tensão tensão -resistor -mais

EXERCÍCIOS PRÁTICOS
Exercício 1.
Dado o seguinte tensor da tensões associado ao sistema de referência x, y,z.
 1  2  3
    2 2 1  10 2 MPa.
  3 1  1
Determine:
a) i) As componentes normal () e tangencial () da tensão, numa faceta igualmente
inclinada relativamente a x, y, z.
ii) As direcções das componentes referidas na alínea i).
b) Resolva a alínea anterior para uma faceta paralela a z e igualmente inclinada
relativamente a x e y.
c) As tensões e respectivas direcções principais.
d) As componentes normal e tangencial da tensão na faceta x, partindo do tensor das
tensões associado ao sistema de eixos principais. Compare os valores obtidos com os
valores dados inicialmente.
Solução:
a) i)
  2.0  10 2 MPa
  2.16  10 2 MPa.
ii)
Ty    m
T  l
m' 
 0.802 ;
l'  x
 0.535 ;


n' 
Tz    n
 0.267
n' 
Tz    n
 0.943

b)
  50MPa
  150MPa.
Ty    m
T  l
m' 
 0.236 ;
l'  x
 0.236 ;



c)
 1,2,3
0
0
0 
 1 0
4.87



  0 2 0 
 0
0.32
0 
 10 2 MPa.
 0
0  3  1, 2,3  0
0
 3.19 1, 2,3
l1  0.657  cos(1, x)
l 2  0.449  cos( 2, x)
l3  0.605  cos(3, x)
m1  0.612  cos(1, y )
m 2  0.787  cos( 2, y )
m3  0.081  cos(3, y )
n1  0.440  cos(1, z )
n 2  0.423  cos( 2, z )
n3  0.792  cos(3, z )
d)
 x, y , z
0
0   0.657 0.612 0.440 
 0.657 0.449 0.605 4.87



  0.612
0.787 0.081   0
0.32
0    0.449 0.787  0.423  10 2 MPa
 0.440  0.423 0.792  0
0
 3.19  0.605 0.081 0.792 
Exercício 2:
Mecânica dos Materiais
Conhecidas as tensões nas duas facetas ortogonais x, y, representadas na figura, e sendo z
uma direcção principal, determine a tensão actuante  e  numa faceta definida pelos
seguintes cossenos directores: l = cos 60o, m = 300, n = 0.
Resolva analiticamente e graficamente à escala as forças em equilíbrio no plano x,y.
(Nota : zx = 0, zy = 0; z  0)
 
  T  n  Tx l  Ty m T z n  35.188MPa(tracç a o)
 = 5.65 MPa.
l' 
Tx    l
 0.866
n' 
Tz    n
0


= cos 1500;
m' 
= cos 900
-2-
Ty    m

 0.5
= cos 600
Mecânica dos Materiais
Exercício 3.
a) Represente no plano de Mohr, o estado de tensão abaixo definido.
b) Determine as tensões e direcções principais do estado de tensão definido na alínea
anterior, resolva analiticamente e pela circunferência de Mohr.
Resolução:
a)
b)
1 = 7.606 Mpa;
2 = 0.394 Mpa;
3 = z =0 MPa ( valor admitido )
-3-
Mecânica dos Materiais
1 = -16.850;
2 = 73.150;
3 = z = 900.
Exercício 4.
Dada a barra de secção circular com 20 mm de diâmetro representada na figura,
determine o esforço de compressão F e o ângulo , sabendo que a tensão normal () e a
tensão tangencial () na secção oblíqua S valem respectivamente 100 MPa e 57.7 MPa em
valor absoluto.
F   x    41.87kN
 = 300
Exercício 5.
A figura representa o estado de tensão num ponto de uma chapa de aço.
35 MPa
Y
12 MPa
X
50 MPa
Z
50 MPa
35 MPa
12 MPa
a) Faça a representação gráfica de Mohr, do estado de tensão nesse ponto e determine as
tensões principais e respectivas direcções.
-4-
Mecânica dos Materiais
b) Posteriormente a chapa é submetida a uma compressão adicional uniforme de 15MPa,
segundo uma direcção que faz um ângulo de 200 com o eixo dos x, marcado no sentido
contrário ao dos ponteiros do relógio.
Determine as tensões principais e respectivas direcções , referentes ao estado de tensão
resultante no ponto considerado.
Resolução :
a)
MPa

X(50,35)
xy
y

Z
x
yx
Y(-12,-35)
1 = 67.5 MPa;
2 = z = 0 Mpa;
1 = -24.230 ;
2 = z = 900;
3 = -27.75 MPa
3 = 65.770
b)
 x, y, z
 36.76  39.82 0
  39.82  13.76 0 MPa ;
 0
0
0
1 = -28.810;
 1,2,3
2 = z = 900;
0 
58.66 0

 0
0
0  MPa
 0
0  35.66
3 = 61.190
Exercício 7.
Considere o campo de deslocamentos dado por:






u  0.25 x   y  z 2  10  4

2
4
v  0.25 y  x  z   10

2
4
w  0.25 z  x  y   10
Para o ponto A(1,2,1), determine:
a) O tensor das deformações referido ao referencial x, y, z.
b) A deformação no ponto A segundo uma direcção igualmente inclinada relativamente aos
três eixos.
c) Determine o plano onde se dá a distorção.
d) As extensões principais.
e) Determine o tensor das tensões, sabendo que E = 210 GPa e  = 0.3.
-5-
Mecânica dos Materiais
Solução:
a)
 x, y , z
b)
  5.167  10 4
 t' 

2
2.25 1.75 1.50 
 1.75 1.00 1.75   10 4
1.50 1.75 2.25
 0.466  10 4 rad
c)
l' 
 x'    l
 0.412 ;

m' 
 y'    m
 0.827 ;

n' 
 z'    n
 0.412

2
2
2
d)
 1,2,3
0
0 
5.206

 0
0.750
0   10 4
 0
0
 0.456
e)
 1,2,3
0
0 
143.4

 0
75.0
0  MPa
 0
0
56.5
Exercício 6.
Considere o estado de tensão definido no exercício 1 e um material isotrópico com
constantes elásticas: E = 210 GPa e  = 0.3.
Determine o estado de deformação correspondente a este estado de tensão, tomando como
eixos coordenados:
a) Eixos x, y, z
b) Eixos principais 1, 2 , 3.
Solução:
a)
 x, y , z
 0.333  1.24  1.85 
  1.24 0.952
0.62   10 3
 1.85 0.62  0.905
 1, 2,3
0
0 
2.73
  0
 0.09
0 
 10 3
 0
0
 2.26 1, 2,3
b)
-6-
Mecânica dos Materiais
Exercício 8.
Grava-se sobre uma chapa de aço uma circunferência de 600 mm de diâmetro. Submete-se
depois esta chapa a tensões tais que :
 x  140MPa ;
 xy  80MPa
 y  20MPa ;
Y
 y  20
xy  80
MPa
X
Z
 x  140
 x  140
xy  80
 y  20
Depois da solicitação a circunferência transforma-se numa elipse. Calcular os
comprimentos do eixo maior e do eixo menor dessa elipse e marcar as respectivas
direcções na figura.
Resolução:
Y
3
X
600 mm
1
1 = -26.570
2 = z = 900
3 = 63.430.
Exercício 9.
Num ponto situado a superfície de uma placa de aço instalou-se uma roseta de
extensómetros como se indica na figura. Depois de aplicada ao corpo uma determinada
solicitação, colocando o ponto em estado plano de tensão, fizeram-se as seguintes leituras:
-7-
Mecânica dos Materiais
Y
a
b
a
b
0
30
c
c
X
 a   y  110 3
  0.3
 b  2.5  10
  1.211  10 5 MPa
3
 c  2  10 3   x
E  2.1 10 5 MPa
G  0.81  10 5 MPa
Nesta situação determinar as extensões e tensões principais e respectivas direcções.
Solução:
 1.2.3
1 = -68.050;
0
0 
1.58

  0 0.428
0   10 3
 0
0
 2.58
2 = z = 900;
3 = 21.950
0
0 
186.66

 1,2,3   0 0.01018
0  MPa
 0
0
 487.25
Exercício 10.
Na vizinhança de um ponto, mediram-se as extensões segundo as arestas de um
tetraedro, resultantes de uma dada solicitação, e que estão representadas na figura.
Y
e
c
f
0
45
0
45
b
a
0
d
45
Z
Os valores obtidos foram os seguintes:
-8-
X
Mecânica dos Materiais
 a  x 1 10 4 ;  b  y 0.5 104 ;  c  z  0.5  10 4 ;  d  1.5  10 4
 e  0.8  10 4 ;  f  0.6 104
a) Defina o estado de deformação no ponto por intermédio do tensor das extensões.
b) Determine a extensão e a distorção numa direcção igualmente inclinada relativamente a
três eixos de referência x, y, z.
c) Determine o plano aonde se dá a distorção.
d) Determine as extensões principais.
e) Represente o estado de deformação no plano de Mohr.
f) Determine o valor da máxima distorção.
Resolução
a)
 x, y , z
b)   0.133  10 4
 t' 

2
 0.75  0.55
 1

  0.75
0.5
0.6   10 4
 0.55
0.6
 0.5 
 0.347  10 4 rad
c)
 y'    m
m 
 0.803 ;

 '  l
l  x
 0.277 ;

'
n' 
'
2
 z'    n
 0.528

2
2
d)
1  1.816 10 4  2  0.012 10 4  3  0.806 10 4
e)

2
 max  2 .62  10
3
2
1
f)  max  2.62  10 4 rad
-9-

4
Mecânica dos Materiais
Exercício 11.
Na figura estão indicados os elementos da superfície A e B, ambos paralelos a
direcção principal z, as tensões normal e tangencial no elemento A e a tensão normal no
elemento B, sabendo que a tensão principal na direcção z vale 50 MPa, determine:
10 MPa
B
?
Y
Z
200
25 MPa
X
30 MPa
A
a)
b)
c)
d)
A tensão tangencial no elemento B.
As tensões e direcções principais.
As extensões principais supondo: E = 210 Gpa ; = 0.3
Componentes da tensão no elemento de superfície cuja normal, relativamente aos eixos
2
2
1
principais, tem por cossenos directores: l  , m  , n  .
3
3
3
e) A tensão de comparação pelo critério de Von-Mises.
Solução:
a)  b  10.44MPa
b)  1  50MPa ;
 2  12.0MPa ;
1  90 0   z ;
 2  59.230 ;
 3  44.9MPa
 3  30.77 0
c)
d)   22.57MPa
e)  eq  82.72 MPa
0
0 
2.85
 1, 2,3   0  0.498 0   10 4
 0
0
 3.02 1, 2,3
  29.82MPa.
Exercício 12.
Num corpo de aço macio sujeito a estado plano de tensão, conhecem-se as tensões
normais em duas facetas ortogonais, como se indica na figura. Sabe-se também que uma
das direcções principais é a indicada na figura, determine:
-10-
Mecânica dos Materiais
Y
60 MPa
B
X
Z
300 100 MPa
A
Dir P
a) As tensões principais.
b) As extensões principais, sabendo que E = 210 GPa,   0.3
c) tensão de comparação pelo critério de Von-Mises.
d) Admitindo que se trata de um material frágil com:  c  100MPa ;  t  60MPa
Verifique, pelo critério de Mohr-Coulomb, se o estado de tensão é possível.
Resolução:
a)
 1,2,3
0 
180 0

 0 0
0  MPa
 0 0  140
b)
 1,2,3
0
0 
1.06
  0
 0.06
0 
 10 3
 0
0
 0.92 1, 2,3
c)  eq  277.85MPa
d)
180  140

 4.4  1
60
100
180  100
não verifica
não verifica
O estado de tensão não é admissível.
3

t
c
-11-
1
