XIV OLIMPÍADA CAMPINENSE DE MATEMÁTICA

DATA: 29/05/2010
INÍCIO: 14:00h
DURAÇÃO: 04 HORAS
NOME (completo): ____________________________________
INSTRUÇÕES
01. Cada questão da 1a parte vale 10 (dez) pontos, enquanto que cada
problema da 2a parte vale 40 (quarenta) pontos.
02. Todas as soluções da 2a parte devem ser justificadas. Uma simples
resposta, sem indicar como foi obtida, receberá uma pontuação inferior.
03. Não é permitido o uso de calculadoras nem consulta a notas ou livros. É
permitido o uso de régua, esquadro e compasso.
04. Nas 10 (dez) primeiras questões da 1a parte assinale com X a alternativa
que julgar correta na tabela abaixo. Assinale somente uma alternativa
para cada questão, de preferência com caneta.
01
(A) (B) (C) (D) (E)
06
(A) (B) (C) (D) (E)
02
(A) (B) (C) (D) (E)
07
(A) (B) (C) (D) (E)
03
(A) (B) (C) (D) (E)
08
(A) (B) (D) (D) (E)
04
(A) (B) (C) (D) (E)
09
(A) (B) (C) (D) (E)
05
(A) (B) (C) (D) (E)
10
(A) (B) (C) (D) (E)
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XXIII OCM 2010 – NÍVEL 3 (1º, 2º e 3º ano)
1. O polinômio p( x)  x6  8x5  16 x 4  x 2  8x  16 possui quantas raízes reais distintas?
A) 0
B) 1
D) 4
C) 3
E) 6
2. Se n é a soma dos algarismos do produto 99...9 11...1, onde cada número tem 2010
algarismos, então a soma dos algarismos de n é igual a:
A) 18
B) 19
C) 27
D) 36
E) 45
3. O número de pares ordenados de números reais (x, y) que é solução do sistema é:
 4x2  9 y2  1

3 y  2 x  2010



A) 0
B) 1
D) 5
C) 2
E) 8
4. Dado um círculo C1 construímos o círculo C2 como descrito a seguir: escolhemos 4 pontos
de C1 que sejam os vértices de um quadrado, em seguida construímos o círculo C
circunscrito no quadrado, finalmente escolhemos 6 pontos de C que são vértices de um
hexágono regular, o círculo C2 é o círculo circunscrito neste hexágono. Se o círculo C1 tem
raio 1 e para cada n o círculo Cn de raio rn é construído aplicando-se o procedimento
acima ao círculo Cn 1 então (
A) 2010
B)
31005  81005
82005
6 4
)( r1  r2  ...  r2010 ) é igual a:
4
C)
31005  21005
6
D)
31005  81005
81005
E)
31005  81005
162004
5. Se n é um natural não nulo então sobre n 3  n sempre podemos afirmar que:
A) é múltiplo de 4 se n > 2
B) é múltiplo de 10 se n  3
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C) é o produto de 3 primos para infinitos valores de n
D) é múltiplo de n 2  1 para infinitos valores de n
E) é sempre múltiplo de 6
6. O número
A) 3
7.
3
9  4 5  3 9  4 5 é igual a:
B) 4
6
B) 3
E) 7
cot g (2 )
é o maior possível?
cos sec( )  sec( )
Para que  o valor de
A) 
D) 6
C) 5
5
C) 3
4
D) 3
8
E) 
2
8. O conjunto {a1, a2, ..., a2010} é formado de números naturais tais que a 1= 2010, a2= 7 e
an+2 = an + an+1. Quantos elementos deste conjunto são pares?
A) 1003
B) 258
C) 230
D) 1005
E) 670
9. Um número natural palíndromo é aquele que é igual quando lido nos dois sentidos, por
exemplo, 0, 88, 808, 812218 são palíndromos. O número de palíndromos menores que
2010 é :
A) 120
B) 92
C) 95
D) 110
E) 100
10. O matemático Arnaldo deseja dividir uma pizza em 8 pedaços de igual área com o
menor número de cortes possível e de modo que cada corte seja realizado sem mexer
nas fatias resultantes dos cortes anteriores. Após pensar um pouco ele decidiu como
cortar a pizza. O número de cortes foi:
A) 2
B) 3
D) 5
C) 4
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E) 6
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1. Seja a, a  r , a  2r , a  3r ,... uma progressão aritmética.
a) Mostre que se a= 289 então existem infinitos termos desta P.A. que são quadrados
perfeitos.
b) Mostre que se a= 38 e r= 6 não existe nenhum termo da P.A. que é quadrado
perfeito.
2. Em um livro de matemática um dos exercícios pedia para calcular os quocientes e os
restos de um determinado número por 13, por 11 e por 9, infelizmente o número
estava borrado e era apenas possível ver que tinha 3 algarismos. Para descobrir o
número um aluno resolveu olhar uma das respostas no final do livro, mas descobriu
que os quocientes também estavam borrados e foi possível apenas ver que os restos
eram 3, 2 e 4 respectivamente. Quanto é a soma desses quocientes?
3. Nos lados AB e AC do triângulo ABC são marcados os pontos D e E respectivamente,
os segmentos CD e BE se interceptam no ponto F. Mostre que se FD=FE e FB=FC
então o triângulo ABC é isósceles.
4. Se 1 ≤ x ≤ 1 então arcsen(x) é o ângulo θ entre 0 e 90 tal que sen(θ) = x, de modo
análogo define-se arccos(x). Sabendo que arccos(sen(arccos(x))) = 73 determine
arcsen(cos(arcsen(x))).
5. Determine todas as funções f : N  N tais que f (m  n  f (n))  f (m)  f (n) , onde
N  0,1,2,... é o conjunto dos números naturais.
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