MA14 - Aritmética eserved@d = *@let@token Unidade 22 Resumo

MA14 - Aritmética
Unidade 22
Resumo
Aritmética das Classes Residuais
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
Aviso
Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da
disciplina e o seu estudo não garante o domı́nio do assunto.
O material completo a ser estudado encontra-se no
Capı́tulo 11 - Seção 11.3
do livro texto da disciplina:
Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT.
Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela.
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Classes Residuais
As congruências módulo um número natural m > 1 permitem
definir novas aritméticas.
Atualmente, essas aritméticas são a base de quase todos os
procedimentos de cálculo dos computadores e possuem muitas
aplicações na própria matemática e na tecnologia.
Dado um inteiro m > 1, vamos repartir o conjunto Z dos números
inteiros em subconjuntos, onde cada um deles é formado por todos
os números inteiros que possuem o mesmo resto quando divididos
por m. Isto nos dá a seguinte partição de Z:
[0]
[1]
= {x ∈ Z; x ≡ 0 mod m},
= {x ∈ Z; x ≡ 1 mod m},
..
.
[m − 1] = {x ∈ Z; x ≡ m − 1 mod m}.
Paramos em [m − 1], pois tem-se que [m] = [0], [m + 1] = [1], etc.
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O conjunto
[a] = {x ∈ Z ; x ≡ a
mod m}
é chamado de classe residual módulo m do elemento a de Z.
O conjunto de todas as classes residuais módulo m será
representado por Zm . Portanto,
Zm = { [0], [1], . . . , [m − 1] }.
Note que Zm é um conjunto de conjuntos.
Por mais estranho que isto possa parecer, o conjunto Zm tem uma
aritmética própria e tem a vantagem de ser finito, algo muito
desejável em computação.
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Exemplos
Exemplo 1. Seja m = 2. Então,
[0] = {x ∈ Z ; x ≡ 0 mod 2} = {x ∈ Z ; x é par}, e
[1] = {x ∈ Z ; x ≡ 1 mod 2} = {x ∈ Z ; x é ı́mpar}.
Temos também que
[a] = [0]
[a] = [1]
Exemplo 2.
se, e somente se,
se, e somente se,
a é par e
a é ı́mpar.
Seja n = 3. Então
[0] = {3t ; t ∈ Z}
[1] = {3t + 1 ; t ∈ Z}
[2] = {3t + 2 ; t ∈ Z}
Tem-se que

[0]
a ∈ [1]


[2]
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, se a é múltiplo de 3
, se a tem resto 1 quando dividido por 3
, se a tem resto 2 quando dividido por 3.
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Representante de uma classe residual
Dado [x] ∈ Zm , um número inteiro a tal que [x] = [a] será
denominado de representante de [x].
Observe que [x] é determinado por a, mas há infinitos números
inteiros b tais que [x] = [b], pois
qualquer inteiro b ∈ [a] = {a + km; k ∈ Z} é tal que [b] = [a].
Exemplo 3. Se m = 2, então qualquer inteiro par é representante
da classe residual [0] e qualquer inteiro ı́mpar é representante da
classe residual [1].
Assim, 0, 2, 4, 6, −2, −4, −6 são representantes da classe residual
[0], enquanto que 1, 3, 5, −1, −3, −5 são representantes da classe
residual [1].
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Representante de uma classe residual
Exemplo 4. Se m = 3, então
qualquer múltiplo de 3 é representante da classe residual [0].
Temos que
1, 4, 7, 10, etc, são representantes da classe residual [1],
enquanto
2, 5, 8, 11, etc., são representantes da classe residual [2].
Proposição
Para cada a ∈ Z existe um, e somente um, r ∈ Z, com 0 6 r < m,
tal que [a] = [r ].
Corolário
Existem exatamente m classes residuais distintas módulo m, a
saber, [0], [1], . . . , [m − 1].
Uma caracterı́stica importante das classes residuais é que
transformam a congruência a ≡ b mod m na igualdade [a] = [b].
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As Operações de Adição e Multiplicação de Zm
Em Zm podemos definir as seguintes operações:
Adição:
[a] + [b] = [a + b]
Multiplicação:
[a] · [b] = [a · b]
Note que, tendo sido definidas estas operações usando os
representantes a e b para as classes residuais [a] e [b],
respectivamente, temos que verificar que ao mudarmos os
representantes das classes [a] e [b], não mudam os valores de
[a + b] e de [a · b].
Para verificar que isto acontece, basta notar que
se a ≡ a0 mod m e b ≡ b 0 mod m, então
[a + b] = [a0 + b 0 ] e
[a · b] = [a0 · b 0 ],
o que se segue diretamente dos itens (i) e (ii) da Proposição 9.3
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Propriedades das Operações de Zm
As operações que acabamos de definir, gozam das seguintes
propriedades:
Propriedades da Adição
Para todos [a], [b], [c] ∈ Zm , temos
A1 ) Associatividade ([a] + [b]) + [c] = [a] + ([b] + [c]);
A2 ) Comutatividade [a] + [b] = [b] + [a];
A3 ) Existência de zero [a] + [0] = [a] para todo [a] ∈ Zm ;
A4 ) Existência de simétrico [a] + [−a] = [0].
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Propriedades das Operações de Zm
Propriedades da Multiplicação
Para todos [a], [b], [c] ∈ Zm , temos
M1 ) Associatividade ([a] · [b]) · [c] = [a] · ([b] · [c]);
M2 ) Comutatividade [a] · [b] = [b] · [a];
M3 ) Existência de unidade [a] · [1] = [a].
AM) Distributividade [a] · ([b] + [c]) = [a] · [b] + [a] · [c].
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Recorde que, no Capı́tulo 1, chamamos de anel a todo conjunto
munido de uma operação de “adição” e de uma operação de
“multiplicação” com as propriedades acima.
Portanto, Zm , com as operações acima, é um anel, chamado anel
das classes residuais módulo m, ou anel dos inteiros módulo m.
Um elemento [a] ∈ Zm será dito invertı́vel, quando existir [b] ∈ Zm
tal que [a][b] = 1. Neste caso, diremos que [b] é o inverso de [a].
Exemplo 5. Em Z7 temos, pela definição da multiplicação, que
[2][4] = [8] = [1] [5][3] = [15] = [1]
e
[6][6] = [36] = [1],
logo
[4] é o inverso de [2], [3] é o inverso de [5] e [6] é o inverso de [6].
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Tabuada de Z2
As tabelas da adição e da multiplicação em Z2 = {[0], [1]} são
+
[0]
[1]
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[0]
[0]
[1]
[1]
[1]
[0]
·
[0]
[1]
[0]
[0]
[0]
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[1]
[0]
[1]
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Tabuada de Z3
As tabelas da adição e da multiplicação em Z3 = {[0], [1], [2]} são
+
[0]
[1]
[2]
[0]
[0]
[1]
[2]
[1]
[1]
[2]
[0]
[2]
[2]
[0]
[1]
·
[0]
[1]
[2]
[0]
[0]
[0]
[0]
[1]
[0]
[1]
[2]
[2]
[0]
[2]
[1]
Note que todo elemento não nulo de Z3 é invertı́vel pois, pela
definição da multiplicação,
[1][1] = [1] e [2][2] = [4] = [1].
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Tabuada de Z4
Em Z4 = {[0], [1], [2], [3]} temos
+
[0]
[1]
[2]
[3]
[0]
[0]
[1]
[2]
[3]
[1]
[1]
[2]
[3]
[0]
[2]
[2]
[3]
[0]
[1]
[3]
[3]
[0]
[1]
[2]
·
[0]
[1]
[2]
[3]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[1]
[0]
[1]
[2]
[3]
[2]
[0]
[2]
[0]
[2]
[3]
[0]
[3]
[2]
[1]
É interessante notar que em Z4 existem dois elementos não nulos
cujo produto é nulo: [2] 6= [0] e, no entanto, [2] · [2] = [4] = [0].
Os elementos [1] e [3] são invertı́veis em Z4 pois, pela definição da
multiplicação,
[1][1] = [1] e [3][3] = [9] = [1].
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Tabuada de Z5
Em Z5 = {[0], [1], [2], [3], [4]} temos
+
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[0]
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[1]
[1]
[2]
[3]
[4]
[0]
[2]
[2]
[3]
[4]
[0]
[1]
[3]
[3]
[4]
[0]
[1]
[2]
[4]
[4]
[0]
[1]
[2]
[3]
·
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[0]
[1]
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[2]
[0]
[2]
[4]
[1]
[3]
[3]
[0]
[3]
[1]
[4]
[2]
[4]
[0]
[4]
[3]
[2]
[1]
Note que todo elemento não nulo de Z5 é invertı́vel, pois
[1][1] = [1], [2][3] = [1] e [4][4] = [1].
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Note que em Z2 , Z3 e Z5 , todo elemento distinto de [0] é
invertı́vel.
Mas isto não ocorre em todos os Zm . Por exemplo, em Z4 temos
que [2] não é invertı́vel.
Um anel onde todo elemento não nulo possui um inverso
multiplicativo é chamado de corpo.
Portanto, Z2 , Z3 e Z5 , com as operações acima definidas, são
corpos; mas Z4 não é um corpo.
As classes residuais permitem resolver as congruências do seguinte
modo:
Resolver uma congruência aX ≡ b mod m se reduz a resolver em
Zm a seguinte equação:
[a]Z = [b].
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Exemplo 6.
Resolver a congruência 4X ≡ 3 mod 5 equivale a resolver em Z5 a
equação
[4]Z = [3].
(1)
Pela definição da multiplicação de Z5 , temos que
[4] · [4] = [16] = [1].
Logo, [4] é invertı́vel em Z5 com inverso [4].
Portanto, multiplicando ambos os membros da equação (1) por [4]
obtemos
[1]Z = [4][4]Z = [4][3] = [2].
Portanto, Z = [2], o que nos diz que as soluções de (1) são
x = 2 + t5, onde t ∈ Z.
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Vemos, portanto, a importância de saber se um determinado
elemento de Zm é invertı́vel. Esses elementos serão caracterizados
a seguir.
Proposição
Um elemento [a] ∈ Zm é invertı́vel se, e somente se, (a, m) = 1.
Corolário
Zm é um corpo se, e somente se, m é primo.
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