8 Banco de questões

UNIDADE III
progressões
8 Progressões aritmética
CA P Í T U LO
Banco de questões
e geométrica
1(FGV – SP) O conjunto solução da equação
x x x
1
x2 − x − − −
− … = − é:
3 9 27
2
1 
a)  ,1
d) {1,−4}
2 
 1 
b) − ,1
 2 
c) {1, 4}
e) {1, 2}
2(UESC – BA) Três números positivos estão em progressão aritmética. A soma deles é 12 e o produto é
28. A soma dos quadrados desses termos é:
a)66
d)54
b)64
e)24
c)58
3(UESC – BA) Considere-se um quadrado de lado .
Com vértices nos pontos médios dos seus lados,
constrói-se um segundo quadrado. Com vér­tices
nos pontos médios dos lados do segundo quadrado, constrói-se um terceiro quadrado e as­sim
por diante.
Com base nessa informação e no conhecimento de
seqüências, é correto afirmar que o limite da soma
dos perímetros dos quadrados construídos é igual a:
d) 4  2 − 2
a)8 1+ 2
(
)
b) 4  (1+ 2 )
c)8 ( 2 + 2 )
(
)
e) 4  ( 2 + 2 )
n+1
. Calcule a soma dos
da­dos pela fórmula an =
2
dez primeiros termos da seqüência ( bn )n≥1 , onde
a
bn = 2 n para n ≥ 1.
5(UFMT – MT) Em uma clínica ortodôntica são
atendidos 30 clientes diários de segunda a sexta-feira. Para redimensionar a estrutura física, a
clínica passará a atender da seguinte maneira:
dois clientes no primeiro dia do mês, quatro no
segundo, seis no terceiro, oito no quarto e assim
sucessivamente. Considerando que essa clínica
atende 20 dias por mês, o número de clientes
atendidos, em um mês, será reduzido em:
a)35% d)70% c)25% e)30%
( )Se a1 = 0, 2 e a3 = 125, então o perímetro do
retângulo azul de número 2 é 5 cm.
( )Se a2 = 2 e a3 = 4, então a soma dos perímetros dos retângulos azuis de números 1, 2, 3, 4,
5 e 6 é 63 cm.
( )Se v1 = 3 e v1 + v 2 + v3 = 27, então a área do
retângulo vermelho de número 4 é 23 cm2.
( )Se v1 = 9 e a soma das áreas dos 10 retângu-
4(UFC – CE) A seqüência ( an )n≥1 tem seus termos
b)40% 6(UFS –SE) Dentro de uma caixa há 10 retângulos de cartolina, azuis e semelhantes, numerados
de 1 a 10 em ordem crescente de tamanho, e
seus perímetros, em centímetros, formam uma
progressão geométrica. Dentro de outra caixa há
10 retângulos de cartolina, vermelhos e semelhantes, também numerados de 1 a 10 em ordem crescente de tamanho, e as áreas de suas
superfícies, em centímetros quadrados, formam
uma progressão aritmética. Os termos da seqüên­
cia ( a1, a2, a3,…, a10 ) são numericamente iguais
aos perímetros, em centímetros, dos retângulos
azuis de número correspondente e os da seqüência ( v1,v 2,v3,…,v10 ) são numericamente iguais à
área, em centímetros quadrados, dos retângulos
vermelhos de número correspondente. Use essas
informações para julgar em verdadeira ou falsa as
seguintes afirmações.
los é igual a 540 cm2, então a área do retângulo vermelho de número 5 é 45 cm2.
( )Se a1 = v1 = 3, v 4 = 9 e as duas progressões
têm a mesma razão, então o perímetro do retângulo azul de número 4 é 24 cm.
7(FURG – RS) O dono de uma loja precisa com
urgência de vendedores para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecedem o Natal. Aparecem três candidatos. Ele
pelo primeiro dia de trabalho e,
,
oferece R$ 100
para os dias seguintes, o dobro do que eles recebem no dia anterior. Dois candidatos consideram
humilhante a proposta e recusam-na. O candidato que conhece matemática aceita a proposta.
Então, ele receberá, pelos doze dias de trabalho,
a importância de:
a)R$ 240,00
d)R$ 5095,00
b)R$ 4095,00
e)R$ 1095, 00
c)R$ 3400,00
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8(FURG – RS) Se k é o quinto termo da progressão
aritmética (log10 4,log10 12,log10 36,…), então 10k
é dado por:
a)344 b ) 314 c ) 304 d ) 324 e ) 348
14(UFSC – SC) Julgue em verdadeiras ou falsas as
seguintes proposições:
( )Uma avenida em linha reta possui 20 placas de sinalização igualmente espaçadas. A
distância entre a sétima e a décima placa é
1200 metros. A distância entre a primeira e
a última placa é 7600 metros.
9(UEL – PR) Para testar o efeito da ingestão de
uma fruta rica em determinada vitamina, foram
dados pedaços desta fruta a macacos. As doses
da fruta são arranjadas em uma seqüência geo­
métrica, sendo 2 g e 5 g as duas primeiras
doses. Qual a alternativa correta para continuar
essa seqüência?
( )Se três números inteiros positivos não-nulos
formam uma progressão aritmética, e a soma
deles é igual a 36, então o valor máximo que
o maior desses números pode ter é 24.
( )Uma cliente levará 12 meses para saldar uma
dívida de R$ 6 400,00 com uma loja de móveis, pagando R$ 500,00 no primeiro mês,
R$ 550,00 no segundo mês, R$ 600,00 no
terceiro mês e assim por diante.
a)7,5 g; 10, 0 g; 12,5 g;…
b)125 g; 312 g; 619 g;…
c)8 g; 11 g; 14 g;…
d) 6,5 g; 8, 0 g; 9,5 g;…
( )Se o preço de uma cesta básica é, hoje,
R$ 98,00 e esse valor diminui 2% a cada
mês que passa em relação ao valor do mês
anterior, então, daqui a nove meses, o preço
10
da cesta básica será de 100 ⋅ ( 0,98 ) reais.
e)12,500 g; 31, 250 g; 78,125 g;…
10(UEPB – PB) O Departamento Nacional de Infra-es­
tru­tura de Transporte (DNIT) quer colocar radares
de controle de velocidade, ao longo de 500 km de
uma rodovia. Para isto, instalou o primeiro radar
no km 10, o segundo no km 50, o terceiro no
km 90 e assim por diante. O número de radares
que será colocado no trecho planejado é:
( )No livro O Código da Vinci, de Dan Brown,
no local onde o corpo de Jacques Saunière
é encontrado, alguns números estão escritos
no chão. Estes números fazem parte da Se­
qüência de Fibonacci, que é uma seqüência
infinita de números em que cada termo, a
partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos que imediatamente o antecedem. Assim,
o décimo primeiro termo da Seqüência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… é o número 79.
a)14 b ) 12 c ) 16 d ) 13 e ) 11
11(UEPB – PB) Se a soma dos termos da PG
 1 1

 1, x , 2 , … é igual a 4, com x > 1, o valor de x
x
é igual a:
a)
7
3
5
6
4
b ) c ) d ) e )
6
2
4
5
3
12(Uespi – PI) Certo dia um botânico descobriu que
8 km2 dos 472 392 km2 de uma reserva florestal
haviam sido infestados por um fungo que danificava as folhas das árvores. Sabe-se que o estudo
sobre a proliferação desse tipo de fungo indica
que, a cada mês, ele triplica sua área de contaminação. Nessas condições, caso não seja tomada
nenhuma providência para debelar a proliferação
desse fungo, em quantos meses, a partir do instante da descoberta da contaminação, somente
2
da área dessa reserva florestal ainda não esta3
rá infestada?
a)8 b ) 9 c ) 10 d ) 11 e ) 12
13(UFAM – AM) Dadas uma PA e uma PG com três
termos reais. A soma da PA adicionada à soma
da PG é igual a 26. Sabe-se que suas razões são
iguais ao primeiro termo da PG, e que o primeiro
termo da PA é igual a 2. A razão será igual a:
a) −2 b ) 1 c ) −1 d ) 2 e ) 3
15(UFV – MG) Uma empresa de entrega de mercadorias possui várias filiais em uma cidade. A fim
de maximizar a distribuição, a empresa dividiu a
cidade em 305 setores, designando um número
natural a cada setor. A tabela abaixo mostra parte do quadro de distribuição de uma das filiais
desta empresa, sendo que os demais setores seguem a forma de distribuição apresentada.
Dias da Semana
Segunda
Terça
Quarta
Quinta
Sexta
Sábado
Setor
7
1
6
2
13
12
8
5
3
14
11
9
4
15
10
O dia da semana em que essa filial atenderá o
setor 275 é:
a)sábado
b)quinta
c)segunda
d)sexta
e)quarta
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16(Cesgranrio – RJ) Se colocarmos um número em
cada um dos espaços vazios da tabela, de modo
que em cada linha, em cada coluna e em cada
diagonal eles formem progressão aritmética, então o valor de x será:
20(UERJ – RJ) João recorta um círculo de papel com
10 cm de raio. Em seguida, dobra esse recorte ao
meio várias vezes, conforme ilustrado abaixo.
21
16
27
x
a)49 b ) 42 c ) 33 d ) 28 e ) 4
17(Fuvest – SP) Sejam a1, a2, a3, a4, a5 números
­estritamente positivos, tais que log 2 a1, log 2 a2, log 2 a3, log 2 a4, log 2 a5 formam, nesta ordem, uma
1
progressão aritmética de razão . Se a1 = 4 , en2
tão o valor da soma a1 + a2 + a3 + a4 + a5 é igual a:
a)24 + 2
d)28 + 12 2
b)24 + 2 2
e)28 + 18 2
c)24 + 12 2
18(Fuvest – SP) Em uma progressão aritmética
a1, a2,…, an,…, a soma dos n primeiros termos é
dada por Sn = bn2 + n, sendo b um número real.
Sabendo-se que a3 = 7, determine:
a)o valor de b e a razão da progressão aritmética
b)o 20.° termo da progressão
c)a soma dos 20 primeiros termos da progressão
19(UERJ – RJ) Um corte transversal em um molusco permite visualizar, geometricamente, uma se­
qüên­cia de semicírculos. O esquema abaixo indica quatro desses semicírculos.
Depois de fazer diversas dobras, abre o papel e
coloca o número 1 nas duas extremidades da primeira dobra. Sucessivamente, no meio de cada
um dos arcos formados pelas dobras anteriores,
João escreve a soma dos números que estão nas
extremidades de cada arco.
As figuras a seguir ilustram as quatro etapas iniciais desse processo.
João continuou o processo de dobradura, escrevendo os números, conforme a descrição acima,
até concluir dez etapas.
Calcule a soma de todos os números que estarão
escritos na etapa 10.
21(UFAC – AC) Dentre as seqüências abaixo, somen­
te uma não representa uma PA ou uma PG. Em
qual dos itens abaixo ela aparece?
a)seqüência dos números pares positivos
b)seqüência dos números primos maiores que
21 e menores que 70
1 1
c)−27, − 9, − 3, − 1, − , − ,...
3 9
d)2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,…
3 3 2 3 3 2 3 3 2
, ,
, ,
,...
e) ,
2 4 4 8 8 16
Admita que as medidas dos raios
( AB, BC, CD, DE, EF, FG,…) formem uma progressão,
tal que
AB BC CD DE
=
=
=
=…
BC CD DE EF
Assim, considerando AB = 2, a soma AB + BC + CD + DE +… será equivalente a:
22(UFG – GO) A figura abaixo representa uma se­
qüência de cinco retângulos e um quadrado, todos de mesmo perímetro, sendo que a base e
a altura do primeiro retângulo da esquerda medem 1 cm e 9 cm, respectivamente. Da esquerda
para a direita, as medidas das bases desses quadriláteros crescem, e as das alturas diminuem,
formando progressões aritméticas de razões a e
b, respectivamente. Calcule as razões dessas progressões aritméticas.
a) 2 + 3
b) 2 + 5
c) 3 + 3
d) 3 + 5
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23(UFMS – MS) Seja Q1 um quadrado de lado 5 cm,
Q2 o quadrado obtido ligando-se os pontos médios dos lados de Q1; Q3 o quadrado obtido ligando-se os pontos médios dos lados de Q2 e assim
sucessivamente. Calcule, em cm, a soma dos perímetros de todos os quadrados dos tipos Q2n+1,
em que n é um inteiro maior ou igual à zero.
24(UFPB – PB) Um piloto testou um automóvel de
um determinado modelo, para medir o consumo médio de combustível desse veículo. Com
relação ao teste, considere as seguintes informações:
•O automóvel foi testado durante vinte dias.
•O automóvel percorreu exatamente 30 km no
primeiro dia.
•O automóvel percorreu, a partir do segundo
dia, 10 km a mais do que no dia anterior.
Considerando essas informações, é correto afirmar que o automóvel percorreu:
a)uma distância inferior a 100 km nos três primeiros dias
b)uma distância superior a 300 km nos cinco
primeiros dias
c)menos de 150 km no décimo dia
d)mais de 230 km no décimo quinto dia
e)menos de 200 km no vigésimo dia
25(UFPB – PB) Cecília jogou na loteria esportiva durante cinco semanas consecutivas, de tal
forma que, a partir da segunda semana, o valor
apostado era o dobro do valor da semana anterior. Se o total apostado, nas cinco semanas, foi
R$ 2325,00, o valor pago por Cecília, no jogo da
primeira semana, foi:
a)R$ 75,00
b)R$ 85,00
c)R$ 100,00
d)R$ 95,00
e)R$ 77,00
27(UFPI – PI) Se os volumes de um cilindro circular
reto e o de um cone circular reto eqüilátero, circunscritos a uma mesma esfera de raio r, medidos
em cm3, são termos consecutivos nessa ordem de
uma progressão aritmética, então, a medida da
razão dessa progressão, em cm3 , é igual a:
π r3
a)
4
π r3
b)
3
π r3
c)
2
d) π r 3
e) 2π r 3
28(UFRN – RN) A fim de comemorar o dia da criança, uma escola promoveu uma brincadeira, visando premiar algumas delas. Para isso, reuniu
100 crianças, formando uma grande roda. Todas
foram numeradas sucessivamente, de 1 até 100,
no sentido horário. A professora de Matemática
chamava cada uma pelo número correspondente
– na seqüência 1, 16, 31, 46, e assim por diante
– e lhe dava um chocolate. A brincadeira encerrou-se quando uma das crianças, já premiada, foi
chamada novamente para receber seu segundo
chocolate.
O número de chocolates distribuídos durante a
brincadeira foi:
a)25
b)16
c)21
d)19
29(UFRN – RN) Uma fábrica armazena sua produção em caixas de mesmo tamanho, que são numeradas na ordem 1, 2, 3, 4,... e arrumadas em
seis colunas: 1.a , 2.a, 3.a, 4.a, 5.a e 6.a, conforme a
figura.
26(UFPI – PI) Seja p > 0 um número real. Então, o sétimo termo da progressão aritmética
ln p,ln 3 p,ln 6 p,… é igual a:
(
lnp
5
lnp
b) −
7
lnp
c)
14
lnp
d) −
2
lnp
e) −
10
)
a)
A caixa de número 2007 está na:
a)4.a coluna
b)2.a coluna
c)3.a coluna
d)5.a coluna
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30(Unesp – SP) Um fazendeiro plantou 3960 árvores em sua propriedade no período de 24 meses.
A plantação foi feita mês a mês, em progressão
aritmética. No primeiro mês foram plantadas x
árvores, no mês seguinte ( x + r ) árvores, r > 0, e
assim sucessivamente, sempre plantando no mês
seguinte r árvores a mais do que no mês anterior.
Sabendo-se que ao término do décimo quinto
mês do início do plantio ainda restavam 2160 árvores para serem plantadas, o número de árvores
plantadas no primeiro mês foi:
a)50
b)75
c)100
d)150
e)165
31(Unesp – SP) Devido ao aquecimento das águas,
a ocorrência de furacões das categorias 4 e 5 – os
mais intensos da escala Saffir-Simpson – dobrou
nos últimos 35 anos (Veja, 21.06.2006). Seja x
o número de furacões dessas categorias, ocorridos no período 1971–2005. Vamos supor que a
quantidade de furacões a cada 35 anos continue
dobrando em relação aos 35 anos anteriores,
isto é, de 2006 a 2040 ocorrerão 2x furacões,
de 2041 a 2075 ocorrerão 4x furacões, e assim
por diante. Baseado nesta suposição, determine,
em função de x, o número total de furacões que
terão ocorrido no período de 1971 a 2320.
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Respostas do capítulo 8
1a
2a
3e
4 S10 = 62 2 + 1
5e
6V, V, F, F, V
7b
8d
9e
10d
11e
12b
13d
14V, F, F, V, F
15b
16b
17d
6
12
18a ) b = e r =
5
5
239
b)a20 =
5
c)S20 = 500
(
)
19d
20a10 = 2 ⋅ 39 = 39366
21b
22a = 0,8 e b = −0,8
2340 cm
24c
25a
26d
27b
28c
29c
30a
311023x
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