Física 1 Mecânica Instituto de Física

Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Cinemática - 3D
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(Vetores)
Física 1
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Outline
1
Grandezas da Cinemática 3D
2
Lançamento de Projéteis
3
Movimento Circular
4
Movimento Relativo
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(Vetores)
Física 1
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Cinemática 3D
Estudamos os conceitos de posição, velocidade, aceleração,
deslocamento em 1 dimensão.
Vamos estender esses conceitos para o caso mais comum que são
os movimentos em 2 e 3 dimensões.
Trajetória da partícula
Atenção: Não confunda o
gráfico da trajetória (y x ) com
o gráfico da função horária
(x t ou y t )
r1 e r2 são os vetores posição nos instantes t1 e t2
O movimento da partícula será dado pelo vetor posição em
qualquer instante de tempo, ou seja, r t .
(Vetores)
Física 1
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3 / 58
Vimos que um vetor pode ser escrito em termos das suas
componentes:
r t
x t
y t
z t k
Alguns problemas de 3 dimensões podem ser “reduzidos” ao
tratamento de 3 movimentos unidimensionais independentes.
Ex: x t
10 t
y t
20 5 t 2 e z t
0
Esse movimento é do tipo chamado parabólico, pois sua
trajetória é uma parábola.
r t
10t
20
5t 2
Ex: x t
5 cos 2t
y t
5sen 2t e z t
4t
Esse movimento é do tipo chamado helicoidal, pois sua trajetória
é uma hélice.
r t
5 cos 2t
5sen 2t
4t k
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(Vetores)
Física 1
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Velocidade Média
Definimos o vetor deslocamento da partícula para ir do ponto
P1 até o ponto P2 :
r
r t2
r t1
x2
x1
y2
y1
z2
z1 k
Definimos o vetor velocidade média
vm t1 t2
r
t
r2
t2
r1
t1
x
t
y
t
vmx
vmy
Note que a direção do vetor velocidade média é a mesma do vetor
deslocamento.
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(Vetores)
Física 1
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Velocidade Instantânea
Ao considerarmos o limite da vm quando
vetor velocidade instantânea:
v t
lim
t
0
r
t
lim
t
r t
0
t
t
0 obtemos o
r t
t
dr
dt
o vetor velocidade instantânea é sempre tangente à
trajetória na posição em que está a partícula e no sentido
do movimento
Escrevendo em termos de suas componentes:
v t
dr
dt
dx
dt
dy
dt
vx
vy
dz
k
dt
ah
vz
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(Vetores)
Física 1
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Exemplo
Dada uma partícula que realiza um movimento parabólico de
acordo com a função:
r t
10 t
5t 2
20
x t
y t
Determine o vetor velocidade dessa partícula:
7/ 67
(Vetores)
Física 1
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Exemplo
Dada uma partícula que realiza um movimento parabólico de
acordo com a função:
10 t
r t
5t 2
20
x t
y t
Determine o vetor velocidade dessa partícula:
v t
10
10t
Determine a trajetória da partícula, ou seja, determine y x
8/ 67
(Vetores)
Física 1
7 / 58
Exemplo
Dada uma partícula que realiza um movimento parabólico de
acordo com a função:
10 t
r t
5t 2
20
x t
y t
Determine o vetor velocidade dessa partícula:
v t
10
10t
Determine a trajetória da partícula, ou seja, determine y x
x
y
20
5
x2
100
10 t
t
20
x
10
0 05x 2
/
parabola
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(Vetores)
Física 1
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Aceleração Média
O vetor aceleração média em um intervalo de tempo é definido
como a variação da velocidade neste intervalo.
am
v
t
v2
t2
v1
t1
Qual a direção do vetor am ?
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(Vetores)
Física 1
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Aceleração Média
O vetor aceleração média em um intervalo de tempo é definido
como a variação da velocidade neste intervalo.
am
Por definição, o vetor am
velocidade:
v
v2 v1
t
t2 t1
tem a mesma direção da variação da
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(Vetores)
Física 1
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Aceleração Instantânea
A aceleração instantânea é definida como
a t
a t
a t
dv
dt
dvx
dt
dvy
dt
dvz
k
dt
d 2r
dt 2
d 2x
dt 2
d 2y
dt 2
d 2z
k
dt 2
ax t
ay t
az t k
A aceleração instantânea aponta sempre para a
concavidade da trajetória, ou é tangente à ela no caso
particular da trajetória ser retilínea.
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(Vetores)
Física 1
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Aceleração Instantânea
Em um movimento retilíneo, a velocidade pode mudar apenas em
módulo e sentido, e nesse caso a aceleração tem sempre a mesma
direção do vetor velocidade.
Se o movimento é curvo, a velocidade necessariamente muda de
direção e a aceleração nunca pode ser nula. Podemos
decompor o vetor aceleração em duas componentes, uma
tangente à trajetória e outra perpendicular a esta. Se o módulo
da velocidade for constante, só teremos a componente que aponta
para o centro.
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(Vetores)
Física 1
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Exercício
A função horária vetorial de uma partícula é
r t
5
t2
2t 3
3t 2 k
Determine a velocidade e a aceleração da partícula
(i) em um instante arbitrário;
(ii) no instante t 0;
(iii) no instante t 1 0 s.
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(Vetores)
Física 1
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Lançamento de Projéteis
Um tipo de movimento bem comum na natureza é o chamado
lançamento de projéteis. Ele é caracterizado por lançarmos
um objeto perto da superfície da Terra, de forma que podemos
considerar a Terra plana, desprezar a resistência do ar e termos o
vetor aceleração constante, apontando para baixo e de módulo
g 9 8 m/s2 .
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(Vetores)
Física 1
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Uma partícula é lançada das coordenadas iniciais x0 y0 , com
velocidade inicial v0 que faz um ângulo com a direção horizontal
r0
v0
x0
v0x
y0
v0y
v0 cos
v0 sen
(1)
Queremos determinar o vetor posição e o vetor velocidade em
qualquer instante de tempo.
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(Vetores)
Física 1
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Podemos decompor o movimento em duas direções x e y e
tratá-las independentemente:
Como a
g , temos:
No eixo x :
ax 0 ‹
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(Vetores)
Física 1
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Podemos decompor o movimento em duas direções x e y e
tratá-las independentemente:
Como a
g , temos:
No eixo x :
ax 0 ‹ MU ‹ vx v0x constante, x x0 v0x t
No eixo y:
ay
g ‹
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(Vetores)
Física 1
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Podemos decompor o movimento em duas direções x e y e
tratá-las independentemente:
Como a
g , temos:
No eixo x :
ax 0 ‹ MU ‹ vx v0x constante, x x0 v0x t
No eixo y:
ay
g ‹ MUV ‹ y
y0
v0y t
1
g
2
t2 ,
vy
v0y
gt
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(Vetores)
Física 1
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Podemos decompor o movimento em duas direções x e y e
tratá-las independentemente:
Como a
g , temos:
No eixo x :
ax 0 ‹ MU ‹ vx v0x constante, x x0 v0x t
No eixo y:
ay
g ‹ MUV ‹ y y0 v0y t 12 g t 2 , vy v0y g t
Voltamos agora a “juntar” os dois movimentos escrevendo o
vetor posição :
r t
x0
r t
v0x t
r0
y0
v0y t
v0 t
1
gt 2
2
gt
v t
1 2
gt
2
e o vetor velocidade:
v t
vx 0
vy0
v0
gt
Equações fundamentais do lançamento de projéteis
(Vetores)
Física 1
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Trajetória de projéteis
Qual a trajetória da partícula?
x
x0
v0x t
t
v0y
x x0
v0x
que é a equação de uma parábola
y
y0
x
g
2 x
2v0x
x0
v0x
x0
2
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(Vetores)
Física 1
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Altura Máxima, Alcance
Podemos calcular algumas grandezas características:
Qual a altura máxima H atingida pelo projétil?
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(Vetores)
Física 1
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Altura Máxima, Alcance
Podemos calcular algumas grandezas características:
Qual a altura máxima H atingida pelo projétil?
v02 sen 2
v0 sen
Neste ponto vy 0 ‹ tH
‹
H
g
2g
Qual o alcance A do projétil?
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(Vetores)
Física 1
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Altura Máxima, Alcance
Podemos calcular algumas grandezas características:
Qual a altura máxima H atingida pelo projétil?
v02 sen 2
v0 sen
Neste ponto vy 0 ‹ tH
‹
H
g
2g
Qual o alcance A do projétil? A: distância horizontal quando
o projétil volta à altura de lançamento.
v02 sen2
Neste ponto y 0 ‹ tA 2v0 sen
2tH ‹ A
g
g
A trajetória é simétrica em relação à reta vertical que passa pelo
ponto de altura máxima. Amax ocorre quando
45
Qual a velocidade com que o projétil atinge o solo?
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(Vetores)
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Altura Máxima, Alcance
Podemos calcular algumas grandezas características:
Qual a altura máxima H atingida pelo projétil?
v02 sen 2
v0 sen
Neste ponto vy 0 ‹ tH
‹
H
g
2g
Qual o alcance A do projétil? A: distância horizontal quando
o projétil volta à altura de lançamento.
v02 sen2
Neste ponto y 0 ‹ tA 2v0 sen
2tH ‹ A
g
g
A trajetória é simétrica em relação à reta vertical que passa pelo
ponto de altura máxima. Amax ocorre quando
45
Qual a velocidade com que o projétil atinge o solo?
vy v0 sen
gtA
v0 sen
vx v0 cos ‹ v v0x
v0y
Ele só difere da velocidade inicial pela inversão da componente
vertical, o que vale para qualquer plano
(Vetores)
Física 1
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Use estas fórmulas com moderação
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(Vetores)
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Independência dos movimentos
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(Vetores)
Física 1
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Exercícios
Halliday. Um pacote de suprimentos é solto por um avião que
está a 100m acima do solo e que voa a uma velocidade de 40 m/s.
(a) Por quanto tempo o pacote ficou no
ar?
R: 4.52s
(b) A que distância horizontal a partir da
origem o pacote atingiu o solo?
R: 181m
(c) qual a velocidade do pacote ao atingir
o solo?
R: v 40m s
44 3m s
(d) em que posição está o avião quando o
pacote atinge o solo?
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(Vetores)
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(Vetores)
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Halliday. Uma pedra é lançada do topo de um prédio, com um
ângulo de 30 acima da horizontal com uma velocidade de
módulo 20m/s. A altura do prédio é de 45m.
(a) Quanto tempo a pedra levou para
atingir o solo?
R: 4.22s
(b) A que distância horizontal a partir da
origem a pedra atinge o solo?
R: 73m
(c) qual a velocidade da pedra ao atingir o
solo?
R: v 17 3m s
31 4m s
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(Vetores)
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(Vetores)
Física 1
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Movimento Circular
Movimento Circular (MC) de uma partícula é caracterizado por
sua trajetória ser um círculo (ou arco de círculo). Queremos
caracterizar as velocidades e acelerações possíveis nesse
movimento.
Um caso particular de MC é o movimento circular uniforme
(MCU) em que a partícula percorre arcos iguais em intervalos
de tempos iguais.
Exemplos: ponteiros de um relógio, movimento da lua, um ponto
em um disco girando
Atenção: o nome uniforme pode levar à uma interpretação
errada: O que é constante é o módulo da velocidade, mas
como a trajetória é curva, sua direção varia, e portanto a
aceleração nunca é nula.
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(Vetores)
Física 1
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Movimento Circular Uniforme
Como o módulo de v não muda, aT
componente radial (ou centrípeta).
0 e temos apenas a
Como os dois triângulos são semelhantes (isósceles e de mesmo
ângulo):
v
v
s
r
v
v
s
r
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(Vetores)
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Movimento Circular Uniforme
O módulo da aceleração média é
v
am
t
A aceleração instantânea é
v
r
s
t
v s
v
s
lim
t 0 r
t
r t 0 t
portanto, no MCU a aceleração é centrípeta, de módulo:
a
lim
ac
e na forma vetorial:
v2
r
v2
r
r
onde r é o vetor unitário na direção radial, apontando para fora
37/ 67
da circunferência.
a
(Vetores)
Física 1
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Período
Uma outra definição importante é o período T do movimento,
que é o tempo que a partícula leva para dar uma volta completa.
No caso em que a trajetória é um círculo completo:
2 r
2 r
v
v
T
e podemos expressar a aceleração centrípeta como
T
ac
4
2
R T2
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(Vetores)
Física 1
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Movimento Circular Geral
No movimento circular mais geral (sem ser uniforme) temos
também uma componente tangencial da aceleração, que está
ligada à variação do módulo da velocidade.
arad
v2
R
atan
dv
dt
MC
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(Vetores)
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Relação entre velocidade e aceleração
Não existe uma relação fixa entre velocidade e aceleração
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(Vetores)
Física 1
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Exercícios
Halliday 68. Uma roda gigante tem um raio de 15m e completa 5
voltas em torno do seu eixo horizontal a cada minuto. Qual a
aceleração de um passageiro no ponto mais alto? e no ponto mais
baixo?
Halliday 72. Um menino gira uma pedra em uma circunferência
de 1,5 m de raio, localizada em um plano horizontal a 2m acima
do solo por meio de um fio. Suponha que o fio arrebente e a
pedra seja atirada horizontalmente, atingindo o chão a 10m de
distância. Qual era a aceleração radial da pedra enquanto estava
em movimento circular uniforme?
Moysés 19. Com que velocidade linear estamos nos movendo
devido à rotação da Terra em torno do seu eixo, se estivermos na
Linha do Equador? Qual seria a nossa aceleração centrípeta?
Exprima essa aceleração como um percentual de g. Raio da
Terra = 6.37 106 m.
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(Vetores)
Física 1
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Uma roda gigante tem um raio de 15m e completa 5 voltas em
torno do seu eixo horizontal a cada minuto. Qual a aceleração de
um passageiro no ponto mais alto? e no ponto mais baixo?
R
15mV
=
5
=
2¥
×
=
7, 8
Mls
o
1
oil
=
¥
=
7¥
=
4.im/i
or
42/ 67
(Vetores)
Física 1
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Um menino gira uma pedra em uma circunferência de 1,5 m de
raio, localizada em um plano horizontal a 2m acima do solo por
meio de um fio. Suponha que o fio arrebente e a pedra seja
atirada horizontalmente, atingindo o chão a 10m de distância.
Qual era a aceleração radial da pedra enquanto estava em
movimento circular uniforme?
^
2.0$
=/
µ
R=
115
-
ion
{
k=
vent
shot
ptryt
7-
±gt2
.
645
1.5=6
15,6
64
110
0=2
tt
'
ztgt
-
t=°
z#
=
,
9,8
=lGsm/s2
0
=
Jon
A
=
l±
R
(Vetores)
Física 1
.
o
x
u
=
-
.
Is
2
=
1.5
43/ 67
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Com que velocidade linear estamos nos movendo devido à
rotação da Terra em torno do seu eixo, se estivermos na Linha do
Equador? Qual seria a nossa aceleração centrípeta? Exprima essa
aceleração como um percentual de g. Raio da Terra = 6.37
106 m.
V
=
V
=
2
Rf
IT
6
2T
T
37
,
×
24
=
106
=
×
463
-
24
=
g-
a
g(Vetores)
=
Goo
mls
3600
×
2
A
3
=
3.3×152
3q÷×'
52
-
=
ls2
0.003g
=
0.37
.
g
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Física 1
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Movimento Relativo
Pergunta: Uma pessoa se move com velocidade v = 1 m/s ao
longo do corredor de um trem, o qual se move com v = 3 m/s.
Qual a velocidade da pessoa? R: Depende...
Para descrever um movimento precisamos definir um referencial.
Neste caso o referencial mais simples é o que se move junto com o
trem, e podemos descrever o movimento do trem em relação à
Terra e compor os dois movimentos.
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(Vetores)
Física 1
36 / 58
Movimento Relativo
Temos um objeto P que se move em relação a um referencial B e
queremos descrever seu movimento em relação a um referencial
A, supondo que B se move com velocidade constante em
relação a A
rP
A
rP
B
rB
A
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(Vetores)
Física 1
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rP
rP
A
B
rB
A
Essa equação vetorial é equivalente às três equações escalares:
xP A xP B xB A , yP A yP B yB A e zP A zP B zB A
Sendo vP A a velocidade de P em relação a A, vP B a velocidade
de P em relação a B , e vB A a velocidade do referencial B
relativa ao referencial A, obtemos
vP
AT a
vP
A
=
B
ago
@
vB
rate
A
Essa equação é equivalente às três equações escalares:
vP Ax
vP Bx vB Ax , vP Ay vP By vB Ay e
vP Az vP Bz vB Az
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(Vetores)
Física 1
38 / 58
Exercícios
Halliday 2.73 Um barco está navegando rio acima, a 14km/h em
relação à água do rio. A velocidade da água em relação ao solo é
9km/h. (a) Qual a velocidade do barco em relação ao solo? (b)
uma criança no barco caminha da proa
para a popa
a 6km/h em
ties
frente
relação ao barco. Qual a velocidade da criança em relação ao
solo?
48/ 67
(Vetores)
Física 1
39 / 58
-
>
>
-
>
-
VBR
VRT
Two
Tsn
A) VB ,
=
=
Top
14
=
-
9
=
÷
acima
km/h
5
honor
ze
No
.
i
-2
b)
eico
o
i
9km/h
-
lhendo
enpontanoo
=
14km/h
=
Trt
+
me
.
=
-
It
1
=
km/h
-
Irs
+
Jia
6
+5
=
-
Tat
+
-
rented
1
a
de
ales
a
do
do
Ny
,
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(Vetores)
Física 1
40 / 58
Exercícios
Halliday 2.80 A chuva cai verticalmente com velocidade constante
de 8,0 m/s. O motorista de um carro, viajando em linha reta
numa estrada com a velocidade de 50km/h, vê os pingos caírem
formando um ângulo com a vertical. Qual é este ângulo?
50/ 67
(Vetores)
Física 1
41 / 58
To
•
Td
=
,
Tat
+
Yt
↳
-
f
za
Yan
-
8
wing
=
Fa
-
=
Tax
>
-
=
+
13.8
13.8
°
:
a
8
+
j
mb
¥0
-
'T
to
tgl
O
=
mtsi
13.8
=
:
y
in
13.8
+
^
mlsj
Tat
TI
.
so
en
8
=
.
13.8
=
I
=p
,
>
AT
(
:p
,
60°
51/ 67
(Vetores)
Física 1
42 / 58
Exercícios
Halliday 2.83 Um trem viaja para o sul a 30 m/s em relação ao
solo sob uma chuva que o vento impele para o sul. A trajetória
de cada pingo de chuva forma um ângulo de 21,6 com a vertical
quando medido por um observador parado na Terra. Um
passageiro sentado no trem vê, no entanto, traços verticais.
Determine a velocidade da chuva em relação à Terra.
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(Vetores)
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(Vetores)
Física 1
44 / 58
Exercícios
Um barco parte de uma margem de um rio, direcionando o barco
na direção Norte. Sua velocidade em relação à água é de
10 km/h, e o rio tem uma velocidade de 5 km/h em relação à
Terra. Determine a velocidade do barco relativa a um observador
parado em uma das margens. Se a largura do rio é de 3 km,
quanto tempo ele leva para atravessá-lo?
54/ 67
(Vetores)
Física 1
45 / 58
Exercícios
55/ 67
(Vetores)
Física 1
46 / 58
Exercícios
Se agora este barco, com a mesma velocidade de 10 km/h em
relação à água quiser atingir o lado diretamente oposto do rio,
qual deve ser a direção da sua velocidade em relação à Terra? E
em quanto tempo ele atravessa o rio?
56/ 67
(Vetores)
Física 1
47 / 58
Exercícios
57/ 67
(Vetores)
Física 1
48 / 58
Exercícios
58/ 67
(Vetores)
Física 1
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Exercícios
Um problema de navegação:
Suponha que o navegador de um avião deseja ir de uma cidade C
a uma outra D distante 900km de C na direção Norte. O
meteorologista informa que há um vento soprando na direção
Nordeste com velocidade de 50 km/h . Ele sabe que o piloto
planeja manter uma velocidade de 240 km/h em relação ao ar.
a) O problema do navegador é informar ao piloto em que direcão
o avião deve ser dirigido.
b) Quanto tempo ele leva para chegar?
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(Vetores)
Física 1
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Avian
Tait
Terra
Jar
=
>
-
Vvt
+
¥50950
Vento
za
y
.
*
lm
:
m
O
sen
240
=
0
sen
K/z
50
=
O
SO
-
=
0.147
sen
45
O
=
8.50
.
240
tempo
t=
-
v
en
VAT
VAT
:
d
y
AT
:
=
Va
cos
275
km/h
=
o
+
50
cos
45
£
=
900
-
=3
.
27k
275
60/ 67
(Vetores)
Física 1
51 / 58
Encontro de dois objetos
Um outro exemplo em que é vantajoso mudar de referencial é o
problema de evitar colisões no mar e no ar. Considere dois navios
com velocidades v1 e v2 em relação à água, constantes. As
trajetórias dos navios estendidas ao longo das direções do
movimento a partir dos pontos iniciais A e B interceptam-se em
um ponto P. Eles irão colidir? Responder a essa questão no
referencial do navio é muito mais fácil do que no referencial do
oceano, pois assim estaremos parados (em um navio) observando
o movimento de apenas um objeto ( o outro navio).
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ask.XE.FI
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(Vetores)
Física 1
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Exercícios
Vamos nos colocar no navio A. A velocidade do navio B em
relação a A é v21 v2 v1
a£¥I÷
-a
III.
se v21 tiver a mesma direção que r21 eles irão bater. Senão qual é
a distância de menor aproximação entre eles? É quando
r21 v21 , ou seja é a distância AN e o tempo para atingirem essa
menor separação é BN
v21
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(Vetores)
Física 1
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Exercícios
2.8 lista. Duas partículas, 1 e 2, deslocam-se ao longo dos eixos x
e y com velocidades constantes v1 2 cm/s e v2 3 cm/s. No
instante t 0 elas estão nas posições dadas por x1
3cm,
y1 0, x2 0 e y2
3cm. Obtenha o vetor r2 r1 que
representa a posição da partícula 2 em relação à partícula 1,
como função do tempo. Determine em que instante de tempo
elas estarão com a menor separação possível, e qual é essa
distância de máxima aproximação.
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(Vetores)
Física 1
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#÷
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3
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t
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t
I
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(Vetores)
Física 1
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T€¥,
^
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2
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distance
a
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3
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:
(
3×1,15
-
DI
n
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(Vetores)
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Exercícios
Um rio de 1km de largura tem uma correnteza de velocidade
1,5 km/h. Um homem atravessa o rio de barco, remando a uma
velocidade de 2,5 km/h em relação à água. (a) Qual é o tempo
mínimo que leva para atravessar o rio? Onde desembarca neste
caso? (b) Suponha agora que ele quer chegar a um ponto
diametralmente oposto na outra margem, e tem duas opções:
remar de forma a atingi-lo diretamente, ou remar numa direção
perpendicular à margem sendo arrastado pela correnteza até
além do ponto onde quer chegar, e depois caminhar de volta até
lá. Se ele caminha a 6km/h, qual das duas opções leva menos
tempo? qual é esse tempo?
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(Vetores)
Física 1
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Tnt
^
:
1.5km/h
qj
-
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n
4
2.5km/h
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Cmk
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VB
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(
Vat )
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=
(Vetores)
Física 1
0
.
Dt
6km
1.5×04
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=
Goon
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