Função Logaritmo - Teoria

Função Logaritmo - Teoria
Definição: O logaritmo de um número real positivo x, na base a ∈ IR ∗+ − {1} , é o número real y tal que ay = x., equivalentemente
podemos escrever y = log a x .
Resumindo temos:
a y = x , a ∈ IR *+ − {1} ⇔ y = log a x , a ∈ IR *+ − {1} .
Ex.1:
2 3 = 8 ⇔ log 2 8 = 3.
2 7 = 128 ⇔ log 2 128 = 7.
Usando que a função exponencial é uma função injetora temos que a relação logaritmo na base a, definida acima, é uma
função, então defino a função logaritmo na base a:
f : IR ∗+ → IR
x a f (x ) = log a x, a ∈ IR ∗+ − {1}.
.
Repare que D f = IR ∗+ e Im f = R , o número real positivo x é chamado logaritmando.
Decorre da definição que a função logaritmo na base a é a função inversa da função exponencial na base a, então o
gráfico da função logaritmo na base a é o simétrico do gráfico da função exponencial na base a em relação a bissetriz dos
quadrantes ímpares, ou seja, a reta y = x.
,
Sistema de logaritmos na base a é o conjunto dos logaritmos de todos os números reais positivos na base a.
Os sistemas mais usados são o sistema decimal e o sistema neperiano.
Sistema decimal (base 10) os logaritmos são representados simplesmente por log x em vez de log10 x.
Sistema neperiano a base é o número irracional e definido por:
n
1⎞
⎛
e = lim ⎜1 + ⎟ ≈ 2,17 .
n + ∞⎝
n⎠
Os logaritmos são representados simplesmente por l n x.
Propriedades:
(P 1) f (1) = 0.
Por simplicidade vamos supor que os logaritmos utilizados abaixo estão bem definidos.
(P 2) A função logaritmo é injetora, ou seja:
x 1 = x 2 ⇔ log a x 1 = log a x 2 .
Ex.2:
log 3 x = 2
Domíno : x > 0 ⇔ D = ] 0, ∞ [.
Equação :
log 3 x = 2 ⇔ log 3 x = log 3 9 ⇔ x = 9 ∈ D ⇒ S = { 9 }.
Ex.3:
log 2 (2 x − 1) = 4
Domíno : 2 x − 1 > 0 ⇔ x >
1
⎤1
⎡
⇔ D = ⎥ ,∞⎢
2
⎦2
⎣
Equação :
log 2 (2 x − 1) = log 2 16 ⇔ 2 x − 1 = 16 ⇔ x =
17
⎧17 ⎫
∈ D ⇒ S = ⎨ ⎬.
2
⎩2⎭
Ex.4:
log x 2 = log (2 x − 1)
Domínio :
⎧x ≠ 0
⎧⎪x 2 > 0
⎪
⎡
⎤ 1
⇔⎨
⎨
1 ⇔ D = ⎥ ,∞⎢.
2
x
>
⎪⎩2 x − 1 > 0
⎦
⎣
⎪⎩
2
Equação :
log x 2 = log (2 x − 1) ⇔ x 2 = 2x − 1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1 ∈ D ⇒ S = {1 }.
Ex.4:
(AFA) O conjunto-solução da equação log x − 2 ( x + 2) 2 = 2 é
(A) ∅
(B) {x ∈ IR ⏐ x > 3}
(C) {x ∈ IR ⏐ 2 < x < 3}
(D) {x ∈ IR ⏐ x > 2 e x ≠ 3}.
Solução:
Domínio :
⎧(x + 2)2 > 0
⎧x ≠ − 2
⎪
⎪
⎨x − 2 > 0 ⇔ ⎨x > 2 ⇔ D = ] 2 , 3[ ∪ ] 3, ∞ [.
⎪x − 2 ≠ 1
⎪x ≠ 3
⎩
⎩
Equação :
log x − 2 ( x + 2) 2 = 2 ⇔ (x + 2 )2 = (x − 2)2 ⇔ x 2 + 4 x + 4 = x 2 − 4x + 4 ⇔ 8x = 0 ⇔ x = 0 ∉ D ⇒ S = { }.
Opção (A)
(P 3) Se a > 1 função logaritmo é estritamente crescente, ou seja:
x1 > x2 ⇔ log a x 1 > log a x 2 .
(P 4) Se 0 < a < 1 função logaritmo é estritamente decrescente, ou seja:
x1 > x2 ⇔ log a x1 < log a x 2 .
Ex.5:
log 2 (2 x − 1) ≥ log 2 (5)
Domínio :
2x − 1 > 0 ⇔ x >
1
⎤1
⎡
⇔ D = ⎥ , ∞ ⎢.
2
⎦2
⎣
Equação :
⎤1
⎡
log 2 (2 x − 1) ≥ log 2 (5) ⇔ 2 x − 1 ≥ 5 ⇔ 2x ≥ 6 ⇔ x ≥ 3 ⇒ S = [ 3, ∞ [ ∩ ⎥ , ∞ ⎢ = [ 3, ∞ [.
14444444244444443
2
⎦
⎣
Função Exponencial de base 2 ( Crescente )
Permanece o sin al da desigualdade
Ex.6:
log 1 (x − 1 ) < 2
3
Domínio :
x − 1 > 0 ⇔ x > 1 ⇔ D = ]1, ∞ [.
Equação :
2
1
10
⎛1⎞
⎤ 10
⎡
⎤ 10
⎡
⇒ S = ⎥ , ∞ ⎢ ∩ ]1, ∞ [ = ⎥ , ∞ ⎢
log 1 (x − 1) < 2 ⇔ x − 1 > ⎜ ⎟ ⇔ x − 1 > ⇔ x >
9
9
⎝3⎠
⎦ 9
⎣
⎣
⎦ 9
3 44444244444
14
43
1
( Decrescente )
3
Altera −se o sin al da desigualdade
Função Exponencial de base
Ex.7:
(09) (AFA 2000) Se b = 2 − x
(A)
(B)
(C)
(D)
2
+ x +12
⎛3⎞
⎛5⎞
, então o número de soluções inteiras que satisfaz a inequação logb ⎜ ⎟ < log b ⎜ ⎟ é:
7
⎝4⎠
⎝ ⎠
4
5
6
7.
Solução:
2
2
5 3
5
3
< ⇔ log b < log b ⇔ b > 1 ⇔ 0 < 2 − x + x + 12 > 1 ⇔ 2 − x + x + 12 > 2 0 ⇔ − x 2 + x + 12 > 0 ⇔ −3 < x < 4
1
4
444444244444443
7 44
4 4444
742444
4 4444
1
3
Função Exponencial de base 2 ( Crescente)
anece o sin al da desigualdade
Função log aritmo crescente
⇒ S = ] − 3 , 4 [ ⇒ S ∩ Z = { − 2, − 1, 0, 1, 2, 3 }.
Opção (C)
Obs.: a loga x = x .
Seja y = log x a .
Usando a definição de log aritmo temos y = log a x ⇔ a y = x .
Substituindo o valor de y na última igualdade obtemos a loga x = x.
(P 6) Logaritmo do Produto:
log a xy = log a x + log a y .
Demonstração:
Sejam
⎧⎪x = a m
⎧log a x = m
⇔
⇒ xy = a m a n = a m + n ⇒ xy = a m + n ⇔ log a xy = m + n ⇔
⎨
⎨
n
log
y
=
n
⎪⎩ y = a
a
⎩
log a xy = log a x + log a y.
(P 7) Logaritmo do Quociente:
log a
x
= log a x − log a y .
y
Demonstração:
Sejam
⎧⎪x = a m
⎧log a x = m
x
x am
x
⇔
⇒ = n = a m − n ⇒ = a m − n ⇔ log a = m − n ⇔
⎨
⎨
n
=
log
y
n
y
y
y
a
⎪⎩ y = a
a
⎩
x
log a
= log a x − log a y.
y
(P 8) Logaritmo da Potência:
log a x n = n log a x , n ∈ IR .
Demonstração:
Seja log a x = y , então :
( )
x = ay ⇔ x n = ay
n
⇔xn=a
yn
⇔ log a x n = log a a yn ⇔ log a x n = yn ⇔ log a x n = n log a x .
(P 9) Potência da Base
log a n x =
Demonstração:
Seja log a x = y , então :
( )
x = ay ⇔ x n = ay
n
( )
⇔ x n = an
y
1
log a x , n ∈ IR ∗ .
n
⇔ log a n x n = y ⇔ n log a n x = y ⇔ log a x =
1
log a x .
n
(P 10) Mudança de base
log a b =
log c b
.
log c a
Demonstração:
⎧⎪b = c m
⎧log c b = m
log c b
1
m
⇒ log a b = log c n c m = m log c c =
⇔ log a b =
.
⇔⎨
⎨
n
n
n
log c a
⎪⎩a = c
⎩log c a = n
Definição: O Anti-logaritmo na base a é definido por:
log a x = y ⇔ anti log a y = x .
Ex.8:
log 5 125 = 3 ⇔ anti log 5 3 = 125.
Definição: O Cologaritmo na base a é definido por:
co log a x = − log a x .
Ex.9:
log 3 81 = 4 ⇔ co log 3 81 = − 4.
Ex.10:
(ITA) Considere a equação em x ax+1 = b1/x onde a e b são números reais positivos, tais que ln b = 2ln a > 0. A soma das
soluções da equação é
(A) 0.
(B) –1.
(C) 1.
(D) ln 2.
(E) 2.
Solução:
a x +1 = b
1
x
1
⇔ ln a x +1 = ln b x ⇔ (x + 1) ln a =
1
1
2
ln b ⇔ (x + 1) ln a =
2 ln a ⇔ x + 1 = , pois ln a > 0
x
x
x
⎧x ='1
2
⎪
⇒ Soma = − 1.
⇔ x 2 + x = 2 , x ≠ 0 ⇔ ⎨ou
x
⎪x = −2
⎩
Opção (B)
x +1 =
Ex.11:
(ITA) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação log1/4 (x + 1) = log4 (x – 1). Então:
(A) S é um conjunto unitário e
S ⊂ ] 2, + ∞ [;
(B) S é um conjunto unitário e S ⊂ ] 1, 2 [;
(C) S possui dois elementos distintos e
S ⊂ ] –2, 2 [;
(D) S possui dois elementos distintos e
S ⊂ ] 1, +∞ [;
(E) S é o conjunto vazio.
Solução:
Domíno :
⎧x + 1 > 0
⎧x > − 1
⇔⎨
⇔ D = ] 1, ∞ [
⎨
⎩x − 1 > 0
⎩x > 1
Equação :
log 1 (x + 1) = log 4 (x − 1) ⇔ log 4−1 (x + 1) = log 4 (x − 1) ⇔ − log 4 (x + 1) = log 4 (x − 1) ⇔
4
log 4 (x + 1) + log 4 (x − 1) = 0 ⇔ log 4 (x + 1)(x − 1) = 0 ⇔ log 4
{ }
⇒S=
2 .
Opção (B)
⎧x = 2 ∈ D
⎪
x − 1 = 0 ⇔ x − 1 = 01 ⇔ ⎨ou
⎪
⎩x = − 2 ∉ D
(
2
)
2
Ex.12:
(AFA) Se a função real f é definida por f(x) = log3 (3x + 4) − log3 (2x −1) , então o conjunto de valores de x para os
quais f(x) < 1 é
⎧
7⎫
(A) ⎨x ∈ IR x > ⎬
3⎭
⎩
⎧
1⎫
(B) ⎨x ∈ IR x < ⎬
2⎭
⎩
⎧
1
7⎫
(C) ⎨x ∈ IR x < ou x > ⎬
2
3⎭
⎩
⎧
1
7⎫
(D) ⎨x ∈ IR < x < ⎬
2
3⎭
⎩
Solução:
Domínio :
4
⎧
⎪⎪x > − 3
⎧3x + 4 > 0
1
⎡
⎤1
⇔⎨
⇔ x > ⇔D = ⎥ , ∞ ⎢
⎨
2
x
1
0
−
>
1
2
2
⎣
⎦
⎩
⎪x >
⎪⎩
2
Inequação :
3x + 4
3x + 4
f (x ) < 1 ⇔ log 3 (3x + 4) − log 3 (2 x − 1) < 1 ⇔ log 3
< 1 = log 3 3 ⇔
<3⇔
2x − 1
2x − 1
⎧1
⎪2 > x
⎪
− 3x + 7
3x + 4
1⎡
⎡
⎤ 7
⎡
⎤7
⎤
,∞⎢.
⇒ S = ⎥ −∞ , ⎢ ∪ ⎥ ,∞ ⎢ ∩ D ⇒ S = ⎥
−3<0⇔
< 0 ⇔ ⎨ou
2x − 1
2x − 1
2⎣
⎣
⎦ 3
⎣
⎦3
⎦
⎪
7
⎪ x>
3
⎩
Opção (A)
(13) (AFA) Num certo dia, a temperatura ambiente era de 40°C. A água que fervia em uma panela, cinco minutos
depois de apagado o fogo tinha a temperatura de 70°C. Pela lei de resfriamento de Newton, a diferença de temperatura
D entre um objeto e o meio que o contém é dada por D(t) = D0 . e−a t , em que D0 é a diferença de temperatura no
instante t = 0 e D(t) a diferença num instante t qualquer. Sabendo-se que a temperatura de ebulição da água é de
100°C, ln 2 = 0,7 e ln 5 = 1,6 , pode-se dizer que a água atingirá a temperatura de 46°C:
(A) 10 minutos após o fogo ter sido apagado.
(B) entre 18 e 20 minutos após o fogo ter sido apagado.
(C) exatamente 30 minutos após o fogo ter sido apagado.
(D) aproximadamente 16 minutos após apagado o fogo.
Solução:
⎧⎪D 0 = 100 0 C − 40 0 C = 60 0 C
1
1
1
⇒ D(5) = D 0 e −5a ⇔ 30 = 60 e −5a ⇔ e −5a = ⇔ − 5a = ln
⇔ a = ln 2.
⎨
0
0
0
2
2
5
⎪⎩D(5) = 70 C − 40 C = 30 C
D(t ) = 60 e
t
− ln 2
5
.
t
− ln 2
5
t
− ln 2
1
1
t
t
=e 5
⇔ ln
= − ln 2 ⇔ ln 10 = ln 2 ⇔
10
10
5
5
5 ln 10
ln 2 + ln 5
0,7 + 1,6
t=
=5
=5
⇒ t = 16,42 min ⇒ t = 16 min 26 seg.
ln 2
ln 2
0,7
Opção (D)
D(t 1 ) = 6 ⇒ 6 = 60 e
⇔