5ª Série de problemas de FQM (MEBM)

5ª Série de problemas de FQM (MEBM)
1. A secção eficaz de interação com eletrões para a excitação de um dado nível atómico A é
σA=1.4×10−20 cm2. Este nível tem uma vida média τ=2×10 −8 s e decai 10% do tempo para o
nível B e 90% do tempo para o nível C.
Tomando em consideração a relação de Einstein para o número de transições X→Y
dN X → Y
=n0 σ Y N X
dt
onde n0 é o número de electrões atravessando a unidade de superfície por unidade de tempo,
NX é o número de átomos no nível X e σY é a secão eficaz para o processo calcule a
população de equilíbrio por cm3 no nível A quando um feixe de 5 mA/cm 2 passa pelo vapor
desses átomos a uma pressão de 0.05 Torr.
2. A secção eficaz para colisões de eletrões muito lentos num gás é muito menor do que seria
de esperar na Teoria Cinética dos gases. Isto dá pelo nome de efeito Ramsauer. Usando o
modelo de um átomo como um poço de potencial de raio r mostre como pode explicar este
efeito.
3. Um instrumento que é usado para medir massas atómicas
com grande precisão é o espectrómetro de massa de 180º
que está indicado na figura. Uma partícula, depois de ter
⃗ entra numa
sido acelerada por um campo eléctrico E
região sujeita a um campo magnético uniforme ⃗
B .A
partícula entra nessa região com uma velocidade
perpendicular ao campo magnético e faz um semicírculo
na região até atingir o detetor, tipicamente uma chapa
fotográfica.
B

R
a) Relembre-se (ou seja, demonstre) que a relação carga/massa é dada por
q
v
=
m BR
onde
b) Numa experiência o raio da órbita é de 20 cm para um átomo para um átomo de carga +1
(em unidades da carga do electrão) de velocidade 2.1×105 m/s para um campo de
0.13 T . Qual a massa do átomo?
4. Em certos espectrómetros de massa as partículas carregadas passam por um seletor de
velocidade antes de entrar no campo magnético; noutros passam por um campo elétrico
intenso antes de entrar no campo magnético. Qual é a diferença entre o que se vai ver nos
dois casos? Em particular, compare os raios das trajetórias de iões de lítio simplesmente
ionizados com massas 6 amu e 7 amu.
5. Um feixe colimado de átomos de prata é usado para irradiar um alvo. Esses átomos provêm
de um forno a 1500 K. Para isso faz-se passar os átomos por um colimador que corresponde
a um orifício circular numa placa. O alvo (que é um ecrã) encontra-se a 1 m de distância do
colimador. Assumindo que todos os átomos realizam o percurso entre o colimador e o ecrã
com a mesma velocidade, qual o raio da menor mancha que pode aparecer no ecrã? A massa
de um átomo de prata é 1.8×10−26 kg.
6. Uma partícula com momento magnético
μ =μ 0 ⃗s e spin s de magnitude ½ é colocado
⃗
num campo magnético constante ⃗
B que aponta na direcção x. Em t=0 a partícula tem
componente do spin segundo o eixo dos zz, sz=+1/2. Determinar a probabilidade de num
tempo posterior t encontrar a partícula com componente segundo o eixo dos yy, sy=±1/2.
7. (Medianamente difícil) Mostre que a Lei de Wien pode ser obtida a partir da Lei de Planck.
8. (Difícil!) Assuma que o sistema atómico na região atravessada por um feixe luminoso só
tem dois níveis. Na demonstração que Einstein fez da Lei de Planck mostrou que a
probabilidade de transição por emissão induzida é
W=
λ 3 g (ν)
Iν
8 π h c n2 τ
onde λ é o comprimento de onda da radiação, τ o tempo de vida para a transição
espontânea 2 → 1 , I ν é a intensidade da onda luminosa e g ( ν) é a função de forma
da linha. . Mostre que o coeficiente de atenuação α da onda luminosa quando atravessa o
meio é dado por
λ 2 g (ν)
α=( N 1−N 2 )
8 π n2 τ
Argumente que em condições normais α>0 .
8. (Difícil!!) O campo eléctrico a que está sujeito um átomo quando está incluído numa
molécula ou num cristal pode afectar de forma significativa o seu estado fundamental. Um
exemplo interessante está associado ao fenómeno de quenching do momento angular num
átomo de ferro na hemoglobina. No entanto o ferro e a hemoglobina são demasiado
complicados e por isso vamos considerar um átomo contendo um electrão de valência
movendo-se num potencial atómico central num estado com momento angular orbital l=1.
Vamos ignorar o spin e vamos imaginar que o electrão se move num potencial criado pelos
átomos na vizinhança da forma
V pert ( ⃗r )=Ax 2+By 2 −( A+B) z 2
que perturba o potencial atómico usual. Mostre que, em primeira ordem de teoria das
perturbações
a) O nível l=1 se separa em três níveis distintos; a função de onda destes níveis é da forma
ψ=(α x+β y+γ z) f (r )
em que f(r) é uma função comum aos três estados, e cada estado tem coeficientes
(α ,β , γ) distintos dos quais deve dar uma estimativa. Determine as diferenças de
energia Δ E entre os estados em termos dos parâmetros A e B.
b) Calcule o valor expectável da componente Lz do momento angular para cada um dos
níveis.
(Disclaimer: Embora indiscutivelmente útil para um engenheiro biomédico, este
problema é um desafio que vos é posto. Devem tentar resolvê-lo – ou ver a solução em
último recurso – mas nunca um problema deste tipo sairá num exame ou teste!)