Turma

12ºA
1º Teste de Avaliação de Matemática B
Nov. 2005
Nome _________________________________________N º _______ Turma _____
Primeira parte
Para cada uma das cinco questões desta primeira parte, seleccione a resposta correcta de entre as
alternativas que lhe são apresentadas. Não apresente cálculos.
Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo
em caso de resposta ambígua.
Cotação: cada resposta certa: 10 pontos.
1. Uma certa linha do triângulo de Pascal tem dezoito números. Escolhe-se, ao acaso, um desses números.
Qual é a probabilidade de esse número ser inferior a 200?
(A)
1
6
(B)
1
5
(C)
1
4
(D)
1
3
2. Capicua é uma sequência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da esquerda para a
direita dá o mesmo número.
Por exemplo, 213312 e 60506 são capicuas.
Quantos números pares de 5 algarismos são capicuas?
(A) 300
(B) 400
(C) 500
(D) 600
3. O Vítor e a Teresa vão ao teatro com mais seis amigos e ocupam uma fila de oito lugares. De quantos
modos diferentes se podem sentar sabendo que o Vítor e a Teresa não querem ficar juntos?
(A) 15 120
(B) 20 160
(C) 30 240
(D) 40 320
4.Segundo as estatísticas do Reino Unido, a distribuição dos recém-nascidos por sexo e cor dos olhos é a seguinte:
 12% são rapazes de olhos azuis.
 40% são rapazes de olhos negros.
 8% são raparigas de olhos azuis.
 40% são raparigas de olhos negros.
O Jonh foi a uma maternidade do Reino Unido visitar o novo filho do casal Smith. E uma bela criança de olhos
azuis, mas o Jonh não conseguiu saber de que sexo é. Qual é a probabilidade de a criança ser uma rapariga?
(A) 40%
(B) 49%
(C) 51%
(D) 64%
5. Num tabuleiro como o da figura, com 9 casas, pretende-se
dispor, ao acaso, 5 peças brancas indistinguíveis umas das outras.
Então a probabilidade da casa central ficar ocupada é:
(A)
2
63
V.S.F.F.
(B)
5
9
(C)
1
2
(B) 1
Segunda parte
Nas questões desta segunda parte apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos
que tiver de efectuar e todas as justificações que entender necessárias.
Quando não é indicada a aproximação que se pretende, pretende-se sempre o valor exacto.
(16) 1.Das 13 cartas de paus de um baralho tiram-se, ao acaso, 5 e dispõem-se em fila sobre uma mesa.
Qual é a probabilidade de formar uma fila que comece com um rei?
Apresente o resultado sob a forma de fracção irredutível.
2. Sejam A e B dois acontecimentos de uma experiência aleatória.
5
1
1
Sabendo que P B 
, P A  B  
e P A  B  
6
3
4
5
(16) 2.1 Mostre que P A  .
12
(18) 2.2 Calcule: P A  B
e P A B .





(20) 3. Considere o seguinte problema:
“ Na altura do Natal, a mãe da Ritinha costuma decorar o quarto da filha. A porta tem 10 painéis e a
mãe da Ritinha tem três autocolantes iguais e quatro diferentes. Supondo que ela coloca os autocolantes
ao acaso, e que não utiliza mais do que um autocolante em cada painel, de quantos modos diferentes pode
distribuir os autocolantes nos painéis da porta”
As duas respostas seguintes estão correctas.
Resposta 1: 10 C3 7 A4
e
Resposta 2: 10 C7 7 A4
Numa pequena composição (cerca de dez linhas), explique o raciocínio de cada uma delas.
(16) 4.Um Centro de Saúde diagnosticou a um dos seus doentes uma infecção provocada pelo vírus V, mas
não foi possível saber a qual das ter estirpes V1 , V2 ou V3 pertencia esse vírus.
Sabe-se que a probabilidade de um doente ser infectado com vírus da estirpe V1 é
1
, com o da estirpe V2 é
9
1
5
e com o da estirpe V3 é , e que a probabilidade de o doente recuperar a saúde é de 75% se tiver sido
3
9
infectado pelo vírus da estirpe V1 , de 50% se tiver sido infectado pelo da estirpe V2 e de 60% no caso de ter
sido infectado pelo da estirpe V3 .
Determine a probabilidade de o doente recuperar a saúde.
(16) 5. Seja E o espaço de resultados de uma experiência aleatória e A e B dois acontecimentos possíveis e
independentes de E. Prove que: P A  B  P A P B  P B


 
6. Considere uma turma com 15 rapazes e 12 raparigas.
(16) 6.1 Dos alunos dessa turma vão ser escolhidos, ao acaso, três para realizarem uma prova.
Qual é a probabilidade de pelo menos um rapaz realizar a prova?
Apresente o resultado sob a forma de percentagem, arredondado às unidades.
(16) 6.2 Considere, agora, que nessa turma, vai ser escolhida uma comissão para organizar a viagem de
finalistas. A comissão é formada por três pessoas: um presidente, um tesoureiro e um responsável pelas
relações públicas.
Quantas comissões mistas distintas podem ser formadas?
Nota: Uma comissão mista é constituída por pessoas que não são todas do mesmo sexo.
(16) 7.Prove que a  b   a  b   8aba 2  b 2 
4
4
Proposta de resolução do 1º teste do 12ºA versão B Nov. de 2005
Primeira Parte
1.Se a linha tem 18 números é constituída por todas as combinações de 17 elementos:
C0  1 ,
, 17C 2  136 , 17C3  680 ...
logo só existem só existem nessa linha 6 números inferiores a 200.
17
17
C1  17
Os três primeiros e os três últimos. A probabilidade pedida é
6 1

18 3
D
2. Só existem 4 opções para a escolha simultânea do primeiro e último algarismo. (2,4,6,8 já que o zero não pode
figurar na primeira posição)
Existem 10 opções para a escolha simultânea do segundo e penúltimo algarismo.
Existem 10 opções para a escolha terceiro algarismo. 4 10 10  400
B
3. 8! é o número de modos dos 8 amigos se sentarem
7 ! 2 é o número de modos dos 8 amigos se sentarem ficando o Vítor e a Teresa juntos.
8!- 7 ! 2 = 40 320 - 10 080 = 30 240 é o número de modos dos 8 amigos se sentarem ficando o Vítor e a Teresa
separados. C
4. Seja F o acontecimento “o recém-nascido é rapariga” e A o acontecimento “o recém-nascido tem olhos azuis”
Pretende-se calcular a probabilidade de ser rapariga sabendo que olhos azuis.
P A  F 
0,08
0,08


 40% A
P  A
0,12  0,08 0,2
P  F / A 
5. Número de casos possíveis = 9C5  126
Número de casos favoráveis = 8C4  70
Probabilidade pedida 
70 5

126 9
B
Segunda Parte
1.1
Pretende-se formar sequências de 5 cartas com as 13 cartas de paus de um baralho.
Nº de casos possíveis:
13
A5  154 440 .
A4  11880 porque colocado o rei no início da fila resta formar sequências de 4 cartas com as
11880
1
restantes 12 cartas de paus do baralho. Probabilidade pedida 

154440 13
Nº de casos favoráveis
12

1 3
1
então PB   1  
4
4 4
Por outro lado sabe-se que P A  B   P A  PB   P A  B  então substituindo os valores dados obtém-se:
5
3 1
5 3 1
10  9  4
5
5
c.q.m.
 P A       P A 
 P A   P A  P A 
6
4 3
6 4 3
12
12
12
2.1 Se P B 








2.2 P A  B  P A  P A  B  
5 1 54 1
1 11
e P A  B  1 P A  B  1 P A  B =1  
 

12 3
12
12
12 12
Outro processo
5
7
P A  1 
12 12






 
e
P A  B  PB   P A  B  =
P A  B  P A  PB   P A  B 
3 1 5
 
4 3 12
7 3 5 11
 

12 4 12 12
3. Resposta 1: Existem 10C3 maneiras diferentes de distribuir os 3 autocolantes iguais pelos 10 painéis (são
combinações porque os autocolantes são iguais e portanto não interessa a ordem pela qual estão dispostos). Para cada
escolha dos três painéis existem 7 A4 modos de distribuir 4 autocolantes diferentes pelos 7 painéis restantes (são
arranjos porque os autocolantes são diferentes e portanto interessa a ordem pela qual estão dispostos).
Existem assim 10 C3 7 A4 maneiras de colocar os autocolantes na porta do quarto.
Resposta 2: Existem
10
C7 maneiras diferentes de escolher os 7 painéis onde se vão colocar os autocolantes.
Escolhidos os 7 painéis onde se vão colocar os autocolantes, existem 7 A4 modos diferentes de escolher quatro, para
colar os autocolantes diferentes. Sobram 3 painéis para colocar 3 autocolantes iguais que só podem ser colocados de
uma única maneira ( 3C 3  1 ).
Existem assim 10 C7 7 A4 maneiras de colocar os autocolantes na porta do quarto.
4.
Recupera a saúde
75%
V1
19
13
25%
50%
Não recupera a
saúde
Recupera a saúde
50%
60%
Não recupera a
saúde
Recupera a saúde
V2
59
V3
Não recupera a
saúde
1
1
5
7
Seja S o acontecimento “o doente recupera a saúde” então PS    0,75   0,5   0,6 
9
3
9
12
Recupera
a
saúde
5. P A  B  P A P B  P B
40%
 
 
 PA  B   P A 1  PB   1  PB  usando leis de De Morgan e teorema da prob. do acontecimento contrário
 1  P A  B   P A  P A PB   1  PB  teorema da prob. do acontecimento contrário
 1  P A  PB   P A  B   P A  P A  B   1  PB  Teo. da Prb. da reunião e pq A e B são independentes
 1  PB   1  PB  c.q.p.
6.1 Seja A o acontecimento “pelo menos um rapaz realiza a prova” então A é “nenhum rapaz realiza a prova” ou “a
prova é realizada só por raparigas”

PA 
12
C3
220
44


27
C3 2925 585
e
P  A  1 
44 541

 92%
585 585
A probabilidade de pelo menos um rapaz realizar a prova é de 92%
6.2 Para que a comissão seja mista temos duas hipóteses:
1ª hipótese: um rapaz e duas raparigas 3  1512A2 ( 3 é o número de maneiras de escolher o cargo que vai ser ocupado
pelo rapaz; para cada uma destas maneiras, 15 é o número de rapazes que podem ocupar esse cargo e 12 A2 é o número
de maneiras de escolher ordenadamente duas das 12 raparigas, para preencherem os cargos não ocupados pelo rapaz.
2ª hipótese: um rapariga e dois rapazes 3  1215A2 ( 3 é o número de maneiras de escolher o cargo que vai ser
ocupado pela rapariga; para cada uma destas maneiras, 12 é o número de raparigas que podem ocupar esse cargo e 15 A2
é o número de maneiras de escolher ordenadamente dois dos 15 rapazes, para preencherem os cargos não ocupados pela
rapariga. O número pedido é portanto 3  1512A2 + 3  1215A2 = 5 940 + 7 560 = 13 500

7. a  b   a  b   a 4  4a 3b  6a 2 b 2  4ab 3  b 4  a 4  4a 3b  6a 2 b 2  4ab 3  b 4
4
4
 a 4  4a 3b  6a 2 b 2  4ab 3  b 4  a 4  4a 3b  6a 2 b 2  4ab 3  b 4
 4a 3b  4ab 3  4a 3b  4ab 3  8a 3b  8ab 3  8ab a 2  b 2


