Determinantes de Ordem n e suas propriedades

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 2º Ano
Determinantes de Ordem n e suas
propriedades
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Mapa Conceitual construído com o Software Cmap Tools, evidenciando
Determinantes.
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Determinantes
1. Introdução:
A teoria dos determinantes teve origem em meados do século
XVII, quando eram estudados processos para resolução de
sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam
um sistema prático para a resolução de sistemas, os
determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar
certas expressões matemáticas complicadas.
2. Definição:
A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado
determinante da matriz, que é obtido por meio de operações
entre os elementos da matriz.
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
3. Cálculo dos Determinantes:
3.1. Determinantes da matriz de 1ª ordem
O determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao próprio elemento da
matriz .
Ex.:
2
2

3

3
3.2. Determinantes da matriz de 2ª ordem
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual diferença entre os
produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária .
Ex.:
2
3
1
4
 (2 . 4)  [( 3) . ( 1)]  8  3  5
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
A=
a11
a12
a21
a22
- (a12 ·a21)
O determinante associado à matriz A é o
número real obtido pela diferença entre o
produto dos elementos da diagonal
principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária.
a11
a12
a21
a22
= a11 · a22 – a12 · a21
a11 · a22
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Ex: 1)
7
3
-
7 2 
A

3 5
2
= 7.5 - 2.3 = 29
5
+
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
3.3. Determinantes da matriz de 3ª ordem (Regra de Sarrus)
1. Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras colunas.
2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção da
diagonal principal, multiplicam-se os elementos das outras duas filas à sua direita.
3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção, os
elementos das outras duas filas à sua direita.
4. O determinante da matriz é a subtração dos produtos obtidos em 2 e 3.
Ex.:
1
2 3
1
2 3 1
2
0
2 4  0
2 4 0
2  10 – 8 + 0 + 6 – 12 + 0
1 3 5
1 3 5 -1 3
- -
-
+ +
+
=-4
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Ex: 1)
2 1 3 2 1
5
2
1 5
2
3
1
4 3
1
16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28
Ex: 2)
10
6
2
0
1 10 0
2 0 6 2
1 1 0 1
20 + 0 + 6 + 4 + 0 + 0 = 30
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
4. Cofator de uma matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem n  2. Chama-se cofator de um elemento aij
de A ao número real Aij = (-1)i + j . Dij, em que Dij é o determinante obtido da matriz
A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o elemento aij .
1 2 0
Ex.: Seja A  3 - 1 2 , calcule A 12
4 -2 5
A 12  ( 1)
1 2
.
3 2
4 5
 1 . (15  8)  A12 = -7
5. Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz A, de ordem n  2, é a soma dos produtos dos
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
Ex.: 1 2 1 1
2 1 1
1 2 1
2 1 4 3
 3 . A31 + 0 . A32 + 0 . A33+ 2 . A34 = 3 . 1 4 3  2 . 2 1 4
3 0 0 2
3 2 5
4 3 2
4 3 2 5
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
2 1
1
2 1
1 2 1 1 2
3. 1 4
3
1 42. 2 1 4 2 1 
3 2 5 3 2
-
-
-
+
+
4 3 2 4 3
+-
-
-
+
+
+
3 . (-40 + 9 + 2 – 12 – 12 + 5) - 2 . (2 + 32 + 6 – 4 – 12 – 8)
3 . (-48) - 2 . (16) = -144 - 32
= - 176
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Propriedades dos Determinantes
P1. Fila Nula
Se todos os elementos de uma fila de uma matriz A forem nulos, então det A = 0 .
Ex.:
1 2 4
3 1 4
0
0 0
5
4
0
1

Ex:2
0
0
1 0 2 6
1
0
5
Ex: 2
0
8 0
5
0
3
9
0
5
8 0
0
16
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
P2. Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais
Se duas filas paralelas de uma matriz A forem iguais ou proporcionais, então
det A = 0 .
2 3 2
Ex.: 5
4
5 0
8
0
8
1ª coluna = 3ª coluna
 3
e
3 1
2
6 2
4 0
4
0 5
2ª linha = 2 x 1ª linha
1 2  2 3 1 2   6 2 4
Se liguem, sempre que
nos referimos a filas,
estamos falando de
linhas e também de
colunas!
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Ex:
1
2
9
0
8
1
3
2
1
2
8
9
1
9
6

3
0
9
Ex:  1 0  2  0
4 8 8
0
L1  L 3
2.C1  C3
• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Outras propriedades:
Ex: 1)
2 5
 18  15  3
3 9
a b c
2) Se x
y
z  5,
r
s
t
5 2
 15  18  3
9 3
r
s
t
então x
y
z  5
a b c
• Quando trocamos a posição de duas filas paralelas, o determinante troca
de sinal
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
P3. Matriz Transposta
O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta.
Ex.:
2 0 1
2 0
5 1
5 1 = 16 + 0 – 20 + 3 + 0 + 0 = -1
0
3 4 8
2 5 3
0
1 4
3 4
2 5
0
1 = 16 – 20 + 0 + 3 + 0 + 0 = -1
1 0 8 1 0
Ex:
1)
2
4
3
9
 18  12  6, então,
a b c
2) Se x
y
z  10,
r
s
t
2 4
3 9
 18  12  6
a x r
então b y s  10
c z t
• det(A)=det(At)
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
P4. Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então:
det(A . B) = det A . det B
 4 1
3 0
 e B  

Ex.: A  
 2 3
1 2
det A = 10, det B = 6 e det A . det B = 6 . 10 = 60
 4 1   3 0   13 2 

 . 
  

 2 3  1 2   9 6 
det A . det B = 13 . 6 – 2 . 9 = 78 – 18 = 60
3 2
 4 1


.
e B  
Ex: Sejam A  

5 7
 2 3
Quanto vale det(A.B)?
detA  11
detB  10
det(A.B)  11.10  110
• det(A.B)=detA.detB
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
P5. Matriz Triangular
O determinante de uma matriz triangular é igual ao
produto dos elementos da diagonal principal.
Ex.:
5
0 0
9
1 0 = 5 .1 .8 = 40
2 7 8
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
2 0 0
Ex: 1)
5 3 0  2.3.7  42
7 9 7
2 7 8 0
2) 0
5 8 6
0
0
0 3 5
0 0 2
 2.5.3.2  60
• O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
P6. Troca de Filas Paralelas
Se trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz M, obteremos uma
outra matriz M´, tal que:
det M´ = - det M
Ex.:
Ex:
1
3 4
7 2
2
 6  28  22
9
0
8 1
3
2
1

9
1
0
9
2
8
7 2
3 4
 28  6  22
Ex:
0
3
L1  L 3
9
6
1 0  2  0
4
8
2.C 1  C 3
8
• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas
paralelas.
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
P7. Produto de uma Fila por uma Constante
Se todos os elementos de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados por um
mesmo número real k, o determinante da matriz assim obtida fica multiplicado
por k.
9
2 1
Ex.: 0
3 = 15 – 36 + 0 + 6 + 4 - 0 = -11
3 4 0
1 1 5 1 1
1
9
Multiplicando a 2ª coluna de A por (-3), temos:
 27 2 1 27
0
9 4 0 9
1
3
5 1 3
1
= -45 + 108 + 0 – 18 – 12 + 0 = 33
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Ex: 1)
2 3
6
4 9
a b c
5.2 3
 5.6  30
5.4 9
a
b
c
2)Se x
y
z  10, então 7.x 7. y 7.z  7.10  70
r
s
t
r
s
t
• Se uma fila for multiplicada por um no, então o determinante também
fica multiplicado por esse no
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Consequência: Seja uma matriz A, de ordem n, e k um número real, temos:
det (k . A) = kn . det A
2
Ex: 1)
4
3
6
9
5 .2 5 .4
 5 2 .6  150
5.3 5.9
• det(k.A)=kn.det(A), onde n é a ordem de A
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
P8. Determinante da Matriz Inversa
Seja A uma matriz e A-1 sua inversa, então:
Ex.: det A 
3
1
2 1
1
det A -1  5
2
5
det A -1 
 3  2  5
1
5  3  2  5 1
3
25 25
25
5

5
1
det A
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Consequência :
A.A -1  I
 det(A.A-1 )  det(I)
 det(A).det(A-1 )  1
 det(A-1 )  1/detA
 2 5
 é :
Ex: O determinan te da inversa de A  
 3 9
det(A-1 )  1/detA  1/3
• det(A-1)=1/detA
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
P9. Adição de Determinantes
Um determinante pode ser decomposto na soma de outros determinantes, iguais
aos primeiros, exceto numa coluna j qualquer, mas tal que, a soma das colunas j
destes determinantes, seja igual a coluna j do primeiro determinante.
2
Ex.: 0
5 0
2
1 1 0
3 4 6
3
+
1
0
2
3 1  0
0
6
2 0
2
4 0
1 0 1 1
3 2 6 3 2 6
+
3
=
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
P10. Teorema de Jacobi
Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila paralela,
previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´, tal
que:
det M´ = det M
-3
Ex.:
1 3
5
1
0
5
7  4  10 7
4  11  6
4 1 6
4 2
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Regra de Chió
A regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo do determinantes de ordem
n  2. Dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma
outra matriz A´ de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A.
1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos a linha e a
coluna deste elemento.
2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois elementos
eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna.
3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i + j, em que i e j representam a
linha e a coluna retiradas.
Ex.:
1 3 1
2 0
3
2 1
5

0  2.3 3  2.( 1)
1  2.3 5  2.( 1)
-17

6 5
5 7
 42  25 
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Matriz de Vandermonde
Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de ordem n  2,
em que suas colunas são potências de mesma base, com expoente inteiro, variando
de 0 à n – 1 (os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de
primeiro termo igual a 1).
Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos característicos da matriz.
O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as
diferenças possíveis entre os elementos característicos e seus antecessores.
Ex.:
1
2
1
3
1
5
1
7
4
9
25
49
8 27 125 343

(3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5)
1.3.2.5.4.2
240
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
5)
1
6
9
3
5
0 0
L1  L 2  L 3
4 11 9
1
3
5
0
6) 3
0
1
7
9
7 7 8
7 5 9 0
0
2.C1  C 2  C 3
• Quando uma das filas é a combinação linear de outras
filas paralelas.
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
EXEMPLO 1
Calcule o determinante de
2 1
3
.
4
30
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
EXEMPLO 2
Calcule
o
determinante
de
4 2
3 6.
31
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
EXEMPLO 3
Calcule o determinante de
1 2 3
2 0 1
1 2 0
32
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
EXEMPLO 4
Calcule o determinante de:
3 0 0
0 7 7
1 0 2
33
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
EXEMPLO 5
(FUVEST) É dada a matriz
1 1

P= 
.
0
1


2
3
a)Calcule P e P
n
b) Qual a expressão P ?
34
MATEMÁTICA, Série 2ª
Matrizes - Determinantes
Agora vamos colocar a mão na massa.
1)Entrar no site abaixo e baixar o software
Cmaptools para cada um montar seu mapa
conceitual com os determinantes e suas
propriedades.
http://www.baixaki.com.br/download/cmaptool
s.htm