
P´ m  g  a 
P´ m  g  a 
P´ P  ma
P´ m  g  a 
c)
m
a=g
d)
a>g
P
P´
e)
d) a = g (queda livre):
F
ext
 ma
P´ 0 0
P  P´ ma
P  mg
(P´e a são negativos)
(que não se pode pesar)
Capítulo 6 – Força e Movimento II
1- Definição de Força de atrito;
2- Experimentos envolvendo força de atrito;
Forças de atrito
Leonardo da Vinci (1452 – 1519): um dos primeiros a reconhecer
A importância do atrito no funcionamento das máquinas.
Leis de atrito de da Vinci:
1) A área de contato não tem influência sobre o atrito
2) Dobrando a carga de um objeto o atrito também é dobrado
www.tribologie.nl/backgrounds/history/history.htm
Tribologia
• É a ciência e a tecnologia das superfícies
interagindo em movimento relativo, engloba
o estudo do atrito, desgaste e lubrificação!
Forças de atrito: história
Leonardo da Vinci (1452 – 1519)
Guillaume Amontons (1663 – 1705): redescoberta das leis
de da Vinci
atrito é devido à rugosidade das superfícies


f a  N

F
Charles August Coulomb (1736 – 1806): atrito proporcional
À força normal e independente da velocidade.
Lei de Amontons-Coulomb:


f a  N
História do atrito: continuação
F. Philip Bowden e David Tabor (1950):
área real de contato é pequena!
Microscópio de Força Atômica (1986):
estudo em escala microscópica
Medida microscópica de forças de atrito
Imagens simultâneas de topografia e força de atrito para uma
superfície de grafite. As corcovas representam as corrugações
devidas aos átomos e a escala de cores representam as forças.
O gráfico representa um corte na figura. Observe a escala dos eixos!
http://stm2.nrl.navy.mil/how-afm/how-afm.html
Força de Atrito
Sua origem é eletromagnética, agindo entre os átomos localizados na superfície de
contato entre os corpos. Ocorre porque os átomos atraem-se uns aos outros. se eles
não o fizessem, não haveria molécula, líquidos e sólidos.
1o experimento: livro deslizando sobre uma mesa.
fs
v
Livro (L)

F
fs
Mesa (M)
fs é a força de atrito que diminui a velocidade do livro sobre a mesa até parar.
Para que o livro se mova sobre a mesa com v = cte, temos:
F
ext
 ma
F  fs  0
v = cte
fs
a=0
F = cte
F  fs
Essa F também é cte que contrabalança o fs.
Força de Atrito
v=0
2o experimento:
sobre uma mesa.
livro
a)
b)
deslizando
f < fse
N
N
fs
fs
N
fs
f
P
P
F = cte
c)
F  fs
a=0
O corpo está parado
F  fse
d)
N
F  fse
F
P
F
fs
P
Repouso, entretanto à medida que f aumenta fs também aumenta até um valor
máximo (força de atrito estática, fse). Após. Esse valor rompe-se o repouso.
F > fsc
e)
fsc
N
F
P
Movimento
acelerado
f)
F = fsc
v = cte
fsc
F
P
Movimento
uniforme
fsc é a força de atrito cinético
Fsema´x > fsc
Atritos estático e cinético
Ausência de forças horizontais:repouso

fe

v 0
Força de atrito estático máxima

fe

F

v 0
0  fe  e N

F

v 0

F

fc


F  fc  a  0
fc  c N
Atritos estático e cinético II
e  c
Os coeficientes de atrito depedendem das duas superfícies envolvidas
O coeficiente de atrito cinético independe da velocidade relativa das
Superfícies.
Repouso
Resultado experimental
m = 400g
Coeficientes de atrito
www.physlink.com/Education/AskExperts
materiais
e
c
Aço/aço
Alumínio/aço
Cobre/aço
Madeira/madeira
Vidro/vidro
Metal/metal(lubrificado)
Gelo/gelo
0.74
0.61
0.53
0.25-0.50
0.94
0.15
0.10
0.57
0.47
0.36
0.20
0.40
0.06
0.03
juntas de ossos
0.01
0.003
A transição da fse para a fsc embora
pareça abrupta, mas é contínua.
O movimento entre 2 superfícies secas a baixa velocidade
causa ruído. Ex: cantar dos pneus nas curvas, giz no quadro.
Como medir forças de atrito:problema dos blocos

N
f
m 2 g  m1g  (m1  m 2 )a
T
m1 g
T
m2 g
m2  m1
a
g
m1  m 2
Medida do coeficiente de atrito estático:
limiar do movimento, a = 0
m2
e 
m1
Como medir forças de atrito:
método do dinamômetro
Placa presa
Limiar do movimento:
f mola   e mg
f mola
e 
mg
Como medir forças de atrito: plano inclinado
N
Fa
y
x
F
F
x
 Fa  mgsen   0
y
 N  mg cos   0
Fa   e N
sen 
 e
cos 
Plano inclinado para aulas de fisica (1850)
…mais plano inclinado…bloco em movimento
N
Fa
y
x
mgsen   c mg cos   ma
a  g( sen    c cos )
F
F
x
 Fa  mgsen    ma
y
 N  mg cos   0
Como o coeficiente cinético é menor,
a inclinação pode ser diminuida e o
bloco continuará em movimento
Força de Atrito
Obs: Qualquer superfície melhor polida que seja, tem irregularidades na superfície
de vários milhares de diâmetro atômico.
Vista macroscópica
Vista microscópica
Fator de 104 vezes ou mais que a
microscópica
contato átomo a átomo não é possível
A força de atrito fs está associada a ruptura de milhares de soldas minúsculas.
Mecanismo do atrito quando há deslizamento
F
- F quebra com as soldas e põe o corpo em
movimento.
F
fs
pontos com
soldas e frio
fs
Força de Atrito
Leis do atrito:
Experiência: Quando 2 superfícies sólidas, secas e não lubrificadas, deslizam uma
sobre a outra, o |fs| = ? é dado pelas seguintes leis:
1a Lei -
fs  e.N
fs  N
2a Lei -
fs = c.N
N
é
a
força
perpendicular com a
qual uma superfície
pressiona a outra

Coeficientes de atrito estático (e) e cinético (c)
-e e c independem da área de contato;
- e e c são adimensionais;
- c independe da velocidade do movimento relativo;
-e e c são constantes.
Atrito em Flúidos
Forças de arraste e velocidade terminal
Salto realizado por Adrian Nicholas, 26/6/2000
Esboço de Leonardo da Vinci de 1483
Forças de arraste e velocidade terminal
A força de arraste em um fluido é uma força dependente da
velocidade (ao contrário da força de atrito vista até agora) e
apresenta dois regimes:
a) Fluxo turbulento: velocidades altas
b) Fluxo viscoso: velocidades baixas
Fluxo turbulento
Força de arraste:
1
2
FD  AC D v
2
Coeficiente de arraste
Área da seção transversal do corpo
Densidade do meio
= 1.22 kg/m3
Alguns coeficientes de arrasto
Bola
0.4
Carro esporte
0.3 – 0.4
Carro de passeio
0.4 – 0.5
Avião subsônico
0.12
Paraquedista
1.0 - 1.4
Homem ereto
1.0 – 1.3
força de arrasto FD
velocidade v
2 FD
kg.m / s 2
Cd 

2
 Av  kg / m3  .m2 .  m2 / s 2 
Cd  a dim ensional
A Forma dos objetos influenciando nos efeitos da Força de Arraste
Efeito mais perceptível da resistência
do ar na queda dos corpos
Efeito
menos
perceptível
da
resistência do ar na queda dos corpos
Velocidade terminal: queda de corpos
1
2
FD  AC D v
2
F  0  F
D
FD
 mg
mg
Exemplo da gota de chuva
(Halliday, Resnick)
vT 
2mg
AC D
vT  27km / h
Sem a resistência do ar:
vT  550km / h
Prara-quedas em acção
A resistência do ar na física básica
Resistência do ar é desprezada na maioria dos problemas.
Muitas vezes esta aproximação é irreal.
Por exemplo:
Uma bola de futebol é chutada com velocidade inicial de 19,2 m/s,
num ângulo de 45º, em direção ao gol. Um goleiro, que está a 54,6m
de distância, na linha do gol, começa a correr para interceptá-la. Qual
deve ser a sua velocidade média, para agarrar a bola no exato
instante em que bate no solo? Despreze a resistência do ar.
Fundamentos de Física, Halliday, Resnick e Walker, 4a edição, vol.1, cap.4,
problema
46P.
Solução sem a resistência
• Alcance da bola = 37,75 m
• Tempo de vôo = 2,78 s
• Velocidade do goleiro = (54,6 - 37,75)/2,78 = 6,06 m/s
Distância até o gol
Alcance
Considerando a resistência do ar
Simulação com
Modellus
Comparação
Alcance
(m)
Tempo
(s)
Veloc. goleiro
(m/s)
Sem resistência
37.8
2.8
6.1
Com resistência
23.3
2.4
13.0
Recorde mundial dos 100 m rasos  10 m/s
Em 10 outros problemas retirados
de livros-texto...
Erro médio = 61%
Os problemas foram escolhidos e resolvidos pelos alunos da
disciplina Informática no Ensino de Ciências, em 2005/1.
Quando a resistência do ar pode ser desprezada?
Farrasto
 1
mg
Força de arrasto desprezível
Farrasto 0.5 Ca ar Av 2

mg
mg
gL
 gL
Velocidade inicial para um dado alcance (L): v 
sen (2)
2
Farrasto 0.5 Ca ar AL L


mg
m
L0
onde
m
L0 
0.5 Ca ar A
alcance << L0  resistência desprezível
Quando a resistência do ar pode ser desprezada?
alcance << L0  resistência desprezível
Bola
Raio (m)
Massa (kg)
L0 (m)
Futebol
0.11
0.45
48
Voleibol
0.10
0.27
32
Tênis
0.033
0.058
72
Basquete
0.12
0.60
53
Pingpong
0.020
0.0027
9
Conclusões
- Não constitui boa prática pedagógica desprezar a resistência do
ar em situações onde ela obviamente é importante.
- É fácil saber quando a resistência do ar deve ser levada em conta.
- Os efeitos da resistência do ar podem ser estudados com
programas de modelagem acessíveis a alunos do ensino médio
(por ex. Modellus).
Fluxo viscoso: exemplo simples de aplicação de
equações diferenciais
Força de arraste nesse caso:
FD  6rv
Raio do objeto
Coeficiente de viscosidade
Velocidade terminal:
mg
v
6 r
Questão: como a velocidade aumenta
até alcançar a velocidade terminal?
A = 4r2 = 2,826.10-5m2
vt  9m / s
Questão: como a velocidade aumenta até alcançar a
velocidade terminal?
Variação da velocidade em fluxo viscoso
 F  mg  bv  ma
b  6r
dv
b
'
ma  m
 m( g  v )  m( g  b v )
dt
m
Solução:
dv
 g  b'v
dt
b

t
g
v  ' (1  e m )
b
Velocidade terminal
b
b 
m
'
demonstração
dv
'
 gbv
dt
g
v  ' (1  e
b
Que é igual a
b
 t
m
)
dv
gb

e
dt b' m
g  b' v !!!

b
t
m
 ge

b
t
m
Limites
g
v  ' (1  e
b
Se t  0

b
t
m
)
g
v '
b
Se t  
a exponencial  1
 
bt 
1  1    gt
m 
 
mg
vT 
b
Melhor aproximação para a força
de arraste
Velocidades baixas
Velocidades altas
FD  bv  cv
2
Cada um dos termos domina em um limite de velocidade.
Em baixas velocidades a força é linear, com o aumento
da velocidade novos efeitos devidos a turbulência
aparecem e a força fica proporcional a velocidade
quadrada.
Força de Arraste
Ex: Uma gota de chuva de r = 1,5 mm cai de uma nuvem localizada a uma altura h =
1200 m acima da superfície da Terra. a) Qual a velocidade terminal da gota?
Gota
dágua

4 3
m   r  H 2O
3

H 2O
3
A   r2
vt 
Dados: C = 0,6 e ar = 1,2kg/m3.
vt 
2mg
vt 
C ar A
 10 kg / m
3
8r  H 2O g
3C ar
8. 1,5.103 m  . 103 kg / m3  .  9,8m / s 2 
3.  0, 6  . 1, 2kg / m
3

 7, 4m / s
b) Se não houvesse a força de arraste, qual teria sido a velocidade com que a gota
chegaria ao solo?
v  2 gh
v  2.  9,8m / s 2  . 1200m 
v  153m / s
Exemplo
Bola de vidro de 5g cai em jarra de óleo. A força de
arraste tem coeficientes b = 0.2kg/s e c = 0.1kg/m.
a) Qual o valor da velocidade da bola quando os dois
termos da força são iguais?
b) Que termo domina quando a força e comparável
com a gravidade?
a)
bv  cv
2
0.2 kg s
b
v 
 2m s
c 0.1kg m
b)
bv  mg
mg
v
 0.25 m s
b
v
a
v
v
v
Atrito no movimento circular
moeda
FN  mg  0
fe

FN
f e   e FN   e mg
Para que a moeda não deslize e caia do disco
v2
 e mg  m
r
mg
Atrito no movimento circular II
v2
 e mg  m  m 2 r
r
Para uma dada freqüência de rotação existe um raio
máximo para que a condição acima seja satisfeita:
e 
 2 rmax
g
Outro jeito para medir o coeficiente de atrito!
Força normal no movimento circular
Componente x:
2
v
FN sen   m
r
Componente y
FN cos   mg
Força normal no movimento circular
Portanto:
mg
FN 
cos 
mg
mv 2
 sen  
cos 
r
v  gr tan
Força Centrípeta
Ex: Um satélite de massa 100 kg está orbitando sobre a Terra em uma altitude de
520 km com uma velocidade de 7,6 km/s. (a) Qual a sua aceleração?
7, 6.10 m / s 

v
v
acp  

r RT  h  6,37  0,52  .106 m
2
2
3
2
acp  8,38m / s 2
(b) Qual é a força gravitacional exercida pela Terra sobre o satélite?
Fcp  m.acp  100kg  . 8,38m / s 2   838kg.m / s 2  838N
Força Centrípeta
Ex: A figura mostra um pêndulo cônico constituído de uma esfera de m = 1,5 kg
presa na extremidade de um fio cujo comprimento, medido a partir do centro da
esfera, é de 1,7 m. A esfera gira em uma circunferência localizada no plano
horizontal, com velocidade constante de módulo igual a v. O fio faz um ângulo  =
37o com a vertical. Conforme a esfera gira, o fio varre a superfície de um cone.
Determine o período deste pêndulo, isto é, o tempo  para a esfera completar uma
volta.

L 
T
v2
Resultante das forças na direção x: T .sen  m
0
acp
R
Resultante das forças na direção y:
R
sen v 2

cos  gR
 R  L.sen
P = mg
v
T .cos  mg  0
Dividindo a 1a pela 2a equação, temos:
gR.sen
cos 
  2
2 R

L.cos 
g

gR.sen
cos 
  2,3s
  2
R.cos 
g.sen
Força Centrípeta e Força de atrito
Ex: A figura mostra um cadillac de m = 1610 kg, que se move com velocidade
constante de módulo igual a 72 km/h (ou 20 m/s) em uma rodovia curva e não
compensada. O raio da curvatura é 190 m. Qual deve ser o valor mínimo do
coeficiente de atrito entre a rodovia e os pneus?
N
v
R
fs
fs
P
f s  Fcp  0
2
2
f s  Fcp  0
Resultante das forças na direção y:
N P0
Substituindo N = P = mg, temos:
v
N  m
R
 20m / s 
Resultante das forças na direção x:
2
v
P  m
R
400m2 / s 2


 0, 21
2
2
2
9,8m / s  .190m  1862m / s
v2
 mg  m
R
v2

gR
Obs1: Para valores maior de
 o carro não conseguirá
fazer a curva e derrapará.
Obs2:  depende de v2, de modo que o motorista reduzindo a velocidade ele
conseguirá fazer a curva.
Força Centrípeta e Força de atrito
Ex: Você não pode confiar no atrito lateral com a estrada se esta estiver molhada ou
coberta de gelo. Este é o motivo por que as estradas tem curvas compensadas. De
acordo com o exemplo anterior, suponha que o cadillac de massa m esteja
movendo-se com velocidade constante de 20 m/s em uma curva de raio igual a 190
m. Qual deve ser o ângulo  que a estrada deve fazer com a horizontal para evitar o
deslizamento sem a necessidade de se considerar a força de atrito.
Força Centrípeta e Força de atrito


R
Nx
N
v
P
Resultante das forças na direção x:
Resultante das forças na direção y:
N x  Fcp  0
Ny  P  0
N
mg
cos 
Substituindo, temos:
N x  Fcp  0
N m
2
v
R.sen
mg
v2
m
cos 
R.sen
 v2 
  arctg  
 gR 
2


20
m
/
s
 400m2 / s 2 


o

  arctg 

arctg

arctg
0,
21

12



2
2 
  9,8m / s 2  . 190m  
1862
m
/
s




Obs2: Comparando as equações do pêndulo cônico com a de uma curva não
compensada verificamos que a relação entre  e tg são iguais a  = tg.
Capítulo 7 – Trabalho e Energia
1- Definição de 2 novos conceitos: trabalho (W) e energia
cinética (Ec);
2- Esses 2 novos conceitos nos permitirá chegar até a Lei da
Conservação da Energia;
s
s

P
h = s.sen
P
x
F
fs
F
fs
W  F .s
Definição de
produto escalar.
F é cte.
É uma grandeza escalar ainda que F e s
sejam grandezas vetoriais.
Ex: Calcular o trabalho de uma força constante de 12 N, cujo ponto de aplicação se
translada 7 m, se o ângulo entre as direções da força e do deslocamento são 0º,
60º, 90º, 135º, 180º.
W  F.s.cos 0
F
F
W  F.s.cos 60
F
W  F.s.cos90
F
W  F.s.cos135
W  F.s.cos180
F
Obs1: Se a força e o deslocamento tem o mesmo sentido, o trabalho é positivo
Obs2: Se a força e o deslocamento tem sentidos contrários, o trabalho é negativo
Obs3: Se a força é perpendicular ao deslocamento, o trabalho é nulo.
Trabalho: Movimento em 1-D com uma força variável
F = F(x)
(gráfico dessa força)
a)
Qual o trabalho realizado por esta força, quando a
partícula sobre a qual ela atua move-se do ponto inicial
xi até o ponto final xf?
Para determinar W, dividimos o deslocamento total da
partícula em vários intervalos de largura x
suficientemente pequeno para que possamos tomar F(x)
quase que constante nesse intervalo. Logo,
b)
 W  F  x .x
Onde:
c)
F  x  é o valor médio da força naquele intervalo.
Em (a) W é igual ao valor da área da faixa vertical á que
ele se refere, sendo que x é a largura e F x é a altura.
 
O trabalho total é dado por:
W   W   F  x .x
(Aproximação)
Trabalho: Movimento em 1-D com uma força variável
F = F(x)
a)
(gráfico dessa força)
Podemos melhorar a aproximação, reduzindo cada vez
mais a largura x e aumentando o número de faixas
retangulares, conforme é mostrado na fig. b.
No limite, fazemos x  0, tornando o número de faixas
retangulares infinitamente grande. Assim, teremos:
W  lim  F  x .x
b)
x 0
O que resulta em,.
xf
W
 F  x  .dx
xi
c)
Conhecendo F(x), podemos proceder a integração
obedecendo os limites de integração e assim determinar
W. Geometricamente, W é igual à área sob a curva F(x)
entre os limites xi e xf, conforme mostra a fig. c.
Conceito de trabalho
Se denomina trabalho infinitesimal, ao produto escalar do vetor força pelo
vetor deslocamento.
onde Ft é a componente da força ao longo do deslocamento, ds é o
módulo do vetor deslocamento dr, e  o ângulo que forma o vetor força
com o vetor deslocamento.
O trabalho total ao longo da trajetória entre os pontos A e B é a soma de
todos os trabalhos infinitesimais.
Seu significado geométrico é a área abaixo a
representação gráfica da função que relaciona a
componente tangencial da força Ft, e o deslocamento
s.
Exemplo: Calcular o trabalho necessário para estender uma mola de 5 cm, se a
constante da mola é 1000 N/m.
A F B
A área do triângulo da figura é
(0.05·50)/2=1.25 J
Quando a força é constante, o trabalho se obtém multiplicando a componente da força
ao longo do deslocamento pelo deslocamento.
W=Ft·s
xf
W
 F  x  .dx
xi
F  x   kx
xf
W  k  x.dx
xi
x2 x f
W  k |xi
2
k
W    x f 2  xi 2 
2
ou
W1  W2  ...  Ec 2  Ec1
  F  dx  mv.dv
x2
 F  F
1
x1
2
v2
 ...dx  m  vdv
v1
v2 2
v12
W1  W2  ...  m  m
2
2
O teorema do trabalho-energia indica que o
trabalho da resultante das forças que atua sobre
uma partícula modifica sua energia cinética.
Exemplo: Determinar a velocidade com a qual sai uma bala depois de atravessar
uma tábua de 7 cm de espessura e que opõe uma resistência constante de F=1800
N. A velocidade inicial da bala é de 450 m/s e sua massa é de 15 g.
O trabalho realizado pela força F é -1800·0.07=-126 J
A velocidade final v é:
(potência média)
1kWh  103W .1h  103W .3,6.10 3 s  3,6.10 6W .s  3,6MJ
Capítulo 8 – Lei da Conservação da Energia
1- Leis da conservação;
2- Energia Potencial;
3- Uma visualização de 3 forças e associar uma energia
potencial a estas forças;
4- Definição de energia potencial;
5- Forças conservativas e não-conservativas;
Leis da Conservação da Energia
Considere um sistema de partículas, completamente isolado das
influências externas. À proporção que as partículas se movimentam e
interagem umas com as outras, existe uma certa propriedade do
sistema que não muda.
Essas leis de conservação podem ser expressas por:
X = uma constante (sistema isolado)
É a propriedade que é conservada.
Obs1: Para os físicos, eles estão se comunicando com a matéria em um nível
mais profundo.
Obs2: A lei da conservação central é a Lei da Conservação da Energia.
Obs3: Trataremos primeiro de sistemas mecânicos sem atrito, onde apenas a
Ec e a Ep desempenham um grande papel.
Obs4: Mais tarde estenderemos essa lei para outras formas de energia, como
a energia térmica.
Trabalho realizado pela
componente Px = P.sen
WPx = Ec
P
P
W=0
Logo,
E = Ep +  Ec = cte
Toda mudança na Ep do
bloco é acompanhada por
uma mudança igual e
oposta na Ec do bloco.
A energia potencial também chamada de energia de configuração, porque o sistema
sobre o qual foi realizado trabalho armazena Ep ao mudar sua configuração de uma
forma para outra.
Wmola = -Ep
Wmola = 0
O trabalho em cima do corpo:
Wcorpo = Ec
Logo,
E = Ep +  Ec = cte
(Lei da Conservação da Energia)
Toda mudança na Ep da mola é acompanhada por uma mudança igual e oposta
na Ec do corpo.
Trabalho realizado por uma força não-conservativa
WFac  Ec

Fac .s   Ec f  Ec i

vi
vf = 0
Não há modo algum de recuperar a Ec do bloco depois de a fs tê-lo parado.
Toda a Ec do bloco foi transformada em energia térmica.

dW = F.dr
dW = - dU
dU
F 
dr
Conservação de Energia
2 2
2
mw
kx 2 kA2
mv
2
o A
Ep 

.cos  wot     Ec 

.sen2  wot   
2
2
2
2
kA2
E
2
Força conservativa. Energia potencial
Uma força é conservativa quando o trabalho dessa força é igual a diferença
entre os valores inicial e final de uma função que só depende das coordenadas.
A essa função se denomina energia potencial
O trabalho de uma força conservativa não depende do caminho seguido para ir do ponto
A ao ponto B.
O trabalho de uma força conservativa ao longo de um caminho fechado é zero.
Principio de conservação da energia
Se somente uma força conservativa F atua sobre uma partícula, seu trabalho é igual
a diferença entre o valor inicial e final da energia potencial
Como vimos anteriormente, do teorema do trabalho-energia, temos:
Igualando ambos os trabalhos, chegamos a expressão do princípio de
conservação da energia
EkA+EpA=EkB+EpB
A energia mecânica da partícula é constante em todos os pontos de sua trajetória.
Transformação de Energia
A Força de atrito é uma força não-conservativa
Quando a partícula se move de A para B, ou de B para A a força de atrito é oposta ao
movimento, o trabalho es negativo por que a força é de sinal contrário ao deslocamento
WAB= -Fr x
WBA= -Fr x
O trabalho total ao longo do caminho
fechado A-B-A, WABA é distinto de zero,
WABA=-2Fr x
Balanço de Energia
Em geral, sobre uma partícula atua forças conservativas Fc
e não conservativas Fnc. O trabalho da resultante das
forças que atuam sobre a partícula é igual:
O trabalho das forças conservativas é igual a:
Aplicando a propriedade distributiva do produto
escalar:
O trabalho de uma força não conservativa modifica a energia mecânica (cinética
mais potencial) da partícula.
Conservação da Energia
O que acontece com a Emec que desaparece quando atuam forças não conservativas?
Eint
Fat
(energia interna ou térmica, ou sonora ou luminosa)
W   Wc  Wnc  Ec
W
c
  U
Wnc  Eint
Fat
 U  E
c
 U  E
c
 Eint  0
 Eint  outras. formas.de.energia  0
Generalização da Lei de Conservação de Energia
Generalização: “A energia pode ser transformada de uma forma em outra em um
sistema isolado, mas não pode ser criada ou destruída; a energia total do sistema
sempre permanece constante”.
Obs: Este enunciado é uma generalização da experiência, até agora não contrariada
por qualquer experiência em laboratório ou observação na Naturez.
Massa e Energia
A Química foi construída a partir da aplicação das Leis da Conservação de Energia e da
Massa às reações químicas.
Em 1905, Einstein mostrou que, como conseqüência da T.E.R, a massa é simplesmente
uma outra forma de energia.
Nas reações nucleares é melhor perceptível do que nas reações químicas.
Massa e Energia estão ligadas pela equação da Física,
E  mc2
E é a energia equivalente da massa e c a velocidade da luz.
Ao aplicarmos a equação acima às reações entre as partículas, é
Q  mc 2
onde Q da reação é a energia liberada ou absorvida na reação e m é o acréscimo
ou decréscimo de massa das partículas, como resultado da reação.
Objeto
Elétron
Próton
Átomo de Urânio
Partícula de poeira
Moeda de 1 centavo
Massa (kg)
9,1.10-31
1,7.10-27
4,0.10-25
1,0.10-13
3,1.10-3
1uma  1u  1,66.1027 kg
Energia Equivalente
8,2.10-14J = (511keV)
1,5.10-10J = (938MeV)
3,6.10-8J = (225GeV)
1,0.104J = (2kcal)
2,8.1014J = (78GW.h)
1eV  1,6.1019 J
Massa e Energia
E  mc
Q  mc 2
2
1u  1,66.1027 kg
c 2   3.10

8 2
1eV  1,6.1019 J
19
J
1,66.10
eV
MeV
16
16
8 eV
 9.10
 9.10 .
 9,32.10
 932
27
kg
1,6.10 u
u
u
Reescrevendo a Lei da Conservação da Energia, temos:
2
U

E

E

mc
 .....  0
 c int
Etotal  U  Ec  Eint  mc 2  .....  cte
Quantização da Energia
O ar, quando acenamos com a mão através dele, parece ser perfeitamente contínuo.
Mas na escala atômica ou subatômica percebemos que ele não é contínuo, mas tem
caráter granular, isto é, é constituído por partículas, neste caso, moléculas de O e H.
Dizemos que a massa é quantizada. E a energia é uma delas.
Transição de Energia
E  hf
(absorção e emissão
de 1 fóton)
E  Ei  E f
Absorção de Energia
E  E1  En
h  6,63.1034 J .s
h  4,14.1015 eV .s
Análise Energética
Nesses 2 processos
a E = cte.
Emissão de Energia
Um átomo vai
de um estado
excitado para
um estado de
mais
baixa
energia,
emitindo luz no
processo.
E  En  E1
•Emissão de um fóton
•Absorção de um fóton
U
A B
 6
12
r
r
F  12
A
B

6
r13
r7