Teoria das probabilidades

Matemática e suas Tecnologias Matemática
Ensino Médio, 2ª Série
TEORIA DAS PROBABILIDADES
MATEMÁTICA, 2º ano
Teoria das Probabilidades
SEQUÊNCIA DIDÁTICA
PASSEIOS ALEATÓRIOS DA MÔNICA
amigos durante os dias da semana em
uma ordem pré-estabelecida: segundafeira, Horácio; terça-feira, Cebolinha;
quarta-feira, Magali; quinta-feira, Cascão
e sexta-feira, Bidú. Para tornar mais
emocionantes os encontros, a turma
combinou que o acaso escolhesse o
amigo a ser visitado pela Mônica. Para
isso, na saída de sua casa e a cada
cruzamento, Mônica deve jogar uma
moeda; se sair cara (C), andará um
A Mônica e seus amigos moram no
quarteirão para o Norte, se sair coroa (X),
mesmo bairro. A distância da casa da
um quarteirão para o Leste. Cada jogada
Mônica (vermelho) para a casa do
representa um quarteirão de percurso.
Horácio (verde), Cebolinha (preto), Magali
Mônica deve jogar a moeda quatro vezes
(amarelo), Cascão (marrom) e Bidú (azul)
para poder chegar à casa dos amigos.
é de quatro quarteirões, conforme ilustra
(Cazorla e Santana, 2006, 44)
a figura. A Mônica costumava visitar seus
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Após ler a história, responda:
1) Qual é a diferença entre a forma antiga da Mônica visitar seus amigos e a nova
forma?
2) Quais são os possíveis resultados ao lançar uma moeda?
3) Qual é a chance de sair cara? E de sair coroa?
4) Todos os amigos têm a mesma chance de serem visitados?
( ) Não. ( )Sim.
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5) Para Mônica visitar um amigo, tem que lançar a moeda quatro vezes, que denominamos de
experimento. Se sair cara (C), Mônica andará um quarteirão para o Norte, se sair coroa (X), um
quarteirão para o Leste. Vocês devem repetir esse experimento 30 vezes e anotar os resultados
no Quadro 1. Por exemplo, se sair a sequência: cara, cara, coroa, cara, anotar na coluna a
sequência: CCXC e, na coluna do amigo visitado: Cebolinha
Repetição
Sequência
Amigo visitado
Repetição
01
16
02
17
03
18
04
19
05
20
06
21
07
22
08
23
09
24
10
25
11
26
12
27
13
28
14
29
15
30
Sequência
Amigo visitado
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6) Quem tem mais chance de ser visitado(a) Magali ou Horácio?
7) Existe a chance da Mônica não visitar nenhum amigo?
(
) Não.
(
) Sim.
8) Depois de ter realizado o experimento, vocês mudariam de opinião na
seguinte questão: “Todos os amigos têm a mesma chance de serem
visitados?” Pense na sua resposta considerando a questão 4.
( ) Não. ( ) Sim.
Por quê?
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9) Sistematizem os resultados do Quadro 1 na Tabela 1, chamada de
Tabela de Distribuição de Frequência – TDF.
Tabela 1. Distribuição do número de visitas que cada amigo recebeu da Mônica
Amigo
N° de vezes que foi visitado
Frequência relativa (hi)
Portentagem
30
1,00
100,00
Horácio
Cebolinha
Magali
Cascão
Bidu
Total
Onde hi = fi/30, que representa uma estimativa da probabilidade
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10) Depois que vocês organizaram os resultados na TDF, podem mudar de
opinião na seguinte questão: “todos os amigos têm a mesma chance de serem
visitados?”. Pense na sua resposta considerando a questão 8.
( ) Não ( ) Sim. Por quê?
11) Na malha quadriculada, construam um gráfico que apresente os dados da
frequência relativa, constante da Tabela 1. Depois, comparem seus resultados
com os dos seus colegas. Esses são iguais?
( ) Não ( ) Sim. Por quê?
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12) Completem a árvore de possibilidades, indicando a sequência sorteada, o
número de caras e o amigo visitado. Observe que cada ramo se desdobra em dois
novos ramos (um para cara e outro para coroa) a cada sorteio:
Ponto de
partida
Mônica
Primeiro
sorteio
Segundo
sorteio
Terceiro
sorteio
Quarto
sorteio
Sequência
sorteada
N° de caras
Amigo
visitado
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13) E agora, quantos caminhos existem ao todo?
14) Existe alguma relação entre o(s) caminho(s) que leva(m) a cada um dos
amigos. Caso exista, que relação é observada para o(s) caminho(s) que
leva(m) a:
a. Horácio_____________________
d. Cascão____________________
b. Cebolinha___________________
e. Bidu______________________
c.
Magali______________________
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15) Depois que vocês analisaram quantos caminhos levam a Mônica para a
casa de cada amigo, podem mudar de opinião na seguinte questão: “todos
os amigos têm a mesma chance de serem visitados?”. Pense na sua
resposta considerando a questão 10.
(
) Não
(
) Sim. Por quê?
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16) Analisando e sistematizando os resultados da árvore de possibilidades,
preencham a Tabela 2:
Tabela 2. Distribuição e probabilidade da visita da Mônica a seus amigos
Amigo
N° de caminhos
N° de caminhos / total de
caminhos (fração)
Horácio
Cebolinha
Magali
Cascão
Bidu
Total
(*) efetuar a divisão para expressar na forma decimal.
Probabilidade
(Pi)*
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17) Preencham a Tabela 3 com os resultados da Tabela 1 e 2:
Tabela 3. Quadro comparativo da atribuição de probabilidades
Amigo
Horácio
Cebolinha
Magali
Cascão
Bidu
Total
Frequência relativa (hi)
Probabilidade
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18) Qual é a diferença entre essas duas formas de atribuir probabilidades?
19) Analisando os resultados, qual dessas duas maneiras de atribuir
probabilidades é mais adequada? Por quê?
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20) Na grade de baixo da malha, representem os dados da probabilidade (Pi)
constante na Tabela 3. Comparem seus resultados com as outras duplas. Esses
são iguais?
(
)Sim
Por quê?
(
)Não.
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SITUAÇÃO – PROBLEMA
Maria Eduarda fez uma fezinha na Loteria, apostando com o cartão da figura
abaixo:
Qual
a
chance
dos
números escolhidos por
Maria Eduarda serem os
sorteados?
Imagem: Nubarron / GNU Free Documentation License
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Para resolver situações dessa natureza, recorremos ao
estudo das Probabilidades.
Imagem: Diacritica / Creative
Commons Atribuição-Partilha nos Termos da
Mesma Licença 3.0 Unported
Imagem: Nubarron / GNU Free Documentation License
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A teoria das probabilidades é o ramo da Matemática que
pesquisa
e
desenvolve
modelos,
visando
estudar
experimentos ou fenômenos aleatórios.
Exemplos:
a) Lançamento de um
É todo experimento que, mesmo repetido várias
dado;
vezes, sob condições semelhantes, apresenta b) Lançamento de uma
resultados imprevisíveis, dentre os resultados
possíveis.
moeda;
c) Loteria de números.
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Fenômenos
• Lançamento de uma moeda;
• Furar um balão cheio;
• lançamento de um dado;
• encher um balde;
• escolha casual de um caminho;
• calcular a área de quadrado
• extracção de uma carta num baralho.
de lado 7 cm;
• escrever uma carta.
RESULTADO DESCONHECIDO
RESULTADO CONHECIDO
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Problema
Lança-se um dado de seis faces e lê-se o número da face
voltada para cima. Qual a chance de se obter um número
ímpar?
Resultados possíveis ao lançar um dado: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Número ímpar = { 1, 3, 5 }
3 1
Probabilidade =
  0,5  50%
6 2
EVENTO
ESPAÇO AMOSTRAL
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Seja um evento A de um espaço amostral finito S (nãovazio). A probabilidade de ocorrer o evento A é a razão entre
o número de elementos de A e o número de elementos de S.
nº de casos favoráveis n( A)
P  A 

nº de casos possíveis
n( S )
Essa razão foi estabelecida pelo matemático e astrônomo francês Pierre
Laplace (1749-1827).
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01. Jogando 2 dados simultaneamente, determine:
a) O conjunto dos resultados possíveis (espaço amostral).
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5) (1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5) (2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5) (3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5) (4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5) (5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5) (6,6)
b) Qual é a probabilidade de sair dois números
maiores que 4?
4 1
P

36 9
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02. Quantas refeições diferentes podemos escolher, tendo cada
uma, uma entrada, um prato principal e uma sobremesa?
Entrada
 Sopa
 Camarão ao alho e óleo
Prato
Arroz com camarão
 Bife acebolado
 Lasanha
Entrada
A
S
B
L
Sobremesa:
 Frutas
 Pudim
A
C
12 refeições
diferentes!
Prato
B
L
Sobremesa
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
Refeição
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,F )
( S,L,P )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
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03. Escolhida uma refeição ao acaso, qual é a probabilidade de
comer arroz ou fruta?
8 2
Entrada
Prato
A
S
B
L
A
C
B
L
Sobremesa
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
F
P
Refeição
( S,A,F )
( S,A,P )
( S,B,F )
( S,B,P )
( S,L,F )
( S,L,P )
( C,A,F )
( C,A,P )
( C,B,F )
( C,B,P )
( C,L,F )
( C,L,P )
P
12

3
Qual é a probabilidade
de não comer lombo
nem pudim?
4 1
P

12 3
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Teoria das Probabilidades
04. Como determinar a probabilidade de um acontecimento a
partir da experiência?
Exemplo:
a) Lançar uma moeda 10 vezes e anotar os resultados
obtidos (cara ou coroa);
b) E se aumentassem o número de lançamentos da moeda,
qual seria a tendência do resultado?
Para um grande nº de experiências, a frequência relativa de um acontecimento
A é um valor aproximado da sua probabilidade
LEI DOS GRANDES NÚMEROS
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01. Lança-se um dado de seis faces e lê-se o número da face
voltada para cima. Calcule a probabilidade de se obter:
a) o número 2
b) um número ímpar
c) um número maior que 2
d) um número menor que 7
e) um número maior que 6
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02. Qual a probabilidade de sair coroa em três lançamentos
seguidos de uma moeda?
03. No lançamento simultâneo de dois dados, calcule a
probabilidade de se obter:
a) soma diferente de 11;
b) faces diferentes.
Respostas: 02) 1/8 03. a) 17/18 b) 5/6
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04. Pegue 2 moedas e faça vários lançamentos sobre uma
mesa. Descreva:
a) O espaço amostral.
b) O evento A: obtenção das faces de mesmo nome.
c) O evento B: obtenção de faces de nomes diferentes.
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05. Durante um jogo de futebol, verificam-se muitos eventos.
Faça uma lista de 10 eventos e classifique-os como certos,
impossíveis, pouco prováveis ou muito prováveis, de modo
que se tenha pelo menos um evento de cada tipo.
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Teoria das Probabilidades
06. Crie uma frase que comece por:
a) “É muito provável que amanhã...”.
b) “É certo que amanhã...”.
c) “É pouco provável que amanhã...”.
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07. Em uma urna há 5 bolas brancas, 3 bolas pretas e 7 bolas
vermelhas. Retirando uma dessas bolas ao acaso, qual a
probabilidade dela ser:
a) Branca
b) Preta
Respostas: 07) a) 1/3
b) 1/5
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08. Considere um octógono regular. Tomando, ao acaso,
uma das diagonais do polígono, qual a probabilidade de
que ela passe pelo centro?
Resposta:1/5 ou 20%
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09. Em um pacote de balas, há 5 de sabor morango e 10
de sabor abacaxi. Se 3 balas forem retiradas ao acaso,
qual é a probabilidade de serem todas de sabor morango?
Resposta: 2/91
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10. Considere que três vértices de um hexágono regular
são escolhidos ao acaso. Qual a probabilidade de que os
vértices escolhidos formem um triângulo retângulo?
Resposta: 3/5 ou 60%
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Referências
SANTOS, Paulo Avelino dos. A Modelagem como proposta para introdução á
probabilidade por meio dos passeios aleatórios da Mônica. PUC/SP, 2009.
Dissertação de Mestrado.
SMOLE, Kátia Cristina Stocco; DINIZ, Maria Ignez de Souza Vieira. Matemática:
Ensino Médio. Editora Saraiva. 5ª edição. 2º ano Ensino Médio. São Paulo 2005.
PAIVA, M. Matemática. 2.ed. volume único. São Paulo: Moderna, 2006.
PERNAMBUCO. Base Curricular Comum para as redes públicas de ensino:
matemática. Recife: SE, 2008.
PERNAMBUCO. Orientações teórico-metodológicas. Matemática. Ensino Médio.
Recife: SE, 2008.
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