Modelagem e Simulação

Modelagem e Simulação de Sistemas.
Enrique Ortega
Laboratório de Engenharia
Ecológica e Informática Aplicada
Faculdade de Engenharia de Alimentos
Unicamp, março 2006.
Revisão: abril 2006
www.unicamp.br/fea/ortega
Modelagem e simulação
Para fazer a simulação de ecossistemas é
necessário conhecer:
a. As leis de energia
b. Os princípios dos sistemas abertos,
c. Os diversos tipos de fontes de energia,
d. Os diversos tipos de interação e as funções
que descrevem esses processos.
Para representar um ecossistema usaremos
o diagrama de fluxos de energia.
O diagrama sistêmico é uma técnica que usa
símbolos gráficos para mostrar os
componentes e as interações do sistema.
Existem símbolos para fontes externas,
fluxos, interações, estoques internos e saídas
de energia.
A linguagem simbólica dos fluxos de energia é
apresentada no livro “Ecossistemas e Políticas
Públicas" de H.T. Odum et al. (1988).
http://www.unicamp.br/fea/ortega/eco
Fonte de energia
Símbolos com conexões
externa ilimitada
Fluxo de Energia
geralmente renovável
Fonte de energia
externa limitada
geralmente renovável
Fonte externa
limitada, pode ser
não renovável
Sumidouro de Energia
Sistema ou
subsistema
Estoque
interno
Produtor
preço
Transação
Interruptor
Interação
Consumidor
Existem várias técnicas de modelagem:
 a estatística,
 a fenomenológica,
 a determinística,
 e outras.
A determinística consiste em propor um tipo
de comportamento entre forças, interações e
produtos para um tipo de sistema, testar o
desempenho do modelo e achar os valores
corretos para os coeficientes utilizados.
Verificação do desempenho e
comparação com a realidade
Tipo de comportamento
Q
Q
K*Q
k1
Dreno
k3
k2
T
Q
Q
E
K2*Q
K1*E
Dreno
K1*E*Q
Q
Q
E
T
K2*Q
X
Dreno
T
Tipo de comportamento
Verificação do desempenho e
comparação com a realidade
Q
Q
K*Q
J
Energia
externa
T
Q
K1*J*Q
Q
Energia
externa
K2*Q
X
T
Q
K1*R*Q
Q
J
Energia
externa
K2*Q
X
R
Dreno
T
Porque simular?
Geralmente interessa
prever o desempenho de
um sistema, observando
como mudam os
estoques internos com o
tempo (Q versus T).
DQ = J*DT - K*Q*DT
Q
T
O modelo permite visualizar o impacto de:
 alteração na composição das forças externas
 alteração nos fluxos internos
 formação de novos arranjos internos.
O modelo de um sistema permite ações de
controle para melhorar o desempenho,
conforme certos padrões de qualidade.
Para fazer a simulação de um ecossistema pode
usar-se qualquer linguagem de programação.
Veremos a seguir um exemplo que poderá
servir para desenvolver outros modelos.
Leis da Energia
"Primeira lei: A energia não se cria , não
desaparece e sim muda de forma"
E = constante = soma de energias
"Segunda lei: A energia potencial gera
trabalho (W) e energia degradada (Q)"
E=W+Q
Princípios dos sistemas abertos
"Os sistemas criam laços auto-catalíticos e se
auto-organizam."
Os sistemas abertos evoluem e sua evolução
depende da energia externa disponível, da
organização interna e do aproveitamento dos
resíduos do sistema.
"Os sistemas interagem para criar redes de fluxo
de energia“.
As redes permitem aumentar a circulação de
materiais e a captura de energia potencial
disponível.
Princípios dos sistemas abertos
 Os conceitos desenvolvidos para a energia valem
também para a massa:
M = constante no sistema = soma de massas
M disponível = M elaborada + M dispersada
 Os sistemas se desenvolvem em ciclos de produção e
consumo.
 Os ciclos aumentam de intensidade e duração quando o
sistema cresce.
 O sistema cresce quando amplia suas fronteiras para
incorporar mais energias externas e estoques.
Hoje o crescimento é visto como um processo contínuo,
autônomo e infinito, sendo que é apenas parte de um
ciclo. Após o crescimento ocorre um declínio.
Exemplo 1. Fluxo constante de energia (J) e uma saída (kQ)
Temos um sistema que recebe o fluxo J, possui um
estoque Q e apresenta uma vazão de saída proporcional
ao volume do estoque Q. Como será o gráfico Q x T?
O fluxo constante de energia J, expressado em energia ou
massa por unidade de tempo permite durante o
incremento de tempo DT (segundos) aumentar em DQ o
estoque interno Q (Joules ou kg).
Diferença no estoque no intervalo DT =
entrada ocorrida em DT- saída ocorrida em DT
Entrada de energia no intervalo de tempo considerado:
DQ (in) = J * DT
-> (J/s).(s) ou (kg/s).(s)
O estoque tem um dreno e assumimos que a a vazão de
saída é proporcional ao estoque de energia. Então a saída
de energia no intervalo de tempo é:
DQ (out) = K*Q*DT -> (1/s).(J).(s) ou (1/s).(kg).(s)
A equação do balanço de energia no intervalo DT é:
Acumulação = Entrada - Saída
DQ = DQ(in) - DQ(out)
DQ = J*DT - K*Q*DT
DQ = J*DT - K*Q*DT
A mesma expressão se o intervalo de tempo for
unitário (DT = 1) fica como:
DQ = J - K*Q
Para simular a variação do estoque interno de energia Q
no decorrer do tempo T teríamos que escrever em
qualquer linguagem de programação o seguinte
procedimento:
Inicio do programa
Definir o tipo o os nomes das variáveis: J, Q, T, DT, K,
TMAX e atribuir valores iniciais as variáveis:
J=4
K=0.05
Q=10 T=0
DT=1
TMAX=10
Criar um laço de programação que faça o seguinte:
Plotar os valores de T e Q existentes
Calcular DQ (o incremento de Q no intervalo DT):
DQ = J*DT - K*Q*DT
Calcular no novo valor de Q:
Q = Q + DQ
Incrementar o valor de T:
T = T + DT
Testar se T está dentro do tempo permitido
T< TMAX
Em caso positivo permanece no laço senão sai dele
Fim do programa
Experimente fazer o cálculo manualmente e depois com
ajuda de uma planilha.
J=4
DT=1
J DT=4
K=0.05
Q=10 T=0
TMAX=10
T
J DT
K Q DT
DQ=JDT-KQDT
0
0
0
0
1
4*1 = 4
0.05*10*1 = 0.5
3.5
13.5
2
4*1 = 4
0.05*13.5*1 = 0.675
3.325
16.825
3
4*1 = 4
0.05*16.825*1 = 0.841
3.159
19.984
T
DQ
Q
0
-
10,000
Q=
Q anterior+DQ
10.0
Q versus T
90
1
3,500
13,500
2
3,325
16,825
3
3,159
19,984
4
3,001
22,985
5
2,851
25,835
6
2,708
28,544
7
2,573
31,116
10
8
2,444
33,561
0
9
2,322
35,883
10
2,206
38,088
Estoque interno
80
70
60
50
40
30
20
0
100
200
Tempo
300
Q versus T
DQ = J*DT - K*Q*DT
K=0.05
80,000
J=4
Q=10
60,000
50,000
K=0.05
T=0
DT=1
TMAX=10
40,000
Q versus T
30,000
20,000
160,000
10,000
140,000
0
10
20
Tempo
K=0.0025
120,000
30
40
100,000
Q versus T
80,000
60,000
K=1.0
12,000
40,000
10,000
20,000
0,000
0
10
20
Tempo
30
Estoque interno
0,000
Estoque interno
Estoque interno
70,000
8,000
40
6,000
4,000
2,000
0,000
0
10
20
Tempo
30
40
Applets Java
miniworld.htm
Modelos básicos
DQ = J - K*Q*DT
Q
Energia
externa
J
K*Q
Tanque
Energia dispersada
DQ = - K*Q*DT
Q
K*Q
Dreno
Energia dispersada
DQ = K1*E – K2*Q
Q
E
K2*Q
K1*E
Dreno
Estoque não
renovável
DQ = K1*J*Q – K2*Q
K1*J*Q
Q
Energia
externa
K2*Q
X
Dreno
Fonte ilimitada
Laço de retro-alimentação
Fonte ilimitada
Laço de retro- K1*J*Q
alimentação
DQ = K1*J*Q – K2*Q*Q
K2*Q*Q
Q
Energia
externa
X
X
Dreno
DQ = K1*R*Q – K2*Q
K1*R*Q
Q
J
Energia
externa
K2*Q
X
R
Dreno
Fonte limitada na origem + Laço de retro-alimentação
DQ = K1*E*Q – K2*Q
K1*E*Q
Fonte limitada
Q
K2*Q
X
E
Dreno
Laço de retroalimentação
Fonte limitada
DQ = K1*R*Q + K2*E*Q – K3*Q
K2*E*Q
E
X
Energia
externa
R
Q
J
K3*Q
X
K1*R*Q
Fonte limitada na origem
Dreno
Uso da ferramenta EmSim para
resolver o modelo inicial
(Tanque)
Resolução do modelo inicial
(tanque) usando EmSim
2
1
3
Agora vamos a prática!