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Apontamentos de Matemática – 6.º ano
Números naturais - Decomposição de números em fatores primos
Revisão (divisores de um número)
Os divisores de um número são os números naturais pelos quais podemos dividir esse número
de forma exata (resto zero).
Exemplos:
Os divisores de 4 são 1, 2 e 4, pois se dividirmos 4 por 1, por 2 e por 4 obtemos resto zero.
4: 1 = 4, 4: 2 = 2, 4: 4 = 1. Se dividirmos 4 por qualquer outro número natural, não vamos
obter resto zero: 4: 3 = 1, e tem resto 1. Se dividirmos 4 por números maiores que 4 também
vamos obter restos diferentes de zero.
Os divisores de 3 são 1 e 3, os divisores de 10 são 1, 2, 5 e 10.
Exercício resolvido
Determine os divisores de:
Respostas: a) 1 e 5
a) 5
b) 1, 3 e 9
b) 9
c) 1 e 11
c) 11
d) 15
e) 20
d) 1, 3, 5 e 15 e) 1, 2, 4, 5, 10 e 20
Vamos observar atentamente as respostas e recordar alguns conhecimentos do 5.º ano.
- 1 é divisor de todos os números naturais.
(se dividirmos qualquer número por 1 obtemos resto zero)
- Qualquer número natural é divisor de si próprio.
(neste caso o quociente é a unidade e o resto é zero).
- Um número natural é múltiplo dos seus divisores.
(se, por exemplo, 3 é divisor de 12, então 12 é múltiplo de 3).
Voltemos ao exercício, e reparemos que alguns números têm dois (e só dois) divisores: são
eles o 3, 5 e 11. Estes números têm um nome: números primos.
Definição – Um número é primo se tem dois (e só dois) divisores.
Definição – Um número é composto se tem mais de dois divisores.
O número 1 não é primo nem composto – tem um único divisor que é ele próprio.
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Números naturais - Decomposição de números em fatores primos
Exercícios propostos
1. Determine os divisores de:
a) 6
b) 10
c) 13
d) 15
e) 20
f) 23
g) 30
2. Em relação ao exercício anterior indique quais são os números primos e quais são os
números compostos.
Decomposição de um número em fatores primos.
Observe os exemplos seguintes.
10 = 2 × 5 , Como 2 e 5 são números primos, 10 está escrito como um produto de números
primos ou, está decomposto em fatores primos.
20 = 4 × 5, Como 4 não é número primo, substituímos 4 por um produto de números primos.
20 = 2 × 2 × 5 – Assim 20 está decomposto em fatores primos.
Nota (recorde dos anos anteriores).
Produto é o resultado de uma multiplicação e os números que se multiplicam chamam-se
fatores.
Um número está decomposto em fatores primos quando está escrito como um produto de
número (fatores) todos primos.
Exemplos:
30 = 2 × 3 × 5 – Como 2, 3 e 5 são números primos, 30 está decomposto em fatores primos.
40 = 23 × 5 – Como 2 e 5 são números primos, 40 está decomposto em fatores primos.
50 = 10 × 5 – Como 10 não é número primo, 50 não está decomposto em fatores primos.
Mas se substituirmos 10 por 2 × 5, vem, 50 = 2 × 5 × 5 = 22 × 5, e assim 50 já está
decomposto em fatores primos.
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Números naturais - Decomposição de números em fatores primos
Como decompor um número em fatores primos?
Em alguns casos podemos fazê-lo mentalmente, como 6 = 2 × 3 ou 15 = 3 × 5
Vamos decompor o 18 em fatores primos: 18 = 6 × 3 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32
Começámos por 18 = 6 × 3, mas como 6 não era primo, substituímo-lo pelo produto de dois
números primos. Este método pode ser trabalhoso para alguns números.
Então vamos ver um procedimento para decompor números naturais em fatores primos.
Nota: Há v de fazer, vamos ver aqui apenas uma.
O esquema seguinte mostra uma forma de decompor o número 18 em fatores primos.
1) Escreve-se o 18 e traça-se uma linha vertical.
2) Divide-se 18 pelo menor número primo que é seu divisor (2 que é colocado à sua direita).
3) Coloca-se o resultado da divisão (9) debaixo do 18.
4) Divide-se esse resultado (9) pelo menor primo que é seu divisor (3 que é colocado à direita).
5) Coloca-se o resultado debaixo do 9.
6) Divide-se esse resultado (3) pelo menor primo (3 que é colocado à sua direita).
Quando o resultado for a unidade (1) o processo termina.
A coluna da direita são os fatores primos, então, 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 32
Na prática faz-se um único esquema.
Veja os exemplos da decomposição dos números 20, 63 e 135
20 = 22 × 5,
63 = 32 × 7,
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135 = 33 × 5
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Números naturais - Decomposição de números em fatores primos
Exercícios propostos
3. Decomponha em fatores primos os seguintes números:
a) 30
b) 12
c) 36
d) 150
e) 350
f) 245
g) 40
h) 99
4. Complete as seguintes decomposições em fatores primos.
a) ___  32  5  90
b) 22  ____  36
c) 22  ____  11  220
d) 3  ___  7  105
Exercício resolvido
Considere os números 𝐴 e 𝐵 decompostos em fatores primos:
𝐴 = 23 × 52 × 7
𝐵 = 2 × 32 × 5
a) Qual é o quociente da divisão de A por 2, por 4, por 5 e por 7?
b) Explique por que 2, 6, 9 e 5 são divisores de B.
c) Escreva a decomposição em factores primos de 𝐴 × 𝐵, 2 × 𝐴 e 4 × 𝐵
Resolução
a)
𝐴: 2 = 22 × 52 × 7 = 4 × 25 × 7 = 700
𝐴: 4 = 2 × 52 × 7 = 5 × 25 × 7 = 350
𝐴: 5 = 23 × 5 × 7 = 8 × 5 × 7 = 280
𝐴: 7 = 22 × 52 = 4 × 25 = 100
b)
2 e 5 encontram-se na decomposição de 𝐵
6 = 2 × 3 𝑒 9 = 32 e 2 × 3 e 32 estão na decomposição de 𝐵.
c)
𝐴 × 𝐵 = 23 × 52 × 7 × 2 × 32 × 5 = 24 × 32 × 53 × 7
2 × 𝐴 = 2 × 23 × 52 × 7 = 24 × 52 × 7
4 × 𝐵 = 4 × 2 × 32 × 5 = 2 × 2 × 2 × 32 × 5 = 2 3 × 32 × 5
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Números naturais - Decomposição de números em fatores primos
Exercícios propostos
5. Considere 𝐴 = 32 × 5 e 𝐵 = 3 × 5 × 72
a) Qual é o quociente da divisão de A por 3?
b) Qual é o quociente da divisão de 𝐵 por 15?
c) Decomponha em fatores primos 2 × 𝐴 e 5 × 𝐵.
d) Qual é o menor e qual é o maior fator primo da decomposição de 𝐵?
e) Explique, sem efetuar cálculos, que 𝐴 não é um número par, mas é divisível por 3.
6. Associe cada número à sua decomposição em fatores primos.
Números: 84, 96, 135, 98
Decomposições: 25 × 3, 2 × 72 ,
22 × 3 × 7,
33 × 5
7. A decomposição de um número em fatores primos é 2 × 32 × 5.
a) Justifique que esse número é par.
b) Justifique que 10 é divisor desse número.
c) Escreva a decomposição em fatores primos de um múltiplo desse número maior do que ele.
8. Decomponha em fatores primos:
a) 12 × 5
b) 6 × 9
9. Complete os seguintes esquemas referentes à decomposição de números em fatores
primos.
10. Qual das seguintes expressões apresenta a decomposição do número 200 em fatores
primos?
23 × 3 × 5
2 × 4 × 52
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22 × 25
23 × 52
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Números naturais - Decomposição de números em fatores primos
Soluções dos exercícios propostos
1. a) 1, 2, 3, 6 b) 1, 2, 5, 10
f) 1, 23
c) 1, 13
d) 1, 3, 5, 15
e) 1, 2, 4, 5, 10, 20
g) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
2. Números primos: 13 e 23 (têm dois divisores)
Números compostos: 6, 10, 15, 20, 30 (têm mais de dois divisores)
3 a) 2 × 3 × 5
b)22 × 3
c) 22 × 32
d) 2 × 3 × 52
e)2 × 22 × 7
f) 5 × 72
g) 23 × 5
h) 32 × 11
2
4. a) 2 b) 3 c) 5 d) 5
5. a) 3 × 5 = 15
b) 72 = 49
c) 2 × 𝐴 = 2 × 32 × 5,
5 × 𝐵 = 5 × 3 × 5 × 72 = 3 × 52 × 72
d) Menor: 3, Maior: 7 e) 𝐴 não é par (não é divisível por 2) pois o 2 não se encontra na sua
decomposição. A é divisível por 3, pois 3 encontra-se na sua decomposição.
6) 84 = 22 × 3 × 7, 96 = 25 × 3,
135 = 33 × 5,
2 × 72
7. a) Como 2 encontra-se na sua decomposição, é divisível por 2, logo é par.
b) 2 × 5 = 10 encontra-se na sua decomposição, logo é divisível por 10.
c) 3 × 2 × 32 × 5 = 2 × 33 × 5 (por exemplo).
8. a) 12 × 5 = 22 × 3 × 5
b) 6 × 9 = 2 × 3 × 32 = 2 × 33
9.
10. 23 × 52
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