PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3o

PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3o ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - SETEMBRO DE 2011.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E
ADRIANO CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
Questão 01
(FUVEST2010) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os
algarismos 1 , 2 , 3 , 4 , 5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo,
supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido
imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha?
01) 551
02) 552
03) 553
04) 554
05) 555
RESOLUÇÃO:
Número de casos possíveis: 54 = 625 .
Número de casos favoráveis a que o algarismo 1 apareça seguido imediatamente do número 3:
I)
UM
1
1
C
3
3
D
1
2, 3, 4 ou 5
U
1, 2, 4, 5
1, 2, 3, 4 ou 5
II)
UM
1, 2, 3, 4 ou 5
C
1
D
3
1,2, 3, 4 ou 5
No de casos possíveis
1×1×1×4=4
1 × 1 × 4 × 5 = 20
No de casos possíveis
5 × 1 × 1 ×5 = 25
III)
C
3
1, 2, 4, 5
1, 2, 3, 4 ou 5
UM
1
1
2, 3, 4 ou 5
D
1
1
1
No de casos possíveis
1
1 × 4 × 1×1 = 4
4 × 5 ×1 × 1= 20
U
3
3
3
Num total de 74 casos favoráveis .
Logo Maria pode escolher a sua senha de (625 – 74) = 551
RESPOSTA: alternativa 01.
Questão 02
Na figura ao lado, ABE e CDM são triângulos equiláteros. A área do polígono
ABCDE é igual a 27 3 cm². Calcule o perímetro, em centímetros, desse polígono
(
01) 6 3 + 3
)
04) 5 + 6 3
(
02) 3 3 + 3
)
03) 8 + 3 3
05) 18
RESOLUÇÃO:
Os triângulos ABE e CDM são congruentes.
O retângulo BCDE tem base com medida igual à medida do lado do triângulo ABE
e altura igual à altura do mesmo triângulo.
A área do polígono ABCDE é dada por:
l2 3
l 3
3l 2 3
+ l×
= 27 3 ⇒
= 27 3 ⇒ 3l 2 = 108 ⇒ l 2 = 36 ⇒ l = 6 ⇒ AB = AE = CD = 6 e
4
2
4
6 3
BC = ED =
=3 3.
2
SABE + SBCDE =
(
)
Logo o perímetro do polígono ABCDE é 6 × 3 + 2 × 3 3 = 18 + 6 3 = 6 3 + 3 .
RESPOSTA: Alternativa 01.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
Questão 03.
(FUVEST2010) Tendo em vista as aproximações log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48 então o maior número inteiro n,
satisfazendo 10n < 12418 , é igual a
01) 424
02) 437
03) 443
04) 451
05) 460
RESOLUÇÃO:
(
)
10 n < 12 418 ⇒ log10 n < log12 418 ⇒ n log10 < 418 × log12 ⇒ n < 418 × log 2 2 + log 3 ⇒
n < 418 × (2 × 0,3 + 0,48) ⇒ n < 418 × 1,08 ⇒ n < 451,44
Como n é o maior número inteiro menor que 451,44 que satisfaz à desigualdade 10n < 12418 , n = 451
RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 04.
Os pontos A = (p – 2q, q + 2) e B = (p – 3, p – q + 1) são simétricos em relação à 1a bissetriz. A reta r passa no
ponto (–1, 10) e forma um ângulo de 45° com a direção positiva do eixo dos x.
Determine a interseção das retas AB e r.
01) (–1, 8)
02) (1, 6)
03) (–3, 6)
04) (–2, 9)
05) (–2, 8)
RESOLUÇÃO:
p − 2q = p − q + 1 q = −1
q = −1
⇒
⇒
⇒ A = (6, 1) e B = (1, 6)

q + 2 = p − 3
 p − 3 = −1 + 2  p = 4
1− 6
(x − 6) ⇒ y − 1 = − (x − 6) ⇒ y = − x + 7 .
6 −1
Reta r: y − 10 = x + 1 ⇒ y = x + 11 .
Reta AB: y − 1 =
2 y = 18
y = −x + 7 
⇒  y = 9 ⇒ (− 2, 9)
 y = x + 11
x = −2

Interseção das retas: 
RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 05.
(FUVEST2011) Sejam f(x) = 2x – 9 e g(x) = x2 + 5x + 3. A soma dos valores absolutos das raízes da equação
f(g(x)) = g(x) é igual a
01) 4
02) 5
03) 6
04) 7
05) 8
RESOLUÇÃO:

−5±7

2 x 2 + 10x − 3 = x 2 + 5x + 3 x =
2
2
f (g( x )) = 2 x + 5x + 3 − 9  2

⇒
⇒
x
+
5
x
−
6
=
0
x
=
1
ou
x = −6



g(x ) = x 2 + 5x + 3

1 + − 6 = 7
x = − 5 ± 25 + 24


2

(
)
RESPOSTA: Alternativa 04.
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2
Questão 06.
Uma circunferência cujo centro C(m, n) pertence ao segundo quadrante é tangente aos eixos coordenados. Sabe-se
que a distância do centro C à reta que passa nos pontos A = (4, 0) e B = (0, - 2) é igual a 2 5 . A equação dessa
circunferência é:
01) x2 + y2 + 2x – 2y – 4 = 0
04) x2 + y2 – 6x + 6y = 0
02) x2 + y2 + 2x + 2y – 4 = 0
05) x2 + y2 + 8x – 8y + 6 = 0
03) x2 + y2 + 4x – 4y + 4 = 0
RESOLUÇÃO:
Reta AB: y =
2
(x − 4) ⇒ 4 y − 2x + 8 = 0 .
4
C(m, n) pertence ao segundo quadrante, m < 0 e n > 0.
Sendo a circunferência tangente aos eixos coordenados m = –n
− 4m − 2m + 8
16 + 4
= 2 5 ⇒ 8 − 6m = 20 ⇒ 8 − 6m = 20 ou 8 − 6m = −20 ⇒ m = −2 ou m =
14
(não satisfaz) .
3
Sendo m = –2, então n = 2 e o raio da circunferência é 2.
Equação da circunferência: (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4 ⇒ x2 + 4x + 4 + y2 – 4x + 4 = 4⇒ x2 + y2 + 4x– 4x + 4 = 0.
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 07.
Quatro rapazes e três moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os sete, lado a lado, na mesma fila. O número de
maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as três moças fiquem juntas, uma ao lado
da outra, é igual a
01) 120
02) 144
03) 480
04) 576
05) 720
RESOLUÇÃO:
R1
R2
M1 M2 M3 R3 R4
Como as moças devem permancer sempre juntas, o número de formas diferentes das sete pessoas sentarem é
5!× 3! = 120 × 6 = 720 .
RESPOSTA: Alternativa 05.
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3
Questão 08.
Considere um quadrado ABCD de lado l = 4cm com centro no segundo quadrante tendo dois lados contidos nos
eixos coordenados.
Este quadrado sofre uma reflexão em relação ao eixo Oy, em seguida uma translação de vetor v = (0, −2) e por
fim uma homotetia de centro M = (6, 0) e razão k = −2. O transformado final do quadrado ABCD é um quadrado
de:
01) lado 4cm e centro (10,0).
02) lado 8cm e centro (14,0).
03) lado 8cm e centro (10,0).
04) lado 8cm e centro (2, 0).
05) lado 4cm e centro (14,0).
RESOLUÇÃO:
Como o quadrado ABCD tem lado l = 4cm, centro no segundo quadrante e dois lados contidos nos eixos
coordenados, o seu centro é o ponto (− 2,2 ) , conforme a figura acima.
Como a questão nos pede o centro do transformado final do quadrado ABCD, é necessário apenas que as
transformações sejam aplicadas ao ponto (− 2,2 ) , centro de ABCD.
Aplicando a este ponto uma reflexão em relação ao eixo Oy , o seu simétrico será o ponto (2,2) .
Aplicando uma translação de vetor v = (0, −2) ao ponto (2,2) , o seu transformado será o ponto (2 + 0,2 − 2) = (2, 0) .
Finalmente a este ponto aplicando uma homotetia de centro M = (6, 0) e razão k = −2, o transformado do ponto
(2, 0) terá coordenadas:
x ' = kx + x c (1 − k ) x ' = −4 + 6(1 + 2) x ' = 14
⇒
⇒
.

 y' = 0
 y' = ky + y c (1 − k )  y' = 0 + 0(1 + 2)
RESPOSTA: Alternativa 02.
Questão 09.
(Ruy Barbosa)
Num determinado sorteio, o número n sorteado tinha quatro algarismos distintos e não
nulos (x, y, z e w) . A pessoa que possuísse o número sorteado só poderia receber o prêmio, que era em dólar,
se soubesse calcular o valor desse prêmio.
Sabendo que:
I. o valor do prêmio era igual à soma de todos os números de 4 algarismos que se obtém permutando-se os
algarismos de n (x, y, z e w) ;
II. S = x + y + z + w (Soma dos algarismos de n).
Então, o valor do prêmio em função de S é igual a:
01)
1111S
02) 3030S
03) 3333S
04) 6066S
05) 6666S
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
4
RESOLUÇÃO:
Com quatro algarismos distintos e não nulos, podem ser formados 4! = 24 números diferentes. Ter-se-á 6
números com o x, por exemplo, ocupando a ordem das unidades de milhar, outros 6 na ordem das centenas,
outros 6 na ordem das dezenas e outros 6 na ordem das unidades. Isto acontecerá com cada algarismo
Como são quatro algarismos então a soma será:
6S[1000 + 100 + 10 + 1] = 6S × 1111 = 6666S .
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 10.
A produção de grãos, de 2007 a 2010, de certa região está indicada na tabela
ao lado.
Suponha que a produção até 2020 permaneça crescente do modo indicado na
tabela.
Qual será o total, em toneladas, de grãos produzidos de 2012 até 2020?
01) 120
02) 122,5
03) 124,5
04) 128
05) 130,5
Ano
2007
2008
2009
2010
Produção em
toneladas
10
10,5
11
11,5
RESOLUÇÃO:
A sequência 10; 10,5; 11; 11,5; ....... mostra que a produção cresce segundo uma P.A. onde o primeiro termo é 10 e
a razão é 0.5.
A produção de 2012 será o 6o termo dessa P.A. e a de 2020 será o 14o .
(a 1 + a n ) × n
.
2
= 10 + (14 − 1) × 0,5 = 10 + 6,5 = 16,5
Em toda P.A. a n = a1 + (n − 1) × r e Sn =
a 6 = 10 + (6 − 1) × 0,5 = 10 + 2,5 = 12,5 a14
Considerando-se todos os elementos da P.A. do 6o ao 14o temos uma nova P.A. com 9 termos, na qual o primeiro
termo é 12,5 e o último, 16,5. Assim: S9 =
(12,5 + 16,5) × 9
= 29 × 4,5 = 130,5 .
2
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 11.
Escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111, o algarismo 1 é escrito exatamente x vezes. Calcule x.
01) 416
02) 424
03) 432
04) 440
RESOLUÇÃO:
De 1 a 9
De 10 a 19
De 20 a 99
De 100 a 199
De 200 a 999
De 1000 a 1100
De 1101 a 1111
TOTAL DE VEZES:
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
Apenas 1 vez.
Apenas 11 vezes.
Apenas 8 vezes.
Apenas (100 + 11 + 8 + 1) = 120 vezes.
Apenas (8×20) = 160 vezes.
Apenas (101+21) = 122 vezes.
Apenas (11 + 11 + 2 + 2) = 26 vezes.
448
5
05) 448
Questão 12.
Uma dívida será paga em 20 prestações mensais. Sabe-se que cada prestação é igual a anterior acrescida de 10%,
sendo a primeira igual a R$ 400,00.
Determine o total das prestações, em reais, pagas até a liquidação da dívida. (Considere que 1,120 = 6,73 ).
01) 29.212
02) 25.420
03) 22.920
04) 20.718
05) 20.424
RESOLUÇÃO:
Pelas informações dadas, conclui-se que a sequência formada pelas prestações é uma P.G. de 20 termos, com a1 =
R$ 400,00 e razão q = (1+0,1) =1,1.
A soma dos termos de uma P.G. finita é: Sn =
Então S20 =
(
(
)
a1 q n − 1
.
q −1
)
400 1,120 − 1 400(6,73 − 1) 400 × 5,73
=
=
= 4000 × 5,73 = 22.920.
1,1 − 1
0,1
0,1
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 13.
Um banco contratou 9 funcionários novos para três de suas agencias, sendo que cada uma delas vai receber três
destes funcionários. De quantas formas esta distribuição pode ser feita?
01) 592.704
02) 1680
03) 362.880
04) 1440
05) 105
RESOLUÇÃO:
Os 9 funcionários vão disputar as 3 vagas da agência A, os 6 restantes as 3 vagas da agência B e finalmente, os 3
restantes serão lotados na agência C.
Logo: C9,3 × C 6,3 × C3,3 =
9×8× 7 6×5× 4
×
× 1 = 84 × 20 = 1680 .
3× 2
3× 2
RESPOSTA: Alternativa 02.
Questão 14.
Sobre Análise Combinatória, considere as seguintes afirmativas:
I) C7;0 + C7;1 + C7;2 + C7;3 + C7;4 + C7;5 + C7;6 + C7;7 = 128
II) C13;4 + C13;8 + C14;6 = C15;6
III) Se num hospital trabalham 6 cardiologistas e 5 anestesistas, então o número de equipes médicas que podemos
formar com 3 cardiologistas e 2 anestesistas é 30.
Podemos afirmar que:
01) apenas a afirmativa I é falsa.
02) apenas a afirmativa II é falsa.
03) apenas a afirmativa III é falsa.
04) apenas uma afirmativa é verdadeira.
05) todas as afirmativas são verdadeiras.
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RESOLUÇÃO:
I) VERDADEIRA.
C7;0 + C7;1 + C7;2 + C7;3 + C7;4 + C7;5 + C7;6 + C7;7 = 27 = 128.
II) VERDADEIRA.
a) Como Cp; m = Cp;n , se p = m + n, C13;4 + C13;8 + C14;6 = C13;9 + C13;8 + C14;6
b) Aplicando a Relação de Stifel às duas primeiras parcelas: C14;9 +C14;6
c) Aplicando à segunda parcela a relação aplicada no item a: C14;9 +C14;6 = C14;9 +C14;8
d) Novamente pela Relação de Stifel: C14;9 +C14;8 = C15;6
III) FALSA.
C 6, 3 × C 5, 2 =
6×5× 4 5× 4
×
= 20 × 10 = 200
3× 2
2
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 15.
.
O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8
países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas
informações, julgue as afirmativas que se seguem.
I) Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7 países
diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da América Central
e 2 do Caribe.
II) Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central participantes dos
Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo
pelo menos 3 países da América Central é inferior a 180.
III) Considerando-se que, no judô, havia exatamente 1 atleta de cada país da América do Sul
participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois atletas
desse continente competirem entre si é igual a 66.
Podemos afirmar que:
01) apenas a afirmativa I é verdadeira.
02) apenas a afirmativa II é verdadeira.
03) apenas a afirmativa III é verdadeira.
04) apenas uma afirmativa é falsa.
05) todas as afirmativas são falsas.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
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RESOLUÇÃO:
I) FALSA.
C12,3 × C8, 2 × C19,2 =
12 × 11 × 10 8 × 7 19 × 18
×
×
= 220 × 28 × 171 ≠ 419
3× 2
2
2
II) FALSA.
Os comitês com 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos 3 países da América
Central pode conter: 3 países, 4 países ou 5 países dessa.
Então o número de comissões é:
C8,5 + C 8, 4 × C 34,1 + C 8,3 × C 34, 2 =
III) VERDADEIRA.
C12, 2
8× 7× 6 8× 7× 6×5
8 × 7 × 6 34 × 33
+
× 34 +
×
= 56 + 2380 + 31416 = 33852
3× 2
4 × 3× 2
3× 2
2
12 × 11
=
= 66
2
RESPOSTA: Alternativa 03.
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