1 Objetivo 2 Teoria

2 - MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
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FEX 1001
Objetivo
Determinar a aceleração de queda livre de uma esferinha metálica. Vericar que o movimento de queda de uma esferinha,
quando presa a um disco, é afetado pela resistência do ar.
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Teoria
Quando soltamos um corpo vericamos que este corpo cai. No entanto, a maneira como ele cai depende, entre outros
fatores, da forma geométrica desse corpo. Por exemplo, pegue uma folha de papel A4 e deixe-a cair. Observe seu
movimento de queda. Agora amasse totalmente esta folha de modo a formar uma bola. Solte-a novamente. De fato, seu
movimento de queda é bastante diferente do anterior. Embora a massa da folha de papel tenha se mantido a mesma, sua
forma geométrica foi alterada. Por outro lado, soltando esta mesma folha de papel amassada e uma esferinha de metal,
ambas da mesma altura inicial em relação ao solo, e do repouso, verica-se que ambas caem aproximadamente juntas.
Poderíamos concluir que a aceleração de queda depende da massa do corpo em queda e ou de sua forma geométrica?
Galileo Galilei propôs que, se toda a resistência do ar pudesse ser eliminada, os corpos cairiam da mesma maneira. Ou
seja, se a diculdade que o ar oferece ao movimento dos corpos fosse retirada, se zéssemos um recinto com vácuo e
se soltássemos diferentes corpos (com diferentes formas geométricas e diferentes massas), vericaríamos que todos eles
cairiam com a mesma aceleração e mais, que esta aceleração é constante.
Ao soltarmos um corpo, por exemplo uma esferinha metálica, vericamos que o mesmo encontra-se sujeito a ação de
duas forças verticais (supondo que não tenha vento na direção transversal ao movimento) que são a força peso, produzida
pela Terra, e a força de resistência do ar. Em geral, a força de resistência do ar é proporcional a alguma potência da
velocidade do corpo, ou seja, quanto maior a velocidade, maior será a força de resistência do ar. Esta força também
depende de uma série de fatores, como a área efetiva do corpo, e a densidade do ar a sua volta. Resumidamente, podemos
escrever que
Far = αv β ,
(1)
em que α é uma constante que depende da área do corpo e da densidade do ar, entre outras, e β é uma constante positiva.
Considere uma esferinha de massa m em queda. Adotando um sistema de referência orientado verticalmente para baixo,
a 2ª Lei de Newton dá
dv
= mg − αv β .
(2)
m
dt
Podemos resolver esta equação para o caso particular de β = 1. Neste caso, a equação (2) ca m dv
dt = mg − αv cuja
solução é da forma
v = vT 1 − e−t/τ .
(3)
Sabendo que v =
dy
, pode-se chegar em
dt
y = vT t +
vT −t/τ
e
−1 ,
τ
(4)
que descreve a posição da esferinha, na vertical, em função do tempo. Nestas equações, vT é chamada de velocidade
terminal, ou seja, a velocidade da esferinha quando a força de resistência do ar se iguala a força peso. Então a partícula
em queda, no caso a esferinha, passa a se movimentar com velocidade constante. τ é uma constante que possui dimensão
de tempo e corresponde ao intervalo de tempo necessário para que a velocidade de queda cresça até 63, 2% da velocidade
terminal.
Para o caso em que β = 2 a solução para a equação (2) é da forma
v = vT tanh
que fornece para a altura y a função
y=
gt
vT
(5)
,
vT2
gt
ln cosh
.
g
vT
(6)
Nas equações (5) e (6) vT também é a velocidade terminal da esferinha. Observe que valores diferentes de β levam a
soluções diferentes. Observe também que são equações bastante diferentes daquelas características do MRUV1 .
A queda livre é um caso particular em que não há resistência do ar ou o efeito desta é muito pequeno. Então a equação
(2) torna-se, simplesmente, a = g e levando a um MRUV.
1 Lembre-se
de que as correspondentes equações do MRUV são
v = gt
e
y=
gt2
.
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Todas as equações apresentadas valem para uma esfera
partindo do repouso, num referencial orientado positivamente para baixo com origem no ponto de partida da esfera.
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Descrição do Experimento
Neste experimento, uma esferinha de metal é solta de diferentes alturas e o tempo de queda é medido. São consideradas
duas situações distintas: esferinha sozinha e esferinha com disco de papel. O disco de papel torna mais evidente o efeito
da força resistiva do ar, durante a queda da esferinha.
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Equipamento/Material
1. Contador digital.
2. Suporte com lançador e detector de queda.
3. Régua centimetrada com lançador.
4. Esfera de metal.
5. Esfera de metal com disco de papel.
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(a)
(b)
(c)
Procedimento Experimental
Escolha dez alturas diferentes para o lançamento da esfera, sendo quatro delas menores do que 10, 0 cm, e complete
a Tabela na folha de questionário.
Prenda a esfera na primeira altura escolhida. Zere o contador digital e prepare-o para o lançamento. Isto é feito,
primeiramente, apertando o botão stop, seguido por reset e após, o botão start. Observe que uma luz verde acende
no contador digital. Não altere as escalas do contador! Veja a gura abaixo.
Solte a esfera sozinha medindo o tempo de queda diretamente no contador digital e anote o valor na tabela 1. Solte
a esfera com o disco de papel da mesma altura e meça o correspondente tempo de queda.
(e)
Repita os passos (b) e (c) anotando os tempos de queda até completar as tabelas.
(g)
Responda às questões da folha de questionário.
Figura 1:
Aparato experimental para estudo da queda livre e queda com resistência do ar.
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FEX 1001
2 - MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
Tabela 1: esfera sem disco
Tabela 2: esfera sem disco
h(
h(
)
tq (
)
)
tq (
)
1. Represente, num mesmo papel milimetrado, os dados das tabelas 1 e 2 e observe os tipos de curva para a
esfera e para a esfera com o disco. As curvas são iguais? Os grácos obtidos eram esperados? Justique.
2. Considere que a relação matemática entre o tempo de queda e a altura de queda seja tq = Ahn , com A e
n constantes desconhecidas. Linearize esta equação mostrando claramente os coecientes linear e angular da
reta.
3. A relação tq = Ahn pode ser aplicada ao caso da esfera sem disco? E para o caso da esfera com disco?
Justique suas respostas.
4. Trace um gráco linear em papel milimetrado para a esfera sem disco e esfera com disco, e determine as
constantes A e n para a esfera sem disco. Mostre os cálculos com clareza e indique os pontos lidos no gráco.
g
5. Sabendo que o movimento de queda da esfera sem disco é do tipo MRUV, obtemos h = t2q , nos dando a
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previsão teórica das constantes A e n. Quais são estes valores? O movimento de queda da esfera com disco
pode ser considerado como MRUV? Justique.
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6. Calcule, com os dados das questões 4. e 5., o valor de g para o caso da esfera sem disco. Calcule também
o erro percentual tomando como referência o valor 9, 81m/s2 . Calcule ainda o erro percentual no valor de n,
tomando como referência o valor teórico.
7. Escolha três alturas de lançamento e determine a velocidade da esfera sem disco no instante em que ela
toca a base do sensor. Para isto, utilize o gráco feito na questão 1. e lembre que a velocidade instantânea é
dy
v=
, ou seja, é a inclinação da reta tangente.
dt
8. Obtenha a equação do erro propagado no valor de g . Observe que ∆h = 0, 5 cm e que ∆tq = 0, 001 s.
Para resolver em casa:
Construa, com os dados das Tabelas 1 e 2, um gráco em papel di-log de h × tq . Comente a respeito das
curvas. Obtenha os valores de g e n para a esfera sem disco.
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