Fatoração de expressões algébricas literais

Oswaldo K. Watanabe 2000
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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS NUMÉRICAS E LITERAIS
Expressão algébrica é um elemento ou um conjunto de operações.
As expressões formadas só de valores numéricos são as expressões algébricas
numéricas e as expressões formadas por valores numéricos e letras são as expressões
algébricas literais.
Assim como o termo literal representa, expressão literal é a expressão que possui letras
nos lugares de números, como exemplificamos anteriormente..
Mas, alguém pode estar perguntando-se: porque usar letras?
Respondendo: Na nossa linguagem do dia-a-dia, usamos termos como “ Alguns homens
são bons”. Nesta frase, estamos generalizando, pois existem homens bons, mas não
estamos dizendo especificamente quem são. Ou ainda, quando dizemos “Silvana é
linda”, não estamos identificando de qual Silvana estamos falando. Portanto assim
como na nossa linguagem encontramos varias expressões onde não identificamos os
elementos, na linguagem matemática usamos letras para representar vários valores, por
exemplo: o dobro de um número = 2X, onde X seria o número não identificado, ou o
quadrado de uma medida adicionado do quíntuplo deste mesmo número subtraído de 5
= x2 + 5x – 5, ou ainda a soma entre dois valores é 1000 = ( x + y = 1000).
As expressões literais são classificadas como:
MONÔMIOS: expressões que não possuem adição ( não possuem as operações d + ou
de - )
Exemplos:
1) 2
2) 3xy4
3) (2a3bc2) / (5x2y)
POLINÔMIOS: adição entre dois ou mais monômios.
Entre os polinômios estão os binômios e trinômios, nomes estes que aparecem com
muita freqüência para representar polinômios formados por 2 e por 3 monômios.
Exemplos:
1) 2 + a
binômio
2) 3x +2y – 4
trinômio
3) x2 – 8x + 12
trinômio
4) 2x –3y + 4z – 5
Valor Numérico de uma expressão literal
Uma expressão, na prática, deve ser a descrição quantitativa genérica de um fenômeno
ou fato, num caso específico em que conhecemos os valores das variáveis (letras ou
símbolos) podemos substituí-los por esses valores e efetuarmos as operações.
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OPERAÇÕES ENTRE EXPRESSÕES LITERAIS
As operações com expressões literais, na sua maioria está presa a uma redução de
termos semelhantes, seja ela na adição ou seja ela na multiplicação.
Na adição, esta redução de termos semelhantes se resume em juntar os termos que têm
as partes literais exatamente idênticas, pois é semelhante a contagem de objetos. Por
exemplo: 5 figos + 4 laranjas – 3bananas + 2 laranjas – 2 figos + 7bananas = 3 figos +
6 laranjas + 4 bananas.
Na matemática: 2x2y + 5xy2 - 4 xy2 + 3 x2y –6 = 5 x2y + 1 xy2 – 6
Vejam que só podemos reduzir os termos semelhantes. Isto é, existem expressões que
não podemos representar através de outra mais simples, pois só podemos juntar termos
semelhantes. Exemplo: não temos como representar a expressão 5a +2b +7c + 9d
através de expressão mais simples, porque não temos termos semelhantes.
Exercícios:
Efetue as operações possíveis (reduzir os termos semelhantes):
1) 2x + 3y + 5x + 4y – 4x + 2y + 4 =
2) 3x4 – 5x3 + 7x2 + 4x –10 + 5x4 – 2x3 - 6x2 - 4x +16 - 2x4 + 9x3 + 8x2 - 11x –12 =
2a
3a  2b  5 3b  a  2
3)
+
=
3
2
4
4) 2,3x2 – 3,7x + 0,03 – 1,07 x2 + 5,21x – 0,42 =
5) 2 a - 3b + 5 - 5 a - b –3 =
6) 3x + 2y –5z + 3y – 2t + 5x + 3 – 2z + 7t =
Potências:
Definição: Potência é um símbolo que representa uma multiplicação de fatores iguais.
Símbolo
an = a.a.a...a
n vezes o a
a é denominado base e é o fator que se repete e n é o expoente que
indica o número de vezes que o fator a se repete.
Neste símbolo,
Esta idéia não é nova, pois a multiplicação n.a também é uma maneira simplificada de
representar uma soma de parcelas iguais. Isto é: n.a
= a + a + a + ... + a
n vezes o a
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Exemplos numéricos:
1) 34 = 3.3.3.3 = 81
2) 28 = 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256
Vejam que as potências são representações mais simples de uma multiplicação de
fatores iguais.
Com base na definição, podemos verificar algumas propriedades que as potências
apresentam:
1ª) Qualquer número elevado ao expoente um é igual a ele mesmo.
a1 = a
2ª) O número um elevado a qualquer potência é igual a um.
1n = 1, pois 1.1.1.1.1....1 = 1
3ª) O número zero elevado a qualquer expoente diferente de zero é igual a zero.
0n = 0, com n ≠ 0. Pois 0n = 0.0.0...0 = 0
n zeros
4ª) Uma potência de uma outra potência é igual a potência que tem a mesma base e
expoente igual ao produto entre os expoentes.
(am)n = am.n . Pois (am)n = (am).(am). ).(am)… ).(am) =
= ( a.a.a ...a ) ( a.a.a ...a ) ( a.a.a ...a ) ...( a.a.a ...a) = a.a.a ...a = am.n
m ases + m ases + m ases +...+ m ases
n vezes m ases
Exemplos numéricos:
1) (53)4 = (53).(53).(53).(53) = (5.5.5).(5.5.5).(5.5.5).(5.5.5) = 53.4 = 512
2) (24)2 = (24).(24) = (2.2.2.2).(2.2.2.2) = 22.4 = 28
5ª) Na multiplicação de potências de mesma base, o produto é igual a uma potência com
a mesma base e expoente igual a soma dos expoentes dos fatores.
am.an = am+n . Pois, am.an = (a.a.a ... a) (a.a.a ... a) = am+n
m ases + n ases
Exemplo numérico:
53. 54 = (5.5.5).(5.5.5.5) = 53+4 = 57
6ª) Na divisão de potências de mesma base, o produto é uma potência com a mesma
base e expoente igual a diferença do expoente da primeira com o expoente da segunda.
am : an = am/ an = am-n
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m ases
a
a.a.a...a
Pois am : an = n =
= am-n
a.a...a
a
n ases
n ases
m – n ases
a.a.a....a a.a.a...a
.
Se m > n, temos:
= 1.a m n
a.a.a...a
1
n ases
m
Exemplo numérico:
5 4 5 .5 .5 .5
=
= 5 42 = 5 2
2
5 .5
5
7ª) Esta propriedade é conseqüência da 6ª. Qualquer número diferente de zero, elevado
a zero é igual a 1.
a0 = 1, pois um número dividido por ele mesmo é igual a 1, an : an = an-n = a0 =1.
8ª) Esta propriedade também é conseqüência da 6ª. Qualquer número diferente de zero
elevado a um expoente negativo é igual ao inverso deste número elevado ao expoente
positivo ( é igual a um sobre a mesma potencia com expoente positivo ).
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a-p = p . Pois na propriedade 6ª, se o expoente m do numerador for menor que o
a
expoente n do denominador e n – m = p, m – n = -p. Portanto, na simplificação da
fração, sobrarão p ases no denominador.
m ases
a.a.a....a
1
1
1
.
 1. n  m  p
Se m < n
a.a.a...a a.a.a...a
a
a
m ases n – m ases
9ª) Esta propriedade, na verdade é uma convenção, que na época facilitava a
visualização do valor de uma potência de expoente fracionário. Ou seja: uma potência
de expoente fracionário é igual a raiz de índice igual ao denominador da fração do
expoente e radicando igual a base da potência elevado ao numerador do expoente
fracionário.
A potência am/n = n am
Raiz
A raiz é o símbolo usado para representar uma potência de expoente fracionário,
portanto devemos estuda-las com base nas propriedades das potências e das frações. Por
ser uma potência de expoente fracionário, devemos nos lembrar que existem as frações
aparentes, que na verdade são números inteiros representados na forma de fração. Tais
frações, têm como numerador, um número múltiplo do denominador, portanto, se
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entendemos que toda fração também representa uma divisão do numerador pelo
denominador, estas divisões sempre serão exatas no conjunto dos números inteiros.
Frações aparentes são frações onde o numerador é um múltiplo do denominador.
Um número é múltiplo de outro, se ele é o resultado(produto) da multiplicação deste
outro com um número natural. Isto é, se o número inteiro y é múltiplo de um número
inteiro x, então y = k.x, onde k é um número natural.
Exemplos: 0 é múltiplo de 5, pois 0 = 0.5; 12 é múltiplo de 4, pois 12 = 3.4.
Obs. Um número natural é um número que representa quantidades existentes na
natureza.
N = conjunto dos números naturais = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. ....
N* = conjunto dos números naturais não nulos = 1, 2, 3, 4, 5, 6. ....
Um número inteiro é o resultado da diferença entre dois números naturais, sendo
que se o segundo for maior que o primeiro, fazemos a diferença entre o segundo e o
primeiro e no resultado, colocamos o sinal – (negativo) antes, para indicar que houve
esta mudança de ordem. Exemplo: o número –5 pode ser considerado o resultado da
diferença entre 2 e 7, pois 2 – 7 = -(7 - 2).
Z = conjunto dos números inteiros = ... –3. –2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Z* = conjunto dos números inteiros não nulos = ... –3. –2, -1, 1, 2, 3, ...
Exemplo de raízes
1) 31/2 =
2) 5 =
2
2
3 =
2
5 =
3
3
53 =
4
5 4 = ...
PROPRIEDADES DA IGUALDADE ENTRE POTÊNCIAS EM R
1) Se duas potencias de mesma base são iguais, então os expoentes são iguais, se a
base for diferente de zero e diferente de um(negativo ou positivo)
Se am = an, com a  0 e a  1, então m = n.
2) Se duas potências de mesmo expoentes são iguais, então as bases são iguais, se o
expoente é impar e uma base é mais ou menos a outra se o expoente é par.
Se an = bn, então a = b, se n é impar.
a =  b, se n é par
PROPRIEDADES DA DESIGUALDADE ENTRE POTÊNCIAS
1) Se uma potência é maior que uma outra e as bases são positivas e iguais, então o
expoente da primeira deve ser maior que o da segunda, se a base é um número
maior que um e o expoente da primeira deve ser menor que o da segunda, se a base
é um número que está entre zero e um.
Se am  an, então, m  n, se a  1 e m  n, se 0  a  1.
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Obs. Não devemos esquecer que nas potências de um número entre zero e um,
quanto maior for o expoente menor será o produto.
2) Se uma potência é maior que uma outra e os seus expoentes são iguais, então a base
da primeira é maior que o da segunda, se o expoente é positivo e a base da primeiro
é menor que a base da segunda, se o expoente for negativo.
Se an  bn, então a  b, se n  0 e a  b, se n  0.
Exercícios sobre propriedades das potências:
Complete corretamente:
1) 56 = ( 5....)3 Resp. 2
2) 104 = 5..... . 2...... Resp. 4 e 4 3) 154 =.....4.5..... Resp. 3 e 4
4) (0,25)3 = (..../ 4)3 Resp. 1
5) 56 = 5.....52 Resp. 4 6) 126 = .....12. 36 Resp. 2
Exercícios
Efetue as operações indicadas:
2
1
1) ( )3 + ( )2 =
3
2
2) 3 . 5 =
3) 53.23.10-2 =
4) 22x + 2:2x –4 =
5) (33x – 4) x + 2 =
Na multiplicação, esta redução está sujeita a operações entre potências e propriedade
distributiva da multiplicação em relação a adição.
Multiplicação de monômio por monômio: multiplicamos os termos numéricos entre si e
nas partes literais, aplicamos as propriedades das potências.
Exemplos:
1) 3a2b4. 5a3bc = 3.5a2+3b4+1c = 15a 5b5c
2 xy 2 5 x 3 y 5 2.5 x13 y 25 10 x 4 y 7
2)


3a 3b 2 4ab
3.4a 31b 21 12a 4 b 3
Exercícios:
Efetue as operações indicadas:
1) 42a 2 b 5 c 3 .0,15a 1b 2 c 4 
2) 3,2 x 3 y 2 .2,5x 2 y 3 z 
3)
12ab 3 c 3 21x 3 y 2 z 2
.

35 x 2 yz 3 36a 2 bc 2
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4)
8.5 x 3
9a 2 3
7
y 15a b
.

2
b 2 16 xy
Propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição é a própria multiplicação
de um monômio por um polinômio.
A multiplicação entre um monômio e um polinômio é igual a soma entre os produtos do
monômio por cada uma das parcelas do polinômio.
Exemplos:
1) Se 3.(a + b + c) = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c) = 3a + 3b + 3c
2) Se x.(a + b + c) = (a + b + c) + (a + b + c) + ... + (a + b + c) = x.a + x.b + x.c
3) 2(x + y +z – 3t) = (x + y +z – 3t) + (x + y +z – 3t) = 2x + 2y + 2z – 6t
4) Se
3x 3 y(5x 2  4 xy4  7 y 2 )  3x 3 y.5x 2  3x 3 y.4 xy4  3x 3 y.7 y 2  15x 5 y  12 x 4 y 5  21x 3 y 3
5) 3a2b3(5a3b + 3a2b2 – 4b2) = 3a2b3. 5a3b + 3a2b3. 3a2b2 - 3a2b3. 4b2 = 15a5b4 + 9a 4b5
– 12 a2b5
6) 2(x + y +z – 3t) = (x + y +z – 3t) + (x + y +z – 3t) = 2x + 2y + 2z – 6t
7) 3a2b3(5a3b + 3a2b2 – 4b2) = 3a2b3. 5a3b + 3a2b3. 3a2b2 - 3a2b3. 4b2 = 15a5b4 + 9a 4b5
– 12 a2b5
3x 3 6 x 2
21x
3x 2
3x 2 3x
3x
8)
( x – 2x + 7 ) =
.x –
.2x +
.7 =
+
4
4
4
4
4
4
4
Obs. A multiplicação de um polinômio por um monômio é comutativa. Isto é: mesmo
invertendo a ordem, colocando o monômio multiplicado pelo polinômio ou o polinômio
pelo monômio, o resultado será o mesmo.
Exercícios:
1) Efetue as operações e reduza os termos semelhantes, se houverem:
a. 0,6x.(x3 – 7x2 + 5x – 20) =
b. 0,32x2y3.(1,25x2y –10,5xy + 25y2) =
2a 4 b 3 15 x 3 y
3xy 4
.(

)
c.
5 x 2 y 2 4a 3b3 10a 2 b 2
d. 5x.(3x4 – 4x3 + 7x2 –11x + 9) + 2.(3x4 – 4x3 + 7x2 –11x + 9) =
e. a3.(a2 – 5.a + 7) – 6.a2.( a2 – 5.a + 7) + 8.a.( a2 – 5.a + 7) –13.( a2 – 5.a + 7) =
Multiplicação de polinômio por polinômio
Para podermos multiplicar um polinômio por outro polinômio, usamos a mesma
lógica da multiplicação, onde vamos operar com um dos polinômios como se fosse
monômio.
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Exemplo: (a + b)(x – y) = (a + b)x – (a + b)y = ax +bx – ay – by
Vejam que neste exemplo, na primeira fase, o polinômio (a + b) está fazendo o
papel igual ao do monômio das operações anteriores. E na segunda já fizemos a
operação do polinômio pelo monômio normalmente. Poderíamos também fazer com
que (x – y) fizesse o papel do monômio, e neste caso, temos:
(a + b)(x – y) = a.(x – y) + b.(x – y) = a.x – a.y + b.x – b.y que a menos da ordem de
colocação dos termos, dá um resultado igual ao anterior.
Exercícios:
Efetue as operações:
1)
PRODUTOS NOTÁVEIS
Existem algumas multiplicações cujos resultados apresentam um mesmo padrão. Tais
operações podem ser resolvidas rapidamente, se conhecemos estes padrões, porém
podemos encontrar os resultados destas operações, efetuando normalmente.
1) O quadrado da soma entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,
somado com o dobro do produto entre o primeiro termo e o segundo e somado com
o quadrado do segundo.
( 1º + 2º )2 = ( 1º )2 + 2.( 1º ).( 2º ) + ( 2º )2
Exemplo:
( x + 9 )2 = ( x )2 + 2.( x ).( 9 ) + ( 9 )2 = x2 +18x + 81
a) (a + b)2 pode ser imaginado como área de um quadrado cujos lados medem a + b.
Então vamos montar este quadrado.
a
a2
b
=
ab
b2
ab
+
+
+
a
a
b
b
a
Exercícios:
b
Efetue as operações, usando a regra do produto notável:
1) (x + y)2 =
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2)
3)
4)
5)
3)
4)
5)
6)
10)
9
(x + 2)2 =
(2x + 5)2 =
(2.a + 3b)2 =
(0,3x + 0,2y)2 =
(5a + 2)2 =
(3x2 + 5)2 =
(2.a3 + 3b2)2 =
( 2 x + 3 )2 =
( 3 x + 5)2 =
2) O quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro
termo, subtraído do dobro do produto entre o primeiro termo e o segundo e somado
com o quadrado do segundo.
( 1º - 2º )2 = ( 1º )2 - 2.( 1º ).( 2º ) + ( 2º )2
Exemplo:
( x - 8 )2 = ( x )2 - 2.( x ).( 8 ) + ( 8 )2 = x2 – 16x + 64
(a - b)2 pode ser imaginado como a área do quadrado de lados a - b.
a
b)
b
a-b
a-b
a
a
b
b
b
a
(a - b)2
a2
a.b
a.b
b2
=
Vejam que este quadrado está no interior de um quadrado maior de lados a, que está
fatiado em um quadrado e dois retângulos, que tem um quadradinho em comum.
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Partindo deste quadrado maior, podemos calcular a área do quadrado, usando os
mesmos dados do anterior, porém tomando algum cuidado, pois se do quadrado
maior de área a2 tirarmos os dois retângulos de áreas a.b, vamos tirar o
quadradinho de área b2 duas vezes, pois ele, o quadradinho, é parte dos dois
retângulos. Portanto, devemos somar um b2 para compesar as duas retiradas. Com
isso, temos que: (a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2.
Exercícios:
Efetue as operações usando a regra do produto notável:
1) (t - v)2 =
2) (x - 5)2 =
3) (3x2 - 7)2 =
4) (3a - 2b)2 =
5) (1,2x - 0,5y)2 =
6) (5a - 8)2 =
7) (3x2 - 6)2 =
8) (4a3 - 5b2)2 =
9) ( 2 x - 5 3 )2 =
10) ( 3 x - 3)2 =
3) O produto da multiplicação entre a soma de dois termos e a diferença entre os
mesmos termos é igual ao quadrado do primeiro termo subtraído do quadrado do
segundo termo.(ou é igual a diferença entre os quadrados dos dois termos).
( 1º + 2º )( 1º - 2º ) = ( 1º )2 - ( 2º )2
Exemplo:
( x + 11 )( x - 11 ) = ( x )2 - ( 11 )2 = x2 – 121
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c)
(a - b).(a + b)
a+b
a
TRANSPORTA
DO
b
a -b
a
a-b
a
b
ÁREA TODA
, MARRON E
VERDE,
MEDIDA
IGUAL A
(a-b)(a+b)
TIRAR
Exercícios:
Efetue as operações usando a regra do produto notável:
1) (x + y)(x – y) =
2) (t – v)(t + v) =
3) (3x + 2)(3x – 2) =
2x
3 2x 3
4) (
+ )(
- )=
5
4 5
4
5) ( 5 x - 3 )( 5 x + 3 ) =
6) (5z3 + 2v2) (5z3 - 2v2) =
7) (0,4a + 0,3b)(0,4a – 0,3b) =
8) (3,2x – 1,5y)(3,2x + 1,5y) =
t
t
9) ( + 3) ( + 3) =
2
2
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10) ( 3xy –7)(3xy + 7) =
4)As multiplicações do tipo ( x + a )( x + b ) têm como resultado um trinômio do 2º
grau, onde o coeficiente de x2 é 1, o coeficiente de x é ( a + b) e o termo
independente de x ( sem x ) é a.b.
( x + a )( x + b ) = x2 + ( a + b )x + a.b
Exemplos:
( x + 9 )( x + 7 ) = x2 + ( 9 + 7 )x + 9.7 = x2 + 16x + 63
( x - 9 )( x - 7 ) = x2 + ( -9 + -7 )x + (-9).(-7) = x2 –16x + 63
( x + 9 )( x - 7 ) = x2 + ( 9 + (-7) )x + 9.(-7) = x2 + 2x - 63
( x - 9 )( x + 7 ) = x2 + ( -9 + 7 )x + (-9).7 = x2 – 2x – 63
Obs. Vejam que se o produto, que é o termo final sem x, é positivo, a e b têm o sinal
da soma e se o produto é negativo, a e b têm sinais contrários e a soma tem o sinal
do maior.
(x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab
x
x2
a
bx
=
ax
+
ab
+
x
b
Exercícios:
Efetue as operações usando a regra do produto notável:
1) ( x + 6 )( x + 7 ) =
2) ( x + 5 )( x + 9 ) =
3) ( x + 8 )( x + 4 ) =
4) ( x + 1 )( x + 9 ) =
5) ( x - 9 )( x - 7 ) =
6) ( x - 6 )( x - 8 ) =
7) ( x - 9 )( x - 5 ) =
8) ( x - 3 )( x - 8 ) =
9) ( x - 9 )( x + 4 ) =
10) ( x + 8 )( x - 7 ) =
11) ( x - 7 )( x + 3 ) =
12) ( x - 4 )( x + 7 ) =
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13) ( x + 9 )( x - 7 ) =
14) ( x - 6 )( x + 4 ) =
15) ( x - 9 )( x + 1 ) =
16) ( x + 11 )( x - 7 ) =
b) O cubo da soma entre dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três
vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o
quadrado do segundo, mais o cubo do segundo.
( 1º + 2º )3 = (1º)3 + 3.(1º)2.(2º) + 3.(1º).(2º)2 + (2º)3
Exemplos:
( x + 5 )3 = (x)3 + 3.(x)2.(5) + 3.(x).(5)2 + (5)3 = x3 + 15x2 + 75x + 125
( 2x2 + 6 )3 = (2x2)3 + 3.( 2x2)2.(6) + 3.( 2x2).(6)2 + (6)3 = 23.x6 + 3.22.x4.6 +
3.2.x2.36 + 216 = 8.x6 + 72.x4 + 216.x2 + 216
Exercícios:
Efetue as operações usando a regra do produto notável:
1) (x + y)3 =
2) (x + 5)3 =
3) (2x + 5y)3 =
4) (t + 6)3 =
c) O cubo da diferença entre dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos
três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro
vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo.
( 1º - 2º )3 = (1º)3 - 3.(1º)2.(2º) + 3.(1º).(2º)2 - (2º)3
Exemplos:
( x - 2 )3 = (x)3 - 3.(x)2.(2) + 3.(x).(2)2 - (2)3 = x3 - 6.x2 + 12.x – 8
( 3x4 - 10 )3 = (3x4)3 - 3.( 3x4)2.(10) + 3.( 3x4).(10)2 - (10)3 =
= 27x12 – 270x8 + 900 x4 – 1000
Exercícios:
Efetue as operações usando a regra do produto notável:
1) (t - v)3 =
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Oswaldo K. Watanabe 2000
14
2) (2x - 5)3 =
3) (x - 5y)3 =
4) (t - 4)3 =
d) A multiplicação da soma entre dois termos pelo trinômio formado pelo quadrado do
primeiro termo, menos o produto entre o primeiro e o segundo, mais o quadrado do
segundo é igual a soma dos cubos dos dois termos.
( 1º + 2º ) [(1º)2 – (1º).(2º) + (2º)2] = (1º)3 + (2º)3
Exemplo:
( x + 3 ) [(x)2 – (x).(3) + (3)2] = (x)3 + (3)3 = x3 + 27
Exercícios
Efetue as operações usando a regra do produto notável:
1)
2)
3)
4)
5)
(x + y)(x2 – xy + y2) =
(x + 1)( x2 – x + 1) =
(x + 3)( x2 – 3x + 9) =
(x + 5)( x2 – 5x + 25) =
(x + 2)( x2 –2 x + 4) =
e) A multiplicação da diferença entre dois termos pelo trinômio formado pelo
quadrado do primeiro termo, mais o produto entre o primeiro e o segundo, mais o
quadrado do segundo é igual a diferença dos cubos dos dois termos.
( 1º - 2º ) [(1º)2 + (1º).(2º) + (2º)2 = (1º)3 - (2º)3
Exemplo:
( x - 6 ) [(x)2 + (x).(6) + (6)2 = (x)3 - (6)3 = x3 - 216
Exercícios
Efetue as operações usando a regra do produto notável:
1) (x - 2y)(x2 + 2xy + 4y2) =
2) (x - 4)( x2 + 4x + 16) =
3) (x - 7)( x2 + 7x + 49) =
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Oswaldo K. Watanabe 2000
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4) (2x - 5)( 4x2 + 10x + 25) =
5) (x - 2)( x2 +2 x + 4) =
EXERCÍCIOS:
Efetue as operações, usando as regras dos produtos notáveis:
(5x + 3)2 + (3x – 7)2 – (2x – 3)(2x + 3) =
(2x – 5)(2x + 5) – (4x – 7)2 + (2x + 1)2 =
(x – 2)3 – (x + 3)(x2 – 3x + 9) =
(x + 1)2 + (x + 1)3 – (x – 1)(x2 + x + 1) =
(0.5x – 2)(0.5x + 2) + (2,1x – 3)2 =
5x
3
5x
3 5x 3
6) (
+ )2 – (
+ )(
- )=
3
5
3
5 3
5
7) (1,2x3 + 0,4) (1,2x3 - 0,4) – ( 0,2x2 – 0,3)3 =
x 2 x
2
2x
3 2x 3
8) ( - )( + ) + (
+ )(
- )=
2 3 2
3
3
5 3
5
1)
2)
3)
4)
5)
Fatoração de expressões algébricas literais
FATORAR significa transformar em multiplicação equivalente, porém é comum ser
usado como: fatorar um número é representar este número através de seus fatores
primos.
Fator primo é aquele que só tem dois divisores, o um e ele mesmo.
Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ....
Exemplos:
1) 10 = 2.5
2) 24 = 2.12 = 3.8 = 23.3
Nas expressões literais, cada letra, em geral, faz o papel de um número primo,
portanto, vamos estudar as fatorações dos polinômios, que na maioria são voltas ou
retornos dos produtos notáveis.
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Oswaldo K. Watanabe 2000
16
Para melhor identificarmos qual a multiplicação que deu origem a expressão a ser
fatorada, vamos dividi-las em casos.
1º CASO: Caso do fator comum.
Este caso é a volta da propriedade distributiva da multiplicação em relação a adição.
Para percebermos que é este caso que devemos aplicar, devemos detectar um fator
que aparece em todas as parcelas.
Exemplos:
1) ax + bx + cx – dx = x( a + b + c –d ) Vejam que neste caso o fator comum é x.
2) 2x –6y + 10z = 2( x – 3y + 5z ) Vejam que neste caso todos são pares, logo o
fator comum é o 2.
3) 3x4 – 9x3 + 21x2 = 3x2( x2 – 3x + 7 ) Vejam que neste caso todas as parcelas tem
x e um múltiplo de 3, logo o fator comum é 3x2.
4) 2a( x – 2 ) + 3b( x – 2 ) –5( x – 2 ) = ( x – 2)( 2a + 3b –5 ) Vejam que neste caso
todas as parcelas tem o parênteses, logo o fator comum é o parênteses (x – 2).
Exercícios
Fatore as expressões:
1)
2)
3)
4)
5)
ax + bx –cx + dx =
2ab + 6a =
5x3 – 30x2 + 25x =
3a x + 6b x - 12c x =
12x5y4z2 - 18x4y2z3 + 42x6y3 =
2º CASO: Caso do agrupamento.
Este caso é a volta da multiplicação entre dois polinômios.
Para que possamos aplicar este caso de fatoração, devemos ter fatores comuns em
grupos de número de parcelas iguais e ao fatorarmos cada grupo, deve aparecer um
novo fator comum.
Exemplos:
1) ax +bx + ay + by = x( a + b ) + y( a + b ) = ( a + b )( x + y )
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Oswaldo K. Watanabe 2000
17
2) x3 – 3x2 + 5x – 15 = x2( x – 3 ) + 5( x – 3 ) = ( x – 3 )( x2 + 5 )
3) 2x3 – 8x2 - 5x + 20 = 2x2( x – 4 ) – 5( x – 4 ) = ( x – 4 )( 2x2 – 5 )
4) ax + ay + bx + by + cx + cy = a( x +y ) + b( x + y ) + c( x + y ) =
= ( x + y )( a + b + c )
ou ax + bx + cx + ay + by + cy = x( a + b + c ) + y( a + b + c ) =
( a + b + c )( x + y )
Obs. Reforçando: neste caso, o número de parcelas sempre é um número múltiplo,
isto é: a expressão deve ter 4 parcelas ou 6, ou 8, ou 9, ou 10, ou 12, .... E sempre devem
aparecer fatores comuns para grupos de quantidades iguais de parcelas, notem que nos
exemplos de 4 parcelas, agrupamos de dois em dois. No de seis, podemos agrupar em 3
grupos de dois em dois ou em dois grupos de três em três parcelas, e assim sucessivamente.
Exercícios
Fatorar:
1) 2ax – 3bx + 4ay – 6by =
2) 5pt + 4qt – 7rt –15pz – 12qz + 21rz =
3) x2 + 6x – x – 6 =
4) x3 – 2x2 + 3x – 6 =
5) 2x3 + 12x2 + 7x + 42 =
3º CASO: Caso da diferença dentre dois quadrados.
Este caso é a volta do produto notável : multiplicação da soma pela
diferença entre dois termos.
(1º)2 – (2º)2 = ( 1º – 2º )( 1º + 2º ). Portanto, o nosso objetivo é descobrir
quem é o 1º e quem é o 2º, para podermos substituir na fórmula.
Exemplos:
1) a2 – b2 = ( a – b )( a + b )
o 1º é a e o 2º é b
2) 25x6 – 49 = (5x3)2 – 72 = ( 5x3 + 7 ) ( 5x3 - 7 )
o 1º é 5x3 e o 2º é 7
3) x – 9 = ( √x )2 – 32 = (√x + 3 ) (√x - 3 )
o 1º é √x e o 2º é 3.
Exercícios
Fatorar:
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Oswaldo K. Watanabe 2000
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1)
2)
3)
4)
5)
t2 – v2 =
4x2 – 9 =
9y6 – 25z2 =
x2 – 5 =
36x2 – 49y2 =
4º CASO: Caso do trinômio do quadrado perfeito.
Este caso é a volta do produto notável: quadrado da soma ou da diferença.
( 1º )2 + 2.( 1º ).( 2º ) + ( 2º )2 = ( 1º + 2º )2
ou
( 1º )2 - 2.( 1º ).( 2º ) + ( 2º )2 = ( 1º - 2º )2
Vejam que neste caso, os dois quadrados são positivos e através deles, devo
descobrir quem é o primeiro termo e quem é o segundo, para em seguida
verificarmos se o outro termo é o dobro da multiplicação destes dois termos. Caso
isto não ocorra, não será possível efetuar esta fatoração. (vejam que neswte caso
também devo descobrir quem são o 1º e o 2º termos)
Exemplos:
1) x2 + 6x + 9 = ( x )2 + 2.( x ).( 3 ) + ( 3 )2 = ( x + 3 )2


1º = x
2º = 3
2) 16x6 - 40x3 + 25 = ( 4x3 )2 - 2.( 4x3 ).( 5 ) + ( 5 )2 = (4x3 - 5 )2


1º = 4x3
2º = 5
Exercícios
Fatorar:
1) x2 + 10x + 25 =
2) 4x2 + 12x + 9 =
3) x2 + 5x + 6,25 =
4) 25x4 - 70x2 + 49 =
5) 16x6 - 72x3 + 81 =
6) 25x2 - 60x + 36 =
5º CASO: Caso do trinômio do segundo grau.
Este caso é a volta do produto notável ( x + a )( x + b ) = x2 + ( a + b )x + a.b.
Vejam que neste caso, o número que multiplica (o coeficiente de) x 2 é 1, o termo
que multiplica x é a soma entre a e b e o termo sem (independente de) x é o produto
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Oswaldo K. Watanabe 2000
19
entre a e b. Logo, devemos usar o termo independente de x e o coeficiente de x, para
descobrirmos os valores de a e de b.
Exemplos:
1) x2 + 6x + 8 = ( x + 2 )( x + 4 )
a+b = 6, então a = 2 e b = 4
2) x2 - 6x + 8 = ( x - 2 )( x - 4 )
= -6, então a = -2 e b = -4
3) x2 + 2x - 8 = ( x - 2 )( x + 4 )
como a+b = 2, então a = -2 e b = 4
4) x2 - 2x - 8 = ( x + 2 )( x - 4 )
a+b = -2, então a = 2 e b = -4
5) x2 - 12x + 35 = ( x - 5 )( x - 7 )
a+b = -12, então a = -5 e b = -7
Se a.b= 8, então a.b = 8.1 = 2.4, mas como
Se a.b= 8, então a.b = 8.1 = 2.4, mas como a+b
Se a.b= -8, então a.b = 8.(-1) = (-2).4, mas
Se a.b= -8, então a.b = -8.1 = 2.(-4), mas como
Se a.b= 35, então a.b = 35.1 = 5.7, mas como
6) - x2 + 12x – 35 = -( x2 - 12x + 35 ) = -( x - 5 )( x - 7 )
Exercícios
Fatorar:
1) x2 + 8x + 12 =
2) x2 + 6x - 27 =
3) x2 - 11x + 24 =
4) x2 - 6x – 16 =
5) x2 - x - 20 =
6) x2 + x - 6 =
6º CASO: Soma ou diferença entre dois cubos
Este caso é a volta dos produtos
( 1º + 2º )[( 1º )2 - ( 1º )( 2º ) + ( 2º )2] = ( 1º )3 + ( 2º )3
( 1º - 2º )[( 1º )2 + ( 1º )( 2º ) + ( 2º )2] = ( 1º )3 - ( 2º )3
Exemplos:
1) 27x6 + 8 = ( 3x2 + 2 )[( 3x2 )2 - ( 3x2 )( 2 ) + ( 2 )2] = ( 3x2 + 2 )( 9x4 - 6x2 + 4 )
o 1º é 3x2 e o 2º é 2
2) x3 – 125 = ( x – 5 )( x2 + x.5 + 52 ) = ( x – 5 )( x2 + 5x + 25 )
19
Oswaldo K. Watanabe 2000
20
o 1º é x
e o 2º é 5
Exercícios:
I) Fatorar:
1) x3 – 8 =
2) x3 + 27 =
3) x6 – 64 =
4) x3 + 1 =
5) x3 – 5 =
II) Fatorar as expressões usando os casos estudados anteriormente até que não seja
Mais possíval fatorar:
1) x3 – 3x2 - 4x – 12 =
2) x3 + x2 - 25x – 25 =
3) x5 – 10x4 + 16x3 – 8x2 + 80x – 128 =
4) 16x4 – 81 =
5) 3x2 – 15x + 18 =
6) 7x3 –21x2 – 70x =
DIVISÃO ENTRE POLINÔMIOS
A técnica ou algoritmo da divisão entre polinômios é semelhante a divisão entre
números.
Para podermos efetuar a divisão entre dois polinômios é necessário que tanto
dividendo como divisor, devem estar colocados em ordem crescente dos expoentes
das variáveis, sem perda da seqüência numérica. Vejam o exemplo:
( x4 – 10x2 + 9 ) : ( x2 + 4x + 3 ) = ( x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9 ) : ( x2 + 4x + 3 )
Após este passo, vamos fazer a divisão com a chave:
x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9
 x2 + 4x + 3
Em seguida, dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro do divisor e
colocamos o quociente(resposta da divisão) sob a chave, a esquerda.
x4 : x2 = x2
x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9
 x2 + 4x + 3
x2
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Oswaldo K. Watanabe 2000
21
Continuando, multiplicamos o quociente com o divisor
x2.(x2 + 4x + 3 ) = x4 + 4x3 + 3x2.
Assim como na divisão entre números, devemos subtrair este resultado do
dividendo, que é o mesmo que somar com o oposto, baixar a casa seguinte.
- (x4 + 4x3 + 3x2) = -x4 - 4x3 - 3x2
x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9
-x4 - 4x3 - 3x2
0 -4x3 -13x2 + 0x
 x2 + 4x + 3
x2
Aqui, voltamos a dividir o novo primeiro
-4x3 : x2 = -4x
x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9
-x4 - 4x3 - 3x2
0 -4x3 -13x2 + 0x
 x2 + 4x + 3
x2 – 4x
-4x .( x2 + 4x + 3 ) = -4x3 – 16x2 – 12x
subtraindo, temos 4x3 + 16x2 + 12x
x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9  x2 + 4x + 3
-x4 - 4x3 - 3x2
x2 – 4x
3
2
0 -4x -13x + 0x
4x3 + 16x2 + 12x
0 + 3x2 + 12x + 9
3x2 : x2 = 3
x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9
-x4 - 4x3 - 3x2
0 -4x3 -13x2 + 0x
 x2 + 4x + 3
x2 – 4x + 3
21
Oswaldo K. Watanabe 2000
22
4x3 + 16x2 + 12x
0 + 3x2 + 12x + 9
3.(x2 + 4x + 3) = 3x2 + 12x + 9
x4 + 0x3 – 10x2 + 0x + 9  x2 + 4x + 3
-x4 - 4x3 - 3x2
x2 – 4x + 3
3
2
0 -4x -13x + 0x
4x3 + 16x2 + 12x
0 + 3x2 + 12x + 9
- 3x2 - 12x - 9
0
0 0
Briott e Ruffini, desenvolverão um algoritmo para divisão entre polinômios, onde o
divisor é do tipo ( x – a ), com base no Teorema: “ Se o polinômio P(x) é igual a
zero para x = a, isto é P(a) = 0, então P(x) é divisível exatamente por (x – a).
Este dispositivo simplifica bastante a divisão entre polinômios onde o
divisor é um monômio do tipo ( x – a ).
O dispositivo: Vamos supor a divisão
(a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + a3xn-3 + a4xn-4 + ...+ an) : ( x – a )
1) Traçar uma horizontal longa e uma vertical próxima e alem do inicio da
horizontal

____ _________________________________________________________

2) Em cima, a direita da vertical, colocar com espaço, os coeficientes do polinômio
que é o dividendo e abaixo e a esquerda da vertical, o valor a ( valor que
colocado no lugar de x no divisor ( x – a ), faz com que ele fique zero.)
22
Oswaldo K. Watanabe 2000
23
a0
a1
a2
a3
a4
a5
..... an
______________________________________________________________
a 
3) Repetir abaixo da horizontal o primeiro termo que está acima.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
.... an
______________________________________________________________
a  a0
4) Multiplicar o número que está a em baixo, a esquerda da vertical com o numero
que esta em baixo e a direita da vertical. O resultado somamos com o o termo
seguinte que está acima da vertical e o resultado colocamos abaixo deste último.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
....an
______________________________________________________________
a  a0
a.a0 + a1
5) Multiplicamos o número que esta abaixo e a esquerda da vertical com o último
Resultado encontrado e o resultado somamos com o termo seguinte que está
acima da horizontal e o resultado, colocamos abaixo deste último.
a0
a1
a2
a3
a4
a5
....an
______________________________________________________________
a  a0
a.a0 + a1 a(a.a0 + a1) + a2
6) Repetimos o 6) até chegarmos ao último elemento acima da horizontal. Este
último será o resto da divisão, portanto se for zero, significa que a divisão é
exata de grau igual a um menos que o dividendo com coeficientes que estão
abaixo da horizontal a direita da vertical.
Exemplo: (x5 – 10x4 + 16x3 – 8x2 + 80x – 128) : (x – 2)
23
Oswaldo K. Watanabe 2000
24
1
-10
16
-8
80
-128
________________________________________________________________________
2 1
-8
0
-8
64
0
4
3
2
x
-8x
0x
-8x
64
resto
resposta: x4 – 8x3 – 8x + 64.
Exercícios
Efetue as operações indicadas:
1) (x2 + 8x + 12) : (x + 6) =
2) (x2 + 6x – 27) : (x – 3) =
3) (x2 - 11x + 24) : (x – 3) =
4) (x2 - 6x – 16) : (x + 2) =
5) (x2 - x – 20) : (x – 5) =
6) (x2 + x – 6) : (x + 3) =
7) (x3 – 3x2 - 4x – 12) : (x + 2) =
7) (x3 + x2 - 25x – 25) : (x – 5) =
8) (x2 – 25) : (x – 5) =
9) (x3 – 216) : (x – 6) =
10) (x3 + 125) : (x + 5) =
MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
O Máximo Divisor Comum (M.D.C.) entre dois termos é igual ao produto entre
seus fatores comuns de menores expoentes.
Exemplos
1) O MDC entre 36 e 48
36 = 22.32
48 = 24.3
Portanto o MDC( 36, 48 ) = 22.3 = 4.3 = 12
24
Oswaldo K. Watanabe 2000
25
11) O MDC entre x3 – 9x ; x2( x – 3 )2 e ( x3 – 5x2 + 6x )( x + 3 )2
x3 – 9x = x( x + 3 )( x – 3 )
x2( x – 3 )2 = x2( x – 3 )2
( x3 – 5x2 + 6x )( x + 3 )2 = x( x – 2 )( x – 3 )( x + 3 )2
Portanto o MDC [x3 – 9x ; x2( x – 3 )2 e ( x3 – 5x2 + 6x )( x + 3 )2] é x( x – 3 )
O Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre dois termos é igual ao produto entre
todos os seus fatores, onde se houver repetição, toma-se apenas os de maiores
expoentes.
Nos exemplos anteriores, o MMC( 36, 48 ) = 24.32 = 16.9 = 144.
E o MMC [x3 – 9x ; x2( x – 3 )2 e ( x3 – 5x2 + 6x )( x + 3 )2] =
= x2( x – 3 )2( x – 2 )( x + 3 )2
Exercícios
Determine o MMC e o MDC entre as expressões:
1) 36x2y3 , 60 x2yz e 48 x3y2z3
12) 20x4 , 30x3 e 25x2
13) x2 – 4 , x2 – 5x + 6 e 2x – 4
-2
3
4) x – 1 , x2 + x + 1 e x3 + x2 + x
5) x2 – x - 6 , x2 + 7x + 10 , x2 – 8x + 15
6) x2 - 7x + 10 , x2 – 8x + 15
Resp.720 x3y2z3 e 12 x2y3
Resp. 300x4 e 5x2
Resp. 2x3 – 3x2 – 4x + 12 e x
Resp. x4 – x e x2 + x + 1
Resp. (x – 5)(x – 3)(x + 2)(x + 5) e 1
Resp. (x – 5)(x – 3)(x – 2) e x – 5
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES LITERAIS
A simplificação de uma fração literal se baseia em dividir o numerador e o
denominador por uma mesma expressão. Normalmente, para simplificarmos uma
fração, fatoramos tanto o numerador como o denominador até chegarmos a
expressões mais simples possível, porém isto nem sempre é necessário, pois para
simplificar o máximo possível, devemos dividir o numerador e o denominador pelo
máximo divisor comum (M.D.C.) entre eles. Portanto se conhecemos os divisores
dos polinômios, podemos efetuar a divisão.
25
Oswaldo K. Watanabe 2000
26
Exemplos
42x2y3z
1) ------------- =
28x3y2z3
Resp.
3y
--------2xy2
2x + 6
2) ------------- =
10x + 30
Resp.
1
-----5
x2 – 25
3) ----------------- = Resp.
x2 – 10x + 25
x3 – 2x2 + 3x – 6
4) ---------------------- =
5x2 – 10x
x+5
--------x–5
x2 + 3
Resp. ---------5x
26