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PROF. JOABE
1. Teorema de Jacobi
Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma
outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante,
obteremos uma nova matriz M´, tal que:
det M´ = det M
-3
1 3
Ex.:
5
1
0
5
7  4  10 7
4  11  6
4 1 6
4 2
Resumindo: o que estamos dizendo é que é possível facilitar o
cálculo de um determinante, provocando o surgimento de
ZEROS no meio da expressão por meio da utilização do
Teorema de Jacobi.
 1 1 1
 2
1 1

det
 1 2  1

 1 1 2
1
 1  1  1 1
0 3


1

1
1

 det 
0
1  2 2
1



3 0
1
0 2
Explicando melhor:
 1 1 1
 2
1 1

det
 1 2  1

 1 1 2
1  2 1  1
 1  1  1 1



0
3
1

1
1

 det 
0
1  2 2
1



3 0
1
0 2
Mesmo com essas transformações o valor do determinante
não muda, porém com o surgimento dos zeros o processo
do cálculo se torna mais simples, conforme veremos mais
adiante.


Chama-se menor complementar (ij) de uma matriz A o
determinante da matriz que se obtém de A retirando-se a
linha i e a coluna j. Representa-se por Dij.
Exemplo: Sendo dada a matriz A, calcule D11, D21, D22.
  2 3 1


A   3 2  2
 2 0 3 


D11 
D21 
D22 
2 2
0
3
3 1
0
 6 (eliminamos a linha1 e a coluna 1)
3
 9 (eliminamos a linha 2 e a coluna 1)
 2 1
2
3
 6  2  4 (eliminamos a linha 2 e a coluna 2)

O cofator Aij de um elemento aij de uma matriz
quadrada, é o número que se obtém ao multiplicar a
potência (– 1)i+j pelo menor complementar de aij .
Aij   1
i j

Exemplo:
 Dij
Sendo
  2 3  1 calcule A11, A21, A22.


A   3 2  2
 2 0 3 


2 2
11
A11   1  D11  1
 6 . Veja que A11  D11.
0 3
A21   1
2 1
A22   1
2 2
 D21   1
 D22  1
3 1
0
3
 2 1
2
3
  1 9   9. Veja que A 21   D21.
 1  6  2  4. Veja que A 22  D22 .
3
5
 2
A    1
8
2
 2  2  7 
2
 1
1 2



A


1
D12  3
D12  det 

3
12

 2  7
3 5
31
D31  det 
 34  A31  1 D31  34

8 2
4. Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma
algébrica dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou
coluna) pelos respectivos Cofatores.

Para cada linha k:
det( A)  ak1 Ak1  ak 2 Ak 2    akn Akn

Para cada coluna j:
det( A)  a1 j A1 j  a2 j A2 j    anj Anj
Observações:
• O Teorema de Laplace permite o cálculo do determinante de
uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes
de ordem n - 1;
• Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros;

Usar primeiro operações elementares sobre linhas para
obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema
de Laplace sobre essa coluna.
 a11 a12

det a21 a22
a
 31 a32
det  a11   1 
11
a13 

a23   a11  A11  a12  A12  a13  A13 (pela 1ª linha)
a33 
a22
a23
a32
a33
 a12   1
1 2

a21 a23
a31 a33
 a13   1 
13
a21 a22
a31 a32
 1 1 1
 2
1

1
det 
 1 2  1

 1 1 2
1

1
1

1
Sugestão: use o teorema de Jacobi para simplificar o
cálculo do determimante.
 1 1 1
 2
1

1
det 
 1 2  1

 1 1 2
1
 1  1  1 1
0 3

1

1
1

 det 
0
1  2 2
1



3 0
1
0 2
Entendendo melhor a aplicação do Teorema de Jacobi:
 1 1 1
 2
1

1
det 
 1 2  1

 1 1 2
 1 1 1
 2
1 1

det
 1 2  1

 1 1 2
1  2 1  1
 1  1  1 1
0 3

1

1
1

 det 
0
1  2 2
1



3 0
1
0 2
1
 1  1  1 1
1  1
3



1
0 3
1  1
11

 det
 1  1  det  1  2 2
0
1
1  2 2
2
3 0



1
3 0
0 2
1  1 3 1
3
 11 det  1  2 2 1  2
2
3 0 2 3
 11 0  4  3  4 18  0   21
5. Regra de Chió
A regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo do
determinantes de ordem n  2. Dada uma matriz A de ordem
n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma outra matriz A´
de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A.
1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos
a linha e a coluna deste elemento.
2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois
elementos eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna.
3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i
representam a linha e a coluna retiradas.
Ex.:
1 3 1
2 0
3
2 1
5

0  2.3 3  2.( 1)
1  2.3 5  2.( 1)

6 5
5 7
+ j,
em que i e j
 42  25 
-17
Obs: no caso da linha 1 e da coluna 1, não é necessário multiplicar o
determinante por (-1)i + j, pois (-1)1 + 1 vai resultar em 1, que é o
elemento neutro da multiplicação.
Exemplo:
Calcular, usando a regra de Chió, o determinante abaixo:
1
3
7
2
4 14 30 6
3 10 20 8
2

5
2
1
14  4.3 30  4.7 6  4.2

10  3.3 20  3.7 8  3.2
5  2.3
16 3
22  2
11 2
- - 1 -22
16  2.7 3  2.2
= 2 - 4- 4 + 2- 8 + 2
1
+
+
+
= - 10
Exemplo:
Calcular o Determinante abaixo, usando a Regra de Chió.
Observe primeiro que o número 1 ocupa a 1ª linha e 3ª coluna, mas
como a soma i + j - = 1 + 3 = 4 é par, teremos (-1)i + j positivo.
7
3
1 2
30 14 4 6
20 10 3 8
16
2
5
2
30  7.4 14  3.4 6  4.2

20  7.3 10  3.3 8  3.2
16  7.2
2 3
5  3.2
3  2.2
2
 1 1 2
- - 1 -2  1
= (2 - 4 - 4 + 2 - 8 + 2)
+
+
+
= (- 10) = -10
Exemplo:
Se o determinante não tiver nenhum elemento unitário podemos dividir
uma das filas (linha ou coluna) para obtermos um elemento unitário, mas
devemos multiplicar o determinante obtido por este valor para não haver
alteração do resultado
3
3
7
2
12 14 30 6
1
 3.
3
7
4 14 30 6
9
10 20 8
6
5
16
3
2
2
2
1
2 = 3 . (-10) = -30
1
 3. 1
1
2
2
3 10 20 8
2
5
16 3
6. Matriz de
Vandermonde
Chamamos
matriz de
Vandermonde, ou das potências, toda
matriz de ordem n  2, em que suas colunas são potências de
mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 à n – 1 (os
elementos de cada coluna formam uma progressão
geométrica de primeiro termo igual a 1).
Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos
característicos da matriz.
O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto
de todas as diferenças possíveis entre os elementos
característicos e seus antecessores.
Ex.:
1
2
1
3
1
5
1
7
4
9
25
49
8 27 125 343

(3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5)
1.3.2.5.4.2
240
7.1 - MATRIZ DOS COFATORES (Cof A)
Chama-se matriz dos cofatores de uma matriz quadrada A à
matriz que se obtem substituindo em A cada elemento pelo
seu Cofator.
A  A 
A
11
A
A'  Cof A   21
 

 An1
12
1n
A22  A2 n 
   

An 2  Ann 
7.2 - MATRIZ ADJUNTA (Adj A)
Chama-se matriz adjunta de uma matriz quadrada A à matriz
que se obtem transpondo a matriz dos cofatores.
 A11
A
t
A  Cof A   12
 

 A1n
An1 
 An 2 
  

 Ann 
A21 
A22

A2 n
7.3 - CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA (A-1)
Agora que já encontramos a matriz dos cofatores e sua
transposta, a matriz adjunta, para determinar a matriz
inversa de A basta multiplicar o inverso do determinante de A
por essa matriz adjunta:
A1 
1
A
det A
Solução:
Primeiro vamos calcular o cofator
de cada um dos elementos da
matriz A:
1 2
A

3
4


A11   1 det 4  4
11
A12   1
1 2
A21   1
2 1
A22   1
2 2
det 3  3
det2  2
det1  1
Agora vamos escrever a matriz dos cofatores:
 4  3
A'  Cof A  


2
1


Agora vamos escrever a matriz adjunta:
 4  2
A  Adj A  Cof A  


3
1


t
Agora vamos calcular o determinante de A:
det A 
1 2
3 4
 4  6  2
E por fim:
1
1  4  2
A 
A 


1
det A
2  3
1
1
 2
A 

3 2  1 2
1
OBSERVAÇÕES:
1) Uma matriz quadrada A diz-se REGULAR ou NÃO-SINGULAR
se det A ≠ 0.
2) Uma matriz quadrada somente é INVERTÍVEL se for regular.
3) Uma matriz quadrada invertível diz-se ORTOGONAL somente
se sua transposta dor igual à sua inversa.
A é ortogonal  A  A1  A  At  I n  A1  At