Economia Financeira unidade 4

Unidade 3
1 Modelo de Markowitz
Fronteira eficiente
2. Determinação da Fronteira eficiente
1
Economia bancária e Financeira
Carlos Arriaga
Unidade teórica 3
. Relação entre o risco e a rentabilidade esperada
. O que é a fronteira de eficiência num conjunto de portefólios?
. Como modelizar a eficiência ?
. Quais as hipóteses do modelo de Markowitz?
. Como determinar a fronteira de eficiência?
. A relação entre os retornos esperados de um activo e o retorno de
mercado (Beta do activo e o modelo de Sharpe)
2
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Carlos Arriaga
• Rentabilidade de uma acção num determinado período é
definido pelo dividendo (distribuição de lucros) e pela
variação do preço da acção:
• R = (div + P1 – P0) / Po
• R é uma variável aleatória R~ N (r,G)
Rentabilidades e distribuição de
probabilidades
Economia bancária e Financeira
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• HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ:
- HIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROS
H1: Todo o investimento é uma decisão tomada em situação de risco. O
retorno de um activo financeiro para um período futuro é
consequentemente uma variável aleatória com distribuição normal.
H2 : os retornos de diferentes activos financeiros não se movimentam de
uma forma independente de uns e de outros.
MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO: o
MODELO DE MARKOWITZ (1959)
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Carlos Arriaga
• H3: O comportamento de todos os investidores é
caracterizado por um grau mais ou menos pronunciado de
aversão ao risco (medido pelo desvio padrão e pela
distribuição dos retornos)
• H4: Os investidores tomam decisões racionais: Mesmo
que a sua função de utilidade seja subjectiva eles operam
segundo escolhas transitivas.
• H5: Todos os investidores têm um mesmo horizonte de
decisão, que comporta um só período.
Hipóteses relativas ao
comportamento dos investidores
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• Os acontecimentos dos quais contribuem para as
decisões tomadas não se encontram explicitados
no modelo. A distribuição de probabilidades
relativamente aos rendimentos de cada activo
financeiro é efectuado condicionalmente ao
estado da economia em geral e à situação do
mercado financeiro em particular.
• Uma decisão consiste em alocar um determinado
orçamento aos diferentes activos financeiros
ESTRUTURAÇÃO DO MODELO DE MARKOWITZ
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• 1º Fase: Repartir as soluções possíveis em dois subconjuntos, correspondendo um deles ao das soluções
dominantes (eficientes) e um outro ao das soluções
dominadas (ineficientes)
• 2ºA fase: Dentro das soluções eficientes, fazer
corresponder aquela que maximiza a função de utilidade
do investidor.
FRONTEIRA EFICIENTE
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• Em razão do principio de racionalidade, um investidor
que pretende situar-se a um nível de risco optará por um
portfólio de maior valor esperado do rendimento E(r2).
• Em razão do princípio de racionalidade e de aversão ao
risco, um investidor que pretende situar-se a um nível de
rendimento esperado optará pelo portfólio de menor risco.
• Pode-se estabelecer a hipótese de que todos os
investidores, com base em características objectivas,
localizarão de maneira semelhante a fronteira eficiente ,
que é independente das preferências individuais dos
investidores.
PRIMEIRA FASE
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• Temos de ter em conta as funções de utilidade de
cada investidor (curvas de indiferença)
• A fronteira de eficiência (dado objectivo)
• Cada investidor escolherá o portfólio correspondente
ao ponto onde a fronteira de eficiência é tangente a
uma das suas curvas de indiferença.
Segunda Fase
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• E(p)
•
σ (p)
Fronteira eficiente
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• O conceito de eficiência permite estabelecer a seguinte proposição :
para todo o investidor, o portfólio de utilidade máxima que ele vai
escolher tendo em conta o princípio de racionalidade, deverá ser um
portfólio optimamente diversificado.
• Diversificando vai permitir reduzir o risco e aumentar
simultâneamente o rendimento esperado do portfólio.
• O grau de diversificação possível de obter é função das covariancias
dos activos financeiros que constituem o porfólio.
• Estudos empíricos têm mostrado que uma diversificação com 20
activos financeiros apresentam um resultado bastante satisfatório no
que respeita ao binómio risco versus custos de transacção.O aumento
de activos no portfólio pouco mais irá atenuar o risco.
Diversificação eficiente
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• Activo A
E (RA) = 5%
• Activo B
E (RB) = 15%
σ (RA) = 20%
σ (RB) = 40%
• Que proporções de A e de B?
• Três situações:
• ρ AB = 1
• ρ AB = - 1
•
-1<ρ AB<1
Diversificação – exemplo com dois
activos financeiros
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
E( R)


15%



B
C
10%




A
5%
10%
20%
40%
σ( R)
Diversificação – exemplo com dois activos
financeiros
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Diversificação
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• A co-variância de um activo é a média ponderada das covariâncias do activo com todos os activos do portefólio
• σip = Σ xj σij
• A variância do portefólio é igual à média ponderada das
co-variâncias dos activos com o portefólio.
• Σ σ 2p = Σ xj σiP
Medida de risco de um
activo
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•
•
•
•
•
•
•
•
Proposição 1
Considerado c uma constante e R-c o vector
R-c = [E (r1) –c
E (r2)- c
E(rn) – c]
O vector Z resolve as equações R-c = Sz
Z = S-1[R-c]
X = {x1, x2….xn}
Teoremas dos portefólios
eficientes
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• Proposição 1
• Xi = zi / ΣZj
• Todos os portfolios de envelope (na fronteira) são desta
forma
•
•
c
xi porfolio de tangência dado c
Teoremas dos portfefólios eficientes
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• Proposição 2
• Se dois portfolios se encontram na fronteira eficiente
(portfolios de envelope) e dada uma constante a o
portfolio resultante
•
ax + (1-a)y
• Também se encontra na fronteira de eficiência
Teoremas dos portefólios
eficientes
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 Proposição 3
 Se um portfolio se encontra na fronteira de eficiencia
(portfolio y) então existirá sempre um outro linearmente
relacionado com este que se encontra igualmente na fronteira
de eficiência
 E (rx) = c + β x [E(ry) – c]
 β x = Cov (x,y) / σ2y
 c será o valor esperado de um portfolio z cuja covariancia
com y é 0
 c = E(rz)
 Cov (y,z) = 0
Teoremas dos portfolios
eficientes
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• E(Rp)
•
portfolio eficiente
• E(rm)
•
x
y
porfolios possiveis e não eficientes
•
•
σ (p)
Portefólio eficiente e não eficiente
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• Suponha que um portefólio e constituido pela proporção a
do portefolio x e (1-a) do portfolio y
• E R(p) = a E(Rx) + (1-a)E(Ry)
• σp= √ a2 σ2x + (1-a) 2 σ2y +2a(1-a) cov(x,y)
Cálculo da fronteira
eficiente
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Fronteira eficiente construção
•
•
•
•
Data /table : Considerar o calculo para um
portfolio w
Proporção de X 0.3
Retorno : 8.66%
σ do portfolio :43,5%
Carlos Arriaga
Sigma
Return
=Formula
=Formula
-0.3
0.7274
0.1014
0
0.578
0.0940
0.4
0.3874
0.0841
0.3
0.4335
0.0866
0.5
0.3429
0.0817
1
0.1917
0.0693
1.5
0.3024
0.057
1.6
0.3445
0.0545
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• R-rf = Sz
• Mi = Zi / ∑Zi
• E R(p) = a rf + (1-a)E(RM) Capital market line
• σp= √ a2 σ2rf + (1-a) σ2M +2a(1-a) cov(rf,M)=
•
= (1-a) σM
CML Capital market Line
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• E(Rp)
•
Portfolio de mercado
• E(rm)
•
x
y
porfolios possiveis e não eficientes
• rf
•
•
Capital market line
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σ (p)
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• Problemas do Modelo de Markowitz: Grande
dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo
computacional complicado em 1959)
• Conhecimento da matriz das co-varâncias
• Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos
diversos activos encontram-se ligados entre eles por
uma relação a um factor comum subjacente:
• Ři = αi + βi Ĩ + ũi
• Ĩ = αn+1+ vn+1
Modelo simplificado de Sharpe
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•
•
•
Posição curta em acções e investe tudo em obriigações
•
•
declive =- (vib/vim)
•
•
•
q
•
•
•
•
Rendimentos
Má conj
(W0/a)*divm
Pedir emprestado e investir tudo em acções
•
•
Escolha de portefólio
mercado completo
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q
(W0/a)*div b
Rendimentos em boa conjuntura
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 Emprestador sobre o mercado monetário (sem risco)
e associação à aquisição de activos com risco.
 Condições :
 - Existe ao menos alguem que não apresenta risco
de não cumprimento da dívida (quem pede
emprestado com risco nulo)
- O rendimento presente e futuro de quem adquire
este activo é um valor certo
- Este activo oferece uma protecção perfeita contra a
perda do poder de compra
Lending portfolio
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• Um investidor é capaz de se endividar de maneira a
comprar um montante de um portfólio cujo valor seja
superior aos valores iniciais:
• E(Řp) = Xzrz + (1-Xz)rb
• rb é a taxa de empréstimo
Borrowing Portfolio
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 Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe)
 SEcurity market line: Determinação do valor de um activo,
tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado.
 CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação
dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o
modelo de mercado e a security market line.
 APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos cativos
financeiros são função lineares de mais do que um factor
Avaliação de activos financeiros: Modelos
C.A.P.M. e A.P.T.
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Hipóteses de base dos modelos de mercado financeiro
 1. Todos os investidores individuais têm um
comportamento racional e tomam decisões que se situam
na fronteira eficiente segundo o modelo de Markowitz.
 2. Pode-se emprestar ou pedir emprestado à taxa sem
risco sem qualquer restrição.
 3. Expetativas homogéneas: todos os investidores detêm
a mesma distribuição de probabilidade sobre o
rendimento de cada título
 4. Todos os investidores têm o mesmo horizonte
económico
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• 5. Todos os investimentos são perfeitamente
divisíveis e perfeitamente líquidos.
• 6. Não existem custos de transacção.
• 7. O mercado financeiro não se encontra segmentado,
isto é, um sistema de preços é válido para todas as
transacções financeiras.
• 8. Os investidores antecipam de maneira homogénea
as flutuações da taxa de juro.
Hipóteses de base dos modelos de mercado
financeiro
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Condições de estimação do modelo de mercado
 O índice de mercado deverá responder às condições
seguintes:
 1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado a partir
de todos os activos financeiros com risco existente no
mercado (vinte são representativos)
 2. Ser um indice de rendimento e não apenas um
índice de preços. Deverá ter em conta os rendimentos
líquidos distribuídos (dividendos e juros).
 3. Ser um índice ponderado e não uma média
aritmética simples.
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• (E (rx) – rf ) / βx = [E(rm)-rf]
• E (rx) = rf + βx [E(rm)-rf]
• Βx = Cov (x, M) / σ2M
CAPM e SML com activo sem risco
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• E(Rp)
• E(rm)
•
y
• rf
•
• Zero Beta Portfolio
•
•
1
Security Market Line
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σ (p) e Beta
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• Num portefólio eficiente procura-se a
rentabilidade máxima para um dado risco ou o
risco mínimo para um valor esperado dado.
• Estatísticamente o risco compreende a matriz das
variâncias e das co-variâncias dos retornos
esperados de um portefólio
• Há uma relação entre o retorno esperado de um
activo, o retorno esperado de mercado e o activo
sem risco. O beta mede essa relação.
CONCLUSÃO
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