Economia Financeira unidade 4

Unidade 3
1 Modelo de Markowitz
Fronteira eficiente
2. Determinação da Fronteira eficiente
Carlos Arriaga 2007/08
Carlos Arriaga
Economia bancária e Financeira
1
Unidade teórica 3
. Relação entre o risco e a rentabildade esperada
. O que é a fronteira eficiente num conjunto de portefólios?
. Como modelizar a eficiência ?
. Quais as hipóteses do modelo de Markowitz?
. Como determinar a fronteira de eficiência?
. A relação entre os retornos esperados de um activo e o
retorno de mercado (Beta do activo e o modelo de Sharpe)
.
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2
Rentabilidades e distribuição de
probabilidades

Rentabilidade de uma acção num
determinado período é definido pelo
dividendo (distribuição de lucros) e pela
variação do preço da acção:
R = (div + P1 – P0) / Po
 R é uma variável aleatória R~ N (r,G)

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3
MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO: o
MODELO DE MARKOWITZ (1959)

HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ:
-
HIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROS
H1: Todo o investimento é uma decisão tomada em situação de risco.
O retorno de um activo financeiro para um período futuro é
consequentemente uma variável aleatória com distribuição normal.
H2 : os retornos de diferentes activos financeiros não se movimentam
de uma forma independente de uns e de outros.
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4
Hipóteses relativas ao comportamento
dos investidores

H3: O comportamento de todos os investidores é
caracterizado por um grau mais ou menos pronunciado
de aversão ao risco (medido pelo desvio padrão e pela
distribuição dos retornos)

H4: Os investidores tomam decisões racionais: Mesmo
que a sua função de utilidade seja subjectiva eles
operam segundo escolhas transitivas.

H5: Todos os investidores têm um mesmo horizonte de
decisão, que comporta um só período.
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5
ESTRUTURAÇÃO DO MODELO DE MARKOWITZ

Os acontecimentos dos quais contribuem para
as decisões tomadas não se encontram
explicitados no modelo. A distribuição de
probabilidades relativamente aos rendimentos
de cada activo financeiro é efectuado
condicionalmente ao estado da economia em
geral e à situação do mercado financeiro em
particular.

Uma decisão consiste em alocar um
determinado orçamento aos diferentes activos
financeiros
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6
FRONTEIRA EFICIENTE

1º Fase: Repartir as soluções possíveis em
dois sub-conjuntos, correspondendo um
deles ao das soluções dominantes
(eficientes) e um outro ao das soluções
dominadas (ineficientes)

2ºA fase: Dentro das soluções eficientes,
fazer corresponder aquela que maximiza a
função de utilidade do investidor.
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7
PRIMEIRA FASE

Em razão do principio de racionalidade, um investidor
que pretende situar-se a um nível de risco optará por um
portfólio de maior valor esperado do rendimento E(r2).

Em razão do princípio de racionalidade e de aversão ao
risco, um investidor que pretende situar-se a um nível de
rendimento esperado optará pelo portfólio de menor
risco.

Pode-se estabelecer a hipótese de que todos os
investidores, com base em características objectivas,
localizarão de maneira semelhante a fronteira eficiente ,
que é independente das preferências individuais dos
investidores.
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8
Segunda Fase

Temos de ter em conta as funções de utilidade
de cada investidor (curvas de indiferença)

A fronteira de eficiência (dado objectivo)

Cada investidor escolherá o portfólio
correspondente ao ponto onde a fronteira de
eficiência é tangente a uma das suas curvas de
indiferença.
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9
Fronteira eficiente


E(p)
σ
(p)
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10
Diversificação eficiente

O conceito de eficiência permite estabelecer a seguinte proposição :
para todo o investidor, o portfólio de utilidade máxima que ele vai
escolher tendo em conta o princípio de racionalidade, deverá ser um
portfólio optimamente diversificado.

Diversificando vai permitir reduzir o risco e aumentar
simultâneamente o rendimento esperado do portfólio.

O grau de diversificação possível de obter é função das covariancias
dos activos financeiros que constituem o porfólio.

Estudos empíricos têm mostrado que uma diversificação com 20
activos financeiros apresentam um resultado bastante satisfatório
no que respeita ao binómio risco versus custos de transacção.O
aumento de activos no portfólio pouco mais irá atenuar o risco.
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11
Diversificação – exemplo com dois
activos financeiros

Activo A
E (RA) = 5%
σ (RA) = 20%

Activo B
E (RB) = 15%

Que proporções de A e de B?


Três situações:
ρ AB = 1

ρ
σ (RB) = 40%
AB = - 1
 -1<ρ AB<1
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12
Diversificação – exemplo com dois
activos financeiros

E( R)

15%

10%
C


B
5%


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A
10%
20%
σ( R)
40%
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13
Diversificação
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14
Medida de risco de um activo

A co-variância de um activo é a média
ponderada das co-variâncias do activo
com todos os activos do portefólio
σip = Σ xj σij
 A variância do portefólio é igual à média
ponderada das co-variâncias dos activos
com o portefólio.
 Σ σ 2p = Σ xj σiP

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15
Teoremas dos portefólios eficientes
Proposição 1
 Considerado c uma constante e R-c o
vector
 R-c = [E (r1) –c

E (r2)- c

E(rn) – c]
 O vector Z resolve as equações R-c = Sz
 Z = S-1[R-c]
 X = {x1, x2….xn}

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16
Teoremas dos portfefólios eficientes
Proposição 1
 Xi = zi / ΣZj
 Todos os portfolios de envelope (na
fronteira) são desta forma



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c
xi porfolio de tangência dado c
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17
Teoremas dos portefólios eficientes
Proposição 2
 Se dois portfolios se encontram na
fronteira eficiente (portfolios de envelope)
e dada uma constante a o portfolio
resultante

ax + (1-a)y
 Também se encontra na fronteira de
eficiência

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18
Teoremas dos portfolios eficientes
Proposição 3
 Se um portfolio s encontra na fronteira de eficiencia
(portfolio y) então existirá sempre um outro linearmente
relacionado com este que se encontra igualmente na
fronteira de eficiência
 E (rx) = c + β x [E(ry) – c]
 β x = Cov (x,y) / σ2y


c será o valor esperado de um portfolio z cuja
covariancia com y é 0

c = E(rz)
Cov (y,z) = 0

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Portefólio eficiente e não eficiente

E(Rp)


portfolio eficiente
E(rm)

x
y
porfolios possiveis e não eficientes


σ (p)
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20
Cálculo da fronteira eficiente
Suponha que um portfolio e constituido
pela porporção a do portfolio x e (1-a) do
portfolio y
 E R(p) = a E(Rx) + (1-a)E(Ry)
 σp= √ a2 σ2x + (1-a) σ2y +2a(1-a) cov(x,y)

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21
Fronteira eficiente - construção




Data /table : Considerar ocalculo para um
portfolio w
Proporção de X 0.3
Retorno : 8.66%
σ do portfolio :43,5%
Carlos Arriaga
Sigma
Return
=Formula
=Formula
-0.3
0.7274
0.1014
0
0.578
0.0940
0.4
0.3874
0.0841
0.3
0.4335
0.0866
0.5
0.3429
0.0817
1
0.1917
0.0693
1.5
0.3024
0.057
1.6
0.3445
0.0545
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22
CML Capital market Line

R-rf = Sz
Mi = Zi / ∑Zi
 E R(p) = a rf + (1-a)E(RM) Capital
market line
 σp= √ a2 σ2rf + (1-a) σ2M +2a(1-a)
cov(rf,M)=

= (1-a) σM

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23
Capital market line

E(Rp)


Portfolio de mercado
E(rm)


x
y
porfolios possiveis e não eficientes
rf


σ (p)
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24
Modelo simplificado de Sharpe
Problemas do Modelo de Markowitz: Grande
dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo
computacional complicado em 1959)
 Conhecimento da matriz das co-varâncias
 Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos
diversos activos encontram-se ligados entre eles
por uma relação a um factor comum subjacente:

Ři = αi + βi Ĩ + ũi
 Ĩ = αn+1+ vn+1

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25
Lending portfolio
Emprestador sobre o mercado monetário (sem
risco) e associação à aquisição de activos com
risco.
 Condições :
 - Existe ao menos alguem que não apresenta
risco de não cumprimento da dívida (quem pede
emprestado com risco nulo)
- O rendimento presente e futuro de quem
adquire este activo é um valor certo
- Este activo oferece uma protecção perfeita
contra a perda do poder de compra

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26
Borrowing Portfolio
Um investidor é capaz de se endividar de
maneira a comprar um montante de um
portfólio cujo valor seja superior aos
valores iniciais:
 E(Řp) = Xzrz + (1-Xz)rb

 rb
é a taxa de empréstimo
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27
Avaliação de activos financeiros: Modelos C.A.P.M.
e A.P.T.

Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe)

SEcurity market line: Determinação do valor de um
activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio
de mercado.

CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de
avaliação dos activos financeiros tendo em conta a
relação entre o modelo de mercado e a security market
line.
APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos
cativos financeiros são função lineares de mais do que
Carlosum
Arriagafactor
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
28
Hipóteses de base dos modelos de mercado financeiro

1. Todos os investidores individuais têm um
comportamento racional e tomam decisões que se
situam na fronteira eficiente segundo o modelo de
Markowitz.

2. Pode-se emprestar ou pedir emprestado à taxa sem
risco sem qualquer restrição.

3. Homogeneous expectations: todos os investidores
detem a mesma distribuição de probabilidade sobre o
rendimento de cada título
4. Todos os investidores têm o mesmo horizonte
Carloseconómico
Arriaga
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
29
Hipóteses de base dos modelos de mercado
financeiro

5. Todos os investimentos são perfeitamente
divisíveis e perfeitamente líquidos.

6. Não existem custos de transacção.

7. O mercado financeiro não se encontra
segmentado, isto é, um sistema de preços é
válido para todas as transacções financeiras.

8. Os investidores antecipam de maneira
homogénea as flutuações da taxa de juro.
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30
Condições de estimação do modelo de mercado

O índice de mercado deverá responder às
condições seguintes:

1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado a
partir de todos os activos financeiros com risco
existente no mercado (vinte são representativos)

2. Ser um indice de rendimento e não apenas
um índice de preços. Deverá ter em conta os
rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e
juros).

3. Ser um índice ponderado e não uma média
aritmética simples.
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SML com activo sem risco

E (rx) = rf + βx [E(rm)-rf]

Βx = Cov (x, M) / σ2M
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Security Market Line

E(Rp)

E(rm)


y
rf

Zero Beta Portfolio


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1
σ (p)
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CONCLUSÃO
Num portefólio eficiente procura-se a
rentabilidade máxima para um dado risco ou o
risco mínimo para um valor esperado dado.
 Estatísticamente o risco compreende a matriz
das variâncias e das co-variâncias dos retornos
esperados de um portefólio
 Há uma relação entre o retorno esperado de um
activo, o retorno esperado de mercado e o
activo sem risco. O beta mede essa relação.

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