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Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Questões
Q9.1 Quando uma fíta de vídeo ou de áudio é
rebobinada, por que a velocidade com que ela se desenrola
é mais rápida no final do rebobinamento?
Q9.2 Um corpo que gira em torno de um eixo fixo
deve ser perfeitamente rígido para que todos os pontos do
corpo girem com a mesma velocidade angular e com a
mesma aceleração angular? Explique.
1
Q9.3 Qual é a diferença entre a aceleração
tangencial e a aceleração radial de um ponto em um
corpo que gira?
Q9.4 Na Figura 9.11, todos os pontos da corrente
possuem a mesma velocidade escalar linear v. O módulo
da aceleração linear a também é o mesmo para todos os
pontos ao longo da corrente? Qual é a relação existente
entre a aceleração angular das duas rodas dentadas?
Explique.
Q9.5 Na Figura 9.11, qual é a relação entre a
aceleração radial de um ponto sobre o dente de uma das
rodas e a aceleração radial de um ponto sobre o dente da
outra roda dentada? Explique o raciocínio que você usou
para responder a essa pergunta.
Q9.6 Um volante gira com velocidade angular
constante. Um ponto de sua periferia possui aceleração
tangencial? Possui aceleração radial? Essas acelerações
possuem um módulo constante? Possuem direção
constante? Explique o raciocínio usado em cada caso.
Q9.7 Qual é o objetivo do ciclo de rotação da
máquina de lavar roupa? Explique em termos dos
componentes da aceleração.
Q9.8 Embora a velocidade angular e a aceleração
angular possam ser tratadas como vetores, o deslocamento
angular θ, apesar de possuir módulo e sentido, não é
considerado um vetor. Isso porque o ângulo θ1 não segue
as regras da lei comutativa da adição vetorial (Equação (l
.4)). Prove essa afirmação do seguinte modo. Coloque um
dicionário apoiado horizontalmente sobre a mesa à sua
frente, com a parte superior voltada para você de modo que
você possa ler o título do dicionário. Gire a aresta mais
afastada de você a 90° em torno de um eixo horizontal.
Chame esse deslocamento angular de 0p A seguir gire a
aresta esquerda 90° se aproximando de você em torno de
um eixo vertical. Chame esse deslocamento angular de θ1.
A lombada do dicionário deve ficar de frente para você, c
você poderá ler as palavras impressas na lombada. Agora
repita as duas rotações de 90°, porém em ordem inversa.
Você obtém o mesmo resultado ou não? Ou seja, θ2 + θ1 é
igual a θ2 + θ1,? Agora repita a experiência porém com um
ângulo de l ° cm vez de 90°. Você acha que um
deslocamento infinitesimal dê obedece à lei comutativa da
adição e, portanto, o qualifica como um vetor? Caso sua
resposta seja afirmativa, como você relaciona a direção e o
sentido de dê com a direção e o sentido de tu?
Q9.9 Você consegue imaginar um corpo que
possua o mesmo momento de inércia para todos os eixos
possíveis? Em caso afirmativo, forneça um exemplo e, se
sua resposta for negativa. explique por que isso seria
impossível. Você pode imaginar um corpo que possua o
mesmo momento de inércia em relação a todos os eixos
passando em um ponto específico? Caso isso seja possível,
forneça um exemplo e diga onde o ponto deve estar
localizado.
Q9.10 Para maximizar o momento de inércia de
um volante e minimizar seu peso, qual deve ser sua forma
e como sua massa deve ser distribuída? Explique.
Q9.11
Como
você
poderia
determinar
experimentalmente o momento de inércia de um corpo de
forma irregular em relação a um dado eixo?
Q9.12 Um corpo cilíndrico possui massa M e raio
R. Pode sua massa ser distribuída ao longo do corpo de tal
modo que seu momento de inércia em relação ao seu eixo
de simetria seja maior do que AW2? Explique.
Q9.13 Explique como a parte (b) da Tabela 9.2
poderia se usada para deduzir o resultado indicado na parte
(d).
Q9.14 O momento de inércia I de um corpo rígido
em relação a um eixo que passa em seu centro de massa é
Icm. Existe algum eixo paralelo a esse eixo para o qual I
seja menor do que Icm? Explique.
Q9.15 Para que as relações de / fornecidas nas
partes (a) e (b) da Tabela 9.2 sejam válidas, é necessário
que a barra tenha uma seção rota circular? Existe alguma
restrição sobre a área da seção reta para que essas relações
sejam válidas? Explique.
Q9.16 Na parte (d) da Tabela 9.2, a espessura da
placa deve ser menor que a para que a expressão de I possa
ser aplicada. Porém, na parte (c), a expressão se aplica para
qualquer espessura da placa. Explique.
Q9.17 Na Figura 5.26a use as expressões
1
1
K  m  v2 e K  I   2 para calcular a energia
2
2
cinética da caixa (considerando-a uma partícula única).
Compare os dois resultados obtidos. Explique esses
resultados.
Q9.18 A Equação (9.18) mostra que devemos
usar ycm para calcular U de um corpo com uma distribuição
de massas contínua. Porém no Exemplo 9.9 (Seção 9.5). y
não foi medido em relação ao centro de massa mas, sim, a
partir do ponto inferior da massa pendurada. Isso está
errado? Explique.
Q9.19 Qualquer unidade de ângulo — radiano,
grau ou revolução — pode ser usada em alguma equação
do Capítulo 9, porém somente ângulos em radianos podem
ser usados em outras. Identifique as equações para as quais
o uso do ângulo em radianos é obrigatório e aquelas para
as quais você pode usar qualquer unidade de ângulo, e diga
o raciocínio que foi usado por você em cada caso.
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momento em que a velocidade angular se anulou?
(d) Qual era a velocidade angular do eixo do motor
para t = 0, quando a corrente foi invertida?
(e) Calcule a velocidade angular média no intervalo
9.1 (a) Calcule o ângulo em radianos subtendido por de tempo desde t = 0 até o instante calculado no item (a).
um arco de 1.50 m de comprimento ao longo de uma
circunferência de raio igual a 2.50 m. Qual é esse ângulo em
9.7 O ângulo descrito por uma roda de bicicleta
graus? (b) Um arco de comprimento igual a 14.0 cm subtende girando é dado por   t   a  b  t 2  c  t 3 onde a, b e c são
um ângulo de 128° em um círculo. Qual é o raio da
circunferência desse círculo? (c) E de 0.700 rad o ângulo constante reais são constantes positivas tais que se t for dado
entre dois raios de um círculo de raio igual a 1.50 m. Qual é o em segundos, θ deve ser medido em radianos.
(a) Calcule a aceleração angular da roda em função
comprimento do arco sobre a circunferência desse círculo
do tempo.
compreendido entre esses dois raios?
(b) Em que instante a velocidade angular instantânea
da
roda
não
está variando?
9.2 A hélice de um avião gira a 1900 rev/min. (a)
Calcule a velocidade angular da hélice em rad/s. (b) Quantos
SEÇÃO 9.3
segundos a hélice leva para girar a 35°?
ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR
CONSTANTE
9.3 Considere o volante dos Exemplos 9.1 e 9.2
(Seção 9.2).
9.8 A roda de uma bicicleta possui uma velocidade
(a) Calcule a aceleração angular instantânea para t =
angular
de
1.50 rad/s.
3.5 s. Explique porque seu resultado é igual à aceleração
(a)
Se sua aceleração angular é constante e igual a
angular média para o intervalo entre 2,0 s e 5.0 s.
0.300
rad/s²,
qual é sua velocidade angular para t = 2.50 s?
(b) Calcule a velocidade angular instantânea para t =
(b)
Qual
foi o deslocamento angular da roda entre t =
3.5 s. Explique por que seu resultado não é igual à velocidade
t
=
2.50
s?
angular média para o intervalo entre 2.0 s e 5.0 s, embora 3.5
s corresponda ao valor médio desse intervalo de tempo.
9.9 Um ventilador elétrico é desligado, e sua
9.4 As lâminas de um ventilador giram com velocidade angular diminui uniformemente de 500 rev/min
até 200 rev/min em 4.00 s.
2
velocidade angular dada por   t       t , onde  =
(a) Ache a aceleração angular em rev/s²e o número
de revoluções feitas no intervalo de 4.00 s.
5.00 rad/s e  = 0.800 rad/s2.
(b) Supondo que a aceleração angular calculada no
(a) Calcule a aceleração angular em função do
item (a) permaneça constante. durante quantos segundos a
tempo,
(b) Calcule a aceleração angular instantânea a para t mais a roda continuará a girar até parar?
= 3.00 s e a aceleração angular média αmed para o intervalo de
9.10 (a) Deduza a Equação (9.12) combinando a
tempo t = 0 até t = 3.00 s. Como essas duas grandezas podem
ser comparadas? Caso elas sejam diferentes, por que são Equação (9.7) com a Equação (9.11) para eliminar t.
(b) A velocidade angular da hélice de um avião
diferentes?
cresce de 12.0 rad/s até 16.0 rad/s quando ela sofre um
9.5 Uma criança está empurrando um carrossel. O deslocamento angular de 7.00 rad. Qual é a aceleração
deslocamento angular do carrossel varia com o tempo de angularem rad/s²?
SEÇÃO 9.2
VELOCIDADE ANGULAR
ACELERAÇÃO ANGULAR
2
acordo com a relação
 t     t    t 3 ,
onde  = 0.400
9.11 A lâmina rotatória de um misturador gira com
rad/s e  = 0.0120 rad/s .
aceleração angular constante igual a 1.50 rad/s².
(a) Calcule a velocidade angular do carrossel em
(a) Partindo do repouso, quanto tempo ela leva para
função do tempo,
atingir uma velocidade angular de 36.0 rad/s?
(b) Qual é o valor da velocidade angular inicial?
(b) Qual o número de revoluções descritas pela
(c) Calcule o valor da velocidade angular instantânea rotação da lâmina nesse intervalo de tempo?
para t = 5.00 s e a velocidade angular média med para o
intervalo de tempo de t = 0 até t = 5.00 s. Mostre que med
9.12 Um volante leva 4.00 s para girar através de um
não é igual a média das velocidades angulares para t = 0 até t ângulo de 162 rad. Sua velocidade angular nesse instante
= 5.00 s e explique a razão dessa diferença.
Final é igual a 108 rad/s. Calcule
(a) a velocidade angular no início desse intervalo de
9.6 Para t = 0 a corrente de um motor elétrico de 4.00 s;
corrente contínua (de) é invertida, produzindo um
(b) a aceleração angular constante.
deslocamento angular do eixo do motor dado por
9.13 A roda de uma olaria gira com aceleração
  t    250 rad s   t  20 rad s 2  t 2  1.50 rad s 3  t 3 .
angular constante igual a 2.25 rad/s². Depois de 4.00 s, o
(a) Em que instante a velocidade angular do eixo do ângulo descrito pela roda era de 60.0 rad. Qual era a
motor se anula?
velocidade angular da roda no início do intervalo de 4.00 s?
(b) Calcule a aceleração angular no instante em que a
velocidade angular do eixo do motor é igual a zero.
9.14 A lâmina de uma serra circular de diâmetro
(c) Quantas revoluções foram feitas pelo eixo do igual a 0.200 m começa a girar a partir do repouso. Em 6.00 s
motor desde o instante em que a corrente foi invertida até o ela se acelera com velocidade angular constante ate uma
2




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velocidade angular igual a 140 rad/s. Calcule a aceleração
angular e o deslocamento angular total da lâmina.
3
SEÇÃO 9.4 RELAÇÕES ENTRE A
CINEMÁTICA ANGULAR LINEAR
CINEMÁTICA
E
A
9.15 Um dispositivo de segurança faz a lâmina de
uma serra mecânica reduzir sua velocidade angular de um
9.19 O rotor principal de um helicóptero gira em um
valor 1 ao repouso, completando 1.00 revolução. Com essa plano horizontal a 90.0 rev/min. A distância entre o eixo do
mesma aceleração constante, quantas revoluções seriam rotor e a extremidade da lâmina é igual a 5.00 m. Calcule a
necessárias para fazer a lâmina parar a partir de uma velocidade escalar da extremidade da lâmina através do ar se
(a) o helicóptero está em repouso no solo:
velocidade angular 2 sendo 2 = 3 1 ?
(b) o helicóptero está subindo verticalmente a 4.00
9.16 Uma fita refletora estreita se estende do centro à m/s.
periferia de uma roda. Você escurece a sala e usa uma câmara
9.20 Um CD armazena músicas em uma
e uma unidade estroboscópica que emite um flash a cada
0.050 s para fotografar a roda enquanto ela gira em um configuração codificada constituída por pequenas reentrâncias
sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Você dispara o com profundidade de 10 m. Essas reentrâncias são agrupadas
estroboscópio de tal modo que o primeiro flash (t = 0) ocorre ao longo de uma trilha em forma de espiral orientada de
quando a fita está na horizontal voltada para a direita com dentro para fora até a periferia do disco; o raio interno da
deslocamento angular igual a zero. Para as situações descritas espiral é igual a 25.0 mm e o raio externo é igual a 58.0 mm.
a seguir, faça um desenho da foto que você obterá para a À medida que o disco gira em um CD player, a trilha é
exposição no intervalo de tempo para cinco flashes (para t = percorrida com uma velocidade linear constante de 1.25 m/s.
(a) Qual é a velocidade angular do CD quando a
0: 0.050 s; 0.100 s: 0.150 s: e 0.200 s): faça um gráfico de θ
parte
mais
interna da trilha esta sendo percorrida? E quando a
contra t e de a contra t desde t = 0 até t = 0.200 s.
(a) A velocidade angular é constante e igual a 10.0 pane mais externa está sendo percorrida?
(b) O tempo máximo para a reprodução do som de
rev/s.
(b) A roda parte do repouso com uma aceleração um CD é igual a 74,0 min. Qual seria o comprimento total da
trilha desse CD caso a espiral tosse esticada para formar uma
angular de 25.0 rev/s².
(c) A roda está girando a 10.0 rev/s para t = 0 e varia trilha reta?
(c) Qual é a aceleração angular máxima para esse CD
sua velocidade angular com uma taxa constante de -50.0
de
máxima
duração durante o tempo de 74.0 min? Considere
rev/s².
como positivo o sentido da rotação do disco.
9.17 Para t = 0, a roda de um esmeril possui
9.21 Uma roda gira com velocidade angular
velocidade angular igual a 24,0 rad/s. Ela possui uma
aceleração angular constante igual a 30.0 rad/s' quando um constante de 6.00 rad/s.
(a) Calcule a aceleração radial de um ponto a 0.500
freio é acionado em t = 2.00 s. A partir desse instante ela gira
2
432 rad à medida que pára com uma aceleração angular m do eixo, usando a relação arad =  r.
(b) Ache a velocidade tangencial do ponto e calcule
constante,
2
(a) Qual foi o deslocamento angular total da roda sua aceleração radial pela fórmula arad = v /r.
desde t = 0 até o instante em que ela parou?
9.22 Calcule a velocidade angular necessária (em
(b) Em que instante ela parou?
(c) Qual foi o módulo da sua aceleração quando ela rev/min) de uma ultracentrífuga para que a aceleração radial
de um ponto a 2.50 cm do eixo seja igual a 400000g (isto é,
diminuía de velocidade?
400000 vezes maior do que a aceleração da gravidade).
9.18 (a) Deduza uma expressão para um movimento
9.23 Um volante de raio igual a 0.300 m parte do
com aceleração angular constante que forneça θ – θ0 em
repouso e se acelera com aceleração angular constante de
função de  de α e de t (não use 0 na equação),
2
(b) Para t = 8.0 s, uma engrenagem gira em tomo de 0.600 rad/s . Calcule o módulo da aceleração tangencial, da
um eixo fixo a 4.50 rad/s. Durante o intervalo precedente de aceleração radial e da aceleração resultante de um ponto da
8.0 s ela girou através de um ângulo de 40.0 rad. Use o periferia do volante
(a) no início:
resultado da parte (a) para calcular a aceleração angular
(b) depois de ele ter girado um ângulo de 60.0°;
constante da engrenagem,
(c) depois de ele ter girado um ângulo de 120.0°.
(c) Qual era a velocidade angular da engrenagem
para t = 0?
9.24 Um ventilador de teto cujas lâminas possuem
diâmetro de 0.750 m está girando em torno de um eixo fixo
com uma velocidade angular inicial igual a 0.250 rev/s. A
aceleração angular é igual a 0.900 rev/s2.
(a) Calcule a velocidade angular depois de 0.200 s.
(b) Quantas revoluções foram feitas pela lâmina
durante esse intervalo de tempo?
(c) Qual é a velocidade tangencial de um ponto na
extremidade da lâmina para t = 0.200 s?
(d) Qual é o módulo da aceleração resultante de um
ponto na extremidade da lâmina para t = 0.200 s?
9.25 Uma propaganda afirma que uma centrífuga
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precisa somente de 0.127 m para produzir uma aceleração
radial de 3000 para 5000 rev/min. Calcule o raio necessário
dessa centrífuga. A afirmação da propaganda é viável?
4
SEÇÃO 9.5
ENERGIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO
9.30 Pequenos blocos, todos com a mesma massa m,
9.26 (a) Deduza uma equação para a aceleração estão presos às extremidades e ao centro de uma barra leve de
comprimento igual a L. Calcule o momento de inércia do
radial que inclua v e  mas não inclua r.
(b) Você está projetando um carrossel para o qual um sistema em relação a um eixo perpendicular à barra passando
ponto da periferia possui uma aceleração radial igual a 0.500 em um ponto situado a ¼ do comprimento a partir de uma das
m/s2 quando a velocidade tangencial desse ponto possui extremidades da barra. Despreze o momento de inércia da
módulo igual a 2.00 m/s. Qual é a velocidade angular barra leve.
necessária para se atingir esses valores?
9.31 Uma batuta consiste em um fino cilindro
9.27 Um problema de furadeira. Ao furar um metálico de massa M e comprimento L. Cada extremidade
buraco com diâmetro igual a 12.7 mm na madeira, no plástico possui uma tampa de borracha de massa m e cada tampa pode
ou no alumínio, o manual do fabricante recomenda uma ser tratada com precisão como uma partícula neste problema.
velocidade de operação igual a 1250 rev/min. Para uma broca Calcule o momento de inércia da batuta em relação ao eixo
com um diâmetro de 12.7 mm girando com uma velocidade usual de rotação (perpendicular à batuta e passando pelo seu
centro).
constante igual a 1250 rev/min, calcule
(a) a velocidade linear máxima de qualquer ponto da
9.32 Calcule o momento de inércia em relação a cada
broca;
(b) a aceleração radial máxima de qualquer ponto da um dos seguintes eixos para um eixo de 0.300 cm de
diâmetro, 1.50 m de comprimento e massa igual a 0.0420 kg.
broca.
Use as fórmulas da Tabela 9.2.
(a) Em relação a um eixo perpendicular à barra e
9.28 Para t = 3.00 s, um ponto na periferia de uma
roda com raio de 0.200 m possui uma velocidade tangencial passando pelo seu centro,
(b) Em relação a um eixo perpendicular à barra e
igual a 50.0 m/s quando a roda está freando com uma
aceleração tangencial constante com módulo igual a 10.0 passando em uma de suas extremidades,
(c) Em relação a um eixo longitudinal passando pelo
m/s2.
(a) Calcule a aceleração angular constante da roda. centro da barra.
(b) Calcule as velocidades angulares para t = 3.00 s e
9.33 Quatro pequenas esferas, todas consideradas
t = 0.
(c) Qual foi o deslocamento angular do giro da roda massas puntiformes com massa de 0.200 kg, estão dispostas
nos vértices de um quadrado de lado igual a 0.400 m e
entre t = 0 e t = 3.00 s?
(d) Em qual instante a aceleração radial toma-se conectadas por hastes leves (Figura 9.21). Calcule o momento
de inércia do sistema em relação a um eixo
igual a g?
(a) perpendicular ao quadrado e passando pelo seu
9.29 Os ciclos de rotação de uma máquina de lavar centro (um eixo passando pelo ponto O na figura);
(b) cortando ao meio dois lados opostos do quadrado
possuem duas velocidades angulares, 423 rev/min e 640
(um eixo ao longo da linha AB indicada na figura);
rev/min. O diâmetro interno do tambor é igual a 0.470 m.
(c) passando pelo centro da esfera superior da
(a) Qual é a razão entre a força radial máxima sobre
a roupa, quando a velocidade angular é máxima, e a força esquerda e pelo centro da esfera inferior da direita e através
do ponto O.
radial, quando a velocidade angular é mínima?
(b) Qual é a razão da velocidade tangencial máxima
0.400 m 0.200 kg
da roupa quando a velocidade angular é máxima e quando a
velocidade angular é mínima?
(c) Calcule, em função de g a velocidade tangencial
máxima da roupa e a aceleração radial máxima.
A
B
O
Figura 9.21 – Exercício 9.33.
9.34 Fator de Escala de /. Quando multiplicamos
todas as dimensões de um objeto por um fator de escala/, sua
massa e seu volume ficam multiplicados por / . a) O momento
de inércia ficará multiplicado por qual fator? b) Sabendo que
um modelo feito com uma escala de -w possui uma energia
cinética relacional de 2,5 J, qual será a energia cinética do
objeto sem nenhuma redução de escala feito com o mesmo
material e girando com a mesma velocidade angular?
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9.35 Uma roda de carroça é feita como indicado na
Figura 9.22. O raio da roda é igual a 0,300 m e o aro possui
massa igual a 1.40 kg. Cada um dos seus oito raios,
distribuídos ao longo de diâmetros, possuem comprimento de
0.300 m e massa igual a 0.280 kg. Qual é o momento de
inércia da roda em relação a um eixo perpendicular ao plano
da roda e passando pelo seu centro? (Use as fórmulas
indicadas na Tabela 9.2.)
5
FIGURA 9.22
Exercício 9.35.
9.36 Uma hélice de avião possui massa de 117 kg e
comprimento igual a 2.08 m (de uma extremidade a outra). A
hélice está girando a 2400 rev/min em relação a um eixo que
passa pelo seu centro,
(a) Qual é sua energia cinética rotacional? Considere
a hélice como uma barra delgada,
(b) Supondo que ela não gire, de que altura ela
deveria ser largada em queda livre para que adquirisse a
mesma energia cinética?
9.37 (a) Mostre que as unidades de
raio R = 1.20 m. Para impedir danos estruturais, a aceleração
radial máxima de um ponto na sua periferia é igual a 3500
m/s². Qual é a energia cinética máxima que pode ser
armazenada no volante?
9.42 Suponha que o cilindro maciço do dispositivo
descrito no Exemplo 9.9 (Seção 9.5) seja substituído por uma
casca cilíndrica com o mesmo raio R e com a mesma massa
M. O cilindro é ligado ao eixo por meio de raios com
momentos de inércia desprezíveis.
(a) Calcule a velocidade da massa m suspensa no
instante em que ela atinge o solo.
(b) A resposta encontrada no item (a) é igual, maior
ou menor do que a resposta do Exemplo 9.9? Explique sua
resposta usando conceitos de energia.
9.43 Taxa de perda da energia cinética. Um corpo
rígido com momento de inércia I gira uma vez a cada T
segundos. A velocidade de rotação está diminuindo, de modo
que dT/dt > 0.
(a) Expresse a energia cinética da rotação do corpo
em termos de I e de T.
(b) Expresse a taxa de variação da energia cinética da
rotação do corpo em termos de I, de T e de dT/dt.
(c) Um volante grande possui I = 8,0 kg.m². Qual é a
energia cinética do volante quando o período de rotação é
igual a 1.5 s?
(d). Qual é a taxa de variação da energia cinética do
volante na parte (c) quando o período de rotação é igual a 1.5
s e quando ele varia com uma taxa dT/dt = 0.0060 s?
1
9.44 Uma corda uniforme de 10.0 m de comprimento
I   2 são e massa igual a 3.00 kg está presa ao teto de um ginásio e a
2
equivalentes às unidades de joule. Explique por que a unidade
"rad" não precisa ser incluída nessas unidades,
(b) Geralmente w é expresso em rev/min em vez de
rad/s. Escreva uma expressão para a energia cinética
rotacional de forma que se / for expresso em kg . m2 e  for
expresso em rev/min, a energia cinética será expressa em
joules.
9.38 O prato de discos de um fonógrafo antigo
possui energia cinética igual a 0.0250 J quando gira com 45,0
rev/min. Qual é o momento de inércia do prato do fonógrafo
em relação ao eixo de rotação?
outra extremidade está quase tocando o solo. Qual é a
variação da energia potencial gravitacional se a corda
terminar esticada sobre o solo (sem espiras)?
9.45 Centro de massa de um objeto com massa
distribuída. Qual é o trabalho realizado por um lutador para
elevar o centro de massa de seu oponente de 120 kg até uma
distância vertical igual a 0.700 m?
SEÇÃO 9.6
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
9.46 Calcule o momento de inércia de um aro (um
anel fino) de raio R e massa M em relação a um eixo
9.39 Um volante de motor a gasolina deve fornecer
perpendicular ao plano do aro passando pela sua periferia.
uma energia cinética igual a 500 J quando sua velocidade
angular diminui de 650 rev/min para 520 rev/min. Qual é o
9.47 Em relação à qual eixo uma esfera uniforme de
momento de inércia necessário'?
madeira leve possui o mesmo momento de inércia de uma
casca cilíndrica de chumbo de mesma massa e raio em
9.40 Uma corda leve e flexível é enrolada diversas
relação a um diâmetro?
vezes em tomo da periferia de uma casca cilíndrica com raio
de 0.25 m e massa igual a 40.0 N, que gira sem atrito em
9.48 Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar
tomo de um eixo horizontal fixo. O cilindro é ligado ao eixo
que os momentos de inércia das partes (a) e (b) da Tabela 9.2
por meio de raios com momentos de inércia desprezíveis. O
são coerentes.
cilindro está inicialmente em repouso. A extremidade livre da
corda é puxada com uma força constante P até uma distância
9.49 Uma placa metálica fina de massa M tem forma
de 5.00 m, e nesse ponto a extremidade da corda se move a
retangular com lados a e b. Use o teorema dos eixos paralelos
6.00 m/s. Sabendo que a corda não desliza sobre o cilindro,
para determinar seu momento de inércia em relação a um
qual é o valor de P?
eixo perpendicular ao plano da placa passando por um dos
seus vértices.
9.41 Desejamos armazenar energia em um volante de
70.0 kg que possui forma de um disco maciço uniforme com
9.50 (a) Para a placa retangular fina indicada na pane
Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
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(d) da Tabela 9.2, ache o momento de inércia em relação a
um eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu
centro e paralelo ao eixo indicado na figura,
(b) Ache o momento de inércia da placa em relação a
um eixo situado sobre o plano da placa passando pelo seu
centro e perpendicular ao eixo mencionado no item (a).
*SEÇÁO 9.7
CÁLCULOS DE MOMENTO DE INÉRCIA
6
*9.51 Usando o teorema dos eixos paralelos e
informações da Tabela 9.2, ache o momento de inércia da
barra delgada de massa M e comprimento L indicado na
Figura 9.18 em relação a um eixo passando pelo ponto O
situado a uma distância arbitrária h de uma de suas
extremidades. Compare seu resultado com o encontrado no
Exemplo 9.12 (Seção 9.7).
*9.52 Use a Equação (9.20) para calcular o momento
de inércia de um disco maciço, uniforme, de raio R e massa
M em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco
passando pelo seu centro.
*9.53 Use a Equação (9.20) para calcular o momento
de inércia de uma barra delgada de massa M e comprimento L
em relação a um eixo perpendicular à barra e passando pela
sua
extremidade.
*9.54 Uma barra delgada de comprimento L possui
massa por unidade de comprimento variando a partir da
extremidade esquerda, onde x = O, de acordo com dm/dx = 
x, onde  é constante com unidades de kg/m²,
(a) Calcule a massa total da barra em termos de  e
de L.
(b) Use a Equação (9.20) para calcular o momento de
inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra e
passando pela sua extremidade esquerda. Use a relação
encontrada na parte (a) para obter a expressão de / em termos
de M e de L. Como seu resultado se compara com o obtido
para uma barra delgada uniforme? Explique essa
comparação,
(c) Repita o procedimento da parte (b) para um eixo
passando pela extremidade direita da barra. Como seu
resultado se compara com o obtido nas partes (b) e (c)?
Explique esse resultado.
Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
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PROBLEMAS
9.60 Um automóvel clássico Chevrolet Corvette 1957 com
1240 kg parte do repouso e acelera com aceleração tangencial
constante igual a 3.00 m/s2 em uma pista de teste circular com
raio de 60.0 m. Considere o carro como uma partícula,
(a) Qual é sua aceleração angular?
(b) Qual é sua velocidade angular 6.00 s depois do início?
(c) Qual é sua aceleração radial nesse instante?
(d) Faça um esboço de uma vista de topo mostrando a pista
circular, o carro, o vetor velocidade e os componentes do vetor
aceleração 6.00 s depois de o carro iniciar o movimento,
 
  


arad    v  arad      r 
(e) Qual é o módulo da aceleração resultante e da força
resultante
sobre o carro nesse instante?
(Veja o Exercício 9.26.)
(f) Qual é o ângulo formado entre a velocidade do carro
9.56 (a) Prove que, quando um objeto parte do repouso e nesse instante e a aceleração resultante e entre a velocidade e a
gira em torno de um eixo fixo com aceleração angular força resultante?
constante, a aceleração radial de um ponto do objeto é
9.61 O volante de uma prensa de perfuração possui
diretamente proporcional ao seu deslocamento angular,
momento
de inércia igual a 16,0 kg. M2 e gira a 300 rev/min. O
(b) Qual foi o deslocamento angular total do objeto quando
a aceleração resultante fez um ângulo de 36.9° com a direção volante fornece toda a energia necessária para a rápida
operação de perfuração.
radial inicial?
(a) Calcule a velocidade em rev/min para a qual a
velocidade
do volante se reduz devido a uma repentina
9.57 O rolo de uma impressora gira um ângulo:
operação de perfuração que necessita de 4000 J de trabalho,
2
3
 t     t    t
(b) Qual deve ser a potência (em watts) fornecida ao
2
3
volante
para que ele retorne para sua velocidade inicial em 5.00
 = 3.20 rad/s e  = 0,500 rad/s .
s?
(a) Calcule a velocidade angular do rolo em função do
tempo,
9.62 Um bolinho de carne deteriorada de um bar, com
(b) Calcule a aceleração angular do rolo em função do
massa igual a 40.0 g, está preso à extremidade livre de um fio
tempo,
(c) Qual é a velocidade angular positiva máxima, e para de 2.50 m preso ao teto. O bolinho é puxado horizontalmente
até formar um ângulo de 36.9° com a vertical e a seguir é
qual valor de t isso ocorre?
libertado,
(a) Qual deve ser o módulo, a direção e o sentido da
*9.58 Uma roda de bicicleta com raio igual a 0.33 m gira
2 velocidade angular do bolinho na primeira vez que a aceleração
com aceleração angular   t       t , onde  = 1.80 rad/s
angular se anula?
e  = 0.25 rad/s³. Ela está em repouso para t = 0.
(b) Qual é o segundo instante em que t = 0?
(a) Calcule a velocidade angular e o deslocamento angular
(c) Nos instantes descritos nas partes (a) e (b), qual é o
em função do tempo.
módulo, a direção e o sentido da aceleração radial do bolinho?
(b) Calcule a velocidade angular positiva máxima e o
(d) Mostre que a resposta da parte (c) não depende do
deslocamento angular positivo máximo da roda. {Sugestão: comprimento do fio.
Veja a Seção 2.7.}
9.63 A correia de uma máquina de lavar a vácuo é
9.59 Quando um carrinho de brinquedo é atritado contra o enrolada ligando um eixo de raio igual a 0.45 cm com uma
piso, ele acumula energia em um volante. O carrinho possui roda de raio igual a 2.00 cm. O arranjo envolvendo a correia, o
massa igual a 0.180 kg. e seu volante possui momento de eixo e a roda é semelhante ao descrito na Figura 9.11
inércia igual a 4.00.10kg.m2. O carrinho possui comprimento envolvendo a corrente e as rodas dentadas de uma bicicleta. O
igual a 15.0 cm. Uma propaganda alega que a velocidade de motor faz o eixo girar com 60.0 rev/s e a correia faz a roda
escala do carrinho pode atingir 700 km/h. A velocidade de girar, que por sua vez está ligada a um outro eixo que empurra
escala é a velocidade do carrinho multiplicada pelo fator de a sujeira para fora do tapete que está sendo lavado a vácuo.
escala dado pela razão entre o comprimento de um carro real e Suponha que a correia não deslize nem sobre o eixo nem sobre
o comprimento do carrinho de brinquedo. Considere um carro a roda.
real de comprimento igual a 3.0 m.
(a) Qual é a velocidade de um ponto sobre a correia?
(a) Para uma velocidade de escala de 700 km/h, qual deve
(b) Qual é a velocidade angular da roda em rad/s?
ser a velocidade de translação efetiva do carrinho?
(b) Supondo que toda a energia cinética inicialmente
9.64 O motor de uma serra de mesa gira com 3450
acumulada no volante possa ser convertida em energia cinética rev/min. Uma polia ligada ao eixo do motor movimenta uma
de translação do carrinho, qual foi a energia cinética segunda polia com metade do diâmetro através de uma correia
inicialmente acumulada no volante?
V. Uma serra circular de diâmetro igual a 0.208 m está
(c) Qual será a velocidade angular inicial necessária para montada sobre o mesmo eixo da segunda polia,
que o volante tenha a quantidade de energia cinética acumulada
(a) O operador não é cuidadoso, e a lâmina lança para trás
no item (b)?
um pequeno pedaço de madeira. A velocidade do pedaço de
madeira é igual à velocidade tangencial na periferia da lâmina.
9.55 Faça um desenho de uma roda situada no plano do
papel e girando no sentido anti-horário. Escolha um ponto

sobre a circunferência e desenhe um vetor r ligando o centro
com esse ponto,

(a) Qual é a direção e o sentido do vetor  ?
que a velocidade desse ponto é dada por
 Mostre
 (b)

v r .
(c) Mostre que a aceleração radial desse ponto é dada por
7
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8
Qual é essa velocidade?
(b) Calcule a aceleração radial nos pontos sobre a periferia
9.67 A Terra, que não é uma esfera uniforme, possui
da lâmina para entender por que o pó da madeira serrada não momento de inércia igual a 0.3308MR2 em relação a um eixo
fica grudado em seus dentes.
ligando o pólo norte ao pólo sul. O tempo para a Terra
completar um giro é igual a 86164 s. Use o Apêndice F para
9.65 Uma roda varia sua velocidade angular com uma calcular
aceleração angular constante enquanto gira em tomo de um
(a) a energia cinética da Terra oriunda do movimento
eixo fixo passando em seu centro,
de rotação em tomo desse eixo e
(a) Mostre que a variação do módulo da aceleração radial
(b) a energia cinética da Terra oriunda do movimento
de um ponto sobre a roda durante qualquer intervalo de tempo orbital da Terra em tomo do Sol.
é igual ao dobro do produto da aceleração angular vezes o
(c) Explique como o valor do momento de inércia da
deslocamento angular e vezes a distância perpendicular do Terra nos informa que a massa da Terra está mais concentrada
ponto ao eixo.
perto do seu centro.
(b) A aceleração radial de um ponto sobre a roda situado a
uma distância de 0.250 m do eixo varia de 25.0 m/s2 a 85.0
9.68 Um disco maciço uniforme de massa m e raio R
m/s2 para um deslocamento angular da roda igual a 15.0 rad. está apoiado sobre um eixo horizontal passando em seu centro.
Calcule a aceleração tangencial desse ponto,
Um pequeno objeto de massa w está colado na periferia do
(c) Mostre que a variação da energia cinética da roda disco. Se o disco for libertado do repouso com o pequeno
durante qualquer intervalo de tempo é igual ao produto do objeto situado na extremidade de um raio horizontal, ache a
momento de inércia da roda em relação ao eixo vezes a velocidade angular quando o pequeno objeto estiver
aceleração angular e vezes o deslocamento angular,
verticalmente embaixo do eixo.
(d) Durante o deslocamento angular de 15.0 rad
mencionado na parte (b), a energia cinética da roda cresce de
9.69 Uma régua de um metro e massa igual a 0.160 kg
20.0 J para 45.0 J. Qual é o momento de inércia da roda em possui um pivô em uma de suas extremidades de modo que ela
relação ao eixo de rotação?
pode girar sem atrito em tomo de um eixo horizontal. A régua é
mantida em uma posição horizontal e a seguir é libertada.
9.66 Os três objetos uniformes indicados na Figura 9.23 Enquanto ela oscila passando pela vertical, calcule
possuem a mesma massa m. O objeto A é um cilindro maciço
(a) a variação da energia potencial gravitacional
de raio R. O objeto B é uma casca cilíndrica de raio R objeto C ocorrida;
é um cubo maciço cuja aresta é igual a 2R. O eixo de rotação
(b) a velocidade angular da régua;
de cada objeto é perpendicular à respectiva base e passa pelo
(c) a velocidade linear na extremidade da régua oposta
centro de massa do objeto.
ao eixo.
(a) Qual dos objetos possui o menor momento de inércia?
(d) Compare a resposta da parte (c) com a velocidade
Explique,
de um objeto caindo de uma altura de 1.00 m a partir do
(b) Qual dos objetos possui o maior momento de inércia? repouso.
Explique,
(c) Como você compara esses resultados com o momento
9.70 Exatamente uma volta de uma corda flexível de
de inércia de uma esfera maciça uniforme de massa m e raio R massa m é enrolada na periferia de um cilindro uniforme
em relação a um eixo de rotação ao longo de um diâmetro da maciço de massa M e raio R. O cilindro gira sem atrito em
esfera? Explique.
2R
tomo de um eixo horizontal ao longo do seu eixo. Uma das
extremidades da corda está presa ao cilindro. O cilindro
começa a girar com velocidade angular . Depois de uma
2R
revolução, a corda se desenrolou e nesse instante ela está
pendurada verticalmente tangente ao cilindro. Calcule a
velocidade angular do cilindro e a velocidade linear da
extremidade inferior da corda nesse instante. Despreze a
espessura da corda. {Sugestão: Use a Equação (9.18).}
A
B
2R
C
Figura 9.23 – Problema 9.66.
9.71 A polia indicada na Figura 9.24 possui raio R e
momento de inércia I. A corda não desliza sobre a polia e esta
gira em um eixo sem atrito. O coeficiente de atrito cinético
entre o bloco A e o topo da mesa é C. O sistema é libertado a
partir do repouso, e o bloco B começa a descer. O bloco A
possui massa mA e o bloco B possui massa mB. Use métodos de
conservação da energia para calcular a velocidade do bloco B
em função da distância d que ele desceu.
FIGURA 9.24
- Problema 9.71.
Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
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9
9.72 A polia indicada na Figura 9.25 possui raio 0.160 atingiria quando ela retomasse verticalmente para cima depois
m e momento de inércia 0.480 kg.m2. A corda não desliza de colidir com o solo?
sobre a periferia da polia. Use métodos de conservação da
(b) Explique, em termos de energia, por que a resposta
energia para calcular a velocidade do bloco de 4.00 kg no da parte (a) é menor do que h.
momento em que ele atinge o solo.
9.77 Um disco uniforme fino possui massa M e raio R.
Fazemos um buraco circular de raio R/4 centralizado em um
ponto situado a uma distância RH do centro do disco,
(a) Calcule o momento de inércia do disco com o
buraco em de inércia do disco que foi retirado do disco
maciço.)
(b) Calcule o momento de inércia do disco com o
buraco em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco
4,00 kg
passando pelo centro do buraco.
5,00 m
2.00 kg
FIGURA 9.25 - Problema 9.72.
9.73 Você pendura um aro fino de raio R em um prego
na periferia do aro. Você o desloca lateralmente até um ângulo
 a partir de sua posição de equilíbrio e a seguir o liberta. Qual
é sua velocidade angular quando ele retoma para sua posição de
equilíbrio? (Sugestão: Use a Equação (9.18).)
9.74 Um ônibus de passageiro em Zurique, na Suíça,
usa sua potência motora oriunda da energia acumulada em um
volante grande. Utilizando-se de energia da rede elétrica, a roda
é colocada em movimento periodicamente quando o ônibus
para em uma estação. O volante é um cilindro maciço de massa
igual a 1000 kg e raio igual a 1.80 m; sua velocidade angular
máxima é igual a 3000 rev/min.
(a) Para essa velocidade angular, qual é a energia
cinética do volante?
(b) Se a potência média necessária para operar o
ônibus for igual a 1.86.104 W, qual é a distância máxima que
ele pode se mover entre duas paradas?
9.78 Um pêndulo é constituído por uma esfera
uniforme maciça com massa M e raio R suspensa pela
extremidade de uma haste leve. A distância entre o ponto de
suspensão na extremidade superior da haste e o centro da esfera
é igual a L. O momento de inércia do pêndulo 1^ para uma
rotação em torno do ponto de suspensão é geralmente
aproximado como ML2,
(a) Use o teorema dos eixos paralelos para mostrar
que se R for 5% de L e se a massa da haste for desprezível, Ip
será somente 0.1 % maior do que ML2.
(b) Se a massa da haste for l % de M e se R for 5% de
L, qual será a razão entre Ihaste em relação a um eixo passando
pelo pivô e ML2?
9.79 Teorema dos eixos perpendiculares. Considere
um corpo rígido constituído por uma placa plana fina de forma
arbitrária. Suponha que o corpo esteja sobre o plano xy e
imagine que a origem seja um ponto O no interior ou no
exterior do corpo. Seja Ix, o momento de inércia em relação ao
eixo Ox, Iy o momento de inércia em relação ao eixo Oy e I0 o
momento de inércia do corpo em relação a um eixo
perpendicular ao plano e passando pelo ponto 0.
(a) Considerando elementos de massa mi, com
coordenadas (xi, yi), mostre que I0 = Ix + Iy. Essa relação é o
teorema dos eixos perpendiculares. Note que o ponto O não
precisa ser o centro de massa,
(b) Para uma arruela fina de massa M, raio interno R1,
e raio externo R2 use o teorema dos eixos perpendiculares para
achar o momento de inércia em relação a um eixo situado no
plano da arruela e que passa através de seu centro. Você pode
usar as informações da Tabela 9.2.
(c) Use o teorema dos eixos perpendiculares para mostrar que o
momento de inércia de uma placa fina quadrada de massa M e
lado L em relação a qualquer eixo situado no plano da placa e
que passa através de seu centro é igual a ML2/12. Você pode
usar as informações da Tabela 9.2.
9.75 Dois discos metálicos, um com raio R1 = 2.50 cm
e massa M1 = 0.80 kg e o outro com raio R2 = 5.00 cm e massa
M2 = 1.60 kg, são soldados juntos e montados em um eixo sem
atrito passando pelo centro comum (Figura 9.26).
(a) Qual é o momento de inércia dos dois discos?
(b) Um fio fino é enrolado na periferia do disco
menor, e um bloco de l ,50 kg é suspenso pela extremidade
livre do fio. Se o bloco é libertado do repouso a uma distância
de 2.00 m acima do solo, qual é sua velocidade quando ele
atinge o solo?
9.80 Uma haste uniforme fina é dobrada em forma de
(c) Repita o cálculo da parte (b), agora supondo que o
fio seja enrolado na periferia do disco maior. Em qual dos dois um quadrado de lado a. Sendo M a massa total, ache o
casos a velocidade do bloco é maior? Explique por que isso momento de inércia em relação a um eixo situado no plano do
quadrado e que passa através de seu centro. (Sugestão: Use o
deve ser assim.
teorema dos eixos paralelos.)
9.76 No cilindro junto com a massa do Exemplo 9.9
*9.81 Um cilindro de massa M e raio R possui uma
(Seção 9.5). suponha que a massa m que cai seja feita de
borracha, de modo que nenhuma energia mecânica é perdida densidade que cresce linearmente a partir do seu eixo,  =  r,
quando a massa atinge o solo. a) Supondo que o cilindro não onde  uma constante positiva, a) Calcule o momento de
estivesse girando inicialmente e a massa m fosse libertada do inércia do cilindro em relação a um eixo longitudinal que passa
repouso a uma altura h acima do solo, até que altura essa massa através de seu centro em termos de M e de R. b) Sua resposta é
Exercícios – Capítulo 9 – Rotação de Corpos rígidos – Sears e Zemansky, Young & Freedman – Física I – Editora Pearson, 10ª Edição
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maior ou menor do que o momento de inércia de um cilindro
com mesma massa e mesmo raio porém com densidade
constante? Explique qualitativamente por que esse resultado
faz sentido.
PROBLEMAS DESAFIADORES
9.82 Estrelas de nêutrons e restos de supemovas. A
nebulosa do Caranguejo é uma nuvem de gás luminoso que
possui uma extensão de 10 anos-luz, localizada a uma distância
aproximadamente igual a 6500 anos-luz da Terra (Figura 9.27).
São os restos de uma explosão de uma supernova, observada da
Terra no ano de 1054. A nebulosa do Caranguejo liberta
energia com uma taxa aproximada de
10
R2
R1
Figura 9.27 – Problema 9.82
m = 1.50 kg
FIGURA 9.26 - Problema 9.75.
9.83 O momento de inércia de uma esfera com
densidade constante em relação a um eixo que passa através de
seu centro é dado por 2MR2/5 = 0.400MR2. Observações feitas
por satélites mostram que o momento de inércia da Terra é
dado por 0.3308MR2. Os dados geofísicos sugerem que a Terra
é constituída basicamente de cinco regiões: o núcleo central
(de r = 0 a r= 1220 km) com densidade média igual a 12.900
kg/m³ o núcleo externo (de r = 1220 km a r = 3480 km) com
densidade média igual a 10900 kg/m³ , o manto inferior (de r =
3480 km a r = 5700 km) com densidade média igual a 4900
kg/m³ o manto superior (de r = 5700 km a r = 6350 km) com
densidade média igual a 3600 kg/m3 e a crosta e os oceanos
(de r = 6350 km a r = 6370 km) com densidade média igual a
2400 kg/m³.
(a) Mostre que o momento de inércia de uma esfera
oca com raio interno R1 e raio externo R2 e densidade constante
 é dado por:
I  
8
  R25  R15 
15
R
h
Eixo
Figura 9.28 – Problema 9.84
9.85 Em um CD, a música é codificada em uma
(Sugestão: Forme a esfera oca pela superposição de configuração de minúsculas reentrâncias dispostas ao longo de
uma esfera grande com densidade  e uma esfera pequena com uma trilha que avança formando uma espiral do interior à
densidade -).
periferia do disco. À medida que o disco gira no interior de um
(b) Confira os dados usando-os para calcular a massa CD player, a trilha é varrida com velocidade linear constante
da Terra,
 = 1.25 m/s. Como o raio da trilha espiral aumenta à medida
(c) Use os dados fornecidos para calcular o momento que o disco gira, a velocidade angular do disco deve variar
de inércia da Terra em termos de MR2.
quando o CD está girando. (Veja o Exercício 9.20.) Vamos ver
qual é a aceleração angular necessária para manter v constante.
*9.84 Determine o momento de inércia de um cone A equação de uma espiral é dada por:
maciço uniforme em relação a um eixo que passa através de
r    r0   
seu centro (Figura 9.28). O cone possui massa M e altura h. O
, onde r0 é o raio da espiral para  = 0 e  uma constante. Em
raio do círculo da sua base é igual a R.
um CD, r0 é o raio interno da trilha espiral. Considerando
Sears &Zemansky – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
como positivo o sentido da rotação do CD,  deve ser
positivo, de modo que r e acrescem à medida que o disco gira.
(a) Quando o disco gira através de um pequeno
ângulo d, a distância varrida ao longo da trilha é ds = r d.
Usando a expressão anterior para r(), integre ds para calcular
a distância total s varrida ao longo da trilha em função do
ângulo total  descrito pela rotação do disco.
(b) Como a trilha é varrida com velocidade linear
constante v, a distância total s encontrada na parte (a) é igual a
vt. Use esse resultado para achar 0em função do tempo.
Existem duas soluções para ; escolha a positiva e explique
por que devemos escolher essa solução.
c) Use essa expressão de (t) para determinar a
velocidade angular  e a aceleração angular  em função do
tempo. O valor de  é constante?
(d) Em um CD, o raio interno da trilha é igual a 25.0
mm, o raio da trilha cresce 1.55m em cada volta e o tempo de
duração é igual a 74.0 min. Calcule os valores de r0 e de  ache
o número total de voltas feitas durante o tempo total da
reprodução do som.
(e) Usando os resultados obtidos nas partes (c) e (d),
faça um gráfico de  (em rad/s) contra t e um gráfico de  (em
rad/s2) contra t desde t = 0 até t = 74.0 min.
Sears &Zemansky – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Gabarito – Exercícios Ímpares
Gabarito
Exercício
9.1
(a)
0.600rad (b) 6.27 cm (c) 1.05 m
 (t )  0.4  0.036  t 2
(a)
(a) α(t) = 2b-6ct (b) b/3c
9.7
(a) 24s
(b) 68.8rev
10.5rad/s
9.13
9.17
9.19
(a)
(b)
9.61
9.63
9.65
9.67
arad  18.0 m s 2
v  3.00 m s, arad  18.0 m s
(a)
0.180 m s 2 ,0.377 m s 2 ,0.418 m s 2
2
2
2
(c) 0.180 m s ,0.754 m s ,0.775 m s
(b)
9.25
10.7 cm; não
9.27
(a) 0.831m s
(b) 109 m/s²
9.29
(a) 2.29
(b) 1.51
 2 gd  mB  C mA 
9.75
(a)
0.064kg  m2
(b)
0.032kg  m2
(c)
0.032kg  m2
0.193kg  m2
9.37
9.39
(b) K = π²I²/1800
9.41
7.35 104 J
0.600kg  m2
(a)
K  2 I T
2
(a)
70J
(d) 0.56 J s
(c)
75 kg
Um eixo paralelo e a uma distância

15 R do centro da esfera
 mB  I R 2 
 247 512 MR2 (b)
 383 512 MR2
(b)
1
4
M  R12  R22 
3
MR 2 (b)maior.
5
24
2
(b) 5.97 10 kg (b) 0.334MR
(a)
9.81
9.83
(a) s  r0   
(b)
(c)
dK dt   4 2 I T 3   dT dt 
A
2.25 103 kg  m2 (b) 3.40 m s
(c) 4.95m s
(a)
9.85
2
m
 g R 1  cos  
9.73
9.79
9.35
2
2.14 1029 J
33
(b) 2.66 10 J
(a) 0.784J (b) 5.42 rad s
(c) 5.42 m s (d) velocidade da partícula:
4.43m s
(a)
9.77
(M/12+m/2)L2
9.31
(b)
9.71
rad/s
(a) 211 rev/s. (b) 800 W
(a) 1.70 m/s (b) 84.8 rad/s
(b) 2.00 m/s² (d) 0.208 kg.m²
s ,1.06 103 m s 2  108g .
(c) 15.7 m
9.45
9.47
9.69
2
0.180 m s 2 ,0,0.180 m s 2
9.33
9.53
3.60 m s (b) 43.7 m s
(a)
9.43
1
M  L2  3Lh  3h 2 
3
1 2
ML
3
2
(a) 6.4  t  1.5  t (b) 6.4  3  t
(c) máx  6.83 rad s para t  2.13s
(a) 35.0km/h = 9.72 m/s (b) 8.51J (c) 652
9.59
9.00 rev
(a) 540 rad
(b) 12.3s
(c) -8.17 rad/s²
9.15
9.23
9.51
9.57
(a)-1.25 rev/s2, 23.3 rev (b) 2.67 s.
9.11
9.21
1
M  a 2  b2 
3
(b) 0.4
rad/s (c)  = 1.30 rad/s, rad = 0.700
rad/s
9.9
Gabarito
9.49
(a) 42 rad/s² (b) 74 rad/s
9.3
9.5
Exercício
  2
2
1
     r02  2    v  t  r0 

  

v
r02  2    v  t
  
  v2
r
2
0
3
 2    v  t 2
(d) r0  2.50cm,   0.247  m rad ,2.13 104 rev
Sears &Zemansky – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
2ave  2  0 , 0   27 rad / s.
(b)    108 rad / s  ( 27 rad / s )  33.8 rad / s 2 .
t
4.00 s
Gabarito – Exercícios Pares resolvidos
Cortesia: Editora Pearson
(a) 
rev   2 rad   1 min 
 199rad / s.
1900
 x

min   rev   60 s 

9-2:
9-14:
0  0,  
(b)(35º x  rad/180º)/(199 rad/s) = 3.07 x 10 -3 s.
(a) (t )  dw   2 t  ( 1.60 rad / s 3 )t.
9-4:
Da Eq. (9-7), com
 140 rad / s
t

6.00 s
 23.33 rad / s 2 .
O ângulo é mais facilmente encontrado de :
 avet  (70 rad / s)(6.00 s)  420 rad .
dt
(b) (3.0 s) = (-1.60 rad/s3)(3.0 s) = -4.80 rad/s2
9-16: A seguinte tabela dá as revoluções e o ângulo 
  2.40 rad / s 2 , através dos quais uma roda gira em cada instante de tempo e
3.0 s
3.0 s
em três situações distintas:
o qual é tão grande (em, módulo) quanto a aceleração para
t = 3.0 s.
 ave 
 (3.0 s)   (0)  2.20 rad / s  5.00 rad / s

9-6:  =(250 rad/s) – (40.0 rad/s2)t – (4.50 rad/s3)t2,  = -(40.0
rad/s2) – (9.00 rad/s3)t.
(a) Fazendo-se  = 0 resulta em uma equação quadrática em t;
o único valor de tempo positivo para o qual  = 0 é t = 4.23 s.
(b) At t = 4.23 s,  = -78.1 rad/s2.
(c) At t = 4.23 s,  = 586 rad = 93.3 rev.
(d) At t = 0,  = 250 rad/s.
(e) ave =
9-8:
586 rad
138 rad / s.
4.23 s
  0   t
(a)
Os gráficos de  e  são os seguintes:
(a)
 1.50 rad / s  (0.300 rad / s2 )(2.50 s)  2.25 rad / s
(b)
  0t 1/ 2 t 2
1
2
  (1.50 rad / s)(2.50 s)  (0.300 rad / s 2 )(2.50 s)2
  4.69 rad
9-10:
(b)
(a)Resolvendo a Eq. (9-7) para t resulta em:
t
  0
.

Reescrevendo a Eq. (9-11) como:
1
   0  t (0  t )
2
encontramos:
e
substituindo
t
  0  
1

   0  (   0 ) 
2
  

   0  
(c)

   0 
(   0 ) 


 2 

1
 2  02 ,
2
1
a qual quando re-agrupada resulta na Eq. (912).
(b)  = (1/2)(1/∆)(2 -
 02 )
rad/s)2 – (12.0 rad/s)2) = 8 rad/s2.
= (1/2)(1/(7.00 rad))((16.0 9-18: (a) A Equação (9-7) é resolvida para  =  - t,
0
resultando em:
9-12: (a)
A velocidade angular média é:
e portanto a velocidade angular inicial é:
162 rad
 40.5 rad / s,
4.00 s

1
ave   t , or    0  t  t 2 .
2
2
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   
2  2    0.125 rad / s 2 .
t t 
 t  5.5 rad / s.
(b)
(c)
9-20:
s. (Existem muitos modos equivalentes de se realizar estes
cálculos )
9-30:
(a)
1.25 m / s
1.25 m
 50.0 rad / s,
 21.55 rad / s,
3
25.0 x 10 m
58.0 x 103 m
ou 21.6 rad/s , para três algarismos significativos.
(b) (1.25 m/s)(74.0 min)(60 s/min) = 5.55 km.
(c)
50.0 rad / s  21.55 rad / s

 6.41 x 103 rad / s 2 .
(74.0 min)( 60 s / min)
De  rad
9-22:


r

qual
A distância das massas relativo ao eixo são:
L L 3L e portanto da Eq. (9-16), o momento de inércia é:
, e ,
4 4 4
  2 r,
x
104
2
1
1
ML2  (0.042 kg)(1.50 m)2  7.88 x 103 kg  m2 .
12
12
(b)
rad/s)
2
9-32: Como a vara possui um comprimento de 500 vezes
maior que a sua largura, então a mesma pode ser considerada
como sendo uma vara fina
(a) Da Tabela (9-2(a)),
I
400,000 x 9.80 m / s 2
 1.25 x 104 rad / s,
2
2.50 x 10 m
é(1.25
2
 L
 L
 3L  11
I  m    m   m   mL2 .
4
4
 4  16
Da
Tabela
(9-2(b)),
1
1
I  ML2  (0.042 kg)(1.50 m)2  3.15 x 102 kg  m 2 .
3
3
 1 rev / 2 rad 

 1.20 x 105 rev / min .
1
min/
60
s


(b) Para esta vara fina o momento de inércia relativo ao seu
eixo é obtido considerando-a como um cilindro sólido e, da
Tabela
(9-2(f)),
 0.750 m 
v  r  
 (0.430 rev / s x 2 rad / rev ) 1.01m / s.
 2 
9-36:
9-24: (a)
 = 0 +t = 0.250 rev/s + (0.900
1
1
2
3
2
8
2
rev/s2)(0.200 s) = 0.430 rev/s (note que desde que 0 e  são I  2 MR  2 (0.042 kg)(1.5 x 10 m)  4.73 x 10 kg  m .
dados em termos das revoluções, não é necessário converter
para radianos).
9-34: (a) Na expressão da Eq. (9-16), cad termo terá a massa
(b) onda∆t = (0.340 rev/s)(0.2 s) = 0.068 rev.
multiplicada por f 3 e a distância multiplicada por f, e então o
(c) Aqui, a conversão para radianos deve ser realizada para que momento de inércia é multiplicado por f 3(f) 2 = f 5.
se possa utilizar a Eq. (9-13), então
(b)
(2.5)(48)5 = 6.37 x 108.
(a) Da Eq. (9-17), com I da Tabela (9-2(f)),
2

1 1 2 2 1
rev 2 rad / rev 
K
mL   (117 kg)( 2.08 m)2  2400
x
  1.3 x 106 J .
(d) Combinando as Equações (9-14) e (9-15),
2
   rad
  tan2  ( 2 r ) 2  (r ) 2
2 12
24

min
60 s / min 
(b) De mgy = K,
y
 (( 0.430 rev / s x 2 rad / rev ) 4 (0.375 m)) 2
 (( 0.900 rev / s 2 x 2 rad / rev )( 0.375 m)) 2 2
K
(1.3 x 106 J )

1.16 x 103 m 1.16 km.
2
mg (117 kg)( 9.80 m / s )
1
 3.46 m / s .
2
9-26:
(a)
I
Combinando as Equações (9-13) e (9-15),
v
 rad   2 r   2    v.
 
 rad 0.500 m / s 2
9-28:
v

2.00 m / s
Resolvendo a Eq. (9-17) para I, temos:
2K

2

2(0.025 J )
 2.25 x 103 kg  m 2 .
2 rad / s 2
(45 rev / min x
)
60 rev / min
9-40: O trabalho realizado sobre o cilindro é PL, onde L é o
comprimento da corda.Combinando as Equações (9-17), (9-13)
e a expressão para I , ver Tabela (9-2(g)), temos:
(b) Do resultado da parte (a), temos:

9-38:
PL 
 0.250 rad / s.
1w 2
1 w v 2 (40.0 N )(6.00 m / s) 2
v  P

14.7 N .
2g
2 g L 2(9.80 m / s 2 )(5.00 m)
9-42:
 tan
 10.0 m / s 2
(a) 

  50.0 rad / s 2
r
0.200 m
(a) Com I = MR2, a expressão para v é:
v
2 gh
.
1 M / m
v 50.0 m / s
 
 250rad / s,
r
0.200
e para t = 0, v = 50.0 m/s + (-10.0 m/s2)(0 – 3.00 s) = 80.0 m/s,
então  = 400 rad/s.
(c) avet = (325 rad/s)(3.00 s) = 975 rad = 155 rev.
Esta expressão é menor que aquela para um cilindro sólido. A
maior parte da massa está concentrada na sua borda, então,
para uma dada velocidade, a energia cinética do cilindro é
maior. Uma grande parte da energia potencial é convertida
para energia cinética do cilindro, e portanto, uma quantidade
menor está disponível para a massa em queda .
v   rad r  (9.80 m / s 2 )( 0.200 m)  1.40 m / s.
velocidade será alcançada em um tempo de:
9-44: O centro de massa caiu metade do comprimento da
corda, então a variação na energia potencial gravitacional é:
(b) Para t = 3.00 s, v = 50.0 m/s e
(d)
Esta
50.0 m / s 1.40 m / s
4.86 s após t = 3.00 s, ou para t = 7.86  1 mgL   1 (3.00 kg)( 9.80 m / s 2 )(10.0 m)   147 J .
10.0 m / s 2
2
2
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9-46: Na Eq. (9-19), Icm = MR2 e d = R2 , então IP = 2MR2.
 2
2
3
2
9-48: Utilizando o Teorema dos Eixos Paralelos para se   t  t  (1.80 rad / s )t  (0.125 rad / s )t .
2
encontrar o momento de inércia de uma corda fina relativo ao
eixo através de sua extremidade e perpendicular a corda,    t 2   t 3  (0.90 rad / s 2 )t 2  (0.042 rad / s 3 )t 3 .
temos:
2
6
2
(b)
A
velocidade
angular positiva máxima ocorre quando  =
M
L
M
 
L2  M    L2 .
3
2
1
I  Ma 2
12
I P  I cm  Md 2 
9-50:
(a)
I
(b)
12

;

0, ou t =
a velocidade angular para este tempo é:
2
       1  2 1 (1.80 rad / s 2 ) 2
    

 6.48 rad / s.
3
   2    2  2 (0.25 rad / s )
   
1
Mb 2
12
9-52: A análise é idêntica aquela do Exemplo 9-13, com o O deslocamento angular máximo ocorre quando   0, para o
limite inferior na integral sendo zero, o limite superior sendo
2
tempo
(t = 0 é um ponto de inflexão e (0) não é um
igual a R, e a massa M  LpR . O resultado é:
t
1
I  NR 2 , o que está de acordo com a Tabela (9-2(f)).
2
Para estes caso temos dm =  dx.
9-54:
(a) M  dm  L

0
(b)
I  0
L
x dx  
x4
x 2 (x )dx  
4
x2
2

0
L
L4
L2
2
M

 L2
0
4
2
L
.
2

máximo ) e o deslocamento angular para este tempo é:
2
3
  2    2  2  3 2 (1.80 rad / s 2 )3
      

 62.2 rad .
2    6    3  2 3 (0.25 rad / s 3 )
9-60:
(a)   tan
r

3.00 m / s 2
 0.050 rad / s 2 .
60.0 m
(b)t  (0.05 rad / s 2 )( 6.00 s )  0.300 rad / s.
(c) rad   2 r  (0.300 rad / s )2 (60.0 m)  5.40 m / s 2 .
Isto é maior que o momento de inércia de uma corda uniforme
de mesma massa e comprimento, visto que a densidade de (d)
massa é bem maior longe do eixo que quando mais próximo
dele .
(c)
I  0 ( L  x ) 2 xdx
L
  0 ( L2 x  2 Lx 2  x 3 ) dx
L
2
x3 x4 
 x
   L2  2 L  
3 4
 2
4
L

12
M
 L2 .
6
L
0
(e)
2
  rad
  tan2  (5.40 m / s 2 )2  (3.00 m / s 2 )2  6.18 m / s 2 ,
e o módulo da força é :
F = ma = (1240 kg)(6.18 m/s2) = 7.66 kN.
Este é um terço do resultado encontrado na parte (b), refletindo (f) arctan
o fato de que mais a massa está concentrada no final .
  rad 
 5.40 
o

  arctan 
  60.9 .

3
.
00


 tan 
9-56: (a) Para uma aceleração angular constante, temos:
9-62: (a) A aceleração angular será zero quando a
2
velocidade for um máximo, o que ocorre na parte inferior do

  rad   2 r  2 r.
2
circulo . De considerações de energia, a velocidade é:
(b) Denotando como  o ângulo que o vetor aceleração faz
v =
2 gh  2 gR(1 cos  ) , onde  é o
com a direção radial, e utilizando as Equações (9-14) e (9-15),
ângulo entre a vertical, livre, e
 tan r
r
1
tan  
então



 rad  2 r 2r 2

,
1
1

 0.666 rad .
2 tan  2 tan 36.9o
9-58: (a)
5) e (9-3),
v
2g
 
(1  cos  )
R
R

2(9.80 m / s 2 )
(1  cos36.9o ) 1.25 rad / s.
(2.50 m)
Por integrações sucessivas das Equações (9- (b)  será novamente igual a 0 quando a almôndega passa
através do ponto mais baixo.
(c)rad é direcionada em direção ao centro, isto é:
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9-72: A energia potencial gravitacional que se transformou
em energia cinética é:
 rad   R
K = (4.00 kg – 2.00 kg)(9.80 m/s2)(5.00 m) = 98.0 J.
2
2
Em termos da velocidade comum dos blocos, a
 rad  (1.25 rad / s) (2.50 m)  3.93 m / s .
2
energia
cinética
do sistema é:
(d) rad =  R = (2g/R)(1- cos )R = (2g)(1 – cos ),
independente de R.
2
1
1 v
K  ( m1  m2 )v 2  I  
9-64: A segunda polia, com metade do diâmetro da
2
2 R
primeira, deve ter duas vezes a velocidade angular, e esta é a
1
(0.480 kg  m 2 )  2
 v 2  4.00 kg  2.00 kg 
velocidade angular da lâmina da serra
2
  v 12.4 kg.
2
(
0
.
160
m
)


(a) (2(3450 rev/min))
Resolvendo
para
v,
temos:
  rad / s   0.208 m 


  75.1 m / s.
98.0 J
 30 rev / min   2 
v
 2.81m / s.
2
(b)
 rad   2 r

12.4 kg
2
  rad / s    0.208 m 
4
2
 
  5.43x10 m / s ,
 30 rev / min    2 
 rad   2(3450 rev / min) 
9-74:
(a)
1
K  I 2

2
então a força segurando a serragem sobre a lâmina deveria ser
2
11
2 rad / s 

aproximadamente 500 vezes tão forte quanto a gravidade .
  (1000 kg)( 0.90 m) 2   3000 rev / min x

22
60 rev / min 

 2.00 x 107 J .
9-66: Da Tabela (9-2), quantitativamente:
1
2
I A  MR 2 , I B  MR 2 and I C  MR 2 .
2
3
K 2.00 x 107 J

 1075 s,
Pave 1.86 x 104 W
(b)
(a) O objeto A possui o menor momento de inércia, pois, dos o qual é aproximadamente 18 min.
três objetos dados sua massa é a mais concentrada próxima ao
eixo.
9-76: (a) Para o caso que nenhuma energia é perdida, a
(b) Por outro lado, o objeto B possui a massa concentrada o altura de recuo h está relacionada com a velocidade v por:
mais distante do eixo.
v 2 e com o resultado para h dado no Exemplo 9-9,
(c) Como Iesfera = 2.5 MR2, a esfera deveria trocar o disco como h =
,
2g
possuindo o menor quantidade de momento de inércia .
9-68: Utilizando considerações de energia, o sistema
adquire tanto energia cinética quanto ocorre a perda em sua
energia potencial , mgR. A energia cinética é:
1
1
1
1
1
K  I 2  mv 2  I 2  m(R) 2  ( I  mR 2 ) 2 .
2
2
2
2
2
Utilizando
1
I  mR2
2
2 
h =
h
.
1  M / 2m
e resolvendo para , obtemos:
(b) Considerando o sistema como um todo, alguma parte da
energia potencial inicial da massa transformou-se em energia
cinética do cilindro. Considerando apenas a massa, a tensão na
corda realizou trabalho sobre a massa, então sua energia total
não é conservada .
4g
4g
, e 
.
3R
3R
9-78: (a) Do teorema dos eixos paralelos, o momento de
inércia é:Ip = (2/5)MR2 ML2, e
  2 R  
I
9-70: Considerando o sistema de referencia zero da energia
 1      .
ML
  5 L  
potencial gravitacional como estando no eixo, a energia
2
potencial inicial é nula ( a corda é empacotada círculos tendo o Se R = (0.05) L, a diferença é (2/5)(0.05) = 0.001.
2
eixo como centro ). Quando a corda é desenrolada seu centro (b) (Irod/ML ) = (mrod/3M), o qual é 0.33% quando
de massa está a uma distância de R abaixo do eixo. O mrod = (0.01) M.
comprimento da corda é 2R e metade desta distância é a
M e
,
posição do centro de massa. Inicialmente toda parte da corda 9-80: Cada lado possui um comprimento a e massa
4
está se movimentando com velocidade 0R, e quando a corda é
o momento de inércia de cada lado, relativo a um eixo
desenrolada, o cilindro possui uma velocidade angular , então
perpendicular ao lado e através do seu centro é:
a velocidade da corda é R (a parte superior final da corda
2
possui a mesma velocidade tangencial que a borda do 1 M a 2  Ma .
cilindro). Da conservação de energia, e utilizando I = (1/2)MR2 12 4
48
Do Teorema dos Eixos Paralelos, o momento de inércia de
para um cilindro uniforme , temos:
cada lado relativo ao eixo através do centro do quadrado é:
M m
M m
2
P
2
2
2
2
2
   R 0     R   mgR.
 4 2
 4 2
2
Ma 2 M  a  Ma 2
   
.
48
4 2
3
Resolvendo para , temos:
  02 
(4mg / R )
,
( M  2m )
e a velocidade em qualquer parte da corda é:
v = R.
9-82:
(a) Do Exercício 9-43, a taxa de perda de energia é:
4 2 I dT resolvendo para o momento de
;
T 3 dt
Sears &Zemansky – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
inércia I em termos da potência P, temos:
PT 3 1
4 2 dT / dt
31
3
(5 x10 W )(0.0331 s)
1s
I
1.09 x1038 kg  m2 .
4 2
4.22 x1013 s
I
(b) R 
5I
2M
5(1.08 x1038 kg  m2 )
 9.9 x 103 m  10 km.
30
2(1.4)(1.99) x 10 kg )
R
(c) 2R  2 (9.9 x 10
m)
 1.9 x 106 m / s  6.3 x 103 c.
(0.0331 s )
T
(d) M
V
3

M
 6.9 x 1017 kg / m3 ,
3
(4 / 3) R
o qual é muito maior que a densidade de uma rocha comum, 14
ordens de grandeza, sendo comparável a densidade de massa
nuclear .
9-84: Seguindo o procedimento para se resolver o Exemplo
9-14 (e utilizando-se z como a coordenada ao longo do eixo
vertical ), temos:
R
R2
 R 4 4
r( z )  z , dm   2 z 2 dz and dI 
z dz.
h
h
2 h4
Então,
I   dI 
 R 4
2 h
4

h
0
z 4 dz 
 R 4
10 h
4
[ z 5 ]0h 
1
R 4 h.
10
O volume de um cone circular é :
1
e sua massa é : 1 R 2 h, e portanto:
V  R 2 h,
3
3
3  R 2 h  2 3
2
I 
 R  MR .
10  3 
10