gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU
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LISTA DE POLIEDROS – 2011- GABARITO
1) Observando a figuras e simplesmente contando, determine o número de faces, arestas e o vértices dos
poliedros convexos mostrados. Verifique se satisfazem a relação de Euler.
Solução. Pela contagem direta e testando a relação A + 2 = V + F, temos:
19 faces
a) Poliedro 1 : 37 arestas  É euleriano ?37  2  20  19 .
20 vértices

Sim
16 faces
b) Poliedro 2 : 27 arestas  É euleriano ?27  2  13  16 .
Sim
13 vértices

2) Determine qual é o poliedro convexo e fechado que tem 6 vértices e 12 arestas.
Solução. Pela relação de Euler, temos: 12 + 2 = 6 + F  F = 14 – 6 = 8. Octaedro.
3) Determine o nº de vértices de dodecaedro convexo que tem 20 arestas.
Solução. O dodecaedro possui 12 faces. Pela relação de Euler, temos: 20 + 2 = V + 12  V = 22 – 12 = 10.
4) Determine a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo e fechado
que tem 6 vértices.
Solução. A fórmula que associa o número de vértices e a soma dos ângulos internos de todas as faces de
um poliedro convexo é: S = (V – 2).360º. Logo, S = (6 – 2).360º = (4).(360º) = 1440º.
5) Determine a soma das medidas dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo e fechado
que tem 10 faces triangulares e 2 faces quadrangulares.
Solução. Cada face triangular possui soma dos ângulos internos igual a 180º. Cada face quadrangular
possui soma dos ângulos internos iguais a 360º.
Logo a soma total será: 10(180º) + 2(360º) = 1800º + 720º = 2520º.
6) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado que tem 5 ângulos tetraédricos e 6
ângulos triédricos.
Solução. Nos ângulos tetraédricos concorrem quatro arestas e nos triédricos, três arestas. Utilizando a
fórmula que calcula o número de arestas com esses dados e a relação de Euler, temos:
5( 4)  6(3) 20  18 38



 19
A 
 19  2  11  F  F  21  11  10 .
2
2
2


V  5  6  11
7) Determine o número de faces de um poliedro convexo e fechado, sabendo que o nº de arestas excede o
número de vértices de 6 unidades.
Solução. De acordo com as informações, A = V + 6. Pela relação de Euler, vem: (V + 6) + 2 = V + F 
 F = V + 6 + 2 – V = 8.
8) Quantas faces possui um poliedro convexo e fechado tem 8 ângulos tetraédricos e 1 ângulo hexaédrico?
Solução. Nos ângulos tetraédricos concorrem quatro arestas e nos hexaédricos, seis arestas.
Utilizando a fórmula que calcula o número de arestas com esses dados e a relação de Euler, temos:
8( 4)  1(6) 32  6 38



 19
A 
 19  2  9  F  F  21  9  12 .
2
2
2


V  8  1  9
9) Quantas faces possui um poliedro convexo e fechado tem 7 vértices e 15 arestas?
Solução. Pela relação de Euler, temos: 15 + 2 = 7 + F  F = 17 – 7 = 10.
10) Determine o nº de vértices de um poliedro convexo que tem 8 faces hexagonais, 6 faces octogonais e 12
faces quadrangulares.
Solução. Utilizando a fórmula que calcula o número de arestas com esses dados e a relação de Euler,
temos:
8(6)  6(8)  12( 4) 48  48  48 144



 72
A 
 72  2  V  26  V  74  26  48 .
2
2
2


F  8  6  12  26
11) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o número
de faces quadrangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 24 arestas e 13 vértices, e que o número de
faces quadrangulares é igual ao nº de faces triangulares.
Solução. Considerando x, y e z os números, respectivamente, de faces triangulares, quadrangulares e
hexagonais, temos que x = y. Além disso, pela relação de Euler, F = 24 + 2 – 13 = 13.
x(3)  y( 4)  z(6)
3 x  4 y  6z


 24
3x  4 x  6z  48
7 x  6z  48
A 



2
2

x

x

z

13

2x  z  13  ( 6) .
F  x  y  z
7 x  6z  48

 5 x  30  x  6. Logo, y(quandrangu lares )  6
 12x  6z  78
12) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o número
de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem 25 arestas e 14 vértices, e que o nº de faces
quadrangulares é o dobro do nº de faces triangulares.
Solução. Considerando x, y e z os números, respectivamente, de faces triangulares, quadrangulares e
hexagonais, temos que y = 2x. Além disso, pela relação de Euler, F = 25 + 2 – 14 = 13.
x(3)  y( 4)  z(6)
3 x  4 y  6z


 25
3 x  4(2x )  6z  50
11x  6z  50
A 



2
2

x  (2x )  z  13
3 x  z  13  ( 6)
F  x  y  z
.
11x  6z  50

 7 x  28  x  4. Logo, y  2( 4)  8  z(hexagonais )  13  ( 4  8)  1
 18 x  6z  78
13) Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. Determine o número
de faces triangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 19 arestas e 11 vértices, e que o nº de faces
quadrangulares é o dobro do nº de faces pentagonais.
Solução. Considerando x, y e z os números, respectivamente, de faces triangulares, quadrangulares e
pentagonais, temos que y = 2z. Além disso, pela relação de Euler, F = 19 + 2 – 11 = 10.
x(3)  y( 4)  z(5)
3 x  4 y  5z


 19
3 x  4(2z)  5z  38
3 x  13z  38
A 



2
2

x  (2z)  z  10
x  3z  10  ( 3) .
F  x  y  z
3 x  13z  38

 4z  8  z  2. Logo, y  2(2)  4  x( triangular es)  10  (2  4)  4
 3 x  9z  30
14) Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices só possui faces triangulares e quadrangulares.
Determine o número de faces de cada gênero.
Solução. Considere x e y os números, respectivamente, de faces triangulares, quadrangulares. Além
disso, pela relação de Euler, F = 20 + 2 – 10 = 12.
x(3)  y( 4)
3x  4y


 20
3 x  4 y  40
3 x  4 y  40
A 


 y  4. Logo, x  8. .
2
2

x  y  12  ( 3)
 3 x  3 y  36
F  x  y
R : 8 faces triangular es e 4 faces quadrangul ares
15) Um poliedro convexo é formado por 10 faces triangulares e 10 faces pentagonais. Qual o número de
diagonais deste poliedro?
Solução. Para calcular o número de diagonais é necessário saber o número de vértices. Pelas informações
temos F = 10 + 10 = 20 e A 
10(3)  10(5)
30  50

 40 . Logo, V = 40 + 2 – 20 = 22.
2
2
Diagonais do poliedro são os segmentos que ligam os vértices, mas não são arestas, nem diagonais das
faces.
Diagonais da face são os segmentos que ligam os vértices, mas não são lados.
C 222 
i) Total de ligações entre dois vértices:
22!
22  21 20! 22  21


 (11)( 21)  231
2!20!
2!20!
2!
.
ii) Total das diagonais das 10 faces triangulares: 10(0)  0  não há. .
iii) Total das diagonais das faces pentagonais: 10 5!  5   10 5  4  3!  5   10 5  4  5   (10).( 5)  50 .
 2!3!

 2!3!

 2!

Logo, o total de diagonais do poliedro será: 231 – (40 + 50) = 231 – 90 = 141.