Logaritmos – Exponenciais - Fatoração

Logaritmos – Exponenciais Fatoração
Prof. Edson
1. Após acionar um flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a recarregar o capacitor do
flash, o qual armazena uma carga elétrica dada por
t 

Q(t)  Q0  1  e 2  ,


onde
Q0
é a capacidade máxima
da carga e t é medido em segundos. O tempo que levará para o capacitor recarregar 90% da capacidade
é de:
a) 2 segundos.
b) 3 segundos.
c) 4 segundos.
d) 5 segundos.
e) 6 segundos.
2. A solução da equação na variável real x, logx (x  6)  2, é um número
a) primo.
b) par.
c) negativo. d) irracional.
3. Observe a matriz A quadrada e de ordem três.
 0,3 0,47 0,6 


A   0,47 0,6
x 
 0,6
x
0,77 

Considere que cada elemento a ij dessa matriz é o valor do logaritmo decimal de
O valor de x é igual a:
a) 0,50
b) 0,70
c) 0,77
(i  j).
d) 0,87
4. Se m/n é a fração irredutível que é solução da equação exponencial 9 x  9 x 1  1944, então, m n é igual a
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
5. No artigo “Desmatamento na Amazônia Brasileira: com que intensidade vem ocorrendo?”, o
pesquisador Philip M. Fearnside, do INPA, sugere como modelo matemático para o cálculo da área de
kt
desmatamento a função D(t)  D(0)  e , em que D(t) representa a área de desmatamento no instante
t, sendo t medido em anos desde o instante inicial, D(0) a área de desmatamento no instante inicial
t  0, e k a taxa média anual de desmatamento da região. Admitindo que tal modelo seja representativo
da realidade, que a taxa média anual de desmatamento (k) da Amazônia seja 0,6% e usando a
aproximação n 2  0,69, o número de anos necessários para que a área de desmatamento da Amazônia
dobre seu valor, a partir de um instante inicial prefixado, é aproximadamente
a) 51.
b) 115.
c) 15.
d) 151.
e) 11.
6. Se log1 2 x  3, então
3
x  x2
vale:
a) 3 4
b) 6
c) 28
d) 50
e) 66
7. Analise as seguintes afirmações:
Funções do 1o e do 2o Graus – Prof. Edson
1
3
I. A subtração (2 8  3 2) equivale a
II. 5 8 é maior que 11 2.
2 2.
2
III. (6 3) é igual a 108.
Estão corretas as afirmativas
a) I e II apenas.
b) I e III apenas.
 
8. Se 4 x
a) 27
2
c) II e III apenas.
d) I, II e III.
2
 16  2 x , o valor de x x é:
b) 4
c)
1
4
e) 
d) 1
2
1
27
2
9. O conjunto solução da equação 64x  16x 2x2 é o conjunto
a) S = {2}.
b) S = {4}.
c) S = {–2, 2}.
d) S = {2, 4}.
10. Uma pessoa irá escolher dois números reais positivos A e B. Para a maioria das possíveis escolhas,
o logaritmo decimal da soma dos dois números escolhidos não será igual à soma de seus logaritmos
decimais. Porém, se forem escolhidos os valores A = 4 e B = r, tal igualdade se verificará. Com essas
informações, pode-se concluir que o número r pertence ao intervalo
a) [1, 0; 1, 1].
b) ]1, 1; 1, 2].
c) ]1, 2; 1, 3].
d) ]1, 3; 1, 4].
e) ]1, 4; 1, 5].
3
2
11. Para quaisquer reais positivos A e B, o resultado da expressão logA B  logB A é
a) 10
b) 6
c) 8
d) A  B
e) 12
2
3
4
12. Se logx  logx  logx  logx  20, o valor de x é:
a) 10
b) 0,1
c) 100
d) 0,01
e) 1
13. Considere a aproximação: log2  0,3. É correto afirmar que a soma das raízes da equação
22x  6  2x  5  0 é:
a)
7
3
14. Se
a) 9
b) 2
log3 (x  y)  5
b)
c)
e
5
3
log5 (x  y)  3,
4  log2 5
d)
então
c) 8
4
3
e) 1
log2 (3x  8y)
d)
é igual a:
2  log2 10
e) 10
a b 
15. Sendo A  
 uma matriz quadrada de ordem 2, a soma de todos os elementos da matriz
 c d
M  A  A t é dada por:
a) a2 + b2 + c2 + d2
b) (a + b + c + d) 2
c) (a + b) 2 + (c + d) 2
d) (a + d) 2 + (b + c) 2
e) (a + c) 2 + (b + d) 2
16. A equação 2x
a) – 5
2
14
b) 0

1
tem duas soluções reais. A soma das duas soluções é:
1024
c) 2
d) 14
e) 1024
17. Quando uma quantia de dinheiro igual a P reais é investida a uma taxa de juros de 12% ao ano, de
Funções do 1o e do 2o Graus – Prof. Edson
2
modo que os juros sejam capitalizados continuamente, a fórmula para calcular o valor disponível após
t anos, é V  t   P  e0,12 t .
Qual é o tempo aproximado, em anos, para que o dinheiro investido dobre de valor?
Dado: n 2  0,69.
a) 24
b) 12,5
c) 12
d) 6
e) 4
18. Adotando os valores log2  0,30 e log3  0,48, em que prazo um capital triplica quando aplicado a
juros compostos à taxa de juro de 20% ao ano?
a) 5 anos e meio
b) 6 anos
c) 6 anos e meio
d) 7 anos
e) 7 anos e meio
19. A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que a quantidade
remanescente da substância seja metade da quantidade desintegrada. A função que expressa a relação
entre a quantidade presente Q e o tempo t é Q  t   Q0ekt , em que k é a taxa segundo a qual a substância
se desintegra. Qual é a meia-vida de uma substância que se desintegra a uma taxa de 4% ao ano?
a) 175 anos
b) 125 anos
c) 17,5 anos
d) 12,5 anos
e) 12 anos
20. Diversas pesquisas apontam o endividamento de brasileiros. O incentivo ao consumismo, mediado
pelas diversas mídias, associado às facilidades de crédito consignado e ao uso desenfreado de cartões
são alguns dos fatores responsáveis por essa perspectiva de endividamento.
(Fonte: Jornal o Globo, de 4 de setembro de 2011 – Texto Adaptado)
Suponha que um cartão de crédito cobre juros de 12% ao mês sobre o saldo devedor e que um usuário
com dificuldades financeiras suspende o pagamento do seu cartão com um saldo devedor de R$660,00.
Se a referida dívida não for paga, o tempo necessário para que o valor do saldo devedor seja triplicado
sobre regime de juros compostos, será de:
a) nove meses e nove dias
b) nove meses e dez dias
c) nove meses e onze dias
d) nove meses e doze dias
e) nove meses e treze dias
21. O número log2 7 está entre
a) 0 e 1.
b) 1 e 2.
c) 2 e 3.
d) 3 e 4.
e) 4 e 5.
22. Seja A o conjunto de todos os valores de k para os quais a equação, em x,
uma raiz inteira. O número de elementos de A é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
23. Tendo-se a e b como números reais positivos, e sendo b  1 , se
a) 12
b) 16
c) 32
log2 a 
logx 3
 5  x   k admite
1
 6 , então a∙b é igual a
logb 2
d) 64
24. Sejam a, b e c números reais positivos, com c  1 . Sobre a função logarítmica, é correto afirmar:
a) Se logc a  y , então ay  c
b) logc (a  b)  (logc a)  (logc b)
c)
d)
e)
 a  logc a
logc   
 b  logc b
 1
logc     logc a
a
logc (a  b)  logc a  logc b
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3
25. Considere a equação:
(log2 x)2  log3 x  0, com x  0.
2
Um aluno apresentou o seguinte desenvolvimento para a solução dessa equação:
(log2 x)2  log3 x
2
(log2 x)  3(log2 x)
2
(log2 x)  3
x  23
x8
S  {8}.
O conjunto-solução encontrado pelo aluno está incompleto.
Resolva a equação e determine corretamente o seu conjunto-solução.
26. A quantidade de números inteiros existentes entre os primeiros 2011 termos da sequência
1
1
1
1
1 

 log2 1, log2 2 , log2 3 , log2 4 , log2 5 ,...,log2 n ,...  é igual a


a) 10.
b) 11.
c) 12.
d) 13.
e) 14.
27. Assinale a alternativa cujo valor seja a soma dos valores das demais:
a) 20  21
b) 25%
c) 22
d) 75% de 3-1
e) log2 0,5
28. Aproximando log 2 por 0,301, verificamos que o número 1610 está entre
a) 109 e 1010 .
b) 1010 e 1011 .
c) 1011 e 1012 .
d) 1012 e 1013 .
e) 1013 e 1014 .
29. Sabendo-se que
a) 49
b) 47
que x  4y, o valor da expressão
c) 45
d) 43
e) 41
x  y 1  7 e
x 2  y 2 é
igual a:
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a representação e a compreensão de grandezas que
apresentam intervalos de variação excessivamente grandes. O pH, por exemplo, mede a acidez de uma
solução numa escala que vai de 0 a 14; caso fosse utilizada diretamente a concentração do íon H para
fazer essa medida, teríamos uma escala bem pouco prática, variando de 0,00000000000001 a 1.
Suponha que um economista, pensando nisso, tenha criado uma medida da renda dos habitantes de
um país chamada Renda Comparativa (RC), definida por
R
RC  log   ,
 R0 
em que R é a renda, em dólares, de um habitante desse país e R0 é o salário mínimo, em dólares,
praticado no país. (Considere que a notação log indica logaritmo na base 10.)
30. (Insper) As rendas, em dólares, de Paulo e Rafael, dois habitantes desse país, são respectivamente
iguais a
R1
e
R2.
Se a Renda Comparativa de Paulo supera a de Rafael em 0,5, então a razão
aproximadamente
a) 5,0.
b) 3,2.
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c) 2,4.
d) 1,0.
R1
R2
vale
e) 0,5.
4
GABARITO
Resposta da questão 1: [D]
Resposta da questão 2: [A]
Resposta da questão 3: [B]
Resposta da questão 4: [D]
Resposta da questão 5: [B]
Resposta da questão 6: [E]
Resposta da questão 7: [B]
Resposta da questão 8: [B]
Resposta da questão 9: [A]
Resposta da questão 10: [D]
Resposta da questão 11: [B]
Resposta da questão 12: [D]
Resposta da questão 13: [A]
Resposta da questão 14: [E]
Resposta da questão 15: [E]
Resposta da questão 16: [B]
Resposta da questão 17: [D]
Resposta da questão 18: [B]
Resposta da questão 19: [C]
Resposta da questão 20: [D]
Resposta da questão 21: [C]
Resposta da questão 22: [A]
Resposta da questão 23: [D]
Resposta da questão 24: [D]
Resposta da questão 25: S  {1, 8}.
Resposta da questão 26: [B]
Resposta da questão 27: [B]
Resposta da questão 28: [D]
Resposta da questão 29: [E]
Resposta da questão 30: [B]
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