Experimento E6 CINEMÁTICA UNIDIMENSIONAL 1 Objetivo 2 Teoria

Experimento E6
CINEMÁTICA UNIDIMENSIONAL
23 de fevereiro de 2011
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Objetivo
Determinar a aceleração de queda livre de uma esferinha metálica. Vericar que o movimento de queda de uma esferinha,
quando presa a um disco, é afetado pela resistência do ar.
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Teoria
Quando soltamos um corpo vericamos que este corpo cai. No entanto, a maneira como ele cai depende, entre outros
fatores, da forma geométrica deste corpo. Por exemplo, pegue uma folha de papel A4 e deixe-a cair. Observe seu
movimento. Agora amasse totalmente este folha de modo a formar uma bola. Solte-a novamente. De fato, seu movimento
de queda é bastante diferente do anterior. Embora a massa da folha de papel tenha se mantido a mesma, sua forma
geométrica foi alterada. Por outro lado, soltando esta mesma folha de papel amassada e uma esferinha de metal, ambas da
mesma altura inicial em relação ao solo, e do repouso, verica-se que ambas caem aproximadamente juntas. Poderíamos
concluir que a aceleração de queda depende da massa do corpo em queda? Galileo Galilei propôs que, se toda a resistência
do ar pudesse ser eliminada, os corpos cairiam da mesma maneira. Ou seja, se a diculdade que o ar oferece ao movimento
dos corpos fosse retirada, se zéssemos um recinto com vácuo e se soltássemos diferentes corpos (com diferentes formas
geométricas e diferentes massas), vericaríamos que todos eles caem com a mesma aceleração e mais, que esta aceleração
é constante.
Ao soltarmos um corpo, por exemplo uma esferinha metálica, vericamos que o mesmo encontra-se sujeito a ação de
duas forças verticais (supondo que não tenha vento na direção transversal) que são a força peso, produzida pela Terra,
e a força de resistência do ar. Em geral, a força de resistência do ar é proporcional a alguma potência da velocidade do
corpo, ou seja, quanto maior a velocidade, maior será a força de resistência do ar. Esta força também depende de uma
série de fatores, como a área efetiva do corpo, e a densidade do ar a sua volta. Resumidamente, podemos escrever que
(1)
Far = αv n ,
em que α é uma constante que depende da área do corpo e da densidade do ar, entre outras, e n é uma constante positiva.
Considere uma esferinha de massa m em queda. Adotando um sistema de referência orientado verticalmente para baixo,
a 2ª Lei de Newton dá
dv
= mg − αv n .
(2)
m
dt
Podemos resolver esta equação o caso particular de n = 1. Neste caso, a equação (2) ca m dv
dt = mg − αv cuja solução é
da forma
v = vT 1 − e−t/τ .
(3)
Sabendo que v =
dy
, pode-se chegar em
dt
y = vT t +
vT −t/τ
e
−1 ,
τ
(4)
que descreve a altura da esferinha em função do tempo. Nestas equações, vT é chamada de velocidade terminal, ou
seja, a velocidade adquirida quando a força de resistência do ar se iguala a força peso. Então a partícula em queda, no
caso a esferinha, passa a se movimentar com velocidade constante. τ é uma constante que possui dimensão de tempo e
corresponde ao intervalo de tempo necessário para que a velocidade de queda cresça até 63, 2% da velocidade terminal.
Para o caso em que n = 2 a solução para a equação (2) é da forma
v = vT tanh
que fornece para a altura y a função
y=
gt
vT
,
vT2
gt
ln cosh
.
g
vT
1
(5)
(6)
Nestes dois resultados, vT também é a velocidade terminal da esferinha. Observe que valores diferentes de n levam a
soluções diferentes. Observe também que são equações bastante diferentes daquelas características do MRUV.
A queda livre é um caso particular em que a resistência do ar pode ser desprezada, o que na equação (2) corresponde
a tomar α = 0. Então a equação de movimento é simplesmente a = g 1 e levando a um MRUV.
3
Descrição do experimento
Neste experimento, uma esferinha de metal é solta de diferentes alturas e o tempo de queda é medido. São consideradas
duas situações distintas: esferinha sozinha e esferinha com disco de papel. O tamanho do disco, portanto sua área, deve
alterar a maneira como a esferinha cai, por causa da força de resistência do ar.
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Equipamento/Material utilizado
1. Contador digital.
2. Suporte com lançador e detector de queda.
3. Esfera de metal.
4. Esfera de metal com disco de papel.
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Procedimento Experimental
(a)
Escolha dez alturas diferentes para o lançamento da esfera e complete a tabela na folha de relatório.
(b)
Prenda a esfera na primeira altura escolhida. Zere o contador eletrônico e prepare-o para o lançamento. Isto é feito,
primeiramente, apertando o botão stop, seguido por reset e após, o botão start. Observe que uma luz verde acende
no contador eletrônico.
(c)
Solte a esfera sozinha medindo o tempo de queda diretamente no contador digital e anote o valor na tabela 1.
(e)
Repita os passos (b) e (c) para a esfera com disco, anotando os tempos de queda, para as mesmas alturas, na tabela
2 da folha de relatório.
(f )
Repita os procedimentos anteriores para as demais alturas de lançamento até completar as tabelas.
(g)
Responda às questões da folha de relatório.
1 Adotando-se um referencial orientado positivamente para baixo.
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Experimento 6 - CINEMÁTICA UNIDIMENSIONAL
Tabela 1
sem disco
h(
)
tqueda (
Tabela 2
com disco
h(
)
)
tqueda (
FEX 1001
)
1. Com os dados das tabelas 1 e 2, contrua um gráco em papel milimetrado e em papel di-log de tqueda × h.
Observe os tipos de curva nos dois papéis. Quais conclusões você tira a partir destes grácos?
2. Suponha que tqueda = Ahn . Linearize esta equação e determine as constantes A e n para o caso da
esferinha. Mostre os cálculos com clareza e indique os pontos lidos no gráco.
dy
dv
3. Partindo da denição de aceleração (a = ) e velocidade (v = ), encontre as equações para a velocidade
dt
dt
e altura da esferinha em queda livre, em função do tempo..
3
4. Com base na equação da altura, obtida acima, escreva uma relação entre o tempo de queda tqueda e a
altura h de lançamento. Compare sua equação com tqueda = Ahn e, com base nos seus dados, obtenha o valor
da aceleração da gravidade g .
5. Calcule o erro percentual do seu valor em relação ao valor g = 9, 80665 m/s2 .
6. Quais conclusões você pode tirar a respeito do movimento de queda da esferinha com o disco? Justique.
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