a história dos logaritmos como contribuição à matemática

X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
A HISTÓRIA DOS LOGARITMOS COMO CONTRIBUIÇÃO À MATEMÁTICA
DO ENSINO MÉDIO
Evanildo Costa Soares1
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
[email protected]
Resumo: Esse texto apresenta como surgiu o logaritmo no decorrer da história. Para isso,
utiliza-se a história da matemática como forma investigativa, afim de que possa ajudar o
professor entender o contexto epistemológico desse instrumento de cálculo e suas
contribuições didáticas para o ensino-aprendizagem da matemática. Pretende-se nesse
trabalho a priori desenvolver o conceito de logaritmo, suas propriedades e principais
aplicações no contexto sócio-cultural. Considerando a variedade de conceitos matemáticos
no presente estudo, optamos por desenvolver um modelo teórico-prático para a
compreensão dos logaritmos seguindo como meta à investigação histórica da matemática.
Palavras-Chave: Investigação Histórica da Matemática; Conceito de Logaritmo;
Logaritmos Neperianos; Propriedades dos Logaritmos.
INTRODUÇÃO
Atualmente, uma das abordagens didática que muito tem sido apontada por
pesquisadores da Educação Matemática, como forte aliada na superação das dificuldades
conceituais dos alunos é a história da matemática. Há, entretanto, uma série de
controvérsias de estudiosos e críticos quanto ao uso dessa alternativa didática no ensino de
matemática. Muitas dessas críticas apontam que tal abordagem de ensino não é suficiente
para garantir ao aluno uma aprendizagem satisfatória. Diante de alguns desses
posicionamentos bem como da realidade na qual se encontra o ensino atual, consideramos
necessário buscar alternativas de mudança para o processo de ensino-aprendizagem da
matemática, principalmente, no que diz respeito ao modo como o aluno encara a
matemática em sala de aula.
Uma dos obstáculos apresentados pelos alunos na compreensão dos conteúdos de
matemática remete-se ao uso da linguagem e simbologia, que são elementos primordiais da
matemática. Outro fator notório refere-se à forma como os professores relacionam o ensino
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Esse trabalho foi orientado pelo professor Iran Abreu Mendes.
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de matemática com o seu contexto social e como são vivenciadas essas práticas. De acordo
com Mendes (2006):
(...) a matemática é um saber gerado pela sociedade humana, e por
conseqüência, possui uma história. Todavia, esse conhecimento,
certamente, se amplia em conteúdo, em escrita e em simbologia ao longo
do tempo, de forma não-linear, porém, traçada por controvérsias, debates,
divergências, renovações e atualizações interessantes. (MENDES, 2006,
p. 11)
Assim, para aprimorar o ensino de matemática e propor uma melhor compreensão
dos conteúdos, utilizaremos a história da matemática. Considerando a variedade de
conceitos matemáticos no presente estudo, optamos por desenvolver um modelo teóricoprático para a compreensão do conceito de logaritmo, tendo como referencia à investigação
histórica da matemática. Tal escolha poderá ajudar o aluno a compreender como foram
construídos os logaritmos, suas propriedades e aplicações na sociedade contemporânea.
Ao inserir dados concretos de estudos que evidenciam tal fracasso vivenciado pelas
as escolas dos nossos dias, a nossa intenção é ajudar o aluno a compreender o logaritmo de
uma forma simples e eficaz, fugindo da abordagem adotada pelos livros didáticos,
oferecendo ao professores meios suficientes e concretos para que realize o ensino que
satisfaça o aprendizado do aluno.
A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E A ANÁLISE CONSTRUTIVA DO
LOGARITMO
Nossa vivencia como aluno e professor tem mostrado que na escola dos nossos dias,
a falta de um ensino satisfatório e a relação desses conteúdos com sua prática, tem sido uma
das principais causas do fracasso escolar. Nisto, o ensino é focalizado de forma mecânica e
sem estímulo. O aluno segue um modelo matemático baseado em repetições de exercícios e
memorizações de fórmulas.
Tendo em vista a contribuir na superação de problemas como esses, pretendemos
explorar situações que possibilitem uma aprendizagem significativa da matemática, Mendes
(2006, p.13) proporciona que “o aluno só aprende matemática, quando é estimulado a
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pensar, refletir e analisar sobre os conceitos e sua prática afim de que obtenham uma
matemática como uma ciência sociocultural”.
Dizemos que quando o aluno é estimulado a pensar e a agir dessa forma, o ensino
torna-se mais proveitoso e prático, facilitando na compreensão dos conteúdos e de suas
relações sociais, culturais e econômicas. De acordo com Mendes(2006):
Ainda é possível, utilizarmos a matemática produzida por outros povos, e
em outras épocas, para produzir novas matemáticas, compará-las com a
produção anterior e ampliar o corpo de conhecimento já existente.
Portanto, a história servirá como agente de cognição para que o aluno
aprenda a construir os conceitos e suas formações a partir de uma
realidade prática utilizada por outros povos, passando a ter mais interesse
em estudar e aprender matemática. (MENDES, 2006, p.12)
Assim, por essa proposição, a história da matemática serve como agente de
cognição, pelo qual nos desperta a utilizar matemáticas produzidas por outros povos, a fim
que possa produzir novas matemáticas. Com isso, seguindo esse campo de abordagem
investigativa, a história da matemática passa a ser um fator condicionante para o
aprendizado da matemática. Mas, se tratada apenas como assunto específico ou conteúdo,
torna-se insuficiente para o processo de ensino e aprendizagem da matemática. Conforme
comenta os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN):
A história da matemática não contribui para a formação do aprendizado,
segundo os autores, a historia é insuficiente para o aprendizado intensivo
da matemática. Alguns historiadores se intensificam com relação a
historia da matemática, e por sua vez, garantem que historia é
fundamental para o aprendizado significativo da matemática. (BRASIL,
1999, p.40).
Um dos conteúdos mais discutidos e comentados no ensino médio é o logaritmo. A
deficiência na compreensão e assimilação desse conteúdo é bastante repercutida no ensino
médio e uma das principais causas é a falta de um estudo mais detalhado sobre esse tema,
tendo como meta o aprendizado desse instrumento de cálculo. Contudo, a maneira como os
professores ensina os logaritmos sem nenhuma procedência relacional dificulta o
aprendizado do aluno e não desperta a curiosidade dele quanto ao uso específico e prático
desse instrumento de cálculo.
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Por isso, a falta de um aprimoramento e de domínio do professor no que concerne
ao ensino de logaritmos faz com que os alunos defendam que esse instrumento de cálculo
não tem nenhum valor específico e o seu uso é ineficaz para o processo de ensino e
aprendizagem da matemática.
Essa reflexão nos aponta que o ensino de logaritmos apresentado pelos professores
nas instituições de ensino é fundamentado apenas em livros didáticos cuja abordagem
possui um nível de difícil compreensão. Sua representação lógica segue apenas o enunciado
“formal” como forma teórica para a sua compreensão, sem mencionar nenhuma relação
interdisciplinar com outras ciências e nenhuma análise prática e investigativa desse
instrumento de cálculo. Vejamos como os logaritmos são definidos em dois dos principais
livros de matemática usados no ensino médio:
Conforme ilustra Dante (1999, p. 203): “Dados os números reais positivos a e b,
com b ≠ 0, chamamos de logaritmo de a, na base b, o número real c, que deve ser o
expoente de b para que a potência seja igual ao número a”. log b a = c
bc = a, com a > 0
e 1 ≠ b > 0”.
Conforme comenta Iezzi (2004, p.197): “Sendo a e b números reais e positivos, com a ≠
1, chama-se logaritmo de b na base a o expoente x ao qual se deve elevar a base a de modo que
potência ax seja igual a b, [ou seja], log a b = x
ax = b”.
Nos dois exemplos citados anteriormente, a definição de logaritmo é formulada sem
nenhuma relação histórica com representação algébrica e simbólica de difícil compreensão.
Percebemos que os autores pressupõem que o aluno já tenha alguma idéia formada sobre
esse conteúdo. Nesses livros, ainda são apresentados vários exercícios que não são
explorados de forma prática, pois se fundamenta na definição e memorização do conceito.
Quando os autores fornecem alguma história ou comentário a esse respeito, não traz
nenhuma relação prática e investigativa desse instrumento de cálculo.
Então, para aprofundarmos nesse estudo e para compreendermos melhor a análise
construtiva do logaritmo e o seu primeiro conceito, vejamos o que significa a palavra
logaritmo. Conforme afirma Magalhães (2003, p.8), logaritmos vem da junção de duas
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palavras no latim “logos – razão e arithemos - números (Quanta vezes se tomam à base
como fator para obter o número)”. Essa era idéia principal que se tinha a respeito da palavra
logaritmo. Observa-se primordialmente que a idéia proposta tinha uma relação com
potenciação. Segundo Collete(1995), o primeiro homem a utilizar essa idéia foi John
Napier:
(...) no final do século XVI, Napier, preocupado porque os cálculos eram
grandes e difíceis, e freavam o progresso científico, concentrou todos os
seus esforços em desenvolver métodos que pudessem simplificá-los. Com
este fim, escreveu em sua Rabdologia, onde descreve a utilização de
barras e quadrinhos para efetuar somas de parcelas parciais. Os
quadrinhos de Napier eram tábuas de multiplicações montadas sobre
barras de secções quadradas (COLLETTE, 1995, p.45).
Esse dispositivo o incentivou a estudar mais sobre os instrumentos de cálculo que
pudessem simplificar os cálculos enormes da época. A sua busca era encontrar algum
instrumento de cálculo que facilitasse e simplificasse os cálculos que freavam o progresso
científico da época e facilitasse a vida dos astrônomos. No entanto, ele dedicou grande
parte de sua vida a estudos matemáticos que contribuísse para essa maravilhosa invenção e
depois de vinte anos publicou as tábuas dos logaritmos.
O SURGIMENTO DO LOGARITMO NO SÉCULO XVII
O surgimento do logaritmo foi desenvolvido a partir de uma análise feita por
Napier, no final do século XVII, em que um dos grandes desafios da matemática consistia
em encontrar meios de simplificar os cálculos numéricos, visando em especial às
necessidades da astronomia e da navegação.
Assim, Napier propôs sua primeira análise a respeito do logaritmo partindo de uma
experiência prática e de acordo com Eves (1997) em linguagem moderna, ele concebeu os
seus logaritmos da seguinte maneira:
Imaginemos os pontos C e F percorrendo respectivamente o segmento AB
e a semi-reta DX (como mostra a figura a seguir), partindo ao mesmo
tempo do ponto A e do ponto D, com a mesma velocidade inicial,
admitamos ainda que, numericamente, a velocidade de C seja dada
sempre pela medida de CB e que a velocidade de F seja constante; nessas
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condições Napier definiu como logaritmo de x = CB o número y = DF.
Assim, explicitamente, nesse conceito não intervém a idéia de base.
(EVES, 1997, p. 243)
Esse conceito de logaritmo apresentado por Napier o fez se interessar cada vez mais
pelo o estudo significativo desse instrumento de cálculo. A análise dessa prática não nos
convém ser demonstrada, pois ela funciona como suporte teórico para representar o
significado do logaritmo. Essa análise construtiva o levou adiante a primeira idéia do que
fosse o logaritmo neperiano, e no século XVIII, fosse demonstrada por Leonard Euler a
seguinte relação:
1
10 n
1
n
= e.
Observe:
1
1
1
1
100
1
1000
1
1000000
100
1,01100
2,704813...
1000
1,0011000
2,7146023...
1000000
1,0000001100
2,718280...
e = 2,718281828459045.....
Baseado nessa aplicação e pela a análise sucinta de suas potencias, Euler chamou esse valor
encontrado de logaritmo neperiano em homenagem ao criador.
A sua futura descoberta percutiu-se bastante durante o século XVII revolucionando
a matemática moderna com sua principal invenção. Os logaritmos propostos por Napier
foram desvendados numa associação entre progressões aritméticas e geométricas, que eram
conhecidas como relação de Stifel. Vejamos:
2
4
8
16
32
64
128
256
512 (Progressão Geométrica)
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4
5
6
7
8
9 (Progressão Aritmética)
A sua primeira observação apontou que o produto de dois termos da primeira
progressão está associado com a soma dos dois termos correspondente da segunda
progressão. Para manter os termos da progressão geométrica, suficientemente próximos, de
modo que se possa usar interpolação para preencher as lacunas entre os termos, deve-se
escolher um número próximo de 1. Esse número fixado por Napier caracterizou, os
logaritmos Neperianos conforme vimos anteriormente. Reescrevendo essa idéia temos:
21
1
22
2
23
3
24
4
25
5
26
6
27
7
28
8
29 (Progressão Geométrica)
9 (Progressão Aritmética)
Observando essa idéia deparamo-nos com o conceito de logaritmos proposto por
Napier através de seu dispositivo prático, isto é, que os elementos postos sobre a progressão
geométrica são os que saem com velocidade variada, enquanto isso os da progressão
aritmética são os que partem com velocidade constante. Em outras palavras, os termos da
progressão aritmética são os respectivos logaritmos da progressão geométrica. Observe:
21 = 2
22 = 4
...
9
2 = 512
O valor 2 é uma constante que eleva os valores 1, 2, 3, 4, ...9, ou seja, a essa
constante 2 que denominaremos de base do logaritmo. Os valores dos resultados de cada
potenciação 2, 4, 8, 16, ...512 denominaremos de logaritmando. E os logaritmos são os
respectivos valores de cada expoente, que elevados à base encontram o logaritmando. De
outra forma, os logaritmos são os respectivos valores que acompanham os termos de uma
progressão aritmética. Assim, Por exemplo, log 2 64 = 6. Logo, 26 = 64. Reescrevendo de
uma forma geral tem-se:
b b² b 3 b4... bm .... bn (Progressão Geométrica)
1 2 3 4 ... m ... n (Progressão Aritmética)
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Dizemos bm = a e, reescrevendo na forma de logaritmo teremos log a b = m. Assim,
dizemos que m é o logaritmo de b na base a, onde a > 0 e a ≠ 1 e b > 0 para quaisquer que
sejam a, b e m reais. Essa forma que encontramos para definir o logaritmo não se encontra
nos livros de didático de matemática do século XXI, pois foi substituído pelo método
algébrico. A progressão aritmética e geométrica é um dos meios mais importantes para
compreender os logaritmos.
Observa-se que essa idéia fundamentada por Napier faltava-lhe certa clareza para
explicar o logaritmo de um em qualquer base. Assim, ele recebeu uma visita de Henry
Briggs em sua casa, logo após a publicação de sua maravilhosa obra em 1614. Segundo
Eves (1997):
Foi basicamente durante essa visita que Napier e Briggs resolveram que as
tábuas seriam mais úteis se fossem alteradas de modo que o logaritmo de
1 fosse 0 e o logaritmo de 10 fosse 1, nascendo assim os logaritmos
briggsianos, ou comuns, os logaritmos de base 10. (EVES, 1997, P.241).
O uso específico do logaritmo decimal proposto pelo o acordo comum entre ambos,
tornou Briggs depois da morte de Napier como o primeiro homem a desvendar esse
instrumento de cálculo, sem o auxilio de régua, a construção e a publicação de uma tábua
em 1617, contendo os logaritmos decimais de 1 até 1000. Esse trabalho segue a mesma
proposição de Napier realizado entre progressões aritméticas e geométricas.
OS LOGARITMOS DE BRIGGS E AS PROPRIEDADES LOGARÍTMICAS
Para a compreensão dos logaritmos decimais e como obteve esses primeiros
logaritmos utilizou o método descrito a seguir, a fim de obter o expoente – logaritmo de um
número. Vejamos como encontrar o valor log 2, log 3, log 4 e log 5 pelo o uso do método
das tentativas.
Sabendo que 210 =1024, achar n tal que 10 n =2.
De imediato 100 < n <101. Isto significa que logaritmo, de dois na base dez, está
entre 0 e 1. Partindo dessa idéia, utilizaremos uma aproximação para o valor 210 =1024.
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Com um erro de apenas de 2,4%, 210 ≅ 103,ou seja, 1024 é aproximadamente 1000. Assim,
obtém-se: 210 ≅ 1000 ou 210 ≅ 103
Dividindo ambos os expoentes por 10, obtemos:
21 ≅ 100,3
2 100,3
Então, o valor de n encontrado é 0,30, que é o log 2. Portanto, log 2 = 0,30.
Sabendo que 39 = 19.683, achar n tal que 10 n =3.
De imediato 100 < n <101. Isto significa que logaritmo, de três na base dez, está
entre 0 e 1. Partindo dessa idéia, utilizaremos uma aproximação para o valor 39 =19.683.
Com um erro de apenas de 3,4%, 39 ≅ 20.000, ou seja, 19.683 é aproximadamente 20.000.
Assim, obtém-se:
39 ≅ 20.000
39 ≅ 2x10.000
39 ≅ 2x104
Dividindo ambos os expoentes por 9, obtemos:
, isto
é: 31 ≅ 20,111 x 100,444.
Sabendo que 10 0,3 =2, tem-se: 31 ≅ (100,3)0,111 x 100,444, ou seja, 3 ≅ 100,033 x 100,444.
Usando a propriedade da multiplicação de mesma base, tem-se: 3 ≅ 100,033 x 100,444
é 3 ≅ 100,477. Logo o resultado é: 3 ≅ 100,477. Então, o valor de n encontrado é 0,477, que é
o log 3. Portanto, aproximando o valor encontrado, tem-se log 3 = 0,48.
Determinemos, então, o log 4 , ou seja, encontrar um n tal que 10n = 4.
Sabendo que log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.
10n = 4 = 2.2 = 100,30. 100,30
= 100,30 + 0,30 => n = 0,30 + 0,30
=> log 2 + log 2 => 2. log 2 =2.0,30 = 0,60.
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Portanto, log 4 = log (2. 2) = log 2 + log 2 ou seja log 4 = log 22 = log 2 + log 2 = 2. log 2
Portanto, o log 4 = 0,60.
Determinemos, agora, o log 5, ou seja, encontremos um n tal que 10n = 5. Sabendo
que o log 10 = 1 e log 2 = 0,30.
10n = 5 =
10
10
= 0 ,3010 = 10 1-0,30
2
10
10n = 10 1-0,30
log 5 = log
n = 1 – 0,30
n = 1 – 0,30 =0,69.
log 10 – log 2, ou seja,
10
= log 10 –log 2.
2
Portanto, o log 5 = 0,6990
Pelo que vimos anteriormente, o processo de categorização dos logaritmos decimais
ajudaram na caracterização das propriedades dos logaritmos, que são encontrados em
diversos livros didáticos de matemática.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo deste artigo utilizamos informações da história da matemática para
entender e explicar melhor o conceito de logaritmo, suas propriedades e aplicações.
Partindo das dificuldades enfrentadas por professores e alunos no ensino e aprendizagem de
logaritmos, esse estudo, ainda em faze de construção, pretende contribuir para a construção
significativa dos logaritmos, tendo como meta auxiliar o professor de matemática a fim que
realize um ensino de qualidade que satisfaça o aprendizado dos alunos.
Nesse sentido, a abordagem histórica dos logaritmos por nós formulada até agora
tem contribuído para a uma abordagem contextualizada desse tópico matemático no ensino
médio, por meio da interpretação de tabelas, gráficos e formulações das funções
logarítmicas e trigonométricas e seus desdobramentos na análise de fenômenos naturais,
sociais, políticos e econômicos que podem ser abordados através da modelagem
matemática.
REFERÊNCIAS
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COLLETTE, Jean Paul. El Comienzo de Las Matemáticas Modernas. Espanha: Ed. Siglo
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IEZZI, Gelson. Matemática ciência e aplicação. São Paulo: Ed. Atual, 2004. v. 1.
MAGALHÃES, Gildásio Nogueira. Trabalho Monográfico sobre Logaritmos. Rio de
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século XVI: as contribuições de Napier, Briggs e Burgi. In: MENDES, Iran Abreu (Org.).
A matemática no século de Andrea Palladio. Natal: Edufrn, 2008.
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MENDES, Iran Abreu. Matemática e investigação em sala de aula: tecendo redes
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