Teoria Macroeconómica

Teoria Macroeconómica - Aula 1
• Introdução ao Crescimento Económico: Revisão de alguns
conceitos matemáticos.
• Breve introdução a alguns conceitos utilizados em modelo de crescimento (ambientes dinâmicos).
1
Derivadas e Taxas de Crescimento
• Começamos por relembrar a notação de funções (f.r.v.r.) e de derivadas:
y = f (x)
dy
ou f 0 (x)
dx
resposta a :
como varia y quando x varia uma unidade?
o conceito de derivada é um conceito infinitesimal!
• Em economia de crescimento temos sempre presente a dimensão tempo:
t
• Acompanhamos o crescimento de variáveis ao longo do tempo:
Kt − Kt−∆t
dK
= lim
∆t−→0
dt
∆t
dK
> 0, crescimento positivo
dt
dK
< 0, crescimento negativo
dt
•
dK
dt
dá-nos a variação absoluta de K por cada unidade de tempo que
passa.
• dt por norma é igual a 1.
1
• Os modelos formalizados em tempo contínuo são, regra geral, mais
elegantes do ponto de vista do tratamento analítico.
• Variações em tempo contínuo vs. variações em tempo discreto:
dK
tempo contínuo
dt
∆K = Kt − Kt−1 tempo discreto
• Simplificação da notação (convenção):
.
dK
≡K
dt
• Taxa de crescimento em tempo discreto:
∆K
Kt − Kt−1
≡
K
Kt−1
• Taxa de crescimento em tempo contínuo:
.
K
K
• Nota:
2
dK
não é uma taxa de crescimento!
dt
Taxas de crescimento e logarítmos
• Propriedades dos logarítmos:
z = xy =⇒ log z = log x + log y
z = x/y =⇒ log z = log x − log y
z = xβ =⇒ log z = β log x
1
dy
=
y = f (x) = log(x) =⇒
dx
x
log 1 = 0
log e = 1
.
dy
dy dx
1.
x
y(t) = log x(t) =⇒
=
= x=
dt
dx dt
x
x
2
• A última propriedade é muito importante:
A derivada em relação ao tempo do logarítmo
de uma variável é a taxa de crescimento da variável.
• De notar que (base irrelevante; ponto médio irrelevante):
¯
¯
¯ d log x ¯
¯
¯
¯ dt ¯ ∈
¯ ¯
¯¶
µ¯
¯
¯ ¯
¯
X
X
−
X
−
X
−
X
−
X
X
X
t
t−1
t
t−1
t
t−1
t
t−1
¯mı́nimo(
¯ ; ¯máximo(
¯
;
)
;
)
¯
¯ ¯
¯
Xt−1
Xt
Xt−1
Xt
• Linearização de funções através da aplicação de logarítmos (ex.: função
Cobb-Douglas):
Y = K α L1−α
aplique logarítmos a ambos os lados da equação:
log Y = log K α L1−α
o logarítmo do produto é a soma dos logarítmos (z = xy =⇒ log z =
log x + log y):
log Y = log K α + log L1−α
o logarítmo de uma função exponencial é o produto do expoente vezes
o logarítmo da base (z = xβ =⇒ log z = β log x):
log Y = α log K + (1 − α) log L
derive ambos os lados da equação em ordem a t:
d log K
d log L
d log Y
=α
+ (1 − α)
dt
dt
dt
a derivada do logarítmo de uma variável em ordem ao tempo é a taxa
de crescimento da variável:
.
.
.
Y
K
L
= α + (1 − α)
Y
K
L
3
assim, se a função de produção for do tipo Cobb-Douglas a taxa de
crescimento do produto será uma média ponderada das taxas de crescimento dos factores, em que os ponderadores são dados pelas elasticidades do produto em ordem aos factores:
∆%Y
=
∆%K
dY K
=
dK Y
εY :K =
εY :K
dY
Y
dK
K
=
dY K
dK Y
K
Y
αK (α−1+1) L1−α
=
K α L1−α
= α
εY :K = αK α−1 L1−α
εY :K
εY :K
do mesmo modo:
εY :L = 1 − α
• Este último exercício traduz uma outra propriedade dos logarítmos:
∂ log y
= εy:x
∂ log x
as derivadas dos logarítmos dão-nos variações percentuais e não absolutas uma vez que:
d log x
1
dx
= =⇒ d log x =
dx
x
x
o lado esquerdo da expressão acima é simplesmente uma regra das
derivadas; o lado direita resulta de uma simples manipulação aritmética
desta expressão, pelo que é verdade, e espelha que a variação absoluta
do logarítmo de uma variável (d log x) é a variação percentual da variável (por vezes, apelidada de taxa de crescimento, quando a unidade
de variação do tempo é uma
unidade de tempo, ou seja, quando dt = 1
.
dx/dt
dx
x
temos que x = x = x ).
• Suponha que uma variável exibe crescimento exponencial:
y(t) = y0 egt
4
então temos que:
log y0 + log egt
log y0 + gt log e
log y0 + gt ∗ 1
log y0 + gt
1
(log y(t) − log y0 )
g =
t
y(t)
1
log
g =
t
y0
log y(t)
log y(t)
log y(t)
log y(t)
=
=
=
=
• Se quisermos calcular a taxa de crescimento entre dois perídos t e t − 1
podemos simplesmente aplicar os logarítmos à variável de interesse e
calcular a primeira diferença entre os logarítmos:
g = log y(t) − log y(t − 1) ≡ log y(t)
• Como se demonstra esta relação (entre taxa de crescimento e diferença
de logarítmos)?
y(t)
y(t − 1)
y(t) − y(t − 1)
=
−
y(t − 1)
y(t − 1) y(t − 1)
y(t)
=
−1
y(t − 1)
y0 egt
=
−1
y0 eg(t−1)
= egt−g(t−1) − 1
= eg − 1
• Como tratamos tipicamente de baixas taxas de crescimento (ex: do pib
per capita, ou seja, 2% ou 3%), podemos usar ensinamentos de cálculo
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infinitesimal, como a fórmula de Taylor, para aproximarmos eg :
f (x)
f (x)
x0
f (x0 )
f 0 (x)
f 0 (x0 )
x − x0
=
=
=
=
=
=
=
f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + RO(2), com
ex
0
ex0 = e0 = 1
ex
ex0 = e0 = 1
x−0=0
assim, temos que, ignorando elementos de ordem superior ou igual a
2 (trocando o sinal de igual pelo sinal de aproximação) (usar análise
gráfica):
ex ≈ e0 + 1 ∗ (x − 0)
ex ≈ 1 + x
pelo que:
y(t) − y(t − 1)
= eg − 1
y(t − 1)
y(t) − y(t − 1)
≈ 1+g−1
y(t − 1)
y(t) − y(t − 1)
≈ g
y(t − 1)
3
Integração
• Lembramos, agora, alguns conceitos de integração
Y =
10
X
= x1 + ... + x10
i=1
Y =
Y =
Z
Z
10
xi di
0
10
100di = 100
0
Z
0
6
10
di = 1000
Z
dx = x + C
R
com C uma constante de integração; derivada (∂) e primitiva ( ) como
funções inversas.
Z
b
a
• Equações diferenciais:
dx = b − a
.
x
=g
x
ou seja, sabemos que x cresce a uma taxa constante. Podemos estar
interessados em saber qual a forma funcional da equação de x.
d log x
= g
dt
d log x = gdt
Z
Z
d log x =
gdt
Z
Z
d log x =
gdt
Z
log x = g dt
log x = gt + C
• Caso tenhamos:
log x = gt + C
elog x = egt+C
x = eC egt
x = Cegt
sabemos que x cresce à taxa constante de g.
• Qual o papel de C? Por vezes assume o papel de condição inicial:
C = x(0)
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• Juro composto: intervalo de tempo:
x(t) = 100(1 + .05)t
x(t) = 100e0.05t
O juro se capitalizado continuamente provoca crescimento mais acelerado.
r
lim (1 + )t = ert
n−→∞
n
• Interpretação de integração: actualização e áreas!
3.1
Exercícios - TPC
• Resolva os seguintes exercícios:
Exercise 1 Suponha que x(t) = e.05t e que z(t) = e.01t . Calcule a taxa de
crescimento de y(t) nos seguintes casos:
a) y = x
b) y = z
c) y = xy
d) y = x/y
e) y = xβ z 1−β , com β = 1/2
f) y = (x/z)β , com β = 1/3
Exercise 2 Escreva a taxa de crescimento de y em termos das taxas de
crescimento de k, l e m para os seguintes casos. Assuma β como uma dada
constante.
a) y = kβ
b) y = k/m
c) y = (klm)β
d) y = (kl)β (1/m)1−β
Exercise 3 O Pedro aufere um salário mensal de y, que corresponde a 80%
do salário mensal do Manuel, de quem o Pedro é adjunto. Assim, temos que
y = 0.8x. Se o salário do Manuel for aumentado em 10%, qual a taxa de
crescimento do salário do Pedro?
Exercise 4 Desenhe o gráfico (”à mão livre”) de y = 100t + 200, com a
variável tempo (t) no eixo dos xx. Como classifica a taxa de crescimento de
y ao longo do tempo (constante, crescente ou decrescente)?
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