Aplicações de integração Cálculo 2– Prof. Aline Paliga Áreas entre curvas Nós já definimos e calculamos áreas de regiões que estão sob os gráficos de funções. Aqui nós estamos usando integrais para encontrar áreas de regiões entre os gráficos de duas funções. Considere a região S que está entre duas curvas y=f(x) e y=g(x) e entre as retas verticais x=a e x=b, onde f e g são funções contínuas e f(x)≥g(x) para todo x em [a,b]. S ( x, y) / a x b, g ( x) y f ( x) Assim como fizemos em aula passada, dividimos S em n faixas de larguras iguais e então aproximamos a i-ésima faixa por um retângulo com base Δx * * e f xi g xi . A soma de Riemann é portanto uma aproximação que nós intuitivamente pensamos da área de S. n f x g x x i 1 * i * i Esta aproximação parece melhorar quando n . Portanto nós definimos a área A de S como o valor do limite da soma das áreas destes retângulos aproximadores: A lim f xi* g xi* x n n i 1 A área A da região limitada pelas curvas é então: A f x g x dx a b Notamos que se g(x)=0, S é a região sob o gráfico de f, e nossa definição acima é reduzida à definição anteriormente estudada. Se f e g forem positivas: A [área sob y f ( x)] [área sob y g ( x)] = f x dx b a g x dx b a f x g x dx a b EXEMPLO 1: Encontre a área da região limitada por cima Por y=ex e por baixo por y=x, e limitada pelos lados por x=0 e x=1. RESOLUÇÃO: 1 1 1 0 0 0 A (e x x)dx e x dx xdx 1 x2 12 02 1 0 e e e 0 2 0 2 2 1 3 e 1 e u.a. 2 2 x 1 EXEMPLO 2: Encontre a área da região entre as parábolas y=x2 e y=2x-x2 . RESOLUÇÃO: Nós primeiro encontramos os pontos de intersecção das parábolas resolvendo suas equações simultaneamente. x2 2x x2 A (2 x x 2 ) x 2 dx 2 x 2 x 2 dx 0 0 1 2x 2x 2 x2 x 0 x( x 1) 0 x 0 e x 1 x 0 y 0 I1 (0,0) x 1 y 1 I 2 (1,1) 1 2 x x 2 dx 2 xdx 2 x 2 dx 1 1 1 0 0 0 1 1 x2 x3 12 02 13 03 2 2 2 2 0 3 0 2 2 3 3 2 1 1 u.a. 3 3 Algumas regiões são mais bem tratadas considerando x como uma função de y. Se uma região é limitada por curvas com equações x=f(y), x=g(y), y=c e y=d, onde f e g são contínuas e f(y)≥g(y) para c≤y≤d, então sua área é: A f y g y dy c d EXEMPLO 3: Encontre a área limitada pela reta y=x-1 e pela parábola y2=2x+6. RESOLUÇÃO: Colocando x como função de y nas duas equações: y x 1 x y 1 y2 2x 6 y2 6 2x y2 6 x 2 y2 x 3 2 Depois encontramos os pontos de intersecção da parábola e da reta resolvendo suas equações simultaneamente. y2 y 1 3 2 y2 6 y 1 2 2( y 1) y 2 6 2 y 2 y2 6 y2 2 y 8 0 (2) (2) 2 4.1.(8) y 2.1 26 y y 4 e y 2 2 y 2 x y 1 2 1 1 I1 (-1,-2) y 4 x y 1 4 1 5 I 2 (5,4) 4 y2 1 A ( y 1) 3 dy y 2 y 4 dy 2 2 2 2 4 4 1 4 y 2 dy ydy 4 dy 2 2 2 2 4 4 4 y2 1 y3 4 4 y 2 2 3 2 2 2 1 43 2 2 3 3 42 2 2 4 4 (2) 2 2 1 64 8 16 4 4 6 2 3 3 2 2 3 1 72 12 24 12 6 24 18u.a. 2 3 2 Volumes Na tentativa de encontrar o volume de um sólido nós nos deparamos com o mesmo tipo de problema para calcular áreas. Começando com um sólido simples chamado cilindro, que é limitado por uma região plana B1, chamada base, e a região B2 congruente em um plano paralelo. O cilindro consiste em todos os pontos nos segmentos de retas perpendiculares à base que unem B1 e B2. Se á área da base é A e a altura (distância entre B1 e B2) é h, então o volume é: V Ah Para um sólido S que não é um cilindro, nós primeiro “cortamos” S em pedaços e aproximamos cada pedaço por um cilindro. Chegamos ao volume exato de S através de um processo de limite quando o número de partes se torna grande. Pense em fatiar S com uma faca através de x e calcular a área dessa fatia. A área A(x) varia quando x aumenta de a a b. seção transversal Vamos dividir S em n fatias de larguras iguais Δx usando os planos Px1, Px2,...Se escolhermos pontos de amostragem x*i em [xi-1, xi], podemos aproximar a i-ésima fatia Si por um cilindro com área de base A(x*i ) com “altura” Δx . V S A( x* )x i i Adicionando os volumes destas fatias, nós obtemos uma aproximação para o volume total: n V A( xi* )x i 1 Esta aproximação parece melhorar quando n . Pense em tornar as fatias cada vez mais finas. Portanto, definimos o volume como o limite destas somas quando n . Mas reconhecemos o limite da soma de Riemann como a integral definida, e assim temos o seguinte definição. DEFINIÇÃO DE VOLUME Seja S um sólido que está entre x=a e x=b. Se a área da seção transversal de S no plano Px, passando por x e perpendicular ao eixo x, é A(x), onde A é uma função contínua, então o volume de S é: n b i 1 a V lim A( xi* )x A( x)dx n EXEMPLO 1: Mostre que o volume de uma esfera de raio r é: 4 V r3 3 RESOLUÇÃO: Se colocarmos a esfera de tal maneira que o seu centro esteja na origem, então o plano Px intercepta a esfera em um círculo cujo raio (pelo teorema de Pitágoras) é y r 2 x2 . Então a área da seção transversal é: A( x) y 2 r x 2 2 2 r 2 x2 Usando a definição de volume com a=-r e b=r, nós temos: V A( x)dx r 2 x 2 dx r r r r V r 2 x 2 dx r 2 dx x 2 dx r r r 2 x r r r r r r 3 3 r x3 r 2 r r (r ) 3 3 3 r r r3 2 4 r 2r 2 2 r 3 r 3 r 3u.v. 3 3 3 2 Pela soma de Riemann: com 5 discos com 10 discos com 20 discos EXEMPLO 2: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo x da região sob a curva y x de 0 a 1. RESOLUÇÃO: Se fizermos a rotação ao redor do eixo x, obteremos o sólido mostrado acima e se fatiarmos através do ponto x, obtemos um disco com raio x . A área desta seção transversal é: A( x) x 2 x O sólido está entre x=0 e x=1; assim, o seu volume é: 1 x2 12 V A( x)dx xdx 0 0 2 2 2 0 1 1 EXEMPLO 3: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y x3 , y=8 e x=0 ao redor de y. RESOLUÇÃO: Como a região é girada ao redor do eixo y, faz sentido fatiar o sólido perpendicularmente ao eixo y e portanto Integrar em relação a y. Se nós fatiarmos a uma altura y, obteremos um disco circular com raio x onde : x 3 y Então a área da seção transversal é: A( y) x 2 3 y 2 y 2 3 Como o sólido está entre y=0 e y=8, seu volume é: 8 y 53 8 8 2 V A( y )dy y 3 dy 0 0 5 3 0 3 = 5 3.5 5 3 3 3 5 3 96 y 3 83 23 2 32 u.v. 0 5 5 5 5 5 5 8 EXEMPLO 4: A região ℜ limitada pelas curvas y=x e y=x2 é girada ao redor do eixo x. Encontre o volume do sólido resultante: A( x) x x 2 ( x 2 x 4 ) 2 2 Portanto temos: arruela (anel) 1 x3 x5 13 15 2 2 4 V A( x)dx ( x x )dx u.v. 0 0 3 5 0 3 5 15 1 1 Os sólidos dos exemplos 1-4 são chamados de sólidos de revolução, porque são obtidos pela rotação de uma região ao redor de um eixo. Então em geral, calculamos o volume de um sólido de revolução usando a fórmula básica da definição: b V A( x)dx a d ou V c A( y)dy e encontramos a A(x) ou A(y) por uma das seguintes maneiras: Se a seção transversal for um disco (exemplo 1 a 3), nós encontramos o raio do disco (em termos de x ou y) e usamos: A (raio)2 Se a seção for uma arruela (exemplo 4), encontramos o raio interno rint e o raio externo rext e calculamos a área da arruela subtraindo a área do disco interno da área do disco externo: A (raio externo)2 (raio interno)2