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Aula02-Top2-AngMedTrigonometria (Link )
ÂNGULO, MEDIDAS DE ÂNGULO E TRIGONOMETRIA
ÂNGULO E MEDIDAS DE ÂNGULO
A definição de ângulo é dada como a seguir. Num plano P considere duas semiretas r1 e r2 com a mesma origem O, então as semi-retas dividem esse plano em duas
partes P1 e P2 chamadas de semi-planos, assim (admitindo que retas e planos são
conjuntos de pontos) P é a reunião de P1, P2, r1 e r2, além disso P1 e P2 são
disjuntos.
r2
P
P
P2
P1
P2
r1
O
r1
O
r2
P1
Os semi-planos estão ilustrados nas cores “azul e laranja”,
na figura à direita, as semi-retas são opostas.
Cada um dos semi-planos obtidos através de duas semi-retas com a mesma origem
é chamado de ângulo. As semi-retas são ditas os lados do ãngulo e a origem comum é
denominada de vértice do ângulo. Se as semi-retas não são opostas (como na primeira
figura acima), um dos ângulos tem a propriedade que dois pontos quaisquer podem ser
ligados por um segmento de reta contido no ângulo, este é chamado de ângulo convexo; o
outro não possui tal propriedade e é dito o ângulo côncavo. Se as semi-retas são opostas,
os dois ângulos são convexos e cada um é chamado de ângulo raso.
Sejam uma circunferência de centro em O e dois pontos A e B dessa
circunferência, então os segmentos de retas que contém os raios OA e OB da
circunferência, determinam dois ângulos, cada um dos ângulos é chamado de ângulo
central. Os pontos A e B dividem a circunferência em dois arcos contidos nos ângulos,
cada um deles é dito um arco subtendido pelo ângulo. Assim dada uma circunferência de
centro no vértice de um ângulo, o ângulo determina um arco (subtendido) e vice-versa.
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B
Os ângulos centrais
são as regiôes nas cores
“azul” e “laranja”.
A
O
As unidades para medir ângulo são as seguintes:
(a) Grau. Uma das formas de medir ângulo é considerando o ângulo como central, ou seja,
usando uma circunferência de centro no vértice do ângulo. A circunferência é dividida
em 360 arcos de mesmo comprimento, com o primeiro arco iniciando num lado do
ângulo, cada arco subtende um ângulo de um grau(1). A medida do ângulo de q graus
é indicada por qo. Para medir ângulos menores que um grau, são usadas as subunidades
1' =
o
(601 )
e
(601 )' , respectivamente.
4550o o
o
5
13
85 o
80 o
75 o
70 o
65 o
60 o
55 o
90o
1" =
minuto e segundo, que são indicadas e definidas por
o
40 5o o
3 0o
35
2 0o
2 o
15 o
10o
5o
180o
o
0 360 o
O ângulo convexo (de
cor laranja) indicado na
figura, tem medida maior
que trinta graus e menor
que trinta e cinco graus.
270o
o
5
22
5
31
(b) Radiano. A outra forma de medir ângulo, usa uma unidade chamada radiano, de
acordo como segue.
Foi provado por Arquimedes(2) que a razão entre o comprimento (ou perímetro) C
da circunferência de raio r e o seu diâmetro (isto é, 2r) é constante; essa constante é
C = p . Sabe-se que arcos de circunferências
indicada pela letra graga pi (3) “ p ”, assim 2r
que subtendem o mesmo ângulo central (ou seja, circunferências que têm o mesmo centro
(1)
A divisão do círculo em 360 partes, supostamente foi adotada inicialmente pelo astronomo grego Hipsicles
(viveu em torno de 180 A.C.) em sua obra “De ascensionibus”.
(2)
Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.), matemático grego.
(3)
A letra “ p ” é a inicial da palavra “perímetro” em grego e foi adotada pelo matemático suiço Leonhard
Euler (1707-1783); porém foi o matemático suiço Johann Heinrich Lambert (1728-1777), quem primeiro
apresentou a prova de que p é irracional, na Academia de Berlin em 1761. O conceito de p data da
época dos antigos babilônios e egípcios, embora fosse usado de forma bastante imprecisa.
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no vértice do ângulo) são semelhantes e a razão de semelhança é a razão entre os raios.
s1
r1
O
s2
Considerando a figura,
o enunciado afirma que
s1 r1
s2 = r2
r2
=
s2
s1
r1 = r2
.
Assim, para qualquer cincunferência de centro na origem do ângulo, a razão entre o
comprimento do arco subtendido pelo ângulo e o comprimento do raio da circunferência é
constante, isto permite definir a medida do ângulo em radianos como sendo essa razão.
Portanto, se uma circunferência tem raio igual a r e s é o comprimento do arco da
circunferncia determinado por um ângulo central de medida q radianos (abrevia-se,
q rd ), então q= sr rd. Se s = r então q = 1rd, ou seja, um radiano é a medida de um
ângulo que subtende um arco de comprimento igual ao raio da circunferência.
A equivalência entre as medidas de ângulo são efetuadas da seguinte forma: uma
semi-circunferência é subtendida por um ângulo de medida igual a 180o e o tem
comprimento igual a p r, assim 180o Û prr = p rd que é comum se escrever
180o = p rd.
1o =
p
180
Como
conseqüências:
360o = 2p rd,
o
1 rd = (180
@57o17'
p )
e
rd @ 0, 0174 rd.
Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida. A bissetriz de um
ângulo é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes. Um ângulo interno
de um polígono é aquele determinado por dois lados adjacentes do polígono, assim (por
exemplo) um triângulo tem três ângulos internos.
Teorema (da Bissetriz) 2. A bissetriz de um ângulo de um triângulo, divide o terceiro lado
em segmentos proporcionais aos lados do triângulo contidos nos lados do ângulo.
a
d
Bi sse t
c
ri z
 
Considerando a figura,
o enunciado afirma que
a b.
c =d
b
Dois triângulos são semelhantes se eles têm dois ângulos congruentes. Os lados
opostos aos vértices dos ângulos congruentes de dois triângulos semelhantes, são
chamados de lados homólogos.
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Teorema 3. Se dois triângulos são semelhantes, então são iguais as razões entre os lados
homólogos.
A

D



B

C

E
F
São homólogos os lados AB e DE, AC e DF, e BC e EF;
assim o enunciado afirma que
.
AB AC BC
=
=
DE DF EF
.
A trigonometria(1) é o estudo das relações entre os lados de um triângulo, e entre
arcos de circunferências e as cordas subtendidas. O objetivo deste parágrafo é apresentar as
razões trigonométricas nos dois aspectos em que são estudadas, ou seja, relativamente ao
triângulo retângulo e ao círculo trigonométrico; sob o ponto de vista funcional, a
trigonometria será tratada no Cálculo.
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
As razões trigonométricas de um ângulo agudo (isto é, um ângulo de medida
maior que zero e menor que noventa graus), são definidas como segue. Considere um
ângulo agudo de vértice A e medida q (isto é, 0 < q< 90o) , sejam B e D pontos
quaisquer num lado do ângulo, C e F pontos no outro lado de forma que os segmentos
BC e DF sejam perpendiculares ao lado que contém B e D, formando assim os
triângulos retângulos ABC e ADF.
F
Os triângulos ABC e
ADF são retângulos, onde
seus ângulos retos estão
nos vértices B e D.
C

B
D
A
Os triângulos ABC e ADF têm os ângulos internos correspondentes congruentes, logo
são semelhantes e assim (por um teorema da Geometria Plana – clique para acesar)
BC = DF (i) ; isto significa que a razão tem sempre o mesmo valor, qualquer que seja o
AC AF
triângulo retângulo considerado e só depende de q, esse valor é chamado de seno de q e
é indicado por sen q.
(1)
A palavra “trigonometria” deriva das palavras gregas trigono (três ângulos) e metron (medida), o termo foi
criado pelo alemão Bartholomäus ou Bartholomeus Pitiscus (1561-1613) em seu livro “Trigonometriae Sive de
Solutione Triangulorum Tractaus Brevis et Perspicuus” publicado em 1595.
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Considerando ainda os triângulos mencionados anteriormente, também do teorema
AB = AD (ii) e AB = AD (iii), que também só
mencionado por último, tem-se
AC AF
BC DF
dependem de q. As razões (ii) e (iii) são chamadas de co-seno de q e tangente de q ,
e abreviadas por cos q e tg q, respectivamente.
Tomando o inverso das razões (i), (ii) e (iii), as novas razões são chamadas de
secante de q, co-secante de q e co-tangente de q, abreviadas por sec q, csec q e ctg q,
respectivamente.
As seis razões trigonométricas definidas podem ser vistas a partir de qualquer
triângulo retângulo, assim considerando o triângulo ABC da figura anterior e chamando
e
AC = a de hipotenusa, BC = b
AB = c de catetos, obtém-se as relações
trigonométricas no triângulo retângulo (1), dadas por:
(a) sen   ba ;
(b) cos   ac ;
(c) tg   bc ;
(e) sec q=
a;
c
(d) ctg   bc ;
(f) csec   ab .
a
b

c
Então, pode-se enunciar que:
(a) O sen  é o cateto oposto ao vértice do ângulo dividido pela hipotenusa;
(b) O cos  é o cateto adjacente ao vértice do ângulo dividido pela hipotenusa;
(c) A tg  é o cateto oposto ao vértice do ângulo dividido pelo cateto adjacente;
(d) A ctg  é o cateto adjacente ao vértice do ângulo dividido pelo cateto oposto, ou seja,
a co-tangente é o inverso da tangente;
(e) A sec q é a hipotenusa divida pelo cateto adjacente ao vértice do ângulo, ou ainda, a
secante é o inverso do co-seno;
(f) A csec  é a hipotenusa dividida pelo cateto oposto ao vértice do ângulo, isto é, a cosecante é o inverso do seno.
As propriedades do seno e co-seno podem ser enunciadas:
(a) cos q+ sen 2q= 1 onde (por exemplo) cos2 q indica (cos q)2;
2
(b) sen a = cos b se a + b = 90o;
(c) sen 2q= 2sen qcos q se 0 < q< 45o;
(d) sen 2 q = 1 (1- cos 2q) se 45o < q< 90o.
2 2
Usando um triângulo eqüilátero de lados iguais a um, pode-se calcular o seno e coseno de 30o e 60o.
(1)
O Papiro Rhind é um documento egípcio comprado em 1858 pelo antiquário escocês Henry Rhind,
medindo 0,32 m de altura por 5,5 m de comprimento, copiado por um escriba chamado Ahmes em 1650
A.C. aproximadamente (o escriba relata que o seu conteúdo vem de documentos de cerca de 2000 a 1800
A.C.); o Papiro contém 85 problemas com soluções sobre aritmética, álgebra e geometria, quatro
problemas fazem referência ao “seqt”, palavra egípcia que significa o afastamento horizontal de uma reta
oblíqua em relação ao eixo vertical para cada variação de unidade na altura, trata-se de um conceito
equivalente ao de co-tangente da medida de um ângulo; esta seria a primeira evidência do uso de uma
razão trigonométrica.
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C
O segmento CD é a
mediana do lado AB, de
forma que o triângulo ACD
é retângulo, assim CD tem
comprimento igual a 3 2 .
o
30o 30
1
1
3
2
60o 1
1 60o
2
2
A
B
D
Do triângulo acima, tem-se sen 30o = cos 60o =
1
2
e sen 60o = cos 30o =
3
.
2
Usando um triângulo retângulo de catetos iguais a um, pode-se calcular o seno e
co-seno de 45o.
C
45o
2
A hipotenusa AC tem
compri mento igual 2 ,
decorrente do teorema
de Pitágoras.
1
45o
A
B
1
Do triângulo acima, obtém-se sen 45o = cos 45o =
1
2
=
2.
2
As relações entre os lados de um triângulo qualquer são dadas das seguintes
formas. Se a, b e c são os lados de um triângulo qualquer opostos aos vértices dos
ângulos de medidas  ,  e , respectivamente, então:
sen ;
(a) Área do triângulo, A  ab
2
a
sen 
(b) Lei dos senos,
 senb   senc  ;
2
2

c
2


(c) Lei dos co-senos, a = b + c - 2bc cos a .
b
a
Para demonstrar a fórmula para a área do triângulo, observe os triângulos
seguintes, onde o ângulo de medida q é agudo, reto e obtuso, respectivamente.
A
A

c
B

b
h
a

h=b
c
c
b


A

C
B
 2
a


C
B
a

C
h
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Da primeira figura, sendo o ângulo de medida q agudo, tem-se h = b sen q; da segunda
figura, obtém-se h = bsen p2 ; da terceira figura, acha-se q+ g = p e assim também
h = b sen g = b sen(p - q) = b sen q. A área de qualquer triângulo é a metade do produto da
base pela altura, portanto
A  ah  absen   ab sen .
2
2
2
A lei dos senos é demonstrada usando a fórmula para calcular a área de um
triângulo. Multiplicando os dois lados da última igualdade por c, obtém-se
cA  abc sen   c  abc ;
2
sen  2A
calculando a área do triângulo em termos das medidas a
triângulo ou por analogia a fórmula anterior, acha-se
e b dos outros ângulos do
A  bc sen  e A  ac sen ,
2
2
multiplicando ambos os lados das duas últimas igualdades por a e b, respectivamente,
tem-se
aA  abc sen  e bA  abc sen ,
2
2
logo
b  abc .
a  abc e
sen  2A
sen  2A
Portanto, igualando o valor de
da lei dos senos.
abc
2A
obtidos nas três formas, está concluída a demonstração
Para demonstrar a lei dos co-senos, considere os triângulos seguintes, onde o
ângulo de medida q é agudo, reto e obtuso, respectivamente.
A

c
h=b
c
b
h
c
b


H
a


h
B
A
A
d

C
B
 2
a


C

C
B
d
H
a
Na primeira figura, o triângulo ABH é retângulo de hipotenusa c e catetos a - d e h,
assim (pelo teorema de Pitágoras), tem-se:
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c2 = h 2 + (a - d)2 Û c2 = h 2 + a 2 - 2ad + d2 ;
mas (agora do triângulo retângulo
ACH)
b2 = h 2 + d 2
ou
h 2 = b2 - d2 , logo
substituindo h 2 no resultado anterior, obtém-se
c2 = b2 - d2 + a 2 - 2ad + d2 Û c2 = a 2 + b2 - 2ad;
como d = b cos q, substituindo d na última igualdade, acha-se
c2 = a 2 + b2 - 2ab cos q.
Se o ângulo de medida q é reto, o triângulo é retângulo de hipotenusa c e
catetos a e b, logo
p
c2 = a 2 + b2 = a 2 + b2 - 2ab cos .
2
Considere finalmente o ângulo de medida q obtuso, como na última figura, sendo
o triângulo ABH é retângulo, tem-se:
c2 = h 2 + (a + d)2 Û c2 = h 2 + a 2 + 2ad + d2 ;
mas (do triângulo retângulo ACH) b2 = h 2 + d 2 ou h 2 = b2 - d2 , logo substituindo
h 2 no resultado anterior, obtém-se
c2 = b2 - d2 + a 2 + 2ad + d2 Û c2 = a 2 + b2 + 2ad;
como d = b cos g = b cos(p - q) = - b cos q, substituindo d na última igualdade, acha-se
c2 = a 2 + b2 - 2ab cos q.
Por analogia a fórmula anterior, as leis dos co-senos relativas aos outros ângulos
do triângulo de medidas a e b, são dadas por
a 2 = b2 + c2 - 2bc cos a
e
b2 = a 2 + c2 - 2accos b.
TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA UNITÁRIA
Considere S uma circunferência e um ponto A dessa circunferência, o percurso
de S a partir de A pode ser realizado no mesmo sentido do movimento do ponteiro de
um relógio ou no sentido contrário (isto é, no sentido horário ou anti-horário), ao percorrer
a circunferência é determinada uma orientação para circunferência, assim diz-se que a
circunferência está: orientada positivamente, se é percorrida no sentido anti-horário; e
orientada negativamente, quando é percorrida no sentido horário. Um arco de uma
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circunferência orientada positivamente ou negativamente é dito um arco orientado
positivamente ou negativamente, respectivamente. Um arco orientado que inicia no ponto
A e termina no ponto P, é indicado por AP.
Considere uma circunferência (orientada) num sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais num plano, de centro na origem e raio unitário, onde qualquer arco inicia no
ponto A(1, 0). A circunferência é chamada de circunferência trigonométrica e o ponto A
é dito a origem dos arcos. A circunferência trigonométrica com a origem dos arcos no
ponto A, será a partir de agora indicada por S1.
U
P(t,u)
1
O
A(1,0)
T
Seja agora o ângulo subtendido pelo arco AP de S1, neste caso (conforme a
definição de radiano) a medida do ângulo em radianos é igual ao comprimento do arco;
define-se a medida algébrica do ângulo subtendido pelo arco AP (ou do arco AP), como
o comprimento do arco se ele está orientado positivamente e menos o seu comprimento se
ele está orientado negativamente. Isto significa que a medida algébrica de um ângulo pode
ser negativa, nula ou positiva. A medida algébrica do arco AP é indicada por m(AP). Por
exemplo, se A e P coincidem, então m(AP) = 0 ou m(AP) = - 2p .
U
U
B(0,1)
Os arcos de
T
O
A(1,0)
T
O
A(1,0)
cor “laranja” têm

medidas m(AB)= 2

e m(AC)= 2 .
C(0,-1)
Dado um número real qualquer r, existe um número q tal que r = q± 2kp onde
k Î N e 0 £ q< 2p ou - 2p < q£ 0; por outro lado, o arco AP de S1 tal que
m(AP) = q, tem o mesmo ponto final P do de medida r = q± 2kp , pois este último é
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obtido do primeiro através de um número k de voltas. Dois arcos de S1 são ditos
côngruos (ou congruentes) se têm os mesmos pontos extremos e os seus comprimentos
diferem de um múltiplo inteiro de 2p . Diz-se ainda que q± 2kp são as várias
determinações do arco AP e que q é a primeira determinação (negativa ou positiva,
conforme o sinal da medida algébrica de AP). Resumindo, isto significa que todo número
real pode ser a medida algébrica de algum ângulo e é evidente que um ângulo tem uma
infinidade de medidas algébricas.
Sejam P um ponto qualquer de S1 e m(AP) = x, então a ordenada de P é
chamada de seno de x e a abscissa de P é dita o co-seno de x, e são indicados por sen x
e cos x, respectivamente.
U
P(t,u)
sen x
1
x
O
cos x
A(1,0)
T
Na figura, o ponto
P tem ordenada igual
a u, assim sen x = u;
e abscissa igual a t,
logo cos x = t.
São também definidas a tangente, co-tangente, secante e co-secante de x, e
indicadas e dadas respectivamente por:
sen x
cos x
(a) tg x =
se cos x ¹ 0;
(b) ctg x = 1 =
se sen x ¹ 0;
cos x
tg x sen x
(c) sec x = 1
se cos x ¹ 0;
(d) csec x = 1
se sen x ¹ 0.
cos x
sen x
Observe que se 0 < x < p2 , então seno, co-seno e as razões (a) até (d),
coincidem com as razões trigonométricas correspondentes definidas no triângulo
retângulo; as extensões têm a vantagem de serem definidas para todo número real no caso
do seno e co-seno, em todo número real x tal que x ¹ p2 ± kp no caso da tangente e
secante e em todo número real x tal que x ¹ ± kp no caso da co-tangente e co-secante,
onde k Î N.
As seguintes propriedades do seno e co-seno são imediatas:
(a) sen(x ± 2kp ) = sen x e cos(x ± 2kp ) = cos x para k Î N;
(b) - 1 £ sen x £ 1 e - 1 £ cos x £ 1 para todo x Î R;
(c) sen(- x) = - sen x e cos(- x) = cos x para todo x Î R;
(d) sen 0 = sen p = sen 2p = 0, sen p = 1, sen 3p = - 1, cos 0 = cos 2p = 1, cos p = - 1
2
2
e cos p = cos 3p = 0;
2
2
(e) sen p = cos p = 1 , sen p = cos p = 3 e sen p = cos p = 2 .
3
6
2
6
3 2
4
4
2
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Conhecendo-se o seno e co-seno de valores de x com 0 < x < p2 (isto é, se x é
medida do arco AP com P no primeiro quadrante), é possível determinar o seno e coseno de x com: (a) p < x < p , isto é, se P está no segundo quadrante; (b) p < x < 3p ,
2
2
3
p
ou seja, se P está no terceiro quadrante; e (c)
< x < 2p , ou seja, se P está no quarto
2
quadrante.
U
U
Q
P
x
B
U
-x
T
O
Q
Q
A
x
B
T
O
T
A
A
x
P
P
As figuras ilustram as posições do ponto P nos casos
(a), (b) e (c). O ponto Q é simétrico a P em relação ao
eixo U, origem e eixo T, respectivamente.
Na primeira figura, observe que m(AQ) = m(PB) = p - x e se P(t, u) então Q(- t, u),
como as ordenadas de P e Q são iguais, tem-se que sen x = sen(p - x); analogamente,
obtém-se cos x = - cos(p - x). Na segunda figura, veja que m(AQ) = m(BP) = x - p e
se P(t, u) então Q(- t, - u), como as ordenadas de P e Q são simétricas, tem-se que
sen x = - sen(x - p ); analogamente, tem-se cos x = - cos(x - p ). Na terceira figura, veja
que m(AQ) = m(PA) = 2p - x e se P(t, u) então Q(t, - u), como as ordenadas de P e
sen x = - sen(2p - x); analogamente, tem-se
Q
são simétricas, tem-se que
cos x = cos(2p - x). Resumindo, tem-se as reduções ao primeiro quadrante, se:
(a)

2
 x   então sen x  sen (  x) e cos x   cos (  x);
(b)   x  32 então sen x   sen (x  ) e cos x   cos (x  );
(c)
3
2
 x  2 então sen x   sen (2  x) e cos x  cos (2  x).
Com os resultados obtidos, é possível construir uma tabela de seno e co-seno, por
exemplo, a seguinte:
x
0

6

4

3

2
2
3
3
4
5
6

sen x
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos x
1
3
2
2
2
1
2
0
 12

2
2

3
2
1
Algumas das identidades mais usadas são:
cos2   sen 2   1,
1  tg 2  sec2 
e
1+ ctg2q= csec2 q,
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onde (por exemplo) cos2 q significa (cos q)2.
As fórmulas para o seno, co-seno e tangente da adição de medidas de ângulos são
dadas por:
sen(q± b) = sen q cos b ± sen b cos q; cos(q± b) = cos q cos b m sen qsen b;
tg a + tg b
tg a - tg b
tg(q+ b) =
;
tg(q- b) =
.
1- tg a tg b
1 + tg a tg b
As fórmulas para o seno e co-seno do arco duplo e metade são dadas por:
sen 2  2 sen  cos  ;
sen   2 sen 2 cos 2 ;
cos 2  cos2   sen 2  ;
cos   cos2
sen 2   1 (1  cos 2);
2
sen 2

2
 12 (1  cos );
cos2   12 (1  cos 2);
cos2

2
 12 (1  cos ).

2
 sen 2 2 ;
As fórmulas para a adição de seno e co-seno de medidas de ângulos são dadas por:


cos 2 ;
2


cos   cos   2 cos 2 cos 2 ;
sen   sen   2sen


sen 2 ;
2


cos   cos   2sen 2 sen 2 .
sen   sen   2 cos