Problemas 7ª, 8ª, 9ª, 10ª Semanas Introd. à Mecânica Quântica

PROBLEMAS
INTRODUÇÃO À FÍSICA MODERNA - LEFT
7ª, 8ª, 9ª, 10ª Semanas
Introdução à Mecânica Quântica
1. De que altura devem cair 10 g de água para que a sua temperatura
aumente de 1 grau centígrado? Admita que toda a energia potencial da
água é transformada em energia interna quando a água choca com chão.
E 100 g de água? Calor específico da água: 1 cal g-1/oC.
2. O campo gravítico da Terra atrai a atmosfera, e provoca assim uma
pressão, à superfície, suficiente para suportar uma coluna de mercúrio de
70 cm de altura (princípio do barómetro).
Considerando que:
- raio da Terra, R = 6400 km;
- densidade do mercúrio, dHg=13,6 g cm-3;
- massa molecular do ar, 29 g mole-1;
a) A pressão correspondente a uma coluna de mercúrio, com 76 cm
de altura e 1 cm2 de base, é designada por 1 atmosfera (atm).
Quantos Pascal são 1 atm? E quantos kgf/m2?
b) Desprezando a variação da atracção gravítica com a altura,
obtenha uma estimativa para a massa total da atmosfera
(Matmosfera).
3.
a) Qual o volume ocupado por um mole de um gás perfeito, em
condições normais de pressão e temperatura (PTN), isto é, p=1atm
e T = 0oC? E à temperatura de 20oC?
b) Se o gás fosse azoto (N2), qual a densidade e o volume específico a
PTN)? (mN2=28u.)
c) Como varia a densidade com a temperatura?
4. Num recipiente fechado de volume V=22,4 L encontra-se um gás que
queremos identificar. Para tal sabemos que:
- o gás se encontra em condições normais de pressão e temperatura;
- se fornecermos 41,6 J a temperatura do gás eleva-se 2oC.
a) Trata-se de um gás monoatómica ou diatómico? Justifique com
cálculos.
b) Sabendo que o calor específico (por unidade de massa) do gás é
cv=10,39 Jg-1K-1, diga de que gás se trata.
5. Considere um gás num recipiente fechado e à temperatura de 25 oC. A
temperatura do gás eleva-se de 1oC quando lhe é fornecida uma
quantidade de calor de 41,57 J. No entanto, se o gás estiver à temperatura
de 3000oC, são necessários 58,20 J para obter a mesma elevação de
temperatura, nas mesmas condições. Sabendo que se trata de um gás puro
e não de uma mistura, calcule:
a) Quantos mole de gás se encontram no recipiente?
b) Quantos átomos tem cada molécula do gás?
6. Um bloco de metal de 50 g é mantido durante algum tempo em água a
ferver. Seguidamente, o bloco é mergulhado num colorímetro de cobre de
massa 100 g, e que contém 200 g de água a 20oC. A temperatura de
equilíbrio é 22oC. Qual o calor específico do metal? (Calor específico do
cobre: cp=0,39 Jg-1K-1.)
7. Uma antena de rádio emite com uma potência de 104W, na frequência de
9,2 x 105 Hz. Quantos fotões são emitidos por segundo?
8. Quando o Sol incide perpendicularmente à superfície terrestre, a potência
incidente junto a esta é de cerca de 103 Wm-2. Sendo 550 nm o
comprimento de onda média da radiação:
a) Calcule quantos fotões atingem a superfície terrestre por m2 e por
segundo.
b) Qual o momento linear de cada fotão? Qual o momento linear
transferido por cada fotão reflectido ao chocar com a superfície
terrestre? E se o fotão for absorvido?
c) Calcule o momento linear transferido para a superfície terrestre
por m2 e por unidade de tempo e a pressão devida ao embate dos
fotões.
9. Quando uma radiação com a frequência de 7 x 1014 Hz incide numa
superfície metálica é emitido um feixe de electrões que podem atingir
velocidades até cerca de 6 x 105 m/s. Se quisermos construir uma célula
fotoeléctrica com esse metal, qual a frequência mínima da radiação com
que deve ser iluminada?
10.Numa experiência de efeito de Compton, os raios X incidentes têm uma
energia de 100 keV.
a) Qual a frequência dos fotões?
b) Um electrão adquiriu uma energia cinética de 4 keV ao chocar
com um fotão, que é desviado da sua trajectória inicial. Qual a
frequência do fotão desviado?
11.Nas reacções nucleares produzem-se raios , constituídos por fotões
muito energéticos. Quando um mesão  decai em repouso, liberta uma
energia de 135 MeV, que é igualmente partilhada por dois fotões. Qual o
comprimento de onda e o momento linear de cada um dos fotões 
emitidos?
12. Os neutrões resultantes da cisão do urânio nos reactores nucleares têm
energias muito elevadas. Para aumentar as suas probabilidades de
interagir com os átomos de urânio e provocar uma reacção em cadeia têm
de ser termalizados, isto é, perder energia por colisões sucessivas com os
átomos de um moderador (água ou água pesada). Calcule o comprimento
de onda de um neutrão após atravessar um moderador à temperatura de
300 K. Compare com a ordem de grandeza das distâncias interatómicas.
13. O tubo de um anúncio luminoso contém néon. O gás no interior do tubo
pode emitir comprimentos de onda que são característicos deste
elemento. Assim, de acordo com a tensão aplicada, o tubo emite luz
amarela (585,25 nm), vermelha (640,23 nm) ou verde (540,25 nm).
a) Se o número de fotões emitidos em cada comprimento de onda for
o mesmo, para qual das cores o consumo de energia é menor?
Calcule a frequência da radiação e a energia de cada fotão em eV
para esse caso.
b) O néon também emite raios X com um comprimento de onda de
1,46 nm, que correspondem a transições de electrões para as das
camadas mais próximas do núcleo. Qual a energia destes fotões
em eV?
14. De acordo com o modelo de Bohr, o átomo é constituído por uma
partícula de carga negativa, descrevendo trajectórias circulares em torno
de uma de carga positiva.
a) Calcule a energia e o raio do átomo de hidrogénio no seu estado
fundamental (em eV).
b) Um muão  negativo (-) tem uma carga igual à de um electrão
(e-) mas uma massa 207 vezes superior. Qual seria a energia do
nível fundamental e o raio de um “átomo de hidrogénio”
constituído por um protão e um muão -?
15. Considere um átomo de hidrogénio no 2º estado excitado (n = 3).
a) Escolha a opção correcta:
A energia do electrão é ...
i) Um terço da energia do nível fundamental (E3 = E1/3);
3
ii) Um oitavo da energia do nível fundamental (E3 = E1/2 );
2
iii) Um nono da energia do nível fundamental (E3 = E1/3 );
b) Se um átomo de hidrogénio decair do nível n = 3 para o nível
fundamental, qual será a energia (em eV) dos fotões que podem
ser emitidos? (Recorde que E1 = - 13,6 eV).
Faça um esquema das transições possíveis e indique em que zona
de frequência se encontra a radiação emitida (Consulte a tabela de
comprimentos de onda da série 5.)
16. Considere o modelo de Bohr para o átomo de hidrogénio.
a) Qual é a velocidade do electrão no estado fundamental ) Compare
com a velocidade da luz (calcule v/c).
b) Qual é a corrente eléctrica que corresponde ao movimento do
electrão em torno do núcleo? Qual o momento magnético orbital
do electrão? (Recorde que o momento magnético é  = I A, em
que I é a intensidade de corrente e A a área do circuito).
c) Recorde que um circuito eléctrico é equivalente a um dipolo e que
a energia deste num campo magnético exterior B é U = -B cos .
Qual a energia necessária (em eV) para inverter o dipolo
equivalente, uma vez que este eteja alinhado com um campo de
10 T? (Isto é, a energia necessária para inverter o sentido do
movimento do electrão!)
d) Qual a frequência do fotão emitido por um electrão, ao voltar a
alinhar o momento magnético com um campo de intensidade
10T?
17. A analogia clássica para o spin do electrão consiste em supor que este
roda em torno de si próprio, gerando um momento magnético
s = -eh/nms, sendo ms = +1/2 ou –1/2 conforme o spin está,
respectivamente, alinhado ou desalinhado com o campo magnético
exterior. Sabendo que a energia de um electrão com spin s z = msh num
campo magnético B é U = -sB, calcule:
a) A diferença de energia entre o estado em que o spin está alinhado
e aquele em que está desalinhado com um campo magnético
exterior de 1 T.
b) A frequência do fotão emitido quando um electrão passa do
estado em que ms = -1/2 para o estado em que ms = ½, na
presença de um campo magnético de 1 T.
18. O electrão de um átomo de hidrogénio está no nível n = 2. De acordo
com os resultados da equação de Schrödinger:
a) Quais são os valores possíveis para o número quântico do
momento angular orbital do electrão,  ? E para o módulo do
momento angular orbital? (Dê o resultado em função de h.)
b) Que valores pode tomar para cada um desses estados a projecção
do momento angular orbital, segundo um eixo à sua escolha (eixo
dos Z) ? (Dê o resultado em função de h.)
c) Pode medir experimentalmente ou calcular as outras componentes
do momento angular no mesmo instante?
d) Quantos electrões poderiam ser “alojados” nos diferentes estados
do nível n = 2, se contarmos com os dois valores possíveis para o
spin, ±h/2? (É só contar! Lembre-se do princípio de exclusão de
Pauli.)