1) O triângulo ABC isósceles tem lados com as seguintes medidas
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CENSA- EDUCACIONAL NOSSA SENHORA AUXILIADORA GABARITO- CAP 14- LIVRO 3- GEOMETRIA- PROFa. NÁDIA 1) CENTRO O triângulo ABC isósceles tem lados com as seguintes medidas: → diagonal da face. Metade da diagonal do cubo → aplicando a Lei dos Cossenos em ∆ABC, tem: + - 2. . , = cos α Cos α = Como 2) é o ângulo bissector do diedro e uma das suas faces, temos que , do ∆ABC, temos que que 500, temos = 400 3) B A = A D = 600, ângulo entre o bissector e a face. Do ∆ABC temos que: ● = x sen 600 = x. ● = x cos 600 =x. 4- A situação descrita é representada pela figura abaixo. Temos que sen 600 = 15 d= 10 3 cm d 5- CP : altura do triângulo ABC Utilizando uma das relações no triângulo retângulo, temos que: b.c = a.h ( onde b e c catetos , a hipotenusa e h altura ) h= Pitágoras, temos que h= b.c b c2 2 b.c , pelo Teorema de a Assim, d= h.sen 60 0 = b.c 3 b2 c2 6- As relações entre as faces de um triedro são: ● < αk < αi + αj , em que i e αk , αi , αj ângulo da face. ● αk + αi + αj < 3600 Assim seja, αi = 175 0 e αj= 1200, daí: ● < αk < 1750 + 1200 e 55 0 < αk < 2950 (i) αk +1200 + 1750 < 3600 , αk < 650 (ii) De (i) e (ii) , temos que 550< αk< 650 7-A situação está descrita pela figura abaixo Temos que o ângulo do diedro formado entre ac e bc é o ângulo entre as “alturas” das faces. e são as alturas entre ac e bc. O ∆ ABD ∆CBD ( critério A-L-A), temos que: ▪ , o ∆ ABC é isósceles, α = Temos também que = 450 e = 450 e =x ; =x = x Como =x , logo o ângulo da face é 600 .(Triângulo equilátero) 8- A situação a seguir está representada abaixo: Pelo Teorema de Pitágoras, temos: ●Somando (i) e (iii) e subtraindo (ii), temos: 2x2 = a2 + c2 – b2; x= ●Somando (i) e (iii) e subtraindo (ii), temos: 2y2 = a2 + c2 – b2; y= ●Somando (ii) e (iii) e subtraindo (i), temos: 9- A situação a seguir está representada abaixo: Utilizando o teorema de Pitágoras, temos: → →x,z >0 →x=z Partindo de B, traçamos uma perpendicular ao plano, que o toca em um ponto A. Além disso, = h = altura do triângulo da base. Mas sabemos que x.z = l.h →h = . Assim. Pelo Teorema de Pitágoras = →d= 10-Utilizando semelhança de triângulos( A-A-A), temos →x= 15 cm que: = 11- a) 400 , 500 e 1000 Teste 1: 400 + 500 + 1000 =1900 <3600 Teste 2: 400 + = 100 < 1000 : (ok) 500 = 90 ( 0 ?). Como para qualquer ângulo do triedro, vale i j k i j , sendo i ; j e k ângulos do triedro. Como para esses valores dos ângulos a relação não vale, então não existe triedro. b) 900, 900 e 900 Teste 1: 900 + 900 + 900 =2700 <3600 Teste 2: = 00 < 900 : (ok) 900 + 900 = 180 > 900. C Como para esses valores dos ângulos todas as condições são válidas, então existe triedro. c) 2000 , 1000 e 800 Teste 1: 2000 + 1000 + 800 =3800 >3600. Logo não existe o triedro. 12-As são: relações dos ângulos i j k i j , sendo i ; j e k do triedro ângulos do triedro. e i j k 3600 Logo i)x+2x-600+300 <3600, x < 1300 ii) x 300 2x 600 x 300 x 300 2x 600 x 300 300 x 900 iii) 2x 900 x 2x 300 2x 900 x 2x 300 x 300 iv) x 600 300 3x 600 x 600 300 3x 600 x 300 Fazendo a interseção entre i); ii); iii)e iv) temos que 300 <x<900 13- A situação está descrita na figura abaixo: ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ Como existe VP, tal que VP e VA ; VP e VB ; VP e VC mostram o mesmo ângulo , ______ então existe um plano de sec ção ABC tal que VA VB VC l. Como o triedro é tri-retângulo BVA CVA BVC 900 . _____ Teorema de Pitágoras, temos que ______ é equilátero. Além disso, VP ______ Assim, usando o _____ AB BC AC l 2 . Logo o triângulo ABC ______ ______ ______ ABC PA PB PC ;(semelhança de triângulo-ALA)P é o baricentro do ABC. ______ ______ ______ 2 3 l 6 ; daí: PA PB PC . l 2 . 3 2 3 ______ ______ 2 ______ 2 ______ 2 2 VP 3 VP VA PA l2 l2 . Como cos ______ 3 3 VA 14- Hipótese: 1200 1 Todas as do triedro tem ângulo maior que 1200 ; 2 1200 ; 3 1200 . 1 1200 ; 2 1200 ; 3 1200 1 2 3 3600 , o que éum absurdo,pois é sabido que uma dascondições para existência do triedro , é que 1 2 3 3600. Assim a hipótese é falsa. Ou seja, pelo menos uma das faces do triedro tem ângulo menor que 1200. 15-i)F.Três semirretas de mesma origem não coplanares determinam um triedro. ii) V.Um triângulo trirretângulo é aquele em que os ângulos das faces valem 900 , o que implica que cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta. iii)F.Para existir um triedro uma das condições i j k i j , sendo i ; j e k ângulos do triedro. , é fazendo i 400 ; j 500 e k 900 , temos que : 400 500 100 900 ,mas 400 500 900 e 900 como deveria ser. iv) V. Para existir um triedro as condições são: i j k i j , sendo i ; j e k ângulos do triedro. e i j k 3600 Assim: i 700 ; j 900 e k 1500 , temos que : 700 900 1500 3600 700 900 200 1500 e 700 900 1600 1500 1500 900 600 700 e 1500 900 2400 700 1500 700 800 900 e 1500 700 2200 900 16-Como as afirmativas a, b, c, e d são verdadeiras, a falsa é aafirmativa e. 17Para existir um triedro as i j k i j , sendo i ; j e k condições são: ângulos do triedro. e i j k 3600 i j k , assim : 0 0 Logo 0 120 . 2 0 3600 1200 18- Para existir um triedro as i j k i j , sendo i ; j e k condições são: ângulos do triedro. e i j k 3600 i x 400 ; j x e k x 400 , temos que : x 400 x x 400 3600 x 120 0 x 0 400 x 400 x x 400 x 40 x 80 0 x 0 x 400 x x x 400 x 400 x 0 x 400 x x x 400 x 400 Assim 800 x 1200 19- A situação está descrita nas figuras abaixo: Pelo enunciado da questão, temos que: _____ ______ _____ VA VB VC a , pelo Teorema de Pitágoras no Triâng.VBC temos que ______ BC = a 2 .Como AVC e AVB 600 os VAC e VBC são isósceles ____ VAC e VAB _____ e são equiláteros AC AB a . O ângulo que se quer determinar é aquele entre as alturas do ABC e do VBC e estes triângulos são semelhantes, portanto têm a mesma altura h.Da relação do triângulo retângulo, temos: ^ _____ ______ _____ VB. VC BC.h h a 2 Logo o triângulo é retângulo em P. VPA 900 2 20- A situação está descrita na figura abaixo: = l +l – 2.l.l.cos . No ABC , pelo teorema dos cossenos, temos: l 2 Cos = 0 =900 2 2
