Curso Técnico em Informática Prof. Gustavo
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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO TRIÂNGULO MINEIRO
CAMPUS PARACATU
Raciocínio Lógico
Curso Técnico em Informática
Prof. Gustavo Alexandre de Oliveira Silva
Janeiro de 2012
SUMÁRIO
Capítulo 1
Conceitos Iniciais ............................................................................................................................................... 5
1. Introdução à Lógica ................................................................................................................................... 7
2. Extensão e Compreensão dos Conceitos ................................................................................................... 7
3. Juízo e Raciocínio ....................................................................................................................................... 8
Capítulo 2
Proposições ..................................................................................................................................................... 12
1. Sentenças Fechadas e Abertas ................................................................................................................ 13
1.1. Sentenças Fechadas.......................................................................................................................... 13
1.2. Sentenças Abertas ............................................................................................................................ 13
2. Representação de uma Proposição ......................................................................................................... 13
3. Proposições Simples e Compostas .......................................................................................................... 14
3.1. Proposições Simples ......................................................................................................................... 14
3.2. Proposições compostas .................................................................................................................... 14
Capítulo 3
Conectivos Lógicos .......................................................................................................................................... 19
1. Negação (não).......................................................................................................................................... 20
2. Conjunção (e)........................................................................................................................................... 21
3. Disjunção (ou) .......................................................................................................................................... 23
4. Disjunção Exclusiva (xou)......................................................................................................................... 24
5. Implicação (se...então) ............................................................................................................................ 25
6. Dupla Implicação (se e somente se) ........................................................................................................ 27
7. Negativa de uma Proposição Composta.................................................................................................. 29
7.1. Negação de uma Proposição Conjuntiva: (p q) ........................................................................... 29
7.2. Negação de uma Proposição Disjuntiva: (p q) ............................................................................ 30
7.3. Negação de uma Proposição Condicional: (p q) ........................................................................ 31
8. Proposições Compostas Complexas ........................................................................................................ 33
Capítulo 4
Tabela Verdade................................................................................................................................................ 36
1. Tabelas-Verdade para Duas Proposições (P e Q) .................................................................................... 36
2. Tabelas-Verdade para Três Proposições (P, Q e R) ................................................................................. 40
3. Revisão de Conectivos ............................................................................................................................. 43
Capítulo 5
Tautologia, Contradição, Contingência, Equivalência ..................................................................................... 45
1. Tautologia ................................................................................................................................................ 45
2. Contradição ............................................................................................................................................. 46
3. Contingência ............................................................................................................................................ 47
4. Equivalência Lógica .................................................................................................................................. 47
4.1. Equivalências Básicas:....................................................................................................................... 48
4.2. Equivalências da Condicional: .......................................................................................................... 48
4.3. Equivalências com o Símbolo da Negação: ...................................................................................... 49
4.4. Equivalência entre “Nenhum” e “Todo”: ......................................................................................... 49
4.5. Leis Associativas, Distributivas e da Dupla Negação ........................................................................ 49
Capítulo 6
Argumentos ..................................................................................................................................................... 54
1. Argumento Válido.................................................................................................................................... 55
2. Argumento Inválido ................................................................................................................................. 56
3. Métodos de Determinação da Validade de um Argumento ................................................................... 59
3.1. Utilizando Diagramas Lógicos ........................................................................................................... 59
3.2. Construindo a Tabela-Verdade do Argumento ................................................................................ 64
3.3. Considerando Premissas Verdadeiras e Verificando Valor Lógico da Conclusão ............................. 65
3.4. Considerando Premissas Verdadeiras e Conclusão Falsa ................................................................. 66
3.5. Quadro-Resumo................................................................................................................................ 68
Capítulo 7
Quantificadores ............................................................................................................................................... 75
1. Sentenças Abertas ................................................................................................................................... 75
2. O Quantificador Universal ....................................................................................................................... 75
3. O Quantificador Existencial ..................................................................................................................... 76
4. Negação de Proposições Quantificadas .................................................................................................. 77
Capítulo 8
Estruturas Lógicas: Exercícios .......................................................................................................................... 79
1. Exercícios Propostos ................................................................................................................................ 79
Referências Bibliográficas.............................................................................................................................. 101
CAPÍTULO 1
CONCEITOS INICIAIS
Programar é basicamente construir algoritmos. Essa definição relaciona o aspecto
fundamental, a construção de programas. Construção de programas são estruturas de dados
utilizadas no algoritmo para representar as informações do problema a ser resolvido.
De fato, no processo de construção de programas, a formulação do algoritmo e a definição
das estruturas de dados a serem utilizadas estão intimamente relacionadas. Isto é, decisões sobre
as estruturações dos dados não podem ser feitas sem conhecimento dos algoritmos aplicados a
eles, e vice e versa. A estrutura e a escolha dos algoritmos depende, muitas vezes, da estrutura de
dados.
Em um algoritmo (e em particular em um programa) deve-se distinguir claramente dois
aspectos complementares: um aspecto estático e um aspecto dinâmico.
A formulação de um algoritmo geralmente consiste em um texto contendo instruções
(comandos ou ações) que devem ser executadas em uma ordem prescrita. Uma ação é um evento
que ocorre em um período de tempo finito, estabelecendo um efeito intencionado e bem
definido. Como exemplos: "caminhar até a próxima esquina", "colocar um livro em cima de uma
mesa", "descascar as batatas para o jantar", "atribuir o valor 3.14 a uma variável".
Esses textos são representações concretas dos algoritmos e tem um caráter estático,
expandindo somente no espaço. Por outro lado esses textos não tem importância em si, mas os
efeitos que podem evocar quando executados no tempo, dado um conjunto de "valores iniciais".
Cada execução de um algoritmo é um evento dinâmico, evoluindo no tempo.
A grande dificuldade na concepção e no entendimento de algoritmos é o problema do
relacionamento desses aspectos, ou seja: como entender ("visualizar") as estruturas dinâmicas das
possíveis execuções do algoritmo a partir da estrutura estática do texto do algoritmo.
A Lógica Cotidiana
A lógica do cotidiano (do dia a dia), às vezes é massivamente utilizada sem, no entanto se
perceber disso. A lógica pode ser descrita como coerência de raciocínio de ideias ou ainda
sequência coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas.
Como exemplo, têm-se:
O número 3 é menor que o número 5. O número 7 é maior que o número 5. Logo, o
número 3 é menor que os números 5 e 7.
Quando chove, não é preciso regar as plantas no jardim. Hoje choveu. Logo, hoje não é
preciso regar as plantas no jardim.
O Brasil fica na América do Sul. (Quem nasce no Brasil é brasileiro). A América do Sul fica
no continente americano. (Quem nasce no continente americano é americano.) Logo, os
brasileiros são americanos.
5
O Raciocínio Lógico nasce de um conjunto de ideias desordenadas. Normalmente, pelo
motivo de querer chegar ao resultado mais rapidamente. Como exemplo, na sequência de ações a
seguir (tabela 1), veja se é possível retirar o dinheiro de um banco, obedecendo, estritamente, a
sequência descrita.
1. Sair do Banco.
2. Aguardar a vez de ser atendido.
3. Entrar na fila do caixa.
4. Digitar a senha.
5. Entrar no banco.
6. Informar o valor a ser retirado.
7. Procurar a fila do caixa.
8. Pegar o comprovante do saque, o cartão eletrônico e o dinheiro.
9. Conferir o valor em dinheiro.
Sequência de ações a serem efetuadas, para retirada de dinheiro.
A Lógica de Programação tem como intuito resolver problemas com maior rapidez e
menor esforço. Isso é possível quando se consegue automatizar tarefas. As tarefas devem ser
realizadas pelo computador de forma automática, e ter sido anteriormente, divididas em etapas e
colocadas em uma sequência de ações, e só então inseridas na máquina. Para isso, a meta
principal de um programador é resolver problemas utilizando soluções lógicas, e dessa forma
obter resultados eficientes (corretos) e eficazes (com qualidade).
No exemplo da retirada de dinheiro acima, a ordem correta dos passos poderia ser:
1. Entrar no banco.
2. Procurar a fila do caixa.
3. Entrar na fila do caixa.
4. Aguardar a vez de ser atendido.
5. Informar o valor a ser retirado.
6. Digitar a senha.
7. Pegar o comprovante do saque, o cartão eletrônico e o dinheiro.
8. Conferir o valor em dinheiro.
9. Sair do Banco.
Sequência de ações a serem efetuadas, para retirada de dinheiro.
6
1. INTRODUÇÃO À LÓGICA
Lógica – do grego logos significa “palavra”, “expressão”, “pensamento”, “conceito”,
“discurso”, “razão”. Para Aristóteles, a lógica é a “ciência da demonstração”. Maritain a define
como a “arte que nos faz proceder, com ordem, facilmente e sem erro, no ato próprio da razão”.
Para Liard é “a ciência das formas do pensamento”. Poderíamos ainda acrescentar: “É a ciência
das leis do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na procura e demonstração da
verdade”.
Existem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não é
relevante um aprofundamento nesse ponto. É suficiente apenas discutir alguns pontos de vista
sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do pensamento”, e
neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é matéria estudada na
Psicologia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo Irving Copi, uma definição mais
adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, pois a sua ideia está ligada ao processo de
raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos envolvidos nele. Assim
concluímos que a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é
estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições.
Lógica é a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-los à pesquisa e à
demonstração da verdade.
Diz-se que a lógica é uma ciência porque constitui um sistema de conhecimentos certos,
baseados em princípios universais. Formulando as leis ideais do bem pensar, a lógica se apresenta
como ciência normativa, uma vez que seu objeto não é definir o que é, mas o que deve ser, isto é,
as normas do pensamento correto.
A lógica é também uma arte porque, ao mesmo tempo em que define os princípios
universais do pensamento, estabelece as regras práticas para o conhecimento da verdade.
2. EXTENSÃO E COMPREENSÃO DOS CONCEITOS
Ao examinarmos um conceito, em termos lógicos, devemos considerar a sua extensão e a
sua compreensão.
Vejamos, por exemplo, o conceito homem.
A extensão desse conceito refere-se a todo o conjunto de indivíduos aos quais se possa
aplicar a designação homem.
A compreensão do conceito homem refere-se ao conjunto de qualidades que um
indivíduo deve possuir para ser designado pelo termo homem: animal, vertebrado, mamífero,
bípede, racional. Esta última qualidade é aquela que efetivamente distingue o homem dentre os
demais seres vivos.
7
3. JUÍZO E RACIOCÍNIO
Entende-se por juízo qualquer tipo de afirmação ou negação entre duas ideias ou dois
conceitos. Ao afirmarmos, por exemplo, que “este livro é de lógica”, acabamos de formular um
juízo.
O enunciado verbal de um juízo é denominado proposição ou premissa.
Raciocínio é o processo mental que consiste em coordenar dois ou mais juízos
antecedentes, em busca de um juízo novo, denominado conclusão ou inferência.
Vejamos um exemplo típico de raciocínio:
1ª premissa – o ser humano é racional;
2ª premissa – você é um ser humano;
Conclusão – logo, você é racional.
O enunciado de um raciocínio através da linguagem falada ou escrita é chamado de
argumento. Argumentar significa, portanto, expressar verbalmente um raciocínio.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Questão 01:
Aplicando um raciocínio lógico, resolva o enunciado:
Existe um rio a ser atravessado por 3 pessoas. Essas pessoas pesam 50, 50 e 100kg. Para
atravessar esse rio, as 3 pessoas dispõem de uma canoa que leva no máximo 100kg por viagem.
Essa canoa tem que ser conduzida, isto é, ela não navega sozinha. Como essas pessoas chegam ao
outro lado da margem?
Questão 02:
Menos conhecidos que seus primos distantes, companheiros da Branca de Neve, os cinco anões
desta história raramente têm companhia. Eles são lenhadores. Quando vão para a floresta, cada
um põe na cabeça um boné de cor diferente. E cada anão derruba apenas um tipo de árvore,
diferente da dos outros quatro. Com as indicações a seguir, associe cada anão ao seu boné e à sua
árvore.
a) Léo usa boné vermelho.
b) Dino derruba olmos.
c) O anão que derruba carvalhos não usa boné amarelo.
8
d) Zen usa boné verde e corta salgueiros.
e) Boni não usa boné amarelo.
f) Leno usa boné azul e não preto.
g) Boni derruba maçarandubas.
h) O anão de boné azul derruba pinheiros.
Questão 03:
Em uma corrida, estão alinhados, lado a lado, 8 carros de marcas e cores diferentes. Estabeleça a
ordem em que os carros estão dispostos, com base nas informações:
a) A Ferrari está entre os carros vermelho e cinza.
b) A Lotus é o segundo carro à direita do carro creme e o segundo a esquerda do carro marrom.
c) O carro cinza está à esquerda da Lotus.
d) À direita do carro verde está a Red Bull.
e) A Williams não tem carro algum à sua esquerda e está à esquerda do carro verde.
f) A MacLaren é o segundo carro à esquerda da Ferrari e o primeiro à direita do carro azul.
g) A Force India não tem carro à sua direita e está logo depois do carro preto.
h) O carro preto está entre a Force India e o carro amarelo.
i) A Mercedes é o segundo carro à esquerda da Sauber.
Questão 04:
Maria tinha um número de biscoitos. Depois de comer um, ela deu metade do que sobrou para
sua irmã. Então ela comeu mais um e deu metade do restante para seu irmão. Maria tinha agora
somente cinco biscoitos. Com quantos biscoitos ela começou?
Questão 05:
No antigo Egito, havia um prisioneiro numa cela com duas saídas, cada uma delas com um guarda.
Cada saída dava para um corredor diferente em que um dava para o campo e, portanto, para a
liberdade e o outro para um fosso de crocodilos. Só os guardas sabiam qual a saída certa, mas um
deles dizia sempre a verdade e outro mentia sempre. O prisioneiro não sabia nem qual a saída
certa nem qual o guarda verdadeiro. Qual a pergunta (e uma só pergunta) que o prisioneiro
deveria fazer a um dos guardas ao acaso, para saber qual a porta certa?
Questão 06:
Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são Arantes, Braga e Castro, mas não necessariamente
nessa ordem. A de sobrenome Braga, que não é Ana, é mais velha que Carla e a de sobrenome
Castro é a mais velhas das três.
Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são, respectivamente:
9
a)
b)
c)
d)
e)
Arantes, Braga e Castro
Arantes, Castro e Braga
Castro, Arantes e Braga
Castro, Braga e Arantes
Braga, Arantes e Castro
Nomeando-as em ordem crescente de idade, teremos:
a)
b)
c)
d)
e)
Ana, Beatriz e Carla
Carla, Ana e Beatriz
Beatriz, Carla e Ana
Ana, Carla e Beatriz
Carla, Beatriz e Ana
Questão 07:
Ao ver o estrago na sala, mamãe perguntou zangada: quem quebrou o vaso da vovó?
Não fui eu. – disse André.
Foi o Carlinhos – disse Bruna.
Não fui eu, foi a Duda – disse Carlinhos.
A Bruna está mentindo! – falou Duda.
Sabendo que somente uma das crianças mentiu, pode-se concluir que:
a)
b)
c)
d)
e)
André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso.
Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso.
Carlinhos mentiu e foi ele quem quebrou o vaso.
Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso.
Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso.
Questão 08:
Natália pede as suas três irmãs que sentem-se no sofá da sala para tirar uma foto. Do ponto de
vista da fotógrafa, tem-se que: a de vestido vermelho senta-se à esquerda da de blusa branca, mas
não necessariamente a seu lado; Bruna senta-se à direita de Miriam; Sofia senta-se à esquerda da
que veste conjuntinho azul e esta, à esquerda da que está de blusa branca. Na foto, que ficou
linda, podemos ver:
a)
b)
c)
d)
e)
Miriam vestindo uma blusa branca.
Sofia de conjuntinho azul.
Bruna de vestido vermelho.
Miriam sentada entre Sofia e Bruna.
Sofia à direita das outras duas.
10
Questão 09:
Ramires aprontou uma baita confusão: trocou as caixas de giz e as papeletas de aulas dos
professores Júlio, Márcio e Daniel. Cada um deles ficou com a caixa de giz de um segundo e com a
papeleta de aulas de um terceiro. O que ficou com a caixa de giz do professor Márcio está com a
papeleta de aulas do professor Júlio. Portanto:
a) Quem está com a papeleta de aulas do Daniel é o Márcio.
b) Quem está com a caixa de giz do Márcio é o Júlio.
c) Quem está com a papeleta de aulas do Márcio é o Daniel.
d) Quem está com a caixa de giz do Júlio é o Daniel.
e) O que ficou com a caixa de giz do Júlio está com a papeleta de aulas do Márcio.
Questão 10:
Num certo grupo de pessoas existem as seguintes relações de parentesco: pai, mãe, filho, filha,
irmão, irmã, primo, sobrinho, sobrinha, tio e tia. Todos eles têm um antepassado comum e não há
casamento consanguíneo entre eles. O menor número de pessoas necessário para que se
verifiquem todas as relações de parentesco dadas é:
a) 12
b) 10
c) 8
d) 6
e) 4
11
CAPÍTULO 2
PROPOSIÇÕES
Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima
um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos
possíveis: verdadeiro ou falso.
Então, ao se afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estaremos diante de uma proposição,
cujo valor lógico é verdadeiro. Daí fica claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos
referindo a um dos dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou
falso (F).
E se dissermos “Feliz ano novo!”, será que isso é uma proposição verdadeira ou falsa?
Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico.
Portanto, são proposições:
O homem é mortal.
O pinguim é uma ave.
9 é maior que 8.
201 é um número primo.
A baleia é um peixe.
21-17 = 3.
As três primeiras proposições são verdadeiras(V). As demais são falsas (F).
Não são proposições:
Brasília é a capital do Brasil?
Onde fica o mar morto?
Estudem!
Vá lavar o carro!
Os exemplos acima não constituem proposições pois não é possível extrair o valor lógico (V
ou F) de frases interrogativas (as duas primeiras) e imperativas (as duas últimas).
Concluímos, pois, que:
sentenças exclamativas: “Feliz aniversário!”
sentenças interrogativas: “Como é o seu nome?”
sentenças imperativas: “Estude mais.”
sentenças que não tem verbo: “O caderno de Maria.”
não serão consideradas como proposições lógicas. Somente serão consideradas aquelas
primeiras – sentenças declarativas – que podem ser imediatamente reconhecidas como
verdadeiras ou falsas.
12
1. SENTENÇAS FECHADAS E ABERTAS
1.1. SENTENÇAS FECHADAS
São sentenças onde se é possível identificar o valor lógico da proposição.
Exemplos:
Manaus é a capital do Brasil.
2 + 7 = 9.
A baleia é um mamífero.
São Paulo é a maior cidade da América Latina.
1.2. SENTENÇAS ABERTAS
São sentenças onde não se é possível afirmar o valor lógico da proposição.
Exemplo:
2x + y = 12 (depende do valor das variáveis para verificação do valor lógico)
2. REPRESENTAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO
É comum representar as proposições de forma literal utilizando-se letras minúsculas (mais
comum) ou maiúsculas do alfabeto: p, q, r, s, P, Q, R, S, ...
Exemplos:
p: Pedro é médico.
q: 37 – 2 = 36
r: 4 < 2
s: x >= 0
P: Hoje eu vou à praia.
S: Ontem eu fui ao mercado.
Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico
(proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de p é
verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q)=F.
13
Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não!
Jamais! E por que não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns
princípios, muito fáceis de entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os seguintes:
Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da
Identidade)
Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da NãoContradição)
Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do
Terceiro Excluído)
3. PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS
3.1. PROPOSIÇÕES SIMPLES
Uma proposição é dita proposição simples quando não contém qualquer outra proposição
como sua componente. Não se pode subdividi-la em partes menores tais que alguma delas seja
uma nova proposição.
Exemplo:
Fabíola foi ao cinema.
Luciana é brasileira.
2x + y = 12
O rio Nilo fica no continente africano.
A Amazônia fica predominantemente no Brasil.
O Brasileiro é cordial.
3.2. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita
proposição composta. Isso quer dizer que uma proposição é composta quando se pode extrair
como parte dela, uma nova proposição.
Exemplo:
Cinthia é irmã de Maurício e de Júlio.
Ana foi ao teatro e Bruno foi à praia.
Se x = 4 e y = 4, então 2x + y = 12.
Se São Paulo é maior cidade da América Latina, então São Paulo é maior cidade do Brasil.
14
A sentença "Cinthia é irmã de Maurício e de Júlio" é uma proposição composta pois é
possível retirar-se dela duas outras proposições: "Cinthia é irmã de Maurício" e "Cinthia é irmã de
Júlio".
Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos
lógicos – que poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada um deles
a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas.
Veremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso
dependerá de duas coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; e 2º) do tipo de
conectivo que as une.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Questão 01:
Analise as afirmações abaixo e marque (V) para os itens que contem informações corretas sobre o
conceito e definição de proposição e (F) para os que contem informações incorretas.
1. (
) Proposição é todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de
sentido completo.
2. (
) A proposição deve ser uma sentença declarativa, isto é, uma sentença afirmativa ou
negativa.
3. (
) A proposição pode ser uma sentença interrogativa ou exclamativa.
4. (
) Toda proposição possui um valor lógico, ou seja, a proposição pode ser verdadeira ou
falsa.
5. (
) O valor lógico de uma proposição poderá ser verdadeiro ou falso – apenas um e não
ambos ao mesmo tempo.
6. (
) Existem algumas proposições que podem ser verdadeiras e falsas ao mesmo tempo.
7. (
) A proposição lógica sempre será uma sentença afirmativa.
8. (
) Existem proposições que podem ser verdadeiras ou falsas dependendo do contexto –
mas nunca serão verdadeiras e falsas ao mesmo tempo.
9. (
) Sentença fechada é aquele enunciado onde é possível identificar o valor lógico da
proposição.
10. (
) Sentença aberta é aquele enunciado onde é possível identificar o valor lógico da
proposição.
11. (
) Uma sentença aberta normalmente é aquele enunciado onde o valor lógico da
proposição depende do valor de certas variáveis.
12. (
) Toda sentença fechada é obrigatoriamente verdadeira.
15
13. (
) Uma proposição poderá ser simples se não contém nenhuma outra proposição como
parte integrante de si mesma.
14. (
) Uma proposição será denominada composta se for formada pela combinação de duas
ou mais proposições simples.
15. (
) Sempre representamos as proposições com letras minúsculas do alfabeto.
16. (
) Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é uma proposição é verdadeira,
representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de p é verdadeiro.
No caso da proposição ser falsa, diremos VL(p)=F.
Questão 02:
Analise as sentenças abaixo e indique quais delas são proposições e quais não são. Justifique sua
resposta com explicações coerentes e completas.
a: Washington é capital dos EUA.
b: O morcego é um mamífero?
c: 8 é menor que 9.
d: A baleia é um peixe.
e: 37 – 2 = 36.
f: Vamos ao clube!
g: Onde você mora?
h: 3x + 2y = 30.
i: Se eu estou cansado então durmo.
j: x2 – 6x + 16 = 8
Questão 03:
Analise as sentenças abaixo e classifique as proposições em fechadas ou abertas, simples ou
compostas.
a: Washington é capital dos EUA.
b: O crocodilo é um anfíbio.
c: 256 é menor que 94.
d: A Terra gira em torno do sol.
e: 37 – 2 = 36.
f: Pedro é maior que Cláudio.
g: Sandra é brasileira e Carla é argentina.
h: 3x + 2y = 30.
i: Se eu estou cansado então durmo.
j: x2 – 6x + 16 = 8
16
Questão 04:
Analise as mesmas sentenças do exercício anterior e indique o valor lógico das proposições
relacionadas abaixo.
a) VL(a) = _______________
b) VL(b) = _______________
c) VL(c) = _______________
d) VL(d) = _______________
e) VL(e) = _______________
f) Se x=5 e y=10, então VL(h) = ____________
g) Se x=10 e y=5, então VL(h) = _____________
h) Se x=4 e y=9, então VL(h) = _____________
i) Se x=5, então VL(j) = ____________
j) Se x=10, então VL(j) = ____________
k) Se x=0, então VL(j) = ____________
Questão 05:
Para quais valores de x, a proposição j do exercício 03 é verdadeira?
Questão 06:
Patrícia foi a nona colocada em ordem ascendente e a nona colocada em ordem descendente em
um concurso de soletração em sua escola na semana passada. Quantos alunos estavam no
concurso?
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19
Questão 07:
Analise a seqüência de letras abaixo e indique qual das letras não pertence à série.
A-D-G-I-J-M-P-S
17
Questão 08:
A cabeça de um peixe mede 9cm. A cauda é igual ao tamanho da cabeça mais metade do tamanho
do corpo. O corpo mede o tamanho da cabeça mais o tamanho da cauda. Baseando-se nas
informações contidas no texto, qual é o tamanho do peixe?
a) 27cm
b) 54cm
c) 63cm
d) 72cm
e) 81cm
18
CAPÍTULO 3
CONECTIVOS LÓGICOS
Duas ou mais proposições podem ser unidas utilizando-se conectivos. Os conectivos são
operadores lógicos que são utilizados para construir novas proposições, ou seja, possibilitam a
construção de proposições compostas.
As proposições podem ser classificadas como simples ou compostas com base na presença
ou não de conectivos. Serão chamadas proposições simples quando formadas por apenas uma
única proposição, sem a presença de conectivos ou operadores lógicos, e compostas quando
forem identificados conectivos ligando proposições.
A sentença "Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y." é uma
proposição composta na qual se pode observar alguns conectivos lógicos ("não", "se...então" e
"ou") que estão agindo sobre as proposições simples "x é maior que y", "x é igual a y" e "x é menor
que y".
O valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente do
valor lógico de cada uma de suas proposições componentes e da forma como estas sejam ligadas
pelos conectivos lógicos utilizados.
As proposições compostas podem receber denominações especiais, conforme o conectivo
lógico usado para ligar as proposições componentes.
São apresentados no quadro abaixo os conectivos lógicos, bem como seus significados e a
estrutura lógica generalizada da proposição composta respectiva.
Linguagem
idiomática
Símbolo
Estrutura Lógica
Exemplo
não
A
O número 2 não é ímpar.
e
AB
João é ator e mineiro.
ou
AB
Irei ao cinema ou à praia.
xou
AB
Ou você assiste novela ou você assiste filme.
se ... então
AB
Se chove então faz frio.
se e somente se
AB
Vivo se e somente se sou feliz.
19
1. NEGAÇÃO (NÃO)
O modificador de negação altera o valor lógico da proposição. Aplicando-se o modificador
de negação, uma proposição verdadeira passa a ser falsa e vice-versa.
Negação: p (lê-se: NÃO p)
Proposição
Negação da Proposição
p: João é alto.
p: João não é alto.
q: Fulano é honesto.
q: Fulano não é honesto ou Fulano é desonesto.
r: A bola é azul.
r: A bola não é azul.
A negação de uma sentença pode ser feita antepondo-se expressões negativas, como por
exemplo: NÃO É VERDADE QUE ; É FALSO QUE.
Utilizando-se esta estrutura, as negações dos exemplos acima poderiam ser escritas:
João é alto.
NÃO É VERDADE QUE
Fulano é honesto
A bola é azul
Além disso, com o objetivo de negar uma proposição, é comum a substituição de palavras
ou expressões da sentença por antônimos ou expressões de sentido oposto.
Proposição
Negação da Proposição
p: Matemática é fácil.
p: Matemática é difícil.
q: Carlos é culpado.
q: Carlos é inocente.
Obs.: Tomemos como exemplo a sentença “A bola é azul.” e a sua negação “A bola não é
azul.” A sentença “A bola é branca.”, embora contradiga a sentença “A bola é azul.”, não
representa a sua negação, já que o fato de a bola não ser azul não significa dizer que a mesma é
branca, ou qualquer outra cor.
20
2. CONJUNÇÃO (E)
Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas conjunções.
Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “”.
Conjunção: p q (lê-se: p e q)
Proposição
Conjunção da Proposição
p: Marcos é médico.
Marcos é médico e Maria é estudante.
q: Maria é estudante.
Uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partes que a compõem também
forem verdadeiras, e falsa nos demais casos.
Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir
que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é
médico e que Maria é estudante.
Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições
componentes seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultado falso
também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas.
Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma
pequena tabela. Trata-se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento.
Retomemos as nossas premissas:
p: Marcos é médico
q: Maria é estudante.
Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e
Maria é estudante) será também verdadeira. Teremos:
Marcos é médico
Maria é estudante
Marcos é médico e Maria é estudante
p
q
pq
V
V
V
Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos:
Marcos é médico
Maria é estudante
Marcos é médico e Maria é estudante
p
q
pq
V
F
F
Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico,
teremos:
21
Marcos é médico
Maria é estudante
Marcos é médico e Maria é estudante
p
q
pq
F
V
F
Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que:
Marcos é médico
Maria é estudante
Marcos é médico e Maria é estudante
p
q
pq
F
F
F
Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora
isso não há! Criamos, portanto, a tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a
tabela-verdade para uma proposição composta com a presença do conectivo “e”.
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da conjunção "A
e B" para cada um dos valores que A e B podem assumir.
A
B
AB
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
A conjunção "A e B" é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é também
verdadeira. Para que a conjunção "A e B" seja falsa basta que pelo menos uma de suas
proposições componentes seja falsa.
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a
conjunção "A e B" corresponderá à interseção do conjunto A com o conjunto B. Teremos:
AB
A
B
Obs.: É comum o uso do MAS com o objetivo de criar uma CONJUNÇÃO de proposições.
22
pq
Proposição
p: Beber demasiadamente faz mal à saúde.
q: Carlos bebe.
Beber demasiadamente faz mal à
saúde, mas Carlos bebe.
3. DISJUNÇÃO (OU)
Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas
pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “”.
Disjunção: p q (lê-se: p ou q)
Proposição
Disjunção da Proposição
p: Marcos é médico.
Marcos é médico ou Maria é estudante.
q: Maria é estudante.
Uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem ambas falsas, e nos
demais casos, a disjunção será verdadeira.
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjunção "A
ou B" para cada um dos valores que A e B podem assumir.
A
B
AB
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
A disjunção "A ou B" é falsa somente quando A é falsa e B é também falsa. Para que a
disjunção "A ou B" seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas proposições componentes
seja verdadeira.
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a
disjunção "A ou B" corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B.
23
AB
A
B
4. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (XOU)
Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos
que ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo:
“Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”
“Ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”
A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente
que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te
darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma
bola”, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te
darei uma bicicleta”, então teremos que não será dada a bola.
Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de modo
que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa. Ambas nunca
poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas.
Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela
presença dos dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente
verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é
disjunção exclusiva.
Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “”.
Disjunção Exclusiva: p q (lê-se: ou p ou q)
Proposição
Disjunção Exclusiva da Proposição
p: João é médico.
p: João não é médico.
Ou João é médico ou João não é médico.
24
Uma disjunção exclusiva só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a
outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa.
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjunção
exclusiva "ou A ou B" para cada um dos valores que A e B podem assumir.
A
B
AB
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
A disjunção exclusiva "ou A ou B" é falsa quando A e B forem iguais. Para que a disjunção
exclusiva "ou A ou B" seja verdadeira, A e B devem ter valores lógicos diferentes.
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a
disjunção exclusiva "ou A ou B" corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B com
exceção da intersecção.
AB
A
B
5. IMPLICAÇÃO (SE...ENTÃO)
Denominamos implicação ou condicional a proposição composta formada por duas
proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "se ... então" ou por uma de suas
formas equivalentes. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “”.
Implicação: p q0 (lê-se: se p então q)
Proposição
Implicação da Proposição
p: Gustavo é paulista.
Se Gustavo é paulista, então Gustavo é brasileiro.
q: Gustavo é brasileiro.
25
Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição.
Convém, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença:
Se nasci em Paracatu, então sou mineiro.
Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora, só há
um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa.
Ou seja, se é verdade que eu nasci em Paracatu, então necessariamente é verdade que eu
sou mineiro. Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Paracatu, e que é falso que eu sou
mineiro, então este conjunto estará todo falso.
Percebam que o fato de eu ter nascido em Paracatu é condição suficiente (basta isso) para
que se torne um resultado necessário que eu seja mineiro. Guardem nessas palavras: suficiente e
necessário.
Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Percebam, pois, que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria
ser médica”, então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional.
Teremos: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a: “Se Pedro for rico,
então Maria é médica”.
Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: “Maria ser médica é condição necessária
para que Pedro seja rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma: “Maria ser médica é
condição necessária para que Pedro seja rico” é igual a: “Se Pedro for rico, então Maria é médica”.
Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional?
Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condição
suficiente, mas o resultado necessário não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for
verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional será verdadeira.
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição
condicional "se A então B" para cada um dos valores que A e B podem assumir.
A
B
AB
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Uma condicional "se A então B" é falsa somente quando a condição A é verdadeira e a
conclusão B é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa
proposição condicional, a única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira
implicar uma conclusão falsa.
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a
proposição condicional "se A então B" corresponderá à intersecção de A e B mais o próprio
conjunto B e o universo externo a eles.
26
AB
A
B
As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "se A, então B":
Se A, B.
B, se A.
Quando A, B.
A implica B.
A é condição suficiente para B.
B é condição necessária para A.
A somente se B.
Todo A é B.
Exemplo: “Se chove, então faz frio.” São expressões equivalentes:
Se chove, faz frio.
Faz frio, se chove.
Quando chove, faz frio.
Chover implica fazer frio.
Chover é condição suficiente para fazer frio.
Fazer frio é condição necessária para chover.
Chove somente se faz frio.
Toda vez que chove, faz frio.
6. DUPLA IMPLICAÇÃO (SE E SOMENTE SE)
Denominamos dupla implicação ou bicondicional a proposição composta formada por
duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "se e somente se".
Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “”.
Dupla Implicação: p q (lê-se: p se e somente se q)
27
Proposição
Dupla Implicação da Proposição
p: Flávia é criativa.
Flávia é criativa se e somente se Flávia é brasileira.
q: Flávia é brasileira.
Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser: “Guilherme fica
alegre se e somente se Fabiana sorri.”, é o mesmo que fazer a conjunção entre as duas
proposições condicionais:
“Guilherme fica alegre somente se Fabiana sorri e Fabiana sorri somente se Guilherme fica
alegre”.
Ou ainda, dito de outra forma:
“Se Guilherme fica alegre, então Fabiana sorri e se Fabiana sorri, então Guilherme fica
alegre”.
Sabendo que a bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais, então a
bicondicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem
forem diferentes. Em suma: haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira:
quando antecedente e consequente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos.
Nos demais casos, a bicondicional será falsa.
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposição
bicondicional "A se e somente se B" para cada um dos valores que A e B podem assumir.
A
B
AB
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
A proposição bicondicional "A se e somente se B" é verdadeira somente quando A e B têm
o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando A e B têm
valores lógicos contrários.
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a
proposição bicondicional "A se e somente se B" corresponderá à todo o universo externo a eles e
mais a intersecção entre A e B.
28
AB
A
B
Podem-se empregar também como equivalentes de "A se e somente se B" as seguintes
expressões:
A se e só se B.
Se A então B e se B então A.
A somente se B e B somente se A.
A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A.
B é condição necessária para A e A é condição necessária para B.
Todo A é B e todo B é A.
Todo A é B e reciprocamente.
7. NEGATIVA DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA
Já sabemos negar uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta, como
fica? Aí, dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa proposição. Veremos, pois, uma
a uma.
7.1. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO CONJUNTIVA: (P Q)
Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte:
1) Negaremos a primeira (~p);
2) Negaremos a segunda (~q);
3) Trocaremos e por ou.
Observe a seguinte sentença: “Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista.” Qual
seria a frase logicamente equivalente a esta sentença?
Analisemos: o começo da sentença é “não é verdade que...”. Dizer que “não é verdade
que...” é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida. E o que vem em seguida? Uma
29
estrutura de conjunção. Daí, como negaremos que “João é médico e Pedro é dentista”? Da forma
explicada acima:
1) Nega-se a primeira parte: (p): “João não é médico.”
2) Nega-se a segunda parte: (q): “Pedro não é dentista.”
3) Troca-se e por ou, e o resultado final será o seguinte: “João não é médico ou Pedro não é
dentista”.
Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que: (p q) = p q
Como fomos chegar à essa conclusão? Ora, por meio da comparação entre as tabelasverdade das duas proposições acima. Vejamos como foi isso. Primeiro, trabalhemos a tabelaverdade do ~(p ∧ q).
P
Q
PQ
(P Q)
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
Observe essa última coluna. Ela representa o resultado lógico da estrutura (p q). Agora,
vamos construir a tabela-verdade da estrutura p q, e comparemos os resultados.
P
Q
P
Q
P Q
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
V
Compare a coluna resultado desta estrutura (p q) com aquele resultado da estrutura
(p q). Os resultados são idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar p e q, negaremos p,
negaremos q, e trocaremos e por ou.
Esse exercício que fizemos acima, de comparar as colunas-resultado das duas tabelas,
serviu apenas para explicar a origem dessa equivalência lógica. Ou seja, para dizer se uma
proposição é, do ponto de vista lógico, equivalente a outra, basta fazer uma comparação entre
suas tabelas-verdade concluídas.
7.2. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO DISJUNTIVA: (P Q)
Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte:
1) Negaremos a primeira (p);
2) Negaremos a segunda (q);
30
3) Trocaremos ou por e.
Observe a seguinte sentença: “Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro”.
Qual seria a frase logicamente equivalente a esta sentença?
Vamos analisar: a frase em tela começa com um “não é verdade que...”, ou seja, o que se
segue está sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí,
obedecendo aos passos descritos acima, faremos:
1) Nega-se a primeira parte: (p): “Pedro não é dentista.”
2) Nega-se a segunda parte: (q): “Paulo não é engenheiro.”
3) Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte: “Pedro não é dentista e Paulo não é
engenheiro”.
Na linguagem apropriada, concluiremos que: (p q) = p q
Você pode fazer a comprovação – via tabelas-verdade – desta conclusão acima para se
certificar.
P
Q
PQ
(P Q)
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
Observe essa última coluna. Ela representa o resultado lógico da estrutura (p q). Agora,
vamos construir a tabela-verdade da estrutura p q, e comparemos os resultados.
P
Q
P
Q
P Q
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
Compare a coluna resultado desta estrutura (p q) com aquele resultado da estrutura
(p q). Os resultados são idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar p e q, negaremos p,
negaremos q, e trocaremos ou por e.
7.3. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO CONDICIONAL: (P Q)
Para negarmos uma proposição no formato de condicional (se p então q), faremos o
seguinte:
31
1) Mantém-se a primeira parte; e
2) Nega-se a segunda.
Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-chuva”?
1) Mantendo a primeira parte: “Chove” e
2) Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”.
Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”.
Na linguagem lógica, teremos que: (p q) = p q
Observe o exercício abaixo:
A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris.” é
logicamente equivalente à afirmação:
a) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.
b) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’.
c) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’.
d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’.
e) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.
Vamos raciocinar juntos. Vejamos que a frase em análise começa com “não é verdade
que...”. Logo, estamos lidando com uma negação. E o que se segue a esta negação? Uma
proposição condicional, ou seja, uma sentença do tipo “Se p, então q”.
Daí, recordaremos aquilo que acabamos de aprender: para negar uma condicional,
manteremos a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos:
1) Mantendo a primeira parte: “Pedro está em Roma” e
2) Negando a segunda parte: “Paulo não está em Paris”.
O resultado ficou assim: “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”.
Daí, procuraremos entre as opções de resposta, alguma que diga justamente que: “É
verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. Encontramos? Não encontramos!
Só há duas opções de resposta que começam com “É verdade que...”, que são as letras a e e.
Estão, pois, descartadas essas duas opções. Restam as letras b, c e d. Todas essas começam com
“Não é verdade que...”. Ou seja, começam com uma negação! Daí, fica claro perceber que o que
precisamos fazer agora é encontrar uma proposição cuja negativa resulte exatamente na frase
Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris, a qual havíamos chegado. Ou seja, a proposição
Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris será o resultado de uma negação.
Ora, aprendemos há pouco que negando uma disjunção (ou), chegaremos a uma conjunção
(e), e vice-versa. Vejamos: (p q) = p q e (p q) = p q
Estamos com o segundo caso, em que o resultado é uma conjunção (e): (p q) = p q.
Observem que Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris corresponde ao resultado p q,
que é a segunda parte da igualdade. Estamos à procura da primeira parte, que é (p q). Logo,
teremos que:
32
o til () corresponde a: “Não é verdade que...”
o p corresponde a: “Pedro não está em Roma”;
o corresponde a ou;
o q corresponde a: “Paulo está em Paris”.
E chegamos a: “Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”.
Vejamos o caminho que foi trilhado, até chegarmos à resposta:
1) Fizemos a negação de uma proposição condicional (se...então). O resultado deste primeiro
passo é sempre uma conjunção (e).
2) Achamos a proposição equivalente à conjunção encontrada no primeiro passo.
8. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS COMPLEXAS
É possível criar proposições compostas tão complexas quanto se queira utilizando qualquer
número de proposições, modificadores e conectivos.
Exemplos:
Proposições
Estrutura Lógica
Resultado
(P Q) R
Se todo homem é mortal e João é homem,
então João é mortal.
Estrutura Lógica
Resultado
(P Q) (R S)
Não é verdade que se Ana gosta de ameixa
e Bruno prefere banana então Carlos adora
carambolas ou Daniel come damasco.
P: Todo homem é mortal.
Q: João é homem.
R: João é mortal.
Proposições
P: Ana gosta de ameixa.
Q: Bruno prefere banana.
R: Carlos adora carambolas.
S: Daniel come damasco.
33
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Questão 01:
Encontre a representação usando conectivos lógicos para cada uma das sentenças apresentadas
nos itens abaixo, considerando que as letras P, Q, R e S representam as seguintes proposições:
P: Ana é artista.
R: Jorge é juiz.
Q: Carlos é carioca.
S: Breno é alto.
a) Jorge é juiz e Breno é alto.
b) Carlos é carioca ou Breno é alto.
c) Breno é alto e Ana não é artista.
d) Ana não é artista e Carlos não é carioca.
e) Se Jorge é juiz, então Breno não é alto.
f) Se Ana é artista e Jorge não é juiz, então Breno é alto.
g) Carlos é Carioca é condição necessária para que Ana seja artista.
h) Jorge é juiz se e só se Ana não é artista.
Questão 02:
Sejam as proposições P: Carlos é rico.; Q: Carlos é alto.; e R: Carlos fala alemão. Traduzir para a
linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Carlos é rico, mas fala alemão.
b) Carlos não é alto ou rico, mas fala alemão.
c) Carlos é rico ou não é rico, e fala alemão.
d) Carlos é rico ou alto, mas não fala alemão.
e) Carlos é rico e alto, ou não fala alemão.
Questão 03:
Dadas as proposições P: João é pobre. e Q: Laura fala inglês., encontre a sentença relacionada com
cada representação simbólica dada nos itens abaixo:
a) P Q
b) P
c) P Q P
d) P Q
e) Q P
f) P Q
34
g) P Q
h) P Q
Questão 04:
Observe a ordem de precedência dos conectivos lógicos abaixo:
1º) (Negação)
2º) (Conjunção)
3º) (Disjunção)
4º) (Disjunção Exclusiva)
5º) (Condicional)
6º) (Bicondicional)
Considere que os valores lógicos de P e Q são V e F, respectivamente, determinar o valor lógico
das proposições:
a) P Q P
b) (P Q) (P Q)
c) Q P P
d) (P Q) P Q
Questão 05:
Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que
é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
Questão 06:
A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" é:
a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.
b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.
c) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.
e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
35
CAPÍTULO 4
TABELA VERDADE
Vamos falar agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE. Aprendemos que
se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de proposições compostas.
Vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará exatamente um
número de quatro linhas. Mas e se estivermos analisando uma proposição composta com três ou
mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso?
Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabelaverdade será dado por:
Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2nº de proposições
Ou seja, se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade
terá 4 linhas, já que 22=4. E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha
três componentes p, q e r, a tabela-verdade terá 8 linhas, uma vez que 23=8. E assim por diante.
1. TABELAS-VERDADE PARA DUAS PROPOSIÇÕES (P E Q)
Trabalhando com duas proposições componentes, a estrutura inicial da tabela-verdade
será sempre aquela que já aprendemos no capítulo anterior.
P
Q
V
V
V
F
F
V
F
F
E a próxima coluna (ou próximas colunas) da tabela-verdade dependerá dos conectivos que
estarão presentes na proposição composta. Já vimos como construir, pelo menos, cinco tabelasverdade de proposições compostas – a tabela-verdade da conjunção, da disjunção, da disjunção
exclusiva, da condicional e da bicondicional.
36
P
Q
PQ
PQ
PQ
PQ
PQ
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
Com este conhecimento prévio, já estamos aptos a construir as tabelas-verdade de
qualquer outra proposição condicional formada por duas proposições componentes (p e q).
Designaremos tal proposição composta da seguinte forma: P(p, q).
Suponhamos, pois, que estamos diante da seguinte proposição composta:
P(p, q) = (p q)
E então desejamos construir a sua tabela-verdade. Como seria? O início da tabela é,
conforme sabemos, sempre o mesmo. Teremos:
P
Q
V
V
V
F
F
V
F
F
Agora olhemos para a proposição que estamos trabalhando [(p q)] e comparemos o
que já temos na tabela acima com o que ainda precisamos encontrar. Já temos o q? Ainda não.
Então, é nosso próximo passo: construir a coluna da negação de q. Teremos:
P
Q
Q
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
Seguindo adiante, construiremos agora a coluna referente ao parênteses (p q). Trata-se
de uma disjunção, cujo funcionamento já é nosso conhecido. Colocaremos em destaque
(sombreado) as colunas de nosso interesse para a formação desta disjunção. Teremos:
P
Q
Q
P Q
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
37
Por fim, concluindo a análise desta proposição composta, resta-nos construir a coluna que
é a própria proposição: (p q). Ou seja, faremos a negação da conjunção acima. Para isso,
quem for VERDADEIRO vira FALSO e vice-versa. Teremos:
P
Q
Q
P Q
(P Q)
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
V
F
É este, portanto, o resultado final da tabela-verdade para a proposição (p q).
Uma coisa muito importante que deve ser dita neste momento é que, na hora de
construirmos a tabela-verdade de uma proposição composta qualquer, teremos que seguir uma
certa ordem de precedência dos conectivos. Ou seja, os nossos passos terão que obedecer a uma
sequência. Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses. Só
depois, passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, sempre obedecendo à seguinte
ordem:
1) Faremos as negações ();
2) Faremos as conjunções () ou disjunções (), na ordem em que aparecerem;
3) Faremos a condicional ();
4) Faremos a bicondicional ().
Observe que só se passa a trabalhar fora dos parênteses quando não há mais o que se fazer
dentro dele.
Passemos a um exercício mais elaborado de tabela-verdade! Caso você queira, pode tentar
a resolução sozinho e depois conferir o seu resultado. Vamos a ele:
Construa a tabela-verdade da seguinte proposição composta:
P(p, q) = (p q) (q p)
Solução:
Observe que há dois parênteses. Começaremos, pois, a trabalhar o primeiro deles,
isoladamente. Nossos passos, obedecendo à ordem de precedência dos conectivos, serão os
seguintes:
1º Passo) A negação de q:
P
Q
Q
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
38
2º Passo) A conjunção:
P
Q
Q
P Q
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
Deixemos essa coluna-resultado de molho para daqui a pouco, e passemos a trabalhar o
segundo parênteses. Teremos:
3º Passo) A negação de p:
P
Q
P
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
4º Passo) A conjunção:
P
Q
P
Q P
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
F
5º Passo) Uma vez trabalhados os dois parênteses, faremos, por fim, a disjunção que os une.
Teremos:
P Q
Q P
(P Q) (Q P)
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Se quiséssemos, poderíamos ter feito tudo em uma única tabela maior, da seguinte forma:
39
P
Q
Q
P Q
P
Q P
(P Q) (Q P)
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
Pronto! Concluímos mais um problema. Já conseguimos construir tabelas-verdade para
proposições de duas sentenças. Mas, e se estivermos trabalhando com três proposições simples
(p, q e r)? Como é que se faz essa tabela-verdade?
2. TABELAS-VERDADE PARA TRÊS PROPOSIÇÕES (P, Q E R)
A primeira coisa a saber é o número de linhas que terá esta tabela-verdade. Conforme já
foi visto, este cálculo será dado por Nº linhas = 2nº de proposições. Daí, teremos que haverá oito linhas
(23=8) numa tabela-verdade para três proposições simples.
Vimos que, para duas proposições, a tabela-verdade se inicia sempre do mesmo jeito. O
mesmo ocorrerá para uma de três proposições. Terá sempre o mesmo início. E será o seguinte:
P
Q
R
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
A coluna da proposição p será construída da seguinte forma: quatro V alternando com
quatro F; a coluna da proposição q tem outra alternância: dois V com dois F; por fim, a coluna da
proposição r alternará sempre um V com um F. Teremos, portanto, sempre a mesma estrutura
inicial.
Saber construir esta tabela acima é obrigação nossa. Ela corresponde, como já foi dito, à
estrutura inicial de uma tabela-verdade para três proposições simples.
Suponhamos que você tenha que construir a tabela-verdade da proposição composta
seguinte:
P (p, q, r) = (p q) (q r)
40
A leitura dessa proposição é a seguinte: Se p e não q, então q ou não r. Vamos montar a
tabela-verdade para essa proposição. Começaremos sempre com a estrutura inicial para três
proposições. Teremos:
P
Q
R
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
Daí, já sabemos que existe uma ordem de precedência a ser observada, de modo que
trabalharemos logo os parênteses da proposição acima. Começando pelo primeiro deles, faremos
os seguintes passos:
1º Passo) Negação de q:
P
Q
R
Q
V
V
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
2º Passo) A conjunção do primeiro parênteses:
P
Q
R
Q
P Q
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
F
41
3º Passo) Trabalhando agora com o segundo parênteses, faremos a negação de r:
P
Q
R
Q
P Q
R
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
4º Passo) A disjunção do segundo parênteses:
P
Q
R
Q
P Q
R
Q R
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
V
V
5º Passo) Finalmente, já tendo trabalhado os dois parênteses separadamente, agora vamos fazer a
condicional que os une:
P
Q
R
Q
P Q
R
Q R
(P Q) (Q R)
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
42
3. REVISÃO DE CONECTIVOS
Na resolução de várias questões de lógica, devemos conhecer as tabelas-verdade dos
conectivos. Para isso apresentamos abaixo uma tabela-verdade única contendo todos eles.
Compare os valores lógicos de cada conectivo que isso vai ajuda-lo a memorizar.
P
Q
PQ
PQ
PQ
PQ
PQ
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
No quadro abaixo, apresentamos duas tabelas muito interessante a respeito dos
conectivos, mostrando as condições em que o valor lógico é verdade e em que é falso.
Estrutura Lógica
É verdade quando
É falso quando
P
P é falso
P é verdade
PQ
P e Q são, ambos, verdade
um dos dois for falso
PQ
um dos dois for verdade
P e Q, ambos, são falsos
PQ
P e Q tiverem valores lógicos
diferentes
P e Q tiverem valores lógicos iguais
PQ
nos demais casos
P é verdade e Q é falso
PQ
P e Q tiverem valores lógicos iguais
P e Q tiverem valores lógicos
diferentes
Negativas das Proposições Compostas:
(P Q)
é
P Q
(P Q)
é
P Q
(P Q)
é
P Q
(P Q)
é
(P Q) (Q P)
43
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Questão 01:
Construa a tabela-verdade para as proposições abaixo:
a) (P Q)
b) (P Q) (Q P)
c) (P R) (Q R)
d) (P Q) (R P)
Questão 02:
Sabendo-se que VL(P) = V, VL(Q) = V e VL(R) = F, determine o valor lógico da sentença abaixo:
(P Q) R
Questão 03:
Sabendo-se que VL(A) = V, VL(B) = F e VL(C) = V, determine o valor lógico da sentença abaixo:
[A (B C)] [A (B C)]
Questão 04:
Sabendo-se que VL(A) = V, VL(B) = F e VL(C) = F, VL(D) = V, determine o valor lógico da sentença
abaixo:
A [(B C) (C D)]
Questão 05:
Três alunos são suspeitos de não estarem matriculados no Curso de Raciocínio Lógico. O Aparecido
entrevistou os três, para cobrar a matrícula, e obteve os seguintes depoimentos:
ARTHUR: “Joaquim não pagou e Cláudia pagou.”
JOAQUIM: “Se Arthur não pagou, Cláudia também não pagou.”
CLÁUDIA: “Eu paguei, mas pelo menos um dos outros não pagou.”
Pede-se:
1. Exprimir simbolicamente os depoimentos.
2. Identificar os pagantes e os não pagantes, supondo que todos os depoimentos são
verdadeiros.
3. Identificar os mentirosos, supondo que todos pagaram as matrículas.
44
CAPÍTULO 5
TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO, CONTINGÊNCIA, EQUIVALÊNCIA
1. TAUTOLOGIA
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições será dita uma tautologia
se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições que a
compõem.
Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma tautologia,
construiremos a sua tabela-verdade. Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar
verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma tautologia.
Exemplo: A proposição (p q) (p q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira,
independentemente dos valores lógicos de p e q, como se pode observar na tabela-verdade
abaixo:
P
Q
PQ
PQ
(P Q) (P Q)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
Observe que o valor lógico da proposição composta (p q) (p q), que aparece na
última coluna, é sempre verdadeiro.
Passemos a outro exemplo de tautologia: [(p q) (p s)] p. Vamos construir a sua
tabela-verdade para demonstrar que se trata de uma tautologia.
P
Q
S
PQ
PS
(P Q) (P S)
[(P Q) (P S) P]
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
45
Observe que o valor lógico da proposição composta [(p q) (p s)] p, que aparece na
última coluna, é sempre verdadeiro, independentemente dos valores lógicos que p, q e s
assumem.
2. CONTRADIÇÃO
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições será dita uma
contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições que a
compõem.
Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os
resultados da última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição.
Exemplo: A proposição p p é uma contradição, pois é sempre falsa,
independentemente do valor lógico de p, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
P
P
P ^P
V
F
F
F
V
F
Um outro exemplo: A proposição (p q) (p q) também é uma contradição, conforme
verificaremos por meio da construção de sua da tabela-verdade. Vejamos:
P
Q
Q
P Q
PQ
(P Q) (P Q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
Observe que o valor lógico da proposição composta (p q) (p q), que aparece na
última coluna de sua tabela-verdade, é sempre falso, independentemente dos valores lógicos que
p e q assumem.
46
3. CONTINGÊNCIA
Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia
nem uma contradição. Analise a proposição composta e construa a sua tabela-verdade. Se, ao
final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados verdadeiros), e
nem é uma contradição (só resultados falsos), então, pela via de exceção, será dita uma
contingência.
Exemplo: A proposição p (p q) é uma contingência, pois o seu valor lógico depende
dos valores lógicos de p e q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
P
Q
PQ
P (P Q)
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
E por que essa proposição acima é uma contingência? Porque nem é uma tautologia e nem
é uma contradição.
4. EQUIVALÊNCIA LÓGICA
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são
equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas
tabelas-verdade são idênticos.
Uma consequência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por
qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la.
A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente
como: p ⇔ q , ou simplesmente por p = q.
47
4.1. EQUIVALÊNCIAS BÁSICAS:
Equivalência
Exemplo
pp=p
André é inocente e inocente. = André é inocente.
pp=p
Ana foi ao cinema ou ao cinema. = Ana foi ao cinema.
pq=qp
O cavalo é forte e veloz. = O cavalo é veloz e forte.
pq=qp
O carro é branco ou azul. = O carro é azul ou branco.
pq=qp
Amo se e somente se vivo. = Vivo se e somente se amo.
p q = (p q) (q p) Amo se e somente se vivo. = Se amo então vivo, e se vivo então amo.
Para facilitar a nossa memorização, colocaremos essas equivalências na tabela seguinte:
PP
=
P
PP
=
P
PQ
=
QP
PQ
=
QP
PQ
=
QP
PQ
=
(P Q) (Q P)
4.2. EQUIVALÊNCIAS DA CONDICIONAL:
As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Estas equivalências
podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação entre as tabelas-verdade.
Ficam como exercício estas demonstrações. São as seguintes as equivalências da condicional:
1ª) P Q = Q P (se p, então q = Se não q, então não p)
Se chove então me molho. = Se não me molho então não chove.
2ª) P Q = (P Q) (se p, então q = não p ou q)
Se estudo então passo no concurso. = Não estudo ou passo no concurso.
48
4.3. EQUIVALÊNCIAS COM O SÍMBOLO DA NEGAÇÃO:
Este tipo de equivalência já foi visto em capítulos anteriores. Trata-se, tão somente, das
negações das proposições compostas. Como tais equivalências já foram vistas, nos limitaremos
apenas a reproduzi-las novamente. Teremos:
(P Q)
=
P Q
(P Q)
=
P Q
(P Q)
=
P Q
(P Q)
=
(P Q) (Q P)
4.4. EQUIVALÊNCIA ENTRE “NENHUM” E “TODO”:
Aqui temos uma equivalência entre dois termos muito frequentes. É uma equivalência
simples, e de fácil compreensão. Vejamos:
1ª) Nenhum A é B = Todo A é não B
Nenhum médico é louco. = Todo médico é não louco. (= Todo médico não é louco.)
2ª) Todo A é B = Nenhum A é não B
Toda arte é bela. = Nenhuma arte é não bela. ( = Nenhuma arte não é bela.)
4.5. LEIS ASSOCIATIVAS, DISTRIBUTIVAS E DA DUPLA NEGAÇÃO
Veremos na sequência algumas leis que podem eventualmente nos ser úteis na análise de
alguma questão. São de fácil entendimento, de modo que nos limitaremos a apresentá-las.
Leis Associativas
(P Q) S
=
P (Q S)
(P Q) S
=
P (Q S)
49
Leis Distributivas
P (Q S)
=
(P Q) (P S)
P (Q S)
=
(P Q) (P S)
(P)
=
P
Lei da Dupla Negação
Daí, concluiremos ainda que:
S não é não P
=
SéP
Todo S não é não P
=
Todo S é P
Algum S não é não P
=
Algum S é P
Nenhum S não é não P
=
Nenhum S é P
Exemplos:
1. A bola de futebol não é não esférica. = A bola de futebol é esférica.
2. Todo número inteiro não é não racional. = Todo número inteiro é racional.
3. Algum número racional não é não natural. = Algum número racional é natural.
4. Nenhum número negativo não é não natural. = Nenhum número negativo é natural.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Questão 01:
Diga se as proposições compostas abaixo são tautologias, contradições ou contingências.
Justifique sua resposta.
a) p (p q)
b) (p q) (p q)
c) a a
d) (p q) (r s)
e) a a
f) (a b) (a b)
g) (p q) (q p)
50
h) ((a b) c) (a (b c))
i) (p q) (p q)
Questão 02:
Analise as sentenças abaixo e diga se elas são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
a) p q = q p
b) p q = p q
c) (p r) s = (p s) r
d) (q p) r = (r p) q
e) (p q) r = p (q r)
f) (p q) = (q p)
g) p q = (p q) p
h) p q = q p
i) (p q) s = (p s) (q s)
Questão 03:
Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:
a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear.
b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.
c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear.
d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear.
e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.
Questão 04:
Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro.” é logicamente equivalente a dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro.
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro.
Questão 05:
Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista." é, do ponto de vista lógico, o mesmo que
dizer que:
51
a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.
b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.
c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.
d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.
e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.
Questão 06:
Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira.” é:
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.
b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.
c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista.
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira.
e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.
Questão 07:
Considere a seguinte proposição: "Na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não
será eleito.” Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza:
a) um silogismo.
b) uma tautologia.
c) uma equivalência.
d) uma contingência.
e) uma contradição.
Questão 08:
Um exemplo de tautologia é:
a) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.
b) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo.
c) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.
d) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo.
e) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.
Questão 09:
Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa
pode-se corretamente concluir que:
52
a) Se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.
b) Se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo.
c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo.
d) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.
e) Se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo.
Questão 10:
A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo.” é falsa. Segue-se, pois, que é
verdade que:
a) Se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
b) Se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
c) Se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
d) Se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
e) Se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo.
Questão 11:
Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela
aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro
seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
Questão 12:
Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico,
equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a) Pelo menos um economista não é médico.
b) Nenhum economista é médico.
c) Nenhum médico é economista.
d) Pelo menos um médico não é economista.
e) Todos os não médicos são não economistas.
53
CAPÍTULO 6
ARGUMENTOS
Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em
uma outra proposição final, que será consequência das primeiras.
Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de proposições p1, p2,
..., pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposição c, chamada de conclusão do
argumento.
No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser também usados os correspondentes
hipótese e tese, respectivamente.
Podemos representar um argumento por
p1
p2
p3
p4
.
.
.
pn
c
Vejamos alguns exemplos de argumentos:
Exemplo 1)
p1: Todos os cearenses são humoristas.
p2: Todos os humoristas gostam de música.
c : Todos os cearenses gostam de música.
Exemplo 2)
p1: Todos os cientistas são loucos.
p2: Martiniano é louco.
c : Martiniano é um cientista.
O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima é chamado silogismo. Ou seja,
silogismo é aquele argumento formado por duas premissas e a conclusão.
Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lógicos, interessados em verificar se eles são
válidos ou inválidos. Então, passemos a seguir a entender o que significa um argumento válido e
um argumento inválido.
54
1. ARGUMENTO VÁLIDO
Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua
conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas.
Veremos em alguns exemplos adiante que as premissas e a própria conclusão poderão ser
visivelmente falsas (e até absurdas!), e o argumento, ainda assim, será considerado válido. Isto
pode ocorrer porque, na Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou a
falsidade das premissas que compõem o argumento, mas tão somente a validade deste.
Exemplo: O silogismo...
p1: Todos os homens são pássaros.
p2: Nenhum pássaro é animal.
c: Portanto, nenhum homem é animal.
... está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um argumento válido, muito
embora a veracidade das premissas e da conclusão sejam totalmente questionáveis.
Repetindo: o que vale é a construção, e não o seu conteúdo! Se a construção está perfeita,
então o argumento é válido, independentemente do conteúdo das premissas ou da conclusão.
Num raciocínio dedutivo (lógico), não é possível estabelecer a verdade de sua conclusão se
as premissas não forem consideradas todas verdadeiras. Determinar a verdade ou falsidade das
premissas é tarefa que incumbe à ciência, em geral, pois as premissas podem referir-se a qualquer
tema, como Astronomia, Energia Nuclear, Medicina, Química, Direito, etc., assuntos que talvez
desconheçamos por completo. E ainda assim, teremos total condição de averiguar a validade do
argumento.
Agora a questão mais importante: como saber que um determinado argumento é mesmo
válido? Uma forma simples e eficaz de comprovar a validade de um argumento é utilizando-se de
diagramas de conjuntos. Trata-se de um método muito útil e que será usado com frequência em
questões que pedem a verificação da validade de um argumento qualquer. Vejamos como
funciona, usando o exemplo acima.
Quando se afirma, na premissa p1, que “todos os homens são pássaros”, poderemos
representar essa frase da seguinte maneira:
Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão incluídos, ou seja,
pertencem ao conjunto maior (dos pássaros).
55
E será sempre essa a representação gráfica da frase “Todo A é B”. Dois círculos, um dentro
do outro, estando o círculo menor a representar o grupo de quem se segue à palavra todo.
Ficou claro? Pois bem! Façamos a representação gráfica da segunda premissa.
Temos, agora, a seguinte frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que a palavrachave desta sentença é nenhum. E a ideia que ela exprime é de uma total dissociação entre os dois
conjuntos. Vejamos como fica sua representação gráfica:
Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença “Nenhum A é B”: dois
conjuntos separados, sem nenhum ponto em comum.
Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas vistas acima e as
analisemos em conjunto. Teremos:
Agora, comparemos a conclusão do nosso argumento – Nenhum homem é animal – com o
desenho das premissas acima. E aí? Será que podemos dizer que esta conclusão é uma
consequência necessária das premissas? Claro que sim! Observemos que o conjunto dos homens
está totalmente separado (total dissociação!) do conjunto dos animais.
Resultado: este é um argumento válido!
2. ARGUMENTO INVÁLIDO
Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, mal construído,
falacioso ou sofisma – quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade
da conclusão.
56
Entenderemos melhor com um exemplo.
Exemplo:
p1: Todas as crianças gostam de chocolate.
p2: Patrícia não é criança.
c: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.
Veremos a seguir que este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as
premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão.
Patrícia pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois a primeira premissa
não afirmou que somente as crianças gostam de chocolate.
Da mesma forma que utilizamos diagramas de conjuntos para provar a validade do
argumento anterior, provaremos, utilizando-nos do mesmo artifício, que o argumento em análise
é inválido. Vamos lá:
Comecemos pela primeira premissa: “Todas as crianças gostam de chocolate”. Já
aprendemos acima como se representa graficamente esse tipo de estrutura. Teremos:
Analisemos agora o que diz a segunda premissa: “Patrícia não é criança”. O que temos que
fazer aqui é pegar o diagrama acima (da primeira premissa) e nele indicar onde poderá estar
localizada a Patrícia, obedecendo ao que consta nesta segunda premissa.
Vemos facilmente que a Patrícia só não poderá estar dentro do círculo vermelho (das
crianças). É a única restrição que faz a segunda premissa. Isto posto, concluímos que a Patrícia
poderá estar em dois lugares distintos do diagrama: 1º) Fora do conjunto maior; 2º) Dentro do
conjunto maior (sem tocar o círculo vermelho!). Vejamos:
57
Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, o que
nos resta para sabermos se este argumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse
resultado (se esta conclusão) é necessariamente verdadeira. Olhando para o desenho acima,
podemos ver que não. Pode ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo azul),
mas também pode ser que goste (caso esteja dentro do círculo azul).
Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não garantiram a veracidade da
conclusão.
Vamos analisar um outro exemplo:
Considere o seguinte argumento: Cada prestação de contas submetida ao TCU que
apresentar ato antieconômico é considerada irregular. A prestação de contas da prefeitura de uma
cidade foi considerada irregular. Conclui-se que a prestação de contas da prefeitura dessa cidade
apresentou ato antieconômico. Nessa situação, esse argumento é válido.
Solução:
A questão apresenta um argumento (um silogismo) e deseja saber se ele é válido. Ora,
vimos que um argumento só será válido se a sua conclusão for uma consequência obrigatória do
seu conjunto de premissas. No argumento em tela temos duas premissas e a conclusão, que se
seguem:
p1: Cada prestação de contas submetida ao TCU que apresentar ato antieconômico é
considerada irregular.
p2: A prestação de contas da prefeitura de uma cidade foi considerada irregular.
c: Conclui-se que a prestação de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato
antieconômico.
Usaremos o método dos diagramas para verificar a validade (ou não) do argumento.
Começando pela primeira premissa, observemos que a palavra cada tem o mesmíssimo sentido de
toda. Daí, teremos:
58
Analisemos agora a segunda premissa que afirma que “a prestação de contas da prefeitura
de uma cidade (qualquer) foi irregular”. Ora, no desenho acima, vamos indicar quais as possíveis
localizações (se houver mais de uma!) desta prestação de contas da cidade qualquer. Teremos:
Daí, verificamos que há duas posições em que a tal prestação de contas desta cidade
qualquer poderia estar. Ora, por ser irregular, terá necessariamente que estar dentro do círculo
maior (azul). Uma vez dentro do círculo azul (conta irregular), surgem duas novas possibilidades:
ou estará dentro do círculo vermelho (conta com ato antieconômico), ou fora dele. Em outras
palavras: a prestação de contas desta cidade qualquer, embora irregular, pode ter apresentado
uma conta com ato antieconômico, ou não!
Analisemos agora a conclusão do argumento: “a prestação de contas da prefeitura dessa
cidade apresentou ato antieconômico”. Será que esta é uma conclusão necessária, ou seja,
obrigatória, em vista do que foi definido pelas premissas? A resposta, como vimos acima, é
negativa!
Concluímos, pois, que se trata de um argumento inválido, e este item está errado!
Vimos que a utilização de diagramas de conjuntos pode ajudar-nos a descobrir se um
argumento é válido. Ocorre que, em alguns casos, será mais conveniente utilizarmos outros
procedimentos.
3. MÉTODOS DE DETERMINAÇÃO DA VALIDADE DE UM ARGUMENTO
3.1. UTILIZANDO DIAGRAMAS LÓGICOS
Esta forma é indicada quando nas premissas do argumento aparecem as palavras todo,
algum e nenhum, ou os seus sinônimos: cada, existe um, etc.
Consiste na representação das premissas por diagramas de conjuntos, e posterior
verificação da verdade da conclusão.
59
Já fizemos acima alguns exercícios com uso deste método, mas vamos nos aprofundar um pouco
mais. Os diagramas lógicos geralmente são círculos, mas podem ser outras figuras, como
quadrados, triângulos, etc.
Proposições Categóricas
As proposições formadas com os termos todo, algum e nenhum são chamadas de
proposições categóricas, e são elas:
Todo A é B
Nenhum A é B
Algum A é B
Algum A não é B
Todo A é B
Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto
B. Ou seja, A está contido em B.
Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A.
Nenhum A é B
Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é,
não tem elementos em comum.
Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.
Algum A é B
Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o
conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.
Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto,
no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns de meus colegas estão
me elogiando”, mesmo que todos eles estejam.
Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A.
Também, as seguintes expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo menos um A é B =
Existe um A que é B.
Algum A não é B
Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um
elemento que não pertence ao conjunto B.
Dizer que Algum A não é B é logicamente equivalente a dizer que Algum A é não B, e
também é logicamente equivalente a dizer que Algum não B é A.
60
Atenção: dizer que Algum A não é B não significa o mesmo que Algum B não é A.
Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e
estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.
Como nesta aula teremos várias questões envolvendo as palavras todo, algum e nenhum,
resolvemos listar algumas regras que já foram vistas em capítulos anteriores.
Todo A não é B é equivalente a Nenhum A é B.
Nenhum A não é B é equivalente a Todo A é B.
A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa).
A negação de Algum A é B é Nenhum A é B (e vice-versa).
Representação das Proposições Categóricas
As proposições categóricas serão representadas por diagramas de conjuntos para a solução
de diversas questões. Cada proposição categórica tem um significado em termos de conjunto, e
isso é quem definirá o desenho do diagrama; e veremos adiante que uma proposição categórica
pode possuir mais de um desenho.
Relembremos os significados, em termos de conjunto, de cada uma das proposições
categóricas:
Todo A é B = todo elemento de A também é elemento de B.
Nenhum A é B = A e B não tem elementos em comum.
Algum A é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.
Algum A não é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao
conjunto B.
Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas
Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de
Todo A é B, Nenhum A é B, Algum A é B e Algum A não é B. pode-se inferir de imediato a verdade
ou a falsidade de algumas ou de todas as outras.
1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:
Os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes:
61
Nenhum A é B é necessariamente falsa.
Algum A é B é necessariamente verdadeira.
Algum A não é B é necessariamente falsa.
2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:
Os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes:
Todo A é B é necessariamente falsa.
Algum A é B é necessariamente falsa.
Algum A não é B é necessariamente verdadeira.
3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis:
Os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes:
Nenhum A é B é necessariamente falsa.
Todo A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 3 e 4) e falsa (em 1 e 2).
Algum A não é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 1 e 2) e falsa (em 3 e 4).
4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:
62
Os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes:
Todo A é B é necessariamente falsa.
Nenhum A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 3) e falsa (em 1 e 2).
Algum A é B é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em 1 e 2) e falsa (em 3).
Você deve estar se perguntando: preciso decorar tudo isso? Na realidade, o melhor é
buscar entender tudo isso! A rigor, conforme veremos pela resolução das questões abaixo,
conseguiremos solucionar os problemas deste assunto praticamente mediante o desenho dos
diagramas lógicos.
Ou seja, a coisa é bem mais fácil do que aparenta. Vamos ao exemplo:
Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir
que:
a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.
b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.
c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.
d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.
e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.
Solução:
Temos que a proposição “todo livro é instrutivo” é verdadeira. Baseando-se nesta
proposição, construiremos as representações dos conjuntos dos livros e das coisas instrutivas.
Como vimos anteriormente há duas representações possíveis:
A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação
entre os diagramas. E estamos com a situação inversa.
A opção B é perfeitamente correta. Perceba que nos dois desenhos acima os dois conjuntos
possuem elementos em comum. Resta necessariamente perfeito que “algum livro é instrutivo” é
uma proposição necessariamente verdadeira. Resposta: opção B.
63
3.2. CONSTRUINDO A TABELA-VERDADE DO ARGUMENTO
Esta forma é mais indicada quando não se puder resolver pelo primeiro método, o que
ocorre quando nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum, mas sim, os
conectivos “ou” , “e”, “→” e “”.
Baseia-se na construção da tabela-verdade, destacando-se uma coluna para cada premissa
e outra para a conclusão.
Após a construção da tabela-verdade, verificam-se quais são as suas linhas em que os
valores lógicos das premissas têm valor V. Se em todas essas linhas (com premissas verdadeiras),
os valores lógicos da coluna da conclusão forem também VERDADEIROS, então o argumento é
válido! Porém, se ao menos uma daquelas linhas (que contêm premissas verdadeiras) houver na
coluna da conclusão um valor F, então o argumento é inválido.
Este método tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente quando envolve
várias proposições simples.
Passemos a um exemplo com aplicação deste método.
Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
(p q) r
r
p q
Solução:
Como interpretar este argumento sem frases? A primeira coisa a saber é que o que há
acima da linha são as premissas, enquanto que abaixo dela encontra-se a conclusão. Neste caso,
temos duas premissas e a conclusão (um silogismo).
As premissas e a conclusão deste argumento poderiam ser frases que foram traduzidas
para linguagem simbólica.
1º passo: Construir as tabelas-verdade para as duas premissas e para a conclusão.
Teríamos, portanto, três tabelas a construir. Para economizarmos espaço, ganharmos
tempo e facilitarmos a execução do 2º passo, faremos somente uma tabela-verdade, em
que as premissas e a conclusão corresponderão a colunas nesta tabela, como pode ser
visto abaixo.
Observe que as premissas e a conclusão são obtidas pelos seguintes procedimentos:
A 1ª premissa (5ª coluna da tabela) é obtida pela condicional entre a 4ª e a 3ª colunas.
A 2ª premissa (6ª coluna) é obtida pela negação da 3ª coluna.
A conclusão (9ª coluna) é obtida pela disjunção entre a 7ª e a 8ª colunas.
64
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P
Q
R
PQ
(P Q) R
R
P
Q
P Q
1
V
V
V
V
V
F
F
F
F
2
V
V
F
V
F
V
F
F
F
3
V
F
V
F
V
F
F
V
V
4
V
F
F
F
V
V
F
V
V
5
F
V
V
F
V
F
V
F
V
6
F
V
F
F
V
V
V
F
V
7
F
F
V
F
V
F
V
V
V
8
F
F
F
F
V
V
V
V
V
2º passo: Agora, vamos verificar quais são as linhas da tabela em que os valores lógicos das
premissas são todos V. Daí, observamos que a 4ª, 6ª e 8ª linhas apresentam todas as duas
premissas com valor lógico V. Prosseguindo, temos que verificar qual é o valor lógico da
conclusão para estas mesmas 4ª, 6ª e 8ª linhas. Em todas elas a conclusão é também V.
Portanto, o argumento é válido.
3.3. CONSIDERANDO PREMISSAS VERDADEIRAS E VERIFICANDO VALOR LÓGICO DA CONCLUSÃO
Esta forma é bem fácil e rápida para mostrar a validade de um argumento, mas só devemos
utilizá-la na impossibilidade do segundo método.
Este método inicia-se considerando as premissas como verdades, e através de operações
lógicas com os conectivos, descobrir o valor lógico da conclusão, que deve resultar em verdade
para que o argumento seja considerado válido.
Vamos a um exemplo:
Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
pq
p
q
65
Solução:
Este terceiro método de teste de validade de argumentos se dá considerando-se as
premissas como verdades e, por meio de operações lógicas com os conectivos, descobriremos o
valor lógico da conclusão, que deverá resultar em verdade, para que o argumento seja válido.
1º passo: Consideraremos as premissas como proposições verdadeiras, isto é:
o para a 1ª premissa, o valor lógico de p q é verdade
o para a 2ª premissa, o valor lógico de p é verdade
2º passo: Partimos para descobrir o valor lógico das proposições simples p e q, com a
finalidade de, após isso, obter o valor lógico da conclusão. Vamos iniciar pela análise da 2ª
premissa, a fim de obter o valor lógico da proposição simples p. (Se iniciássemos pela 1ª
premissa não teríamos como obter de imediato o valor lógico de p, e nem de q.)
Análise da 2ª premissa: p é verdade
Como p é verdade, logo p é falso.
Análise da 1ª premissa: p q é verdade
Sabendo que p é falso, e que p q é verdade, então o valor lógico de q, de acordo com a
tabela verdade do “ou”, é necessariamente verdade.
Em suma, temos até o momento: O valor lógico de p é F / O valor lógico de q é V
3º passo: Agora vamos utilizar os valores lógicos obtidos para p e q a fim de encontrar o
valor lógico da conclusão.
Como a conclusão é formada somente pela proposição simples q, então a conclusão tem o
mesmo valor lógico de q, ou seja, verdade. Desta forma, o argumento é válido.
3.4. CONSIDERANDO PREMISSAS VERDADEIRAS E CONCLUSÃO FALSA
É indicado este caminho quando notarmos que a aplicação do terceiro método não
possibilitará a descoberta do valor lógico da conclusão de maneira direta, mas somente por meio
de análises mais complicadas.
Foi descrito no segundo método que, se após a construção da tabela-verdade houver uma
linha em que as colunas das premissas têm valor lógico V e a conclusão tem valor lógico F, então o
argumento é inválido.
Ou seja, um argumento é válido se não ocorrer a situação em que as premissas são
verdades e a conclusão é falsa. Este quarto método baseia-se nisso: faremos a consideração de
que as premissas são verdades e a conclusão é falsa, e averiguaremos se é possível a existência
dessa situação. Se for possível, então o argumento será inválido.
66
Vamos a um exemplo:
Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
a (b c)
b a
d c
a d
Solução:
De acordo com este método, consideraremos as premissas como verdades e a conclusão
como falsa, e verificaremos se é possível a existência dessa situação. Se for possível, então o
argumento é inválido.
1º passo: Considerando as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, teremos:
o para a 1ª premissa, o valor lógico de a (b c) é verdade
o para a 2ª premissa, o valor lógico de b a é verdade
o para a 3ª premissa, o valor lógico de d c é verdade
o para a conclusão, o valor lógico de a d é falso
2º passo: Quando usamos este método de teste de validade, geralmente iniciamos a
análise dos valores lógicos das proposições simples pela conclusão.
Análise da conclusão: a d é falso
Em que situação uma condicional é falsa? Isso já sabemos: quando a 1ª parte é verdade e a
2ª parte é falsa. Daí, concluímos que o valor de A deve ser V e o de D deve ser F.
Consequentemente, D é V.
Análise da 2ª premissa: b a é verdade
Na análise da proposição da conclusão, obtivemos que A é V. Substituindo, A por V na
proposição acima, teremos: B V , que é o mesmo que B F . Como esta proposição
deve ser verdade, conclui-se que B deve ser F, pela tabela-verdade da condicional.
Análise da 3ª premissa: d c é verdade
O valor lógico de D é V, obtido na análise da conclusão. Substituindo este valor lógico na
proposição acima, teremos: V C . Para que esta proposição seja verdade é necessário
que a 2ª parte da condicional, C, seja V. Daí, C é F.
67
Agora, só resta analisar a 1ª premissa: a (b c) é verdade
Até o momento, temos os seguintes valores lógicos: A é V, B é F, C é F e D é V .
Substituindo estes valores na proposição acima, teremos: V (F F) . Usando o conectivo
da disjunção, a proposição simplifica-se para V F , e isto resulta em um valor lógico falso.
Opa!!! A premissa a (b c) deveria ser verdade!!!
Esta contradição nos valores lógicos ocorreu porque não foi possível, considerando todas
as premissas verdadeiras, chegarmos a uma conclusão falsa. Daí, concluímos que nosso
argumento é válido.
Em outras: para que o argumento fosse dito inválido, teriam que se confirmar todos os
valores lógicos previstos no 1º passo acima. Em não se confirmando qualquer deles, concluímos
que o argumento é válido.
3.5. QUADRO-RESUMO
Na sequência, um quadro que resume os quatro métodos, e quando se deve lançar mão de
um ou de outro, em cada caso. Vejamos:
Método
1º Método
Utilização de
Diagramas Lógicos
2º Método
Construção das
Tabelas-Verdade do
argumento
Deve ser usado
quando...
O argumento
apresentar as
palavras todo,
nenhum, ou algum
Em qualquer caso,
mas
preferencialmente
quando o argumento
tiver no máximo duas
proposições simples
Não deve ser usado
quando...
O argumento é
válido quando...
O argumento não
apresentar tais
palavras
A partir dos
diagramas
verificarmos que a
conclusão é uma
consequência
obrigatória das
premissas
O argumento
apresentar três ou
mais proposições
simples
Nas linhas da tabela
em que os valores
lógicos das premissas
têm valor V, os
valores lógicos
relativos a coluna da
conclusão forem
também V
68
Método
Deve ser usado
quando...
Não deve ser usado
quando...
O argumento é
válido quando...
3º Método
Considerando as
premissas
verdadeiras e
verificando o valor
lógico da conclusão
O 1º Método não
puder ser
empregado, e houver
uma premissa:
...que seja uma
proposição simples;
ou
... que esteja na
forma de uma
conjunção (e)
Nenhuma premissa
for uma proposição
simples ou uma
conjunção
O valor encontrado
para a conclusão é
obrigatoriamente
verdadeiro
4º Método
Verificar a existência
de conclusão falsa e
premissas
verdadeiras
O 1º Método não
puder ser
empregado, e a
conclusão:
...tiver a forma de
uma proposição
simples;
ou
... estiver a forma de
uma disjunção (ou);
ou
...estiver na forma de
uma condicional
(se...então...)
A conclusão não for
uma proposição
simples, nem uma
disjunção, nem uma
condicional
Não é possível,
considerando todas
as premissas
verdadeiras, chegar a
uma conclusão falsa
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Questão 01:
Analise os argumentos abaixo. Observe suas premissas e escreva a conclusão de cada um deles.
a) Se eu passar no concurso, então irei trabalhar.
Passei no concurso.
69
b) Se ele me ama então casa comigo.
Ele me ama.
c) Todos os brasileiro são humanos.
Todos os paulistas são brasileiro.
d) Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho.
Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho .
e) Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água.
Todos os sabões são sais de sódio.
f) Todos os apartamentos são pequenos.
Todos os apartamentos são residências.
Questão 02:
Julgue a sentença seguinte: A seguinte argumentação é inválida.
Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.
Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.
Questão 03:
Julgue a sentença seguinte: A seguinte argumentação é válida.
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.
70
Questão 04:
Julgue o item a seguir.
A argumentação
Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.
Lógica não é fácil.
Sócrates não foi mico de circo.
é válida e tem a forma
PQ
P
Q
Questão 05:
Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças
denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a
conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base
nessas informações, julgue os itens que se seguem.
a) (
) Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.
b) (
) Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.
c) (
) Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.
d) ( ) É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal,
logo todo cachorro é vegetal.
Questão 06:
Observe a construção de um argumento:
Premissas:
Todos os cachorros têm asas.
Todos os animais de asas são aquáticos.
Existem gatos que são cachorros.
Conclusão:
Existem gatos que são aquáticos.
Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que:
a) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro.
b) A não é válido, P e C são falsos.
c) A é válido, P e C são falsos.
d) A é válido, P ou C são verdadeiros.
e) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.
71
Questão 07:
Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri.
Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um argumento logicamente válido, uma vez que:
a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas.
b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.
c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira.
d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira.
e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.
Questão 08:
Classifique, quanto à validade, os seguintes argumentos:
a) P Q
P
Q
b) P Q
QR
PR
c) P Q
R Q
P
d) Se x=1 e y=z, então y2
y=2
yz
e) Se trabalho não posso estudar.
Trabalho ou serei aprovado em matemática.
Trabalhei.
Fui aprovado em matemática.
72
Questão 09:
Considere as premissas:
P1. Os bebês são ilógicos.
P2. Pessoas ilógicas são desprezadas.
P3. Quem sabe amestrar um crocodilo não é desprezado.
Assinale a única alternativa que não é uma consequência lógica das três premissas apresentadas.
a) Bebês não sabem amestrar crocodilos.
b) Pessoas desprezadas são ilógicas.
c) Pessoas desprezadas não sabem amestrar crocodilos.
d) Pessoas ilógicas não sabem amestrar crocodilos.
e) Bebês são desprezados.
Questão 10:
Se é verdade que "Alguns A são R" e que "Nenhum G é R", então é necessariamente verdadeiro
que:
a) algum A não é G
b) algum A é G
c) nenhum A é G
d) algum G é A
e) nenhum G é A
Questão 11:
Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se,
portanto, necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) algum A não é C
73
Questão 12:
Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é
aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns
alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno
de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:
a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.
a) nenhum aluno de português é aluno de matemática.
c) todos os alunos de informática são alunos de matemática.
d) todos os alunos de informática são alunos de português.
74
CAPÍTULO 7
QUANTIFICADORES
1. SENTENÇAS ABERTAS
Há expressões como:
a) x + 1 = 7
b) x > 2
c) x3 = 2x2
que contêm variáveis e cujo valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender do valor
atribuído à variável.
Nos exemplos citados temos:
a) x + 1 = 7, é verdadeira se trocarmos x por 6 e é falsa para qualquer outro valor dado a x;
b) x > 2 ,é verdadeira, por exemplo, para x =4.
c) x3 = 2x2, é verdadeira se trocarmos x por 0 (03 = 2 02) ou 2 (23 = 2 22), e é falsa para
qualquer outro valor dado a x.
Sentenças que contêm variáveis são chamadas funções proposicionais ou sentenças
abertas. Tais sentenças não são proposições, pois seu valor lógico (V ou F) é discutível, dependem
do valor dado às variáveis.
Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: 1)
atribuir valor às variáveis ou 2) utilizar quantificadores.
2. O QUANTIFICADOR UNIVERSAL
O quantificador universal, usado para transformar sentenças abertas em proposições, é
indicado pelo símbolo que se lê: "qualquer que seja", "para todo", "para cada".
Exemplos:
75
1) (x) (x + 1 = 7), que se lê: "qualquer que seja o número x, temos x + 1 = 7". (FALSA)
2) (x) (x3 = 2x2), que se lê: "para todo número x, x3 = 2x2". (FALSA)
3) (a) ((a + 1)2 = a2 + 2a + 1), que se lê: "qualquer que seja o número a, temos (a + 1)2 = a2 +
2a + 1". (VERDADEIRA)
4) (y) (y2 + 1 > 0), que se lê: "para todo número y, temos y2 + 1 positivo". (VERDADEIRA)
3. O QUANTIFICADOR EXISTENCIAL
O quantificador existencial é indicado pelo símbolo que se lê "existe", "existe pelo menos
um", "existe um".
Exemplos:
1) (x) (x + 1 = 7), que se lê: "existe um número x tal que x + 1 = 7" . (VERDADEIRA)
2) (x) (x3 = 2x2), que se lê: "existe um número x tal que x3= 2x2". (VERDADEIRA)
3) (a) (a2 + 1 ≤ 0), que se lê: "existe um número a tal que a2 + 1 é não positivo". (FALSA)
4) (m) (m(m + 1) ≠ m2 + m) que se lê: "existe pelo menos um número m tal que m(m + 1) ≠
m2 + m ". (FALSA)
Algumas vezes utilizamos também outro quantificador , que se lê: "existe um único”,
"existe um e um só", "existe só um".
Exemplos:
1) (x) (x + 1 = 7), que se lê: "existe um só número x tal que x + 1 = 7". (VERDADEIRA)
2) (x) (x3 = 2x2), que se lê: "existe um só número x tal que x3 = 2x2" (FALSA)
3) (x) (x + 2 > 3), que se lê: "existe um só número x tal que x + 2 > 3". (FALSA)
76
4. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES QUANTIFICADAS
Uma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo (x)(P(x)), é negada da
seguinte forma: substitui-se o quantificador pelo existencial e nega-se P(x), obtendo: (x)(P(x)).
Exemplos:
1) sentença: (x)(x + 3 = 5)
negação: (x)(x + 3 ≠ 5)
2) sentença: (x)(x(x + 1) = x2 + x)
negação: (x)(x(x + 1) ≠ x2+ x)
3) sentença: Todo losango é um quadrado.
negação: Existe um losango que não é quadrado.
Uma sentença quantificada com o quantificador existencial, do tipo (x)(P(x)), é negada da
seguinte maneira: substitui-se o quantificador pelo universal e nega-se P(x), obtendo: (x)(P(x)).
Exemplos:
1) sentença: (x)(x = x)
negação: (x)(x ≠ x)
2) sentença: (a)(1/a ∈ IR)
negação: (a)(1/a ∉ IR)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Questão 01:
Julgue as proposições seguintes quanto ao seu valor lógico (verdadeiro ou falso):
a) (x ∈ R) (x + 4 > 9)
b) (x ∈ N) (x2 − 4x − 5 = 0)
c) (x ∈ Ν) (x2 ≥ 0)
77
d) (x ∈ R) (x + 3 = x + 7)
e) (x ∈ R) (x2 + 2 > 0)
f) (x ∈ R) (2x = 1)
g) (x ∈ R) (x + 2 > x + 3)
h) (x ∈ Z) (x + 7 = 78)
i) (x ∈ R) (5x −1 = 3 − x)
j) (x ∈ R) (x > 708)
Questão 02:
Indique qual das opções abaixo é verdadeira.
a) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x > 5.
b) Para todo número real y, tem-se que y < 3 e que y > 2.
c) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e que x2 + 5x = 0.
d) Para algum número real k, tem-se que k > 5 e que k2 – 5k = 0.
e) Para todo número real positivo x, tem-se que x2 > x.
Questão 03:
Uma afirmação verdadeira a respeito do conjunto U= {-1 , 0 , 1} é:
a) para todo x, existe y tal que x+y = 0
b) existe x tal que para cada y, x+y = 0
c) existe x tal que para todo y, x>y
d) para todo x e todo y, x+y ∈ U
Questão 04:
Considere os conjuntos A={1 , 3 , 5} e B={1 , 2 , 4 , 6}. A partir destes dados, é correto concluir que:
a) todo elemento de A é maior que algum elemento de B
b) nenhum elemento de A é menor que algum elemento de B
c) nenhum elemento de A é menor que qualquer elemento de B
d) todo elemento de A é menor ou igual a qualquer elemento de B
78
CAPÍTULO 8
ESTRUTURAS LÓGICAS: EXERCÍCIOS
1. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.
Analise as sequencias lógicas abaixo e diga qual é o próximo elemento de cada sequencia.
Justifique sua resposta em cada caso.
a) 1, 3, 6, 10 ...
b) 1, 1, 2, 3, 5 ...
c) 8, 6, 7 , 5 , 6 , 4 ...
d) 21, 20, 18, 15, 11...
e) A, D, G, J, ...
f) 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...
g) 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
h) 65536, 256, 16, ...
2.
Se reorganizar as letras "TBREUEI", obterá o nome de um:
a) oceano
b) país
c) estado
d) cidade
e) animal
3.
João é mais alto que o Pedro e Bernardo é menor que João. Qual das declarações seguintes será a
mais precisa?
a) Bernardo é mais alto que o Pedro.
b) Bernardo é mais baixo que o Pedro.
c) Bernardo é tão alto quanto o Pedro.
d) É impossível saber se o Bernardo ou o Pedro é mais alto.
79
4.
Que objeto não pertence a este grupo?
a) castelo
b) espada
c) fortaleza
d) capacete
5.
Se algumas vacas tiverem chifres e todos os porcos comerem animais com chifres, quais das
seguintes afirmações podem ser verdade?
a) Todas as vacas seriam comidas por porcos.
b) Todos os porcos seriam comidos por vacas.
c) Algumas vacas seriam comidas por porcos.
d) Nenhuma das anteriores.
6.
Se todos os machos são verdes, e todas as fêmeas forem vermelhas...
a) Todos os meninos são rosas.
b) Todas as meninas são laranja.
c) Todos os meninos são verdes.
d) Todas as meninas são verdes.
7.
Qual a palavra que não pertence a este grupo?
a) cigarro
b) pato
c) sorriso
d) pensamento
e) oxigênio
80
8.
Qual dos cinco faz a melhor comparação?
Barco está para água como avião está para:
a) SOL
b) CHÃO
c) ÁGUA
d) CÉU
e) ÁRVORE
9.
Qual dos cinco faz a melhor comparação?
10.
Qual dos cinco é menos similar aos outros quatro?
11.
Qual dos cinco é menos similar aos outros quatro?
a) URSO
b) COBRA
c) VACA
d) CÃO
e) TIGRE
12.
Qual dos cinco desenhos faz a melhor comparação?
81
13.
Qual dos cinco desenhos faz a melhor comparação?
14.
Qual dos cinco desenhos é menos similar aos outros quatro?
15.
Qual das cinco alternativas faz a melhor comparação?
LIVE está para EVIL como 5232 está para:
a) 2523
b) 3252
c) 2325
d) 3225
e) 5223
16.
Qual dos cinco faz a melhor comparação?
Árvore está para chão como chaminé está para:
a) FUMAÇA
b) TIJOLO
c) CÉU
d) GARAGEM
e) CASA
17.
Qual dos cinco desenhos faz a melhor comparação?
82
18.
Carlos, 12 anos de idade, é três vezes mais velho que seu irmão. Quantos anos terá Carlos quando
a sua idade for o dobro da idade do seu irmão?
a) 15
b) 16
c) 18
d) 20
e) 21
19.
Junior recebeu $ 0,41 de troco por uma compra em uma farmácia. Se ele recebeu seis moedas,
três dessas moedas tinham de valer:
a) R$ 0,01
b) R$ 0,05
c) R$ 0,10
d) R$ 0,25
e) R$ 0,50
20.
A mãe de Pedro o mandou à loja para comprar 9 latas grandes de pêssegos. Pedro só podia
carregar duas latas de cada vez. Quantas viagens à loja Pedro teve de fazer?
21.
Um avião com 100 pessoas a bordo caiu junto à fronteira de Espanha e Portugal. A cabina da
primeira classe caiu na Espanha e a cabine principal caiu no lado português. Qual país têm a
obrigação de enterrar os 18 sobreviventes portugueses que viajavam na primeira classe?
22.
Se duas secretárias podem digitar duas páginas em dois minutos, quantas secretárias serão
necessárias para digitar 18 páginas em seis minutos?
23.
Um frasco contém um casal de melgas. As melgas reproduzem-se e o seu número dobra todos os
dias. Em 50 dias o frasco está cheio, em que dia o frasco esteve meio cheio?
83
24.
O preço de um produto foi reduzido em 20% numa liquidação. Qual deverá ser a percentagem de
aumento do preço do mesmo produto para que ele volte a ter o preço original?
25.
Uma minhoca está subindo a parede de um poço. O poço tem 19 metros de profundidade.
Diariamente a minhoca sobe 3 metros, mas durante a noite escorrega 1 metro para baixo.
Quantos dias a minhoca leva para sair do poço?
26.
Quatro pessoas chegam a um rio no meio da noite. Há uma ponte estreita, mas ela só pode
aguentar duas pessoas ao mesmo tempo. Porque é noite, a tocha deve ser usada para atravessar a
ponte. A pessoa A pode atravessar a ponte em um minuto, a B em 2 minutos, a C em 5 minutos, e
a D em 8 minutos. Quando duas pessoas atravessam a ponte juntos, eles devem se mover no
ritmo da pessoa mais lenta. A questão é: todos eles poderão atravessar a ponte em 15 minutos ou
menos?
27.
A Torre de Hanói é um clássico problema de raciocínio lógico. Ela consiste em três hastes. Uma das
hastes serve de suporte para três discos de tamanhos diferentes – Pequeno (1), Médio (2) e
Grande (3). Os discos menores são sempre colocados sobre os discos maiores. Você pode
visualizar a disposição dos discos na figura abaixo. Descreva os passos para mover os três discos da
Torre de Hanói. Pode-se mover somente um disco de cada vez para qualquer haste, sendo que
nunca deve ser colocado um disco maior sobre um menor. O objetivo é transferir os três discos da
haste A para haste C.
28.
Três jesuítas e três canibais precisam atravessar um rio. Para tal, dispõem de um barco com
capacidade para duas pessoas. Por medida de segurança, não se deve permitir que em alguma
margem a quantidade de jesuítas seja inferior à quantidade de canibais. Qual solução para efetuar
a travessia com segurança?
84
29.
O jogo “Travessia do Rio” é um dos testes de QI aplicados no Japão, para a admissão de
funcionários em empresas. Existem oito pessoas em uma margem de um rio: o pai, a mãe, dois
filhos, duas filhas, o policial e o prisioneiro. Você deve atravessar todas as pessoas de uma
margem do rio para a outra, seguindo algumas regras:
1. Somente o pai, a mãe e o policial sabem pilotar o barco.
2. A mãe não pode ficar sozinha com os filhos.
3. O pai não pode ficar sozinho com as filhas.
4. O prisioneiro não pode ficar sozinho com nenhum integrante da família.
5. O barco só pode transportar duas pessoas por vez.
6. Você pode ir e vir com as pessoas quantas vezes precisar.
30.
Existem 5 casas diferentes uma ao lado da outra. Em cada casa mora uma pessoa de diferente
nacionalidade. Os 5 bebem, comem, e tem, cada um, seu animal de estimação. Nenhum deles tem
o mesmo animal, comem a mesma comida ou bebem a mesma bebida. A partir das dicas abaixo,
você deve descobrir quem é o dono do peixe.
1. O inglês vive na casa vermelha.
2. O sueco tem um cachorro como animal de estimação.
3. O dinamarquês bebe chá.
4. A casa verde fica a esquerda da casa branca.
5. O dono da casa verde bebe café.
6. A pessoa que come macarrão cria pássaros.
7. O dono da casa amarela come salada.
8. O homem que vive na casa do centro bebe leite.
9. O norueguês vive na primeira casa.
10. O homem que come pizza vive ao lado do que tem gatos.
11. O homem que cria cavalos vive ao lado do que come salada.
12. O homem que come carne bebe cerveja.
13. O alemão come sanduíche.
14. O norueguês vive ao lado da casa azul.
15. O homem que come pizza é vizinho do que bebe água.
85
31.
Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em
casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo,
a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.
b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.
c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.
d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.
e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.
32.
Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Julia tem a mesma idade. Se Maria e Julia tem
a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então
Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:
a) Carlos não é mais velho do que Leila, e João é mais moço do que Pedro.
b) Carlos é mais velho que Pedro, e Maria e Julia tem a mesma idade.
c) Carlos e João são mais moços do que Pedro.
d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro.
e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade.
33.
José quer ir ao cinema assistir ao filme “Avatar”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo
exibido. Seus amigos, Maria, Luis e Julio têm opniões discordantes sobre se o filme está ou não em
cartaz. Se Maria estiver certa, então Julio está enganado. Se Julio estiver enganado, então Luis
está enganado. Se Luis estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme
“Avatar” está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo,
a) O filme “Avatar” está sendo exibido.
b) Luis e Julio não estão enganados.
c) Julio está enganado, mas Luis não.
d) Luis está enganado, mas Julio não.
e) José não irá ao cinema.
34.
Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala
a verdade; Janete às vezes fala a verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à
esquerda diz: “Tania é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu sou
Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A
86
que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são,
respectivamente:
a) Janete, Tânia e Angélica
b) Janete, Angélica e Tânia
c) Angélica, Janete e Tânia
d) Angélica, Tânia e Janete
e) Tânia, Angélica e Janete
35.
Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro
falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo,
a) Nestor e Júlia disseram a verdade
b) Nestor e Lauro mentiram
c) Raul e Lauro mentiram
d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade
e) Raul e Júlia mentiram.
36.
Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é cunhada de Carol.
Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo,
a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol.
b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem.
c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol.
d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol.
e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem.
37.
Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim,
a) estudo e fumo.
b) não fumo e surfo.
c) não velejo e não fumo.
d) estudo e não fumo.
e) fumo e surfo.
87
38.
André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se
e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo:
a) Caio e Beto são inocentes.
b) André e Caio são inocentes.
c) André e Beto são inocentes.
d) Caio e Dênis são culpados.
e) André e Dênis são culpados.
39.
Se a professora de matemática foi à reunião, nem a professora de inglês nem a professora de
francês deram aula. Se a professora de francês não deu aula, a professora de português foi à
reunião. Se a professora de português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora,
pelo menos um problema não foi resolvido. Logo,
a) a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula.
b) a professora de matemática e a professora de português não foram à reunião.
c) a professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião.
d) a professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião.
e) a professora de inglês e a professora de francês não deram aula.
40.
Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento,
Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo,
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento.
b) Camile e Carla não foram ao casamento.
c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou.
d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou.
e) Vera e Vanderléia não viajaram.
41.
Se M = 2x + 3y, então M = 4p + 3r. Se M = 4p + 3r, então M = 2w – 3r. Por outro lado, M = 2x + 3y,
ou M = 0. Se M = 0, então M+H = 1. Ora, M+H ≠ 1. Logo,
a) 2w – 3r = 0
b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r
c) M ≠ 2x + 3y
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d) 2x + 3y ≠ 2w – 3r
e) M = 2w – 3r
42.
Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso,
não bebo. Logo,
a) não durmo, estou furioso e não bebo
b) durmo, estou furioso e não bebo
c) não durmo, estou furioso e bebo
d) durmo, não estou furioso e não bebo
e) não durmo, não estou furioso e bebo
43.
Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se
Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é
italiana. Logo:
a) Pedro é português e Frederico é francês
b) Pedro é português e Alberto é alemão
c) Pedro não é português e Alberto é alemão
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês
e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês
44.
O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a
duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e
suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não
sorriu. Logo:
a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.
b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa.
c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.
d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.
e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.
89
45.
Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado,
ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados. Se Sicrano é inocente, então
Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo,
a)
b)
c)
d)
e)
Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente.
Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é inocente.
Fulano é culpado, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente.
Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado.
Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado.
46.
Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso.
Beto é bondoso, ou Júlio não é justo. Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo,
a)
b)
a)
c)
d)
Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.
Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.
Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.
Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
47.
Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge
estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se
necessariamente que:
a)
b)
c)
d)
e)
Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina.
Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina.
Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina.
Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática.
Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia.
48.
Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desisto, compreendo. Se é feriado, não
desisto. Então,
a)
b)
c)
d)
e)
Se jogo, não é feriado.
Se não jogo, é feriado.
Se é feriado, não leio.
Se não é feriado, leio.
Se é feriado, jogo.
90
49.
Considere as afirmações: A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B) se Vítor diz a
verdade, Helena não é uma boa amiga; C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa
amiga. A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que elas:
a) São equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga.
b) Implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga.
c) Implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga.
d) São consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não seja uma boa
amiga.
e) São inconsistentes entre si.
50.
Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma
Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de Artur é
cinza; o carro de César é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da
Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente:
a) cinza, verde e azul
b) azul, cinza e verde
c) azul, verde e cinza
d) cinza, azul e verde
e) verde, azul e cinza
51.
Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há apenas um tabuleiro, eles combinam que
nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas e marido e esposa não jogam entre si. Na
primeira partida, Celina joga contra Alberto. Na segunda, Ana joga contra o marido de Júlia. Na
terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga contra Carlos. E
na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o marido de Helena são,
respectivamente:
a) Celina e Alberto
b) Ana e Carlos
c) Júlia e Gustavo
d) Ana e Alberto
e) Celina e Gustavo
91
52.
Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil, e vão participar de uma peça em
que representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa
e Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para
determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e
pediu que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio. Disse Fátima:
“Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”.
Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”.
Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”.
Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”.
Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”.
Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês
acertou sequer um dos resultados do sorteio”!
Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis
sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente:
a) rainha, bruxa, princesa, fada.
b) rainha, princesa, governanta, fada.
c) fada, bruxa, governanta, princesa.
d) rainha, princesa, bruxa, fada.
e) fada, bruxa, rainha, princesa.
53.
Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O
agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe,
ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à
Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar
o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:
A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.
A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.
A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.
O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:
a) A loura é Sara e vai à Espanha.
b) A ruiva é Sara e vai à França.
c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.
d) A morena é Bete e vai à Espanha.
e) A loura é Elza e vai à Alemanha.
92
54.
Três amigos, Beto, Caio e Dario, juntamente com suas namoradas, sentaram-se, lado a lado, em
um teatro, para assistir a um grupo de dança. Um deles é carioca, outro é nordestino, e outro
catarinense. Sabe-se, também, que um é médico, outro é engenheiro e outro é professor. Nenhum
deles sentou-se ao lado da namorada, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo
sexo. As namoradas chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Lúcia, Samanta e Teresa. O
médico sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Lúcia do que de Dario
ou do que do carioca. O catarinense está sentado em uma das pontas, e a namorada do professor
está sentada à sua direita. Beto está sentado entre Teresa, que está à sua esquerda, e Samanta. As
namoradas de Caio e de Dario são, respectivamente:
a) Teresa e Samanta
b) Samanta e Teresa
c) Lúcia e Samanta
d) Lúcia e Teresa
e) Teresa e Lúcia
55.
Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando,
Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:
Armando: "Sou inocente."
Celso: "Edu é o culpado."
Edu: "Tarso é o culpado."
Juarez: "Armando disse a verdade."
Tarso: "Celso mentiu."
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, podese concluir que o culpado é:
a) Armando
b) Celso
c) Edu
d) Juarez
e) Tarso
56.
Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um
funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:
– “Não fui eu, nem o Manuel.”, disse Marcos.
– “Foi o Manuel ou a Maria.”, disse Mário.
93
– “Foi a Mara.”, disse Manuel.
– “O Mário está mentindo.”, disse Mara.
– “Foi a Mara ou o Marcos.”, disse Maria.
Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem
entrou sem pagar foi:
a) Mário
b) Marcos
c) Mara
d) Manuel
e) Maria
57.
Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não
necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três
fizeram as seguintes declarações:
Nestor: "Marcos é casado com Teresa."
Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina."
Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra."
Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se
que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente:
a) Sandra, Teresa, Regina
b) Sandra, Regina, Teresa
c) Regina, Sandra, Teresa
d) Teresa, Regina, Sandra
e) Teresa, Sandra, Regina
58.
Um eminente antropólogo, afirmou que TODOS OS AFANEUS SÃO ZARAGÓS, e que TODOS OS
ZARAGÓS SÃO CHUMPITAZES. Com base nestas afirmações, podemos concluir que:
a) É possível existir um Afaneu que não seja Zaragó.
b) É possível existir um Afaneu que não seja Chumpitaz.
c) É possível existir um Zaragó que não seja Afaneu.
d) Nada se pode concluir sem saber o que significa Afaneu, Zaragó e Chumpitaz.
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59.
Uma empresa produz androides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de
tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está
examinando um grupo de cinco androides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –,
fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a
Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os
androides restantes fazem, então, as seguintes declarações:
Beta: “Alfa respondeu que sim.”
Gama: “Beta está mentindo.”
Delta: “Gama está mentindo.”
Épsilon: “Alfa é do tipo M.”
Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir
corretamente que o número de androides do tipo V, naquele grupo, era igual a
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
3
4
5
60.
Você está à frente de duas portas. Uma delas conduz a um tesouro; a outra, a uma sala vazia.
Cosme guarda uma das portas, enquanto Damião guarda a outra. Cada um dos guardas sempre diz
a verdade ou sempre mente, ou seja, ambos os guardas podem sempre mentir, ambos podem
sempre dizer a verdade, ou um sempre dizer a verdade e o outro sempre mentir. Você não sabe se
ambos são mentirosos, se ambos são verazes, ou se um é veraz e o outro é mentiroso. Mas, para
descobrir qual das portas conduz ao tesouro, você pode fazer três (e apenas três) perguntas aos
guardas, escolhendo-as da seguinte relação:
P1: O outro guarda é da mesma natureza que você (isto é, se você é mentiroso ele também o é, e
se você é veraz ele também o é)?
P2: Você é o guarda da porta que leva ao tesouro?
P3: O outro guarda é mentiroso?
P4: Você é veraz?
Então, uma possível seqüência de três perguntas que é logicamente suficiente para assegurar, seja
qual for a natureza dos guardas, que você identifique corretamente a porta que leva ao tesouro, é:
a)
b)
c)
d)
e)
P2 a Cosme, P2 a Damião, P3 a Damião.
P3 a Damião, P2 a Cosme, P3 a Cosme.
P3 a Cosme, P2 a Damião, P4 a Cosme.
P1 a Cosme, P1 a Damião, P2 a Cosme.
P4 a Cosme, P1 a Cosme, P2 a Damião.
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61.
Um professor de Lógica percorre uma estrada que liga, em linha reta, as vilas Alfa, Beta e Gama.
Em Alfa, ele avista dois sinais com as seguintes indicações: “Beta a 5 km” e “Gama a 7 km”. Depois,
já em Beta, encontra dois sinais com as indicações: “Alfa a 4 km” e “Gama a 6 km”. Ao chegar a
Gama, encontra mais dois sinais: “Alfa a 7 km” e “Beta a 3 km”. Soube, então, que, em uma das
três vilas, todos os sinais têm indicações erradas; em outra, todos os sinais têm indicações
corretas; e na outra um sinal tem indicação correta e outro sinal tem indicação errada (não
necessariamente nesta ordem). O professor de Lógica pode concluir, portanto, que as verdadeiras
distâncias, em quilômetros, entre Alfa e Beta, e entre Beta e Gama, são, respectivamente:
a) 5 e 3
b) 5 e 6
c) 4 e 6
d) 4 e 3
e) 5 e 2
62.
Daniel encontra-se em visita ao país X. Este país é formado por apenas duas tribos, a saber, a tribo
dos Nuncamentem e a dos Semprementem. Embora utilizem exatamente a mesma língua, os
Nuncamentem sempre dizem a verdade, e os Semprementem jamais dizem a verdade. Daniel
ainda não domina o idioma local. Sabe que “balá” e “melé” são as palavras utilizadas para
significar “sim” e “não”. O que Daniel não sabe é qual delas significa “sim” e qual delas significa
“não”. Daniel encontra três amigos, habitantes de X, sem saber quantos deles são Nuncamentem
e quantos são Semprementem. Daniel pergunta a cada um dos três separadamente: “Os teus dois
amigos são Nuncamentem?”. A esta pergunta, todos os três respondem “balá”. A seguir, Daniel
pergunta a cada um dos três separadamente: “Os teus dois amigos são Semprementem?”. A esta
pergunta, os dois primeiros respondem “balá”, enquanto o terceiro responde “melé”. Daniel pode,
então, concluir corretamente que:
a) exatamente dois amigos são Semprementem e “balá” significa “sim”.
b) exatamente dois amigos são Nuncamentem e “balá” significa “sim”.
c) exatamente dois amigos são Semprementem e “balá” significa “não”.
d) os três amigos são Semprementem e “balá” significa “não”.
e) exatamente dois amigos são Nuncamentem e “balá” significa “não”.
63.
Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estranho país, formado por apenas duas
aldeias, uma grande e outra pequena. Os habitantes entendem perfeitamente o português, mas
falam apenas no idioma local, desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que os habitantes da
aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem. Sabe, também, que
“Milango” e “Nabungo” são as palavras no idioma local que significam “sim” e “não”, mas não
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sabe qual delas significa “sim” e nem, conseqüentemente, qual significa “não”. Um dia, Sócrates
encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se a ele, e apontando para o casal,
Sócrates pergunta:
– Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher?
– Milango. – responde o jovem.
– E a tua aldeia é maior do que a desse homem? – voltou Sócrates a perguntar.
– Milango. – tornou o jovem a responder.
– E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? – perguntou Sócrates.
– Nabungo. – disse o jovem.
Sócrates, sorrindo, concluiu corretamente que
a) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.
b) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequena.
c) o jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.
d) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.
e) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.
64.
O Ministro da economia de um certo país afirmou, em entrevista a um jornal:
SE UM PAÍS TEM CRÉDITO, ENTÃO ELE NÃO PEDE MORATÓRIA.
No dia seguinte, o referido jornal publicou:
MINISTRO AFIRMA: SE UM PAÍS NÃO TEM CRÉDITO, ENTÃO ELE PEDE MORATÓRIA.
Compare a declaração do Ministro com o que foi publicado no jornal, assinalando a alternativa
correta:
a) As duas afirmações são logicamente equivalentes.
b) Se um país tem crédito e pede moratória, isto contradiz a declaração do Ministro na
entrevista.
c) Se um país tem crédito e não pede moratória, isto contradiz o que foi publicado no jornal.
d) Se um país não tem crédito e pede moratória, isto contradiz a declaração do Ministro na
entrevista.
65.
Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou
Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala
espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala
francês e Ching não fala chinês. Logo,
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a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.
b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.
c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.
d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.
e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.
66.
Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico
deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida,
não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje
a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor.
b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor.
c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor.
d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor.
e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.
67.
Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para
Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e
suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,
a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.
b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo.
e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.
68.
Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da
outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está
com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa
está com sapatos azuis. Desse modo,
a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto.
b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos.
c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos.
d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco.
e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis.
98
69.
Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia
e Psicologia. Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra
em São Paulo. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice
não realizou seu curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, cursos e respectivos locais de
estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem:
a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo.
b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo.
c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo.
d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolis.
e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis.
70.
Leia o texto abaixo para responder as questões seguintes.
Chapéuzinho Vermelho ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana. A
Raposa e o Lobo Mau eram duas estranhas criaturas que freqüentavam a floresta. A
Raposa mentia às segundas, terças e quartas-feiras, e falava a verdade nos outros dias
da semana. O Lobo Mau mentia às quintas, sextas e sábados, mas falava a verdade
nos outro dias da semana.
(Adaptado de Linguagem Lógica de Iole de Freitas Druck IME –
USP – publicado na revista do professor de Matemática.)
1. Um dia Chapéuzinho Vermelho encontrou o Raposa e o Lobo Mau descansando à sombra de
uma árvore. Eles disseram:
Raposa: Ontem foi um dos meus dias de mentir.
Lobo Mau: Ontem foi um dos meus dias de mentir.
A partir dessas afirmações, Chapéuzinho Vermelho descobriu qual era o dia da semana. Qual era?
2. Em outra ocasião Chapéuzinho Vermelho encontrou o Raposa sozinha. Ela fez as seguintes
afirmações:
Eu menti ontem.
Eu mentirei daqui a 3 dias.
Qual era o dia da semana?
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3. Em qual dia da semana é possível a Raposa fazer as seguintes afirmações?
Eu menti ontem.
Eu mentirei amanhã.
4. Em que dias da semana é possível a Raposa fazer cada uma das seguintes afirmações:
Eu menti ontem e eu mentirei amanhã.
Eu menti ontem ou eu mentirei amanhã.
Se menti ontem, então mentirei de novo amanhã.
Menti ontem se e somente se mentirei amanhã.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Esta apostila foi compilada e montada pelo professor Gustavo Alexandre de Oliveira Silva,
baseando-se na documentação disponível online e em livros didáticos.
BLOG DO PROFESSOR JOSELIAS.
2012.
<http://professorjoselias.blogspot.com/>. Online, janeiro de
CARVALHO, Sergio e CAMPOS, Weber. Raciocínio Lógico Simplificado. Rio de Janeiro. Ed. Campus,
2010.
EGYPTO, Cândido. Introdução a Programação. ASPER – Associação Paraibana de Ensino
Renovado. Março, 2004.
MORAES, Paulo S. Lógica de Programação. Unicamp – Centro de Computação – DSC. Abril, 2000.
SOUZA, João Nunes. Lógica para Ciência da Computação. Ed. Campus, 2008.
Contato:
Prof. Gustavo Alexandre de Oliveira Silva
Email: [email protected]
Web: http://www.baudogustavo.blogspot.com
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