MAT III - Progressão Geométrica

MAT III
Progressão Geométrica
Prof. Gustavo Adolfo Soares
3 Por que o nome da sequência é
progressão GEOMÉTRICA?
Uma pessoa, começando com R$ 64,00, faz seis apostas
consecutivas, em cada uma das quais arrisca perder ou
ganhar a metade do que possui na ocasião. Se ela ganha Consideremos uma progressão geométrica de três termos:
três e perde três dessas apostas, pode-se afirmar que ela: a, b e c. Por definição, podemos afirmar que:
(A) ganha dinheiro.
q=
(B) não ganha nem perde dinheiro.
√
b
c
= ⇒ b2 = a · c ⇒ b = a · c
a
b
Ou seja, dados três termos consecutivos quaisquer de uma
progressão geométrica, o termo central é igual à média
GEOMÉTRICA dos outros dois.
(C) perde R$ 27,00.
(D) perde R$ 37,00.
(E) ganha ou perde dinheiro, dependendo da ordem em
que ocorreram suas vitórias e derrotas.
1
Definição
Exemplo 2: Sabendo que a população de certo municı́pio
foi de 120.000 habitantes em 2010 e que essa população
vem crescendo a uma taxa de 3% ao ano, determine a
melhor aproximação para o número de habitantes desse
municı́pio em 2013.
Exemplo 3: Uma indústria está produzindo atualmente
Uma progressão geométrica é uma sequência na qual o 100.000 unidades de um certo produto. Quantas unidaquociente entre cada termo e o termo anterior é cons- des estará produzindo ao final de 4 anos, sabendo que o
tante. Esse quociente constante é chamado de razão da aumento anual de produção é de 10%?
progressão e é representado pela letra q.
Exemplo 4: Um quı́mico tem 1000 litros de álcool. Ele
retira 200 litros e os substitui por água. Em seguida, retira 200 litros da mistura e os substitui por água nova(a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . )
mente. Após efetuar essa operação 4 vezes, aproximadaTermos: a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .
mente quantos litros de álcool sobram na mistura?
Razão: q =
2
a3
an
a2
=
= ... =
= ...
a1
a2
an−1
4
Classificação
Termo Geral
Por definição, temos que:
a1 > 0 e q > 1
a1 < 0 e 0 < q < 1
a1 > 0 e 0 < q < 1
• P.G. é decrescente ⇔
a1 < 0 e q > 1
a1 6= 0 e q = 0
• P.G. é estacionária ⇔
a1 6= 0 e q = 1
• P.G. é crescente ⇔
• P.G. é alternante ⇔ q < 0
Exemplo 1: Classifique cada uma das progressões geométricas abaixo:
(a) (3; 6; 12; 24; 48; . . .)
(b) (180; 60; 20; 20/3; 20/9; . . .)
(c) (5; −20; 80; −320; . . .)
(d) (5; 5; 5; 5; 5; . . .)
(e) (15; 0; 0; 0; 0; 0; . . .)
(f) (0; 0; 0; 0; 0; 0; . . .)
a2
=q
a1
a3
=q
a2
a4
=q
a3
..................
an−1
=q
an−2
an
=q
an−1







































⇒
an
= q n−1 ⇒ an = a1 · q n−1
a1
Exemplo 5: Os lados de um triângulo retângulo formam
uma progressão geométrica crescente. Determine a razão
dessa progressão.
Obs.: Em uma progressão geométrica, para avançar um
termo basta, multiplicar a razão; para avançar dois termos, basta multiplicar duas razões; e assim por diante.
Logo, de um p−ésimo termo a um n−ésimo termo, basta
somar (n − p) razões. Portanto,
an = ap · q n−p
Exemplo 6: Em uma progressão geométrica, o quinto
termo vale 30 e o oitavo termo vale 1920. Quanto vale
o décimo termo dessa progressão?
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5
Produto dos n primeiros termos
Exemplo 7: Calcule o produto dos 20 primeiros
termos
2 −2
da progressão geométrica −2
;
;
;
2;
.
.
.
.
27 9 3
Generalizando...
Pn = a1 · a2 · a3 · . . . · an ⇒
⇒ Pn = a1 · (a1 · q) · (a1 · q 2 ) · . . . · (a1 · q n−1 ) ⇒
⇒ Pn = an1 · q 1+2+...+(n−1) ⇒
(n−1)
⇒ Pn = an1 · q (1+n−1)· 2 ⇒
⇒ Pn = an1 · q
(n·(n−1)
2
Exemplo 8: Calcule o produto dos 10 primeiros termos
da progressão geométrica (2; 4; 8; 16; . . .).
6
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Exemplo 10: Calcule o limite da soma
dos termos da
1
progressão geométrica 1; 12 ; 14 ; 18 ; 16
;... .
Exemplo 11: Prove que
0, 999 . . . = 1
8
Exercı́cios
1) Qual o quarto termo da progressão geométrica
√
6
2, . . .?
√
2,
√
3
2,
2) A população de uma cidade aumenta à taxa de 10%
ao ano. Sabendo que em 2010 a população era de 200.000
habitantes, qual a população em 2014?
Soma dos n primeiros termos
3) Um automóvel foi comprado por R$ 200.000,00 e sofre
uma desvalorização de 20% ao ano. Qual o seu valor após
6 anos?
Sn = a1 + a2 + a3 + · + an−2 + an−1 + an
⇒
q · Sn = a1 · q + a2 · q + . . . + an−1 · q + an · q
4) Um capital de R$ 400.000,00 foi aplicado em um investimento a juros compostos de 10% ao mês. Calcule o
montante após 4 meses.
⇒ Sn − q · Sn = a1 − an · q ⇒
⇒ (1 − q)Sn = a1 − a1 · q n−1 · q ⇒
{z
}
|
a1 ·q n
5) Em uma progressão geométrica, o quinto termo vale
5 e o oitavo termo vale 135. Quanto vale o sétimo termo
dessa progressão?
n
⇒ Sn = a1 ·
(1 − q )
1−q
6) Qual é a razão da progressão geométrica que se obtém
inserindo 3 termos entre os números 30 e 480?
Exemplo 9: Calcule a soma dos sete primeiros termos da
progressão geométrica (2; 6; 18; . . .).
7
Limite da soma
Consideremos uma progressão geométrica infinita de razão
q 6= 0, tal que |q| < 1, isto é, −1 < q < 1. Neste caso,
observa-se que, à medida que n aumenta, |an | diminui.
Ex.:
1
(a) 1; 21 ; 14 ; 18 ; 16
;...
1
1
(b) 3; −1; 13 ; − 91 ; 27
; − 81
;...
Para estes casos, deixando n aumentar indefinidamente,
o termo an tende a zero.
Dizemos que:
“o limite de an , para n tendendo ao infinito, é igual a zero.”
e simbolizamos por:
lim an = 0
n→∞
8) (AFA) Uma bola é solta de uma altura de 128 metros
em relação ao solo e, ao atingir o mesmo, ela sobe metade
da altura anterior. Esse movimento se repete até atingir
o solo pela décima vez. Nesse momento, quanto a bola
terá percorrido, em metros?
(A) 255,50
(C) 383,50
a1 − an · q
1−q
Fazendo n tender ao infinito, an tende a zero; podemos
então escrever:
(B) 383,00
(D) 383,63
9) (MACKENZIE) Numa progressão geomé- trica de 50
termos, a soma dos termos de ordem ı́mpar é o triplo da
soma dos termos de ordem par. Se o primeiro termo é 9,
o terceiro termo é:
(A) 1
(B) 3
(C) 9
(D) 18
2 2
2
+ +
+ ...
3 9 27
2
1
2
1
2
+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...
7
7
7
7
7
3 5
7
9
+ + +
+
+ ...
4 8 16 32
(a) 2 +
1
7
1
(c)
2
11) Larga-se uma bola de uma altura de 5 m. Após
4
cada choque com o solo, ela recupera apenas da altura
9
anterior. Determine:
(a) a distância total percorrida pela bola.
limn→∞ Sn =
a1
1−q
(E) 27
10) Determine os limites das somas abaixo:
(b)
Tomemos a fórmula da Soma dos n primeiros termos de
uma progressão geométrica de razão q 6= 1:
Sn =
7) Determine três números em progressão geo- métrica,
conhecendo sua soma 19 e a soma de seus quadrados 133.
(b) o tempo gasto pela bola até parar.
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1
2
1
2
1 2
12) (EN) O limite da soma + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +. . .
3 3
3
3
3
3
é igual a:
(A)
3
8
(B)
1
2
(C)
5
8
(D)
2
3
(E) 1
13) (IBMEC) Se um móvel se desloca sobre uma trajetória retilı́nea e percorre d unidades de espaço em um
intervalo de tempo t, então sua velocidade média neste
percurso é dada por v = dt . Um móvel sobre uma trajetória retilı́nea percorre 1 metro com velocidade média
de 1 metro por segundo, em seguida percorre 21 metro
com velocidade de 2 metros por segundo, em seguida percorre 14 metro com velocidade de 4 metros por segundo,
em seguida percorre 18 metro com velocidade de 8 metros
por segundo, e assim prossegue indefinidamente, sempre
percorrendo a metade do percurso anterior com o dobro
da respectiva velocidade média.
(a) Determine o limite da soma dos percursos percorridos pelo móvel.
(b) Determine a velocidade média no percurso dado pela
soma do item anterior.
14) Uma partı́cula se move sobre o eixo das abscissas,
partindo da origem. No primeiro minuto, ela avança 1
unidade para a direita; no segundo minuto, retrocede
0,5 unidade; no terceiro minuto, avança 0,25 unidade; e
assim sucessivamente, alternando avanços com retrocessos, as distâncias percorridas formando uma progressão
geométrica. O limite da abscissa da partı́cula, quando o
tempo tender para infinito, é
(A)
1
2
(B)
2
3
(C)
3
4
(D)
3
5
(E)
7
10
15) (UERJ) Considere a seguinte soma infinita:
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soma infinita tem o seguinte valor:
3
5
(A)
(B) 2
(C)
2
2
(D) 4
16) O rádio-226 tem meia-vida (perı́odo de tempo em
que metade da massa inicialmente presente se desintegra)
de 1600 anos. A taxa de variação da massa é constante.
Em quanto tempo a terça parte da massa inicialmente
presente se desintegrará? (Considere: log 2 = 0, 30 e
log 3 = 0, 48)
17) A soma de três números em progressão geométrica
é 19. Subtraindo-se 1 ao primeiro, eles passam a formar
uma progressão aritmética. Calcule-os.
18) Quatro números são tais que os três primeiros formam uma progressão aritmética de razão 6, os três últimos
formam uma progressão geométrica e o primeiro é igual
ao quarto. Determine-os.
19) (ENEM) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento,
uma indústria fabricou unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo
novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estimase que esse aumento percentual se repita nos próximos
anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano
t de funcionamento da indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função
de t para t ≥ 1?
(A) P (t) = 0, 5 · t−1 + 8000
(B) P (t) = 50 · t−1 + 8000
(C) P (t) = 4000 · t−1 + 8000
1 2 3
4
+ + +
+ ...
2 4 8 16
(D) P (t) = 8000 · (0, 5)t−1
(E) P (t) = 8000 · (1, 5)t−1
No gráfico I, abaixo, cada parcela desta soma é representada pela área de um retângulo, e a soma infinita é
determinada pela soma das áreas desses retângulos. No
gráfico II, embora a configuração dos retângulos tenha
sido alterada, as áreas se mantêm iguais.
20) (PUC/RJ) Vamos empilhar 5 caixas em ordem crescente de altura. A primeira caixa tem 1 m de altura, cada
caixa seguinte tem o triplo da altura da anterior. A altura
da nossa pilha de caixas será:
(A) 121 m
(C) 32 m
(E) 15 m
(B) 81 m
(D) 21 m
21) (PUC/RJ) A Copa do Mundo, dividida em cinco
fases, é disputada por 32 times. Em cada fase, só metade
dos times se mantém na disputa pelo tı́tulo final. Com o
mesmo critério em vigor, uma competição com 64 times
iria necessitar de quantas fases?
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
22) (PUC/RJ) A sequência (2, x, y, 8) representa uma
progressão geométrica. O produto x · y vale:
Com base nessas informações, podemos afirmar que a
(A) 8
(B) 10
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(C) 12
(D) 14
(E) 16
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23) (FGV/RJ) Uma mercadoria é vendida com entrada
de R$ 500,00 mais 2 parcelas fixas mensais de R$ 576,00.
Sabendo-se que as parcelas embutem uma taxa de juros
compostos de 20% ao mês, o preço à vista dessa mercadoria, em reais, é igual a
(A) 1.380,00
(C) 1.420,00
(E) 1.460,00
(B) 1.390,00
(D) 1.440,00
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0, 5 cm3 . Na primeira etapa, depositou-se uma esfera;
na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o número de esferas a cada etapa.
Admita que, quando o recipiente está cheio, o espaço vazio entre as esferas é desprezı́vel.
Considerando 210 ∼
= 1000, o menor número de etapas necessárias para que o volume total de esferas seja maior do
que o volume do recipiente é:
(A) 15
(B) 16
(C) 17
(D) 18
24) (FGV/RJ) A sequência de termos positivos (a1 , a2 , a3 ,
. . . , an , . . .) é uma progressão geométrica de razão igual a 29) (UERJ) Um feirante vende ovos brancos e vermelhos.
q. Podemos afirmar que a sequência (log a1 , log a2 , log a3 , Em janeiro de um determinado ano, do total de vendas
. . . , log an , . . .) é:
realizadas, 50% foram de ovos brancos e os outros 50% de
ovos vermelhos. Nos meses seguintes, o feirante constatou
(A) Uma progressão aritmética de razão q.
que, a cada mês, as vendas de ovos brancos reduziram-se
10% e as de ovos vermelhos aumentaram 20% sempre em
(B) Uma progressão geométrica de razão q.
relação ao mês anterior.
(C) Uma progressão aritmética de razão log q.
Ao final do mês de março desse mesmo ano, o percentual
(D) Uma progressão geométrica de razão log q.
de vendas de ovos vermelhos, em relação ao número total
de ovos vendidos em março, foi igual a:
(E) Uma progressão aritmética de razão log a1 − log q.
25) (FUVEST) Dadas as sequências an = n2 + 4n +
2
4, bn = 2n , cn = an+1 − an e dn = bn+1
bn , definidas
para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes
afirmações:
(A) 64%
(B) 68%
(C) 72%
30) (ITA) Considere a equação
5
X
(D) 75%
an · xn = 0 em que a
n=0
soma das raı́zes é igual a −2 e os coeficientes a0 , a1 , a2 , a3 , a4
e a5 formam, nesta ordem, uma progressão geométrica
5
X
com a0 = 1. Então,
an é igual a
I. an é uma progressão geométrica;
II. bn é uma progressão geométrica;
III. cn é uma progressão aritmética;
n=0
IV. dn é uma progressão geométrica.
(A) −21
São verdadeiras apenas
(A) I, II e III.
(C) I e III.
(E) III e IV.
(B) I, II e IV.
(D) II e IV.
9
(B) −
Respostas
1) 1
26) (FGV) Três números estão em progressão geométrica 2)
de razão 32 . Diminuindo 5 unidades do terceiro número da
progressão, ela se transforma em uma progressão aritmética. 3)
Sendo k o primeiro dos três números inicialmente em pro- 4)
gressão geométrica, então, log k é igual à soma de 1 com:
5)
(A) log 2
(B) log 3
(C) log 4
(D) log 5
(E) log 6
6)
292.820
R$ 31.250,00
R$ 585.640,00
45
±3
27) (UECE) Se a sequência de números reais positivos 7) 4, 6 e 9.
x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . . é uma progressão geométrica de razão
igual a q, então a sequência y1 , y2 , y3 , . . . , yn , . . . definida 8) C
para todo n natural por yn = log xn é uma progressão
9) A
10)
(A) aritmética cuja razão é igual a log q.
(B) aritmética cuja razão é igual a q · log q.
(a) 3
(C) geométrica cuja razão é igual a log q.
(b) 34
3
(c)
16
(D) geométrica cuja razão é igual a q · log q.
28) (UERJ) Em um recipiente com a forma de um paralelepı́pedo retângulo com 40 cm de comprimento, 25
cm de largura e 20 cm de altura, foram depositadas, em
etapas, pequenas esferas, cada uma com volume igual a
2
3
11)
(a) 13 metros.
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(C)
21
32
(D)
63
32
(E) 63
MAT III
(b) Aproximadamente 5 s.
12) C
13)
(a) 2 m
3
(b)
m/s.
2
14) B
15) B
16) 960
17) 4, 6 e 9.
18) −8, −2, 4 e −8.
19) E
20) A
21) B
22) E
23) A
24) C
25) E
26) A
27) A
28) B
29) A
30) D
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