Exercícios – 3º ano – Prof. Maurício

1º trimestre - Matemática
Data:20/04/2017
Ensino Médio 3º ano classe:___
Profº. Maurício
Sala de Estudo
.
__
1. (Ufjf-pism 1 2017) Sejam a, b, c e d números reais positivos, tais que logb a  5, logb c  2
e logb d  3. O valor da expressão logc
a)
b)
c)
d)
e)
a 2 b5
d3
é igual a:
1
2
3
4
0
Resposta:
[C]
Calculando:
logc
a2b5
d3


 logc a2b5  logc d3  logc a2  logc b5  logc d3 
 log a
log b 
log d
  2logc a  5logc b   3logc d   2  b  5  b   3  b 
logb c 
logb c
 logb c
1
3 
5  9 15 9 6
 5
 2   5    3   5    
  3
2
2 
2 2 2 2 2
 2
2. (Eear 2017) Se log 2  0,3 e log 36  1,6, então log 3  _____.
a) 0,4
b) 0,5
c) 0,6
d) 0,7
Resposta:
[B]
Tem-se que
log36  log(2  3)2
 2  (log2  log3)
 2  0,3  2  log3
 0,6  2  log3.
Portanto, o resultado é
0,6  2  log3  1,6  log3  0,5.
3. (Pucrs 2017) Uma turma de uma escola central de Porto Alegre recebeu a seguinte questão
em sua primeira prova no Ensino Médio:
Um dos valores de x que soluciona a equação log2 (x2  32)  4 é igual ao número de
centros culturais localizados nas proximidades do centro da cidade. Esse número é
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Resposta:
[B]
Desde que x é um número inteiro positivo, temos:
log2 (  x2  32)  4   x 2  32  16
 x2  16.
 x  4.
4. (Upf 2017) Considere as funções reais de variável real, definidas por:
f(x)  1 3x2 e g(x)  loga x
Sabe-se que, na representação gráfica das funções, as curvas interceptam-se no ponto de
abscissa 2. Dessa forma, o valor de a é:
a)  2
1
b) 
2
c) 1
1
d)
2
e) 2
Resposta:
[E]
Calculando:
f(2)  g(2)
1  322  loga 2  1  30  loga 2  loga 2  2  a2  2  a  2
5. (G1 - ifal 2016) Num determinado mês, a quantidade vendida Q de um certo produto, por dia, em
uma loja, em funçăo do dia d do mês, é representada pela funçăo Q  log 2 d. Qual a quantidade vendida
desse produto no dia 16 desse mês?
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
Resposta:
[E]
Q  log2 d
d  16
Q  log2 16  log2 24  Q  4
6. (Unicamp 2016) A solução da equação na variável real x, logx (x  6)  2, é um número
a) primo.
b) par.
c) negativo.
d) irracional.
Resposta:
[A]
Sabendo que loga b  c  ac  b, para quaisquer a e b reais positivos, e a  1, temos
logx (x  6)  2  x2  x  6  0  x  3,
que é um número primo.
7. (Pucrj 2015) Se log1 2 x  3, então
a) 3 4
b) 6
c) 28
d) 50
e) 66
3
x  x2 vale:
Resposta:
[E]
 1
log 1 x  3  x   
2
2
por tan to
3
3
x8
8  82  66
8. (Mackenzie 2014) Para quaisquer reais positivos A e B, o resultado da expressão
logA B3  logB A2 é
a) 10
b) 6
c) 8
d) A  B
e) 12
Resposta:
[B]
Sejam a, b e c reais positivos, com a  1 e c  1.
Sabendo que logc ab  b  logc a e que logc a 
1
, temos
loga c
logA B3  logB A 2  3  logA B  2  logB A
 6
logB A
logB A
 6.
Observação: As condições A  1 e B  1 não foram observadas no enunciado.
9. (Udesc 2013) Se log3 (x  y)  5 e log5 (x  y)  3, então log2 (3x  8y) é igual a:
a) 9
b) 4  log2 5
c) 8
d) 2  log2 10
e) 10
Resposta:
[E]
Lembrando que logb a  c  a  bc , com a  0 e 1  b  0, temos
log3 (x  y)  5
log5 (x  y)  3


x  y  35
x  y  53
x  184
.
y  59
Portanto,
log2 (3x  8y)  log2 [3  184  8  ( 59)]
 log2 1024
 log2 210
 10.
10. (Ufrgs 2012) O número log2 7 está entre
a) 0 e 1.
b) 1 e 2.
c) 2 e 3.
d) 3 e 4.
e) 4 e 5.
Resposta:
[C]
log2 7  x  2x  7  2  x  3.
11. (Ifsul 2011) Tendo-se a e b como números reais positivos, e sendo b  1 , se
1
log2 a 
 6 , então a∙b é igual a
logb 2
a) 12
b) 16
c) 32
d) 64
Resposta:
[D]
Temos que
1
log2 a 
 6  log2 a  log2 b  6
logb 2
 log2 a  b  6
 a  b  26
 a  b  64.
12. (Pucrj 2016) Considere as funções reais f(x)  x2  4x e g(x)  x.
Qual é o maior inteiro para o qual vale a desigualdade f(x)  g(x)?
a) 3
b) 1
c) 0
d) 3
e) 4
Resposta:
[B]
Calculando:
x 2  4x  x  x 2  3x  0
3  x  0
Logo, a alternativa que se encontra dentro do intervalo é a apresentada no item [B].
13. (G1 - ifce 2016) A desigualdade
x tais que
a) 1  x ou  3  x  2 ou x  5.
b) x  1 ou 2  x  3 ou x  5.
c) 1  x  2 ou 3  x  5.
d) x  1 ou 2  x  5.
e) 1  x  3 ou 2  x  5.
x 2  4x  3
x 2  7x  10
 0 se verifica para todos os números reais
Resposta:
[B]
Fazendo o estudo do sinal de cada uma das funções e depois o sinal do quociente entre elas,
temos:
Portando a solução da inequação quociente será dada por:
S  {x  | x  1 ou 2  x  3 ou x  5}.
14. (G1 - col. naval 2015) Seja S a soma dos valores inteiros que satisfazem a inequação
(5x  40)2
 0. Sendo assim, pode-se afirmar que
x 2  10x  21
a) S é um número divisível por 7.
b) S é um número primo.
c) S2 é divisível por 5.
d) S é um número racional.
e) 3S  1 é um número ímpar.
Resposta:
[B]
5x  40  0  x  8
x2  10x  21  0  x  3 ou x  7
Fazendo agora o estudo de sinal da função f(x) 
 5x  40 2
, temos:
x 2  10x  21
Portanto, a soma pedida será dada por:
4  5  6  8  23.
15. (Pucrj 2015) Quantas soluções inteiras tem a inequação abaixo:
x2  10x  21  0.
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Resposta:
[C]
As raízes da equação x2  10x  21  0 são 3 e 7.
Analisando, agora, o sinal da inequação, temos:
Portanto, os valores inteiros de x que verificam a inequação são 3, 4, 5, 6 e 7 (cinco números
inteiros).
16. (G1 - ifce 2014) O conjunto solução S 
 4 
a) S    ,2   ,1 .
 5 
 4 
b) S  2,     ,1 .
 5 
 4 
c) S    ,2   1,  .
 5 
4

d) S   ,    1,2 .
5

4


e) S    ,1  2,  .
 5 


da inequação 5x2  6x  8  2  2x   0 é
Resposta:
[E]
Tem-se que
4

(5x 2  6x  8)(2  2 x)  0   x   (x  1)(x  2)  0
5

4
   x  1 ou x  2.
5
17. (Uern 2013) Sobre a inequação-produto (4x2  2x  1)(x2  6x  8)  0, em
afirmar que
a) não existe solução em .
b) o conjunto admite infinitas soluções em .
c) o conjunto solução é S  x  / 2  x  4.
d) o conjunto solução é x 
/ x  2 ou x  4.
Resposta:
[C]
Reescrevendo a inequação, obtemos
( 4x 2  2x  1)(x 2  6x  8)  0  (4x 2  2x  1)(x 2  6x  8)  0
2
1

 4  x   (x  2)(x  4)  0
2


1
 x  ou 2  x  4.
2
Portanto, o conjunto solução da inequação, em
, é S  {x  ; 2  x  4}.
18. (Pucrj 2013) O conjunto das soluções inteiras da inequação x2  3x  0 é:
a) {0,3}
b) {1,2}
c) {–1,0,2}
d) {1,2,3}
, é correto
e) {0,1,2,3}
Resposta:
[E]
Resolvendo a inequação, obtemos
x2  3x  0  x  (x  3)  0
 0  x  3.
Portanto, o conjunto das soluções inteiras da inequação x 2  3x  0 é {0, 1, 2, 3}.
19. (Mackenzie 2013) A função f(x) 
9  x2
a) S  x 
x2  x  2
/ 3  x  2 ou 1  x  3
b) S  x 
/ 3  x  2 ou 1  x  3
c) S  x 
/ 3  x  2 ou 1  x  3
d) S  x 
/ 2  x  1 ou 1  x  3
e) S  x 
/ 2  x  1 ou 1  x  3
tem como domínio o conjunto solução
Resposta:
[B]
O domínio da função será a solução da seguinte inequação
9  x2  0  x  3 ou x  3
de x2  x  2  0  x  2 ou x  1
Estudando o sinal de
9  x2
x2  x  2
, temos:
Resolvendo a inequação, temos:
S  x  / 3  x  2 ou 1  x  3
9  x2
x2  x  2
 0.
20. (Fatec 2007) Os números reais x e y são tais que:
y = (2 x2 + 5 x - 3)/(1 - 5 x)
Nessas condições, tem-se y < 0 se, e somente se, x satisfizer a condição
a) - 3 < x < - 1/2 ou x > - 1/5
b) - 3 < x < 1/2 ou x > 1/5
c) - 3 < x < 1/5 ou x > 1/2
d) 1/5 < x < 1/2 ou x > 3
e) x < - 3 ou 1/5 < x < 1/2
Resposta:
[C]