TRABALHO1_RUI

M.H.R.H.A__A.T.D.1. – Trabalho 1
Índice
Problemas
P1
……………………………………………………….
2
P2
……………………………………………………….
4
P3
……………………………………………………….
8
P4
……………………………………………………….
12
P5
……………………………………………………….
16
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Todos os cálculos de apoio à resolução dos problemas seguintes, estão apresentados no ficheiro ATD1_rui.xls.
P1. Relativamente ao conjunto de dados constituídos pelos máximos anuais do Rio Paiva
estime os parâmetros da distribuição ajustada, pelo método dos momentos ponderados de
probabilidade.
De acordo com os valores apresentados no ficheiro ATD1_rui.xls, em relação aos Dados do Rio Paiva, temos:
Número de observações: n = 44
1 n
Média: x   xi = 302,75
n i 1
2
1 n
Variância: s 
 xi  x  = 160,79
n  1 i 1
2
n
Mediana: X n
2
1:n = 276,50
Valor Máximo: 920
Valor Mínimo: 39
Aplicando o Método dos Momentos Ponderados de Probabilidade (Hosking, 1985), e considerando os

momentos pesados  r  E X F  X 
r
 e de estimadores centrados de  :
br 
r
1 n  j  1 j  2... j  r 
x j:n ,

n j 1 n  1n  2...n  r 
Calculamos os seguintes estimadores de , , , no Modelo Generalizado de Valores Extremos através das
fórmulas:
2
 2b1  b0 ln 2 
 2b1  b0 ln 2 

  2.9554
 ;
  7.8590


 3b2  b0 ln 3 
 3b2  b0 ln 3 
 
 2b1  b0  

1     1  2

;
  1      1
;
  b0 


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Os valores dos parâmetros b 0 , b1 , b 2 e dos estimadores (parâmetros de distribuição ajustada) são os
seguintes:
b0 
1 n
 x j:n  x = 302,75
n j 1
1 n  j  1
x j:n = 193,6094

n j 1 n  1
1 n  j  1 j  2
b2  
x j:n =145,3291
n j 1 n  1n  2
b1 
2
 2b1  b0 ln 2 
 2b1  b0 ln 2 

  2.9554
 = -0,02394


Índice de cauda:   7.8590
 3b2  b0 ln 3 
 3b2  b0 ln 3 
Parâmetro de escala:  

 2b1  b0  

1     1  2

 = 124,5285
  1      1
Parâmetro de Localização:   b0 
= 233,7558


O valor de   é muito próximo de zero, o que significa que a Distribuição Generalizada de Extremos apresentada pode
ser traduzida por uma função de distribuição de Gumbel.
Uma outra forma de verificar esta hipótese é construindo um gráfico de papel de probabilidade, com base na função de

 i 
  . Aplicado aos dados em questão (n =
 n 1
distribuição de Gumbel, onde se analisa a relação entre xi:n e  ln   ln 

44), o gráfico em papel de probabilidade tem a seguinte representação:
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Papel de Probabilidade
Caudais Rio Paiva
6
5
2
R = 0,9334
-ln(-ln(i/(n+1)))
4
3
2
1
0
-1 0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
-2
x(i:n)
Boa correlação (R = 0.966) dos dados a uma função linear, é correcto aceitar a hipótese de que os caudais máximos
anuais pudessem ser bem modelados por uma distribuição de Gumbel. Por Gumbel ficaria:
   x  

G x   exp   e 
, x R





   x 233,7558  
G x   exp   e  124,5285   , x  R




P2. Escreva as expressões analíticas da distribuição Generalizada de Extremos para mínimos e derive
as expressões correspondentes para os quantis de probabilidade reduzida e para os períodos de retorno.
Considerando (x1,x2,…,xn) uma amostra aleatória de X constituída por n observações independentes com função de
distribuição Fx (x), de tal modo que sejam estatísticas ordinais:
x1:n x2:n… xn:n
Então:
P(x1:n  x)
= P(min(x1, x2, …, xn)  x)
= 1-P(min (x1, x2, …, xn)  x)
= 1-P(X1  x, X2  x, …, xn  x)
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Como, P(X  x) = F(x), que por definição de função de distribuição e tratando-se de observações independentes t:
P X 1:n  x   1  F x 

P(X x) = 1- F(x)
n
De onde podemos concluir que: P X 1:n  x   1  F x 
n
Atendendo à Lei Limite do Mínimo Amostral pode-se dizer que:
min X i
i  1...n
  máx  X i 
i  1...n
Ficando:
P(x1:n  x)
= 1-P(min (x1, x2, …, xn)  x)
= 1-P( - máx(-Xi)  x )
= 1-P( máx(-Xi)  x )
Admitindo as igualdades anteriores e considerando a distribuição generalizada de valores extremos para mínimos
análoga à de máximos, vem:
 x   
P X 1:n  x   G * *   
  
G  x   1  G   x 
onde
Os parâmetros  ,   são estimados usando a amostra de máximos ou de mínimos, e G x  é a distribuição
generalizada de valores extremos para mínimos, que se define (de acordo com o teorema de Gnedenko) por:

1  exp  e x ,
x  R,    0

G *   x   

1
*


1  exp  1   x   , 1   x  0



Supondo que se têm N observações e k sub amostras de dimensão n  k , e atendendo às expressões anteriores, temos:
N
1  1  F x 
N
k
 x  * 
 G*  * 
  

1  F ( x )N k  G  x 


k
1  F ( x )  G N (  x )
Vem então:
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
k

x
N
  0
 exp  e  ,

1  F ( x)  

k
 exp   1    x 1    N ,    0
 
  




Introduzindo os parâmetros de localização e escala  ,   ,vem:
k


N
  x 
 ,
  0
exp   e

 


1  F ( x)  

k
N
1
 
 





 x  
exp  1  
   ,    0

  
 





x   

1  exp  k e   ,
 N






F( x )  




k
 x


1

exp

1



 N 





  0




1


 ,   0


É com base nesta função de distribuição que se determinam as expressões para os quantis de probabilidade reduzida e
para os períodos de retorno.
a)
Expressões para o Período de Retorno
Seja, T(u) o período de retomo de um nível U, que também se pode designar por número de observações independentes
(Xi), em média, que é necessário decorrer até que se volte a observar um acontecimento que excede U, dado por
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T u  
1
1  F u 
Como as observações são independentes e admitindo que as observações seguem uma lei de distribuição geométrica, o
período de retorno pode ser definido por:

1

,   0

v


 


1  1  exp   k e   
 N

 


 
T(u)= 

1

,   0
1


 
  
1  1  exp  k 1    x     
 N 
 
   
 

 
b)
Expressões para os quantis de Probabilidade Reduzida
Seja F(p) = P, onde p é a probabilidade de se observarem valores abaixo de p (quantil de probabilidade p), a expressão
de F(x), sendo x = p vem:


 k  P   

1  exp   e  ,   0
N




P

1

  

k 
   

1  exp  1   P   ,   0


N

 






 
 k P 
,   0
 N e

ln(1-p)= 

1
 
 k 





P
 ,    0
 1  



 N
Da primeira parcela da expressão anterior, vem:
k
Ln(1-p)=-  e
N
 P  


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

k p 

Ln  Ln1  p   ln
N



k p 

Ln  ln 1  p   ln
N

Pelo que a expressão para a determinação do quantil de probabilidade reduzida, quando   = 0,é:


 p      ln  ln 1  p   ln
k

N
De modo análogo, para a segunda parcela, vem:
1
 p     
k 


ln 1  p   
1
N 
  

1

 p     
N 


 ln 1  p   1  
k 
  

N

 ln 1  p  k 


 p  
 N


 1   ln 1  p 

 k



p    

 
 1

 p  








 N

ln 1  p 
1  
 k










Pelo que a expressão para a determinação do quantil de probabilidade reduzida quando    0 é:
    N

 p     1   ln 1  p 
   k

 





P3. Considere a variável estatística x. Relativamente a este conjunto de dados, admita válido o ajuste
por uma distribuição Generalizada de Valores Extremos (caso possível construa o papel de
probabilidade).
Os resultados a seguir apresentados são resultados dos cálculos efectuados no ficheiro ATD1_rui.xls:
Número de dados: n = 49
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Média: x 
1 n
 xi = 18.42
n i 1
2
1 n
Variância: s 
 xi  x  = 0.996
n  1 i 1
2
n
Mediana: X n
2
1:n = 18.5508
Valor Máximo: 19.5623
Valor Mínimo: 15.3525
Face a uma amostra de máximos, é válido o ajuste por uma distribuição de GEV – Gumbel, Fréchet ou
Weibull – pode ser feito analisando um gráfico em papel de probabilidade, como primeiro teste de escolha
estatística.
O papel de probabilidade é construído com base na função de distribuição de Gumbel, onde se analisa a

 i 
  . Aplicado aos dados, o gráfico em papel de probabilidade fica:
 n  1
relação entre xi:n e  ln   ln 

Papel de Probabilidade
5
-ln(-ln(i/(n+1)))
4
3
2
1
0
-115,0
15,5
16,0
16,5
17,0
17,5
18,0
18,5
19,0
19,5
20,0
-2
x(i:n)
Analisando o gráfico, verifica-se que é ligeiramente arqueado com a concavidade voltada para cima, o que
significa uma validação informal de um modelo Weibull.
Outro método é o Teste de Gumbel, sendo este de escolha de Modelos Extremais, onde o primeiro passo será
o de testar a hipótese =0 (H0), e o valor observado pela estatística do teste, que irá indicar um possível
modelo, é dada por:
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
ln n  ln ln 2  
Wn  ln ln nWn 
,
ln ln n   ln ln 2 

Wn 
Onde
X n:n  X n 1:n
2
X n 1:n  X 1:n
2
a) Realize o teste de hipótese H0 _  = 0 versus H1 _  ≠ 0. No caso de rejeitar a hipótese H0
construa outros testes com hipóteses alternativas adequadas.
W49  0.2764

ln 49  ln ln 2 
W49  ln ln 49 0,2764 
 = -2.4009
ln ln 49  ln ln 2 

Então para o teste H0 :  = 0 versus H1 :  ≠ 0, temos a região crítica (sendo  o nível de significância)



C  Wn  g  Wn  g1 , onde g p representa o quantil de probabilidade p da distribuição de Gumbel,
2
2
definido por g p   ln  ln p  .
Adoptando um nível de significância  = 0.05 ( 
2
 0.025 e 1    0.975 ), obtemos:
2
g 0.025  -1,3053 e para g 0.975  3,6762 ,
Sendo a região crítica deste teste dada por:
C  Wn  1.3053 Wn  3.6762,

conclui-se que W 49
pertence à região crítica, logo rejeitamos H0 e o Modelo de Gumbel.


Fazendo agora o teste para H0 :  = 0 versus H1 :  < 0, temos a região crítica C  Wn  g , onde para um
nível de significância  = 0.05, obtemos g 0.05  2,9702 (quantil de probabilidade p =  da distribuição de

Weibull); conclui-se que W 49
não pertence à região crítica, logo não rejeitamos H0 e aceitamos o Modelo de
Weibull.
b) Face aos resultados da alínea anterior estime os parâmetros da distribuição, se possível por
dois métodos.
A estimação dos parâmetros de distribuição pode ser feita através do ajustamento a um Modelo Extremal de
Weibull:
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   x    
exp   
 
 x;  ;      

 


0

x     0
x
1

E  X     1  
 
  2
 1 
Var X    2  1     2 1   
  
  
1


1


   1   
Moda  
 



se
 1
se 0    1
Mediana    ln 2  
1
Admitindo que E  X   x  39.70 , Var  X   sn2  2.52 e que a mediana = X n
 
1

2
1:n = 40,053 e sabendo que
, obtemos a seguinte solução para os parâmetros de distribuição do Modelo de Weibull:
 = 1.209
 =-0.015
 = -0.827
 = 18.335
Assim a função de distribuição seria a seguinte:
  x    
 x;  ;   exp    
 
 

 


  x  40.827  2.6674 

  exp    

 

1
.
270



Outro método para a estimação dos parâmetros de um Modelo Weibull é através do Método Máximo de
Verosimilhança, mas é um método muito pesado em termos de cálculo e seria necessário utilizar algoritmos
mais sofisticados que o Newton – Raphson. Sendo assim, um outro método de estimação dos parâmetros é o
Método dos Momentos Ponderados de Probabilidade, já apresentado na resolução do P1. Para os dados em
questão:
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b0 
1 n
 x j:n  x = 18.42
n j 1
b1 
1 n  j  1
x j:n = 9.479

n j 1 n  1
b2 
1 n  j  1 j  2
x j:n =6.38

n j 1 n  1n  2
2
 2b1  b0 ln 2 
 2b1  b0 ln 2 

  2.9554
 = -0.827


Índice de cauda:   7.8590
 3b2  b0 ln 3 
 3b2  b0 ln 3 
Parâmetro de escala:   
 2b1  b 0  


 1   1  2
Parâmetro de Localização:   b 0 

 = 1.094

  = 18.335
  1    1


Índice de cauda é < 0 verifica que estamos perante uma função de distribuição de Weibull:
  x    
 x;  ;   exp    
 
 

 


  x  39.436  10.776 

  exp    

 

2.724 


Problema 4. Considere a variável estatística y. Relativamente a este conjunto de dados
construa a nova amostra correspondente de 30 excessos acima de um determinado nível
elevado. Admita válido o ajuste por uma distribuição Generalizada de Pareto para a variável
dos excessos acima do nível u considerado. Caso possível construa o papel de probabilidade.
Os resultados a seguir apresentados são resultados dos cálculos efectuados no ficheiro ATD1_rui.xls:
Número de dados: n = 199
Número de excessos (outra amostra): k = 30
Valor de y (n = 30): u = 27.2314
A nova amostra deverá ser constituída por 30 excessos, traduzidos pela subtracção do valor u = 27.2314 a
cada um dos 30 valores máximos retirados da amostra anterior.
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2
1 k
 xi = 10.295
k i 1
Média: x 
1 k
Variância: s 
 xi  x  = 7.767
k  1 i 1
2
k
O papel de probabilidade dá uma pré-validação do Modelo Generalizado de Pareto GP x  , marcando x i:n
  i 
versus  ln1  
  . Como podemos analisar no gráfico seguinte, a amostra escolhida pode ser
  n  1 
aproximada por uma recta dos mínimos quadrados com uma razoável correlação (R = 0.9491).
Papel de Probabilidade
4,00
3,50
R2 = 0,9491
-ln(1-i/(n+1))
3,00
2,50
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
-0,50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
x(i:n)
a) Estime os parâmetros da distribuição por dois processos distintos.
Modelo Generalizado de Pareto
O Modelo Generalizado de Pareto tem como função de distribuição:
1
 


x
1  1   
GP x    
 


0

EX  
1.

1
,
 1
1 
x

 0, x  0
x0
Var X  
2
1   2 1  2 
,
  12
Estimação dos parâmetros através do Método dos Momentos:
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Considerando:
EX   x 
ˆ
1  ˆ
Var  X   sk2 
 10.295
ˆ 2
1  ˆ 1  2ˆ
2
 7.767
Resolvendo este sistema de duas equações e duas incógnitas, obtêm-se os seguintes parâmetros:
̂  75.392
̂  -6.323
e
Pode-se afirmar que os dados analisados podem seguir uma lei do tipo:
x 

GP x   1  1   6.323

75.392 

2.
1
6.323
Estimação dos parâmetros através do Método da Máxima Verosimilhança (M.M.V.)
 
A partir da reparametrização ,    ,  obtêm-se as seguintes equações para o calculo dos parâmetros no
 
M.M.V.:
   
1 n
 ln1  x i 
n j1
e
xi
n
n  1
 
 1
    j1 1  x i
Utilizando o método do ponto fixo para resolver este sistema de equações, e tomando como valor inicial o
valor do parâmetro  calculado no método dos momentos, obtemos:
ˆ  0.997
ˆ  0.035
ˆ 
ˆ
 28.78728
ˆ
Pode-se afirmar que através do M.M.V., os dados analisados podem seguir uma lei do tipo:
x 

GP x   1  1   0.997

28.78 

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1
0.997
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b) Estime o período de retorno de um nível qualquer u0 (à sua escolha) maior que o nível u
considerado.
O nível u da amostra é 15,037. Vai ser calculado o período de retorno para u0 = 20.
A estimação do Período de Retorno para caso de máximos pode ser dada por: Tu 0  
1
.
1  Fu 0 
A fórmula anterior pode ser aproximada, no caso de k = 30 excessos entre N = 199 observações, por:
u u
N

Tu 0   1   0
k
 
1


T u0   11,83
O período de retorno para o nível 20, é de aproximadamente 12 observações independentes.
P5. Construa a amostra das maiores 50 observações da variável estatística z. Considere que
este conjunto de dados é constituído pelas 50 maiores observações de uma amostra de
dimensão 800.
Considera-se:
u = 19.4
mn = 12,5
n = 50
n-mn+1 = 39, corresponde a um z39:50 = 19.762
N = 799
n-kmn+1 = 26, corresponde a um z26:50 = 19.380
k=2
n-k2mn+1 = 1, corresponde a um z1:50 = 18.789
k2mn = 12.5
Use o método das maiores observações para estimar:
a) O índice de cauda
Para o caso do Método das Maiores Observações (M.M.O.), o índice de cauda pode ser estimado através da
formulação para o Estimador de Pickands Generalizado:
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ln
ˆ n,k 
Z nmn 1:n  Z nkmn 1:n
Z nkmn 1:n  Z nk 2m
n 1:n
onde
ln k
m n  
mn
0
n
Aplicando a expressão aos dados em questão, obtemos o seguinte índice de cauda:
ˆn,k  -0.6304
b) O quantil de probabilidade 0.99
Sendo   0 , a expressão para o Estimador de Quantis Elevados, para o M.M.O. é a seguinte:
1p  Z nmn 1:n

Z nmn 1:n  Z nkmn 1:n   n
 


1    ln1  p 
  m
1  k 
 

Sendo 1- p = 0.99, fica:
1 p  20.37
c) o período de retorno do nível u = 19.5.
Sendo   0 , a expressão para Estimação dos Períodos de Retorno do Nível u dados por
1
, para o
1  Fu 
M.M.O. é a seguinte:

u  Z nmn 1:n
 m
Fu  exp  1 
1  k 

Z nmn 1:n  Z nkmn 1:n
 n







1






F 19.5 = 0.888
1
= 8.97
T 19.5 
1  F 19.5
O período de retorno para o nível u = 19.5 é de aproximadamente 9 observações independentes.
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