LOGARITMO

MATEMÁTICA - 3o ANO
MÓDULO 12
LOGARITMO
Como pode cair no enem
Um dos grandes legados de Kepler para ciência foi a sua terceira lei: “o quadrado do período
de revolução de cada planeta é proporcional ao cubo do raio médio da respectiva órbita”. Isto
é, sendo T o período de revolução do planeta e r a medida do raio médio de sua órbita, esta lei
nos permite escrever que: T = Kr3, onde a constante de proporcionalidade K é positiva.
Considerando x = log (T) e y = log (r), pode-se afirmar que:
2x - k
a) y = –––––
3
2x
b) y = –––––
3log K
c)
3 2
y = xK
2x
d) y = –––
3K
2x - logK
e) y = ––––––––
3
Fixação
1) Um livro apresenta uma tabela com dez logaritmos, de base 3. Maria manchou o livro e
alguns logaritmos ficaram ilegíveis, conforme mostra a figura:
x
log3x
1
2
0,631
3
4
5
6
7
1,771
8
1,893
9
2,000
10
2,096
Determine a soma dos logaritmos que ficaram ilegíveis.
a) 4,358c) 5,358
b) 4,864d) 5,642
Fixação
2) (UFF) Beremiz e seu mestre Nô-Elim eram apaixonados pela rainha das ciências, a Matemática, e toda vez que se reuniam para conversar sobre ela, o faziam de modo enigmático. Certa
vez, Beremiz fez a seguinte pergunta a seu mestre.
– Qual é o número, maior que a unidade, cujo logaritmo decimal da sua raiz quadrada é
igual à raiz quadrada do seu logaritmo decimal?
– Usando propriedades do logaritmo e um pouco mais de sabedoria, você será capaz de
responder a sua questão. – respondeu o mestre.
Considerando o texto acima, responda:
Qual é o número procurado por Beremiz?
Fixação
-3) (UERJ) A International Electrotechnical Commission – IEC padronizou as unidades e os símbolos a serem usados em Telecomunicações e Eletrônica. Os prefixos kibi, mebi e gibi, entre outros
empregados para especificar múltiplos binários, são formados a partir de prefixos já existentes no
Sistema Internacional de Unidades – SI, acrescidos de bi, primeira sílaba da palavra binário.
A tabela abaixo indica a correspondência entre algumas unidades do SI e da IEC.
SI
IEC
nome símbolo magnitude
nome símbolo magnitude
quilo
k
103
kibi
Ki
210
mega
M
106
mebi
Mi
220
giga
G
109
gibi
Gi
230
Um fabricante de equipamentos de informática, usuário do SI, anuncia um disco rígido de
30 gigabytes. Na linguagem usual de computação, essa medida corresponde a p x 230 bytes.
Considere a tabela de logaritmos a seguir.
X
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
Log x
0,301
0,342
0,380
0,415
0,447
0,477
Calcule o valor de p.
Fixação
F
4) (UFF) Um estudante, pesando 120 kg, deseja se submeter a uma dieta durante três meses.5
A previsão é que seu peso diário P (em quilogramas) obedeça à lei: P(t) = 120 e-0,005t, onde td
(em dias) é o tempo de duração da dieta (t ≤ 180 dias).
l
De acordo com esta lei, o estudante emagrecerá os primeiros 20 kg em:
a) 12 ln(200) dias;
3
b) 20 ln(120/5) dias;
c) 20 ln(5/120) dias;
l
d) 200 ln(5/6) dias;
a
e) 200 ln(6/5) dias.
b
c
d
Fixação
.5) (UERJ) Admita que em um determinado lago, a cada 40cm de profundidade, a intensidade
tde luz é reduzida em 20%, de acordo com a equação l = l . (0,8)h40 na qual I é a intensidade da
0
luz em uma profundidade h, em centímetros, e I0 é intensidade na superfície.
Um nadador verificou, ao mergulhar nesse lago, que a intensidade da luz em ponto P é de
32% daquela observada na superfície.
A profundidade
ponto
P,
em
metros,
considerando
log2 = 0,3, equivale a:
a) 0,64
b) 1,8
c) 2,0
d) 3,2
Fixação
F
6) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial,7
atingindo o nível de toxidez To, correspondente a dez vezes o nível inicial.
n
p
Leia as informações a seguir.
n
• A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias.
a
• O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte
equação:
c
a
T(x) = To . (0,5)0,1x
b
Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessáriod
para que a toxidez retorne ao nível inicial. Sendo log2 = 0,3, o valor de D é igual a:
a) 30
b) 32
c) 34
d) 36
Fixação
7) (UFRJ) Ana e Bia participam de um site de relacionamento. No dia 1o de abril de 2005, elas
notaram que Ana tinha exatamente 128 vezes o número de amigos de Bia. Ana informou que
para cada amigo que tinha no final do dia, três novos amigos entravam para sua lista de amigos
no dia seguinte. Já Bia disse que para cada amigo que tinha no final de um dia, cinco novos
amigos entravam para sua lista no dia seguinte.
Suponha que nenhum amigo deixe as listas e que o número de amigos aumente, por dia,
conforme elas informaram.
a) No dia 2 de abril de 2005, vinte novos amigos entraram para a lista de Bia.
Quantos amigos havia na lista de Ana em 1o de abril?
b) Determine a partir de que dia o número de amigos de Bia passa a ser maior do que o número
de amigos de Ana. Se precisar, use a desigualdade 1,584 < log23 < 1,585.
Proposto
1) (PUC) log 50 + log 40 + log 20 + log 2,5 é igual a:
a) 1
b) 3
c) 5
d)10
e) 1000
Proposto
2) (UFF) Se k = log3 (3 + 2 2 ), então 5k + 5-k é igual a:
a) 6
b) 8
c) 12
d) 16
e) n.d.a.
Proposto
3) O valor da expressão [log2 0,5 + log3 27 - log
121
a) –––
4
289
b) –––
4
49
c) –––
4
169
d) –––
4
e) n.r.a.
2
]2 é:
8
Proposto
4) (CESGRANRIO) O valor de loga (a. a ) é:
3
a) ––
4
4
b) ––
3
2
c) ––
3
3
d) ––
2
5
d) ––
2
Proposto
5) Se y = log2 3 . log3 4 . log4 5 ... log31 32, então:
a) 4< y < 5
b) y = 5
c) 5 < y < 6
d) y = 6
e) y > 6
Proposto
6) (UFRJ) Sejam x e y duas quantidades. O gráfico abaixo expressa a variação de log y em
função de log x, onde log é o logaritmo na base decimal.
logy
6
2
2
logx
Determine uma relação entre x e y que não envolva a função logaritmo.
Proposto
7) Resolva, no conjunto dos números reais, as equações onde log está na base 10:
a) log(x + 1) = log x + 1
b) log(1 - x2) = log x
Proposto
8) São dados os logaritmos decimais: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48. O valor de log8 27 é:
a) 0,6
d) 1,4
b) 0,8
e) 1,6
c) 1,2
Proposto
9) Sabendo-se que 5p = 2, podemos concluir que log2 100 é igual a:
2
a) ––
p
b) 2p
c) 2 + p2
d) 2 + 2p
3
e) ––
4
Proposto
4
10) (UFF) Se logp ––
= -1, então o valor de p é:
5
a) 3
9
b) ––
4
c) 2
7
d) ––
4
5
d) ––
4
Proposto
11) (UFF) Pode-se afirmar que o valor de log 18 é igual a:
a) log 20 - log 2
b) 3 log 6
c) log 3 + log 6
log 36
d) –––––
2
e) (log 3) (log 6)
Proposto
12) (UNIRIO) Um professor propôs seus alunos o seguinte exercício:
“Dada a função x → y = log2 64x3,
f: R+* → R
determine a imagem de x = 1024”
Qual não foi sua surpresa quando, em menos de um minuto, um aluno respondeu corretamente que a imagem era:
a) 30 d) 35
b) 32 e) 36
c) 33
Proposto
13) (UFRJ) Considere x e y números reais positivos tais que: log3(log4(x)) = log4(log3(y)) = 0.
Determine o valor de x + y.
Proposto
14) (UFF) O produto das raízes da equação
a) - 1
b) 0
c) 1
d) 54
e) 729
é:
Proposto
15) (UFF) Considere p = log32, q = log
a) p < q < r
b) r < q < p
c) q < r < p
d) p < r < q
e) r < p < q
3
4
, r = log1/2 2 . É correto afirmar que:
Proposto
16) (CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo decimal do número positivo x, a soma
das raízes de log2x - log x2 = 0 é:
a) - 1
b) 1
c) 20
d) 100
e) 101
Proposto
17) (UERJ) Calcule x sabendo que log2x + log2x2 + log2x3 = 6.
a) x = 2
b) x = 3
c) x = 4
d) x = - 2
e) x = 1
Proposto
18) (UNIRIO) Se x = log3 2, então 3x + 3-x é igual a:
9
a) ––
7
5
b) ––
2
c) 4
d) 6
e) 9
Proposto
19) (UNIFICADO) Se log10a + log0,1a2 = 3, então o valor de a é:
a) 10-3
c) 10-1
-2
b) 10
d) 102
Proposto
20) Resolva a equação log2(logx 16) = 3:
a) 2
1
b) ––
2
c) 2
d) -2 2
Proposto
21) Calcule o valor da expressão (logn
nn
n) , onde n é um número inteiro, n ≥ 2.
Proposto
22) Um aluno quer resolver a equação 3x = 7 utilizando uma calculadora que possui a tecla log
x. Para obter um valor aproximado de x, o aluno deverá calcular.
log 7
a) –––––
log 3
log 3
a) –––––
log 7
c) log 7 x log 3
d) log 7 + log 3
Proposto
23) Se a equação x2 + 8x + log(a) = 0 possui duas raízes reais e iguais, então a é igual a:
a) 10
b) 102 c) 104
d) 108
e) 1016
Proposto
24) O conjunto solução da equação
x(log5 3x + log5 21) + log5 3– = 0 é:
7
a) ∅
b) {0}
c) {1}
d) {0, 2}
e) {0, -2}
Proposto
25) (CEFET) A solução da equação log(x + 1) + log(x - 2) = 1 é:
a) zero
d) 3
b) 1
e) 4
c) 2
Proposto
26) Se loga 2 = m e loga 3 = n, então
a) 1
b) 0
c) m - n
d) n - m
e) m . n
vale:
Proposto
27) Se log10 5 = a e log10 7 = b, então log10(122,5) é igual a:
a) a + b
b) a + b + 1
c) a + b - 1
d) 2a + 2b
e) 2a + 2b - 1
Proposto
28) O produto (log9 5) . (log5 3) é igual a:
a) 0
1
b) ––
2
c) 10
d) 30
1
e) ––
10
Proposto
29) Se log2 x + log4 x = 1, então:
3
a) x = 2
3
b) x = 4
2 3
c) x = 2
3
d) x = 3 2
e) x = 2
Proposto
30) No que segue, log a representa o logaritmo de a na base 10. Se log 8 = 0,903 e log 70 =
1,845, então:
a) log 14 = 1,146
b) log 14 = 1,164
c) log 14 = 1,182
d) log 14 = 1,190
e) log 14 = 1,208
Proposto
31) (UFF) Calcule o valor do número natural n que satisfaz a equação log10(0,1) + log10(0,1)2
+ ... + log10(0,1)n = – 15
Proposto
32) (UERJ) O logaritmo decimal do número positivo x é representado por log x.
Então, a soma das raízes de log2x – log x3 = 0 é igual a:
a) 1
c) 1000
b) 101
d) 1001
Proposto
33) (UERJ) Um soldado fez n séries de flexões de braço, cada uma delas com 20 repetições.
No entanto, como consequência das alterações da contração muscular devidas ao acúmulo
de ácido lático, o tempo de duração de cada série, a partir da segunda, foi sempre 28% maior
do que o tempo gasto para fazer a série imediatamente anterior. A primeira série foi realizada
em 25 segundos e a última em 1 minuto e 40 segundos.
Considerando log 2 = 0,3, a soma do número de repetições realizadas nas n séries é igual a:
a) 100
b) 120
c) 140
d) 160
Proposto
34) (UFRJ) Dados a e b números reais positivos, b ≠ 1, define-se logaritmo de a na base b
ocomo número real x tal que bx = a, ou seja, x = logba.
Para α ≠ 1, um número real positivo, a tabela a seguir fornece valores aproximados para αx e α-x.
:
x
αx
α-x
2,0
6,250
0,160
2,1
6,850
0,146
2,2
7,507
0,133
2,3
8,227
0,122
2,4
9,017
0,111
2,5
9,882
0,101
2,6
10,830
0,092
2,7
13,009
0,077
2,9
14,257
0,070
3,0
15,625
0,064
Com base nesta tabela, determine uma boa aproximação para:
a) o valor de α;
1
b) o valor de logα = –––
10