1 construc¸˜ao e utilizac¸˜ao de gr´aficos

1
CONSTRUÇÃO E UTILIZAÇÃO DE GRÁFICOS
1.1
Introdução
Um dos aspectos mais importantes em Fı́sica é o da apresentação e análise de resultados experimentais. Pôr meio de experiências simples, tem sido descobertas grande número de relações
funcionais entre duas grandezas x e y, onde y, função de x é simbolizada y = f (x).
Os resultados de uma experiência podem ser apresentados com simplicidade e clareza e facilmente
analisados por meio de gráficos, que permitem muitas vezes descobrir a expressão algébrica que
relaciona estas grandezas fı́sicas.
A curva aproximada que se obtém, cujo traçado é orientado pelos pontos experimentais marcados
no papel de gráfico, é uma imagem intuitiva e concisa da relação funcional a investigar.
Inicialmente, formularemos algumas definições e convenções que permitirão maior familiaridade
na utilização e interpretação dos dados apresentados em um gráfico.
1.2
Definições e convenções
• Escala : É qualquer trecho de curva (em geral uma reta) marcada por traços, os quais estão
em correspondência com valores ordenados de uma grandeza.
• Passo (∆L): É a distância (em cm, mm, etc) entre dois traços numerados e consecutivos
numa escala.
• Degrau (∆f (x)): É a variação da grandeza em um passo.
• MÓDULO (M ): É a constante de proporcionalidade existente entre o passo ∆L e o degrau
∆f (x).
1.3
Escala Linear
Escala linear é aquela que possui passo e degrau constantes.
M = (a × 10n )u
com a = 1; 2; 4 ou 5
De acordo com as Normas Brasileiras de Desenho Técnico NB-8, onde n é inteiro e u é a unidade
da grandeza fı́sica.
Exemplo: Para a escala acima temos:
• PASSO - constante = 5 cm
• DEGRAU - constante = 1 N
• MÓDULO - constante = M =
1.4
5cm
= 5 cm/N
1N
Construção de uma Escala Linear
Inicialmente, qualquer que seja a escala (linear ou não), deve-se indicar junto ao eixo o nome ou
sı́mbolo da grandeza, com a sua respectiva unidade de medida (u).
1
1.4.1
Escolha do Módulo
Deve-se levar em conta, na escolha, o comprimento disponı́vel para o eixo, a variação da grandeza
a ser representada, o interesse ou não de fazer o “zero da grandeza coincidir com a origem da
escala e as limitações de ordem prática impostas na escolha do valor de M .
Convém observar que, na determinação das dimensões do gráfico deve-se levar em consideração
que o gráfico a ser construı́do, possa ser arquivado ou encadernado. Convenciona-se, por isso,
deixar margens de aproximadamente 2 cm.
Pode ocorrer que a grandeza a ser estudada não varie a partir do zero. Nestes casos costumase fazer coincidir o inı́cio da escala com um inteiro imediatamente abaixo do limite inferior da
grandeza a ser representada ou seja, não precisamos necessariamente iniciar a escala a partir da
sua origem.
Conhecido o intervalo de variação da grandeza e o comprimento disponı́vel para o eixo, divide-se
o comprimento disponı́vel para o eixo pelo intervalo de variação da grandeza a ser representada,
determinando-se assim o módulo M .
Exemplo:
Construir uma escala linear para representar uma diferença de potencial que varia de 0,328 V até
0,850 V sendo de 18 cm o comprimento disponı́vel para o eixo.
1. Se a origem for ponto de interesse:
M=
18cm
= 21, 2cm/V = 2, 12 × 10cm/V
0, 850V
Este valor de a = 2,12 não é conveniente. Devemos tomar o valor inferior mais próximo isto
é :
M = 2 × 10cm/V
Pois com essa escolha estaremos usando 17 cm dos 18 cm disponı́veis para o eixo.
Assim, com PASSO = 1 cm, teremos para o DEGRAU:
DEGRAU =
P ASSO
1cm
=
= 0, 5 × 10−1 V = 5 × 10−2 V
M ODU LO
2 × 10cm/V
Observação : Não se deve escrever nos eixos todos os valores da grandeza medida. Por
exemplo, se uma das medidas foi 1,3 × 10−1 V, o ponto correspondente será colocado no
gráfico, mas esse valor não aparecerá na escala.
2. Suponha que não haja interesse que a origem apareça na escala (o primeiro valor medido foi
0,328 V). Neste caso:
M=
18cm
18cm
→
= 3, 0 × 10cm/V
(0, 850 − 0, 328)V
(0, 90 − 0, 30)V
Então o valor inferior mais próximo e conveniente para o módulo é:
M = 2, 0 × 10cm/V
Assim, com PASSO = 2 cm temos:
DEGRAU =
P ASSO
2cm
=
= 1 × 10−1 V
M ODU LO
2 × 10cm/V
2
1.5
Papel Milimetrado
É o tipo mais comum de papel para representar funções ou relações funcionais y = f (x) entre
duas grandezas fı́sicas. Presta-se para a construção de escalas lineares com passo mı́nimo de um
milı́metro. Ao traçar o gráfico, é importante:
1. Escolher os eixos mais convenientes para abcissas e ordenadas e os módulos das escalas como
explicado no item anterior, deixando cerca de 2 cm de margem ao marcar os eixos para
garantir um espaço razoável para anotar valores, sı́mbolos necessários e permitir encadernar
ou arquivar.
2. A marcação dos eixos deverá ser realizada em intervalos regulares e de forma a não congestioná-los.
3. As linhas de chamada, assim como as coordenadas dos pontos não deverão ser apresentadas.
4. Representar as barras de incertezas.
1.5.1
Determinação da Relação Funcional
Freqüentemente no curso de nossa investigações encontramos situações em que duas grandezas x
e y apresentam-se relacionada da forma y = f (x).
Um dos casos mais simples, é o caso em que a relação é linear, isto é, da forma:
y = a + bx
onde a e b são parâmetros a serem determinados.
1. Determinação do parâmetro linear: É obtido no gráfico, determinando o valor de y para
x = 0.
x=0⇒y=a
2. Determinação do coeficiente angular: É obtido no gráfico, tomando-se dois pontos quaisquer
sobre a reta mas, suficientemente afastados para garantirmos boa precisão e calculando a
declividade:
∆y
y2 − y1
=
b=
x 2 − x1
∆x
3
Note que, como x e y estão sujeitos a erros experimentais, os parâmetros a e b também estarão
sujeitos a indeterminações que deverão ser avaliadas da seguinte forma:
1. Traçar a melhor reta, isto é, aquela que mais se aproxima dos pontos e calcular os parâmetros
a e b.
2. Baseado na melhor reta e nos pontos experimentais, avaliar a variação dos parâmetros,
considerando para isto, retas próximas à melhor reta.
O cálculo das indeterminações é feita matematicamente pelo método dos mı́nimos quadrados,
que embora simples, envolve um número grande de cálculos aritméticos. O uso de uma pequena
calculadora programável ou microcomputador torna o método rápido e aplicável na maioria das
situações.
1.6
Escala Logarı́tmica
Uma década logarı́tmica, corresponde a uma variação de uma unidade de potência de 10 (isto é,
de 10n a 10n+1 ) no valor numérico da grandeza.
1.6.1
Construção da Escala Logarı́tmica
A confecção de uma escala logarı́tmica, corresponde à divisão de um determinado segmento de
reta em partes proporcionais aos valores dos logarı́tmos dos números numa determinada base a.
Consideremos, um segmento de reta de comprimento L e que desejamos dividido-lo em partes
proporcionais aos logarı́tmos dos números n = 1, 2, . . . , 10.
Conforme definição, o módulo para esta escala será dado pôr:
M=
L2 − L1
L2 − L1
|∆L|
=
=
x2
|∆f (x)|
loga x2 − loga x1
loga
x1
Se aplicarmos a relação acima para a base 10, tomando a variação de x2 ÷ x1 = 10.
4
ou seja ,
∆L = L10
e
µ
log10
x2
x1
Ã
¶
= log10
10n+1
10n
!
= log10 10 = 1
Portanto:
L10
= L10
log10 10
Isto é, o módulo M na base 10 é igual à distância do ponto representativo do número 1 ao ponto
representativo do número 10. Por outro lado, a qualquer segmento de reta L(x) medido a partir
da origem 1, corresponderá o valor numérico do log x pela relação abaixo:
M=
L(x) = M log1 0x = L10 log x
ou seja:
L(x)
L10
Por esta relação podemos calcular o logaritmo de qualquer número x na base 10.
log x =
Tudo que foi feito até agora para a base 10 poderá ser feito para qualquer base. O comprimento L
em vez de estar associado ao número 10, estará associado ao da base em que se irá operar. Então,
generalizando:
L(x = 2)
M2 =
= L(x = 2)
log2 2
L(x = 3)
M3 =
= L(x = 3)
log3 3
L(x = N )
MN =
= L(x = N )
logN N
Pode ocorrer, como no caso de escalas lineares, que a grandeza varie a partir de um determinado
valor. Neste caso, a origem da escala logarı́tmica não se inicia pelo 1 e sim por uma potência de
10 conveniente.
Exemplo: Construir uma escala para os números inteiros, entre 2 e 20 cujo comprimento seja 20
cm. Aplicando a definição de módulo obtemos:
M=
L(x) − L(2)
L(x) − L(2)
= 20cm
=
log x − log 2
log x2
Portanto:
x
+ L(0)
2
Mas 2 é a origem da nossa escala; logo sua distância à origem da escala é L(2) = 0. As distâncias
procuradas serão dadas pela expressão:
µ ¶
x
L(x) = 20 log
(cm)
2
L(x) = 20 log
5
X log x/2
2
0
3
0,176
4
0,301
5
0,398
6
0,477
7
0,544
8
0,602
9
0,653
10 0,699
11 0,740
12 0,778
13 0,813
14 0,845
15 0,875
16 0,903
17 0,929
18 0,954
19 0,978
20 1,000
1.7
L(x) (cm)
0
3,5
6,0
8,0
9,5
10,9
12,0
13,1
14,0
14,8
15,6
16,3
16,9
17,5
18,1
18,6
19,1
19,6
20,0
Exercı́cios Resolvidos
Utilizando a folha de papel mono-log de 3 décadas determine:
1. log 2
2. log e
3. log 20
4. log 3525
5. log 0,0148
6. ln 2
7. ln 20
8. ln 3525
9. ln 0,0148
Soluções:
1. log 2 =
25mm
= 0, 30
84mm
2. log e =
36mm
= 0, 43
84mm
3. log 20 =
110mm
= 1, 31
84mm
4. log 3525 = log(3, 525 × 103 ) = 3 +
46mm
= 3, 55
84mm
6
5. log 0,0148 =log(1, 48 × 10−2 ) = −2 +
14mm
= −1, 83
84mm
25mm
= 0, 69
36mm
110mm
7. ln 20 =
= 3, 1
36mm
6. ln 2 =
84mm
46mm
+3
= 8, 3
36mm
36mm
14mm 84mm
9. ln 0,0148 = ln(1, 48 × 10−2 ) = ln 1, 48 − 2 ln 10 =
+
= −4, 3
36mm 36mm
8. ln 3525 =ln(3, 525 × 103 ) = ln 3, 525 + 3 ln 10 =
1.8
Papel Logarı́tmico
É utilizado para representar relações funcionais não lineares entre duas grandezas fı́sicas. Basicamente, existem dois tipos de papel logarı́tmico:
* MONO-LOG: Neste papel, um dos eixos é uma escala logarı́tmica e o outro é uma escala
linear. Este tipo de papel é utilizado quando a função a ser representada é do tipo:
y = keax
* LOG-LOG ou DI-LOG: Neste papel, ambos os eixos são escalas logarı́tmicas. Este tipo de
papel é utilizado quando a função a ser representada é do tipo:
y = kxa
1.9
Papel Mono-Log
Aplicando logarı́tmo neperiano (base e) aos dois membros da relação y = kxa , obtemos:
ln y = ln k + ax
Que é uma relação linear entre ln y e x.
Para se construir o gráfico, não há necessidade de calcular os valores de ln y. É suficiente marcar
diretamente o valor y na escala logarı́tmica. O “coeficiente linear” da equação é obtido diretamente
da ordenada y0 correspondente a x = 0:
ln k = ln y0
Disso se conclui que:
y0 = k
O “coeficiente angular” da reta será dado pela relação:
a=
ln y2 − ln y1
x2 − x1
Lembrando que L1 = Me ln y1 substituindo na relação acima obtem-se:
a=
L2 − L1
Me (x2 − x1 )
portanto:
∆L
Le (x2 − x1 )
onde ∆L = L2 − L1 e Le são obtidos diretamente do gráfico, bastando medir as distâncias correspondente com uma régua.
a=
7
Referências
[1] ABNT, Guia para a Expressão da Incerteza da Medição, Terceira Edição Brasileira, Agosto
2003. INMETRO: Rio de Janeiro.
[2] VUOLO, J.H.(1995), Fundamentos da Teoria de Erros. 2a edição. Edgard Blücher: São Paulo.
[3] STEMPNIAK, R.A.(1997), Noções Básicas sobre Medições Fı́sicas. Apostila, São José dos
Campos.
[4] INMETRO(1995). Vocabulário Internacional de Termos fundamentais e Gerais de Metrologia.
Rio de Janeiro.
[5] site da internet: http://www.fis.ita.br/labfis13/outros/principal.htm, link “modelo de relatório”, consultado em 06/07/2005.
8