MA14 - Aritmética .2cm Unidade 2 .5cm Aplicação da Indução

MA14 - Aritmética
Unidade 2
Aplicação da Indução
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
Aviso
Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da
disciplina e o seu estudo não garante o domı́nio do assunto.
O material completo a ser estudado encontra-se no
Capı́tulo 2
do livro texto da disciplina:
Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT.
Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela.
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Definição por Recorrência
Para definir uma expressão En , para todo n ∈ N com n > a, basta
definirmos Ea e mostrar como obter En+1 a partir de En , para todo
n ∈ N com n > a.
De fato, consideremos a sentença aberta
p(n) : En está definido
e provemos, por indução matemática, que p(n) é verdadeiro para
todo n ∈ N com n > a.
Temos, por construção dos En , que p(a) é verdadeiro e que, para
todo n ∈ N, com n > a, p(n) =⇒ p(n + 1) é também
verdadeiro. Logo, pelo Princı́pio de Indução Matemática, temos
que p(n) é verdadeiro para todo n ∈ N com n > a.
Nesse caso, dizemos que En foi definido por recorrência.
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Exemplo 1 Seja (an ) uma sequência de elementos de um conjunto
munido de duas operações sujeitas às leis básicas da aritmética.
Para dar sentido às somas
Sn = a1 + a2 + · · · + an ,
basta pôr S1 = a1 e, supondo Sn definido, definir
Sn+1 = Sn + an+1 .
Somas como Sn serão também denotadas com a notação de
somatórios:
n
X
Sn =
ai .
i=1
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Exemplo 2 Define-se o fatorial de um número inteiro n > 0,
denotado por n!, por recorrência, pondo 0! = 1! = 1 e supondo n!
definido, definindo para n > 1
(n + 1)! = n! · (n + 1).
Exemplo 3 Seja a um elemento de um conjunto A munido de duas
operações sujeitas às leis básicas da aritmética. Vamos definir as
potências an com n inteiro, n > 0, por recorrência.
Ponhamos a1 = a e a0 = 1, se a 6= 0. Supondo an definido, defina
an+1 = an · a.
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Binômio de Newton
Considere a expressão (1 + X )n , onde X é uma indeterminada e n
é um número natural. É claro que o desenvolvimento dessa
potência é um polinômio de grau n em X cujos coeficientes são
números naturais:
(1 + X )n = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an−1 X n−1 + an X n .
O coeficiente
ai , i = 0, . . . , n, será denotado pelo sı́mbolo
ai =
n
i
e será chamado de número binomial.
Observe que, tomando X = 1 no desenvolvimento de (1 + X )n ,
obtemos a chamada identidade das linhas:
n
n
n
2 =
+
+ ··· +
.
0
1
n
n
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Como os coeficientes do termo independente de X e do termo em
X n no desenvolvimento de (1 + X )n são, respectivamente, 1 e 1,
temos que
n
n
=
=1
0
n
n
Se i > n, é cômodo definir
= 0.
i
Relação de Stifel Para todo n ∈ N e todo i ∈ N ∪ {0}, tem-se que
n
n
n+1
+
=
.
i
i +1
i +1
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Demonstração Para i > n, a relação acima é trivialmente
verificada. Para 0 6 i < n, as relações decorrem, imediatamente,
das seguintes identidades de polinômios:
n+1
n+1
n+1
n+1
+
X + ··· +
Xn +
X n+1 =
0
1
n
n+1
n
n
n
n
n+1
n−1
X + ··· +
X
+
Xn =
(1+X )
= (1+X )
+
0
1
n−1
n
n
n
n
n
n
n
+
+
X + ··· +
+
Xn +
X n+1 .
0
0
1
n−1
n
n
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Por indução prova-se facilmente que
n
i!
= n(n − 1) · · · (n − i + 1).
i
Segue-se daı́ que, para n, i ∈ N com 1 6 i 6 n, vale a seguinte
fórmula para os coeficientes binomiais:
n
n(n − 1) · · · (n − i + 1)
n!
=
=
.
i
i!
i!(n − i)!
Note que os termos extremos nas igualdades acima têm sentido e
são iguais quando i = 0.
Da fórmula acima, decorre imediatamente, para todo n ∈ N e todo
i com 0 6 i 6 n, a seguinte identidade fundamental:
n
n
=
.
i
n−i
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Binômio de Newton
Teorema Sejam a e b números reais e seja n ∈ N. Tem-se que
(a + b)n = an +
n n−1
n n−2 2
n
a b+
a b + ··· +
ab n−1 + b n .
1
2
n−1
Demonstração Se b = 0, o resultado é óbvio. Se b 6= 0, substitua
a
na expansão de (1 + X )n e multiplique ambos os lados
X por
b
por b n .
Corolário Sejam a e b números reais e seja n ∈ N. Tem-se que
n n−1
n n−2 2
n
(a−b)n = an −
a b+
a b +· · ·+(−1)n−1
ab n−1 +(−1)n b n .
1
2
n−1
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Exemplos
(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 ;
(a − b)2 = a2 − 2ab + b 2 ;
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab 2 + b 3 ;
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab 2 − b 3 ;
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b 2 + 4ab 3 + b 4 ;
(a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b 2 − 4ab 3 + b 4 .
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