83 – MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO

83 – MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO
CRITÉRIOS DE CORRECÇÃO
EXAME de 8 de Setembro de 2004
Nos exames desta cadeira avaliam-se os conhecimentos adquiridos, bem como a
capacidade de estruturação do raciocínio lógico do aluno.
O aluno tem, basicamente, tarefas dos seguintes tipos: identificar o problema
proposto, efectuar cálculos (com justificações) e demonstrar o que lhe for pedido.
Assim, em relação a cada um dos tipos:
1. Na identificação de um problema pretende-se que o aluno mostre que sabe a que
assunto da matéria se refere o problema (p.e., dada uma série, saber dizer de que
tipo de série se trata).
2. Na resolução de um problema, ou seja, quando tiver que efectuar cálculos,
pretende-se que o aluno os indique de forma clara e numa sequência lógica,
justificando, pelo menos os que conduzirem à conclusão do resultado.
3. Nas demonstrações, pretende-se que o aluno identifique a hipótese e através de
uma cadeia de implicações, válidas e devidamente justificadas, atinja a tese.
No que se segue dão-se indicações sobre as respostas às perguntas, bem como a
distribuição da cotação por cada questão.
Note-se ainda que pode haver diversas formas de resolver acertadamente a mesma
questão, pelo que uma resolução diferente não está necessariamente errada.
1
1. Calcule, usando a regra de L’Hôpital:
 1
x 

a) lim 

log x 
x 1  log x
1
b) lim  
x 0  x 
(1 valor)
tgx
(1,5 valores)
Indicações de resposta:
a) Para aplicar a regra de l`Hôpital, começar por transformar a diferença em quociente e
proceder da forma seguinte:

derivar o numerador; (0,2 valores)

derivar o denominador; (0,5 valores)

calcular o limite (0,3 valores)
Resp: -1
b) Começar por transformar a expressão dada numa exponencial de base e. Obtém-se
e
log x
cot gx
. (0,5 valores)
Aplicar agora a regra de L’Hôpital a
log x
.
cot gx
(1 valor)
Resp: 0
2. Faça o estudo e esboce o gráfico da função real de variável real definida por


f ( x)  2 x 2  3 x  e  x
recorrendo a:

cálculo do domínio de f;

pesquisa de assímptotas;

cálculo de zeros;

estudo da monotonia e extremos;

estudo da concavidade e pontos de inflexão.
(5,5 valores)
2
Indicações de resposta:

Df=
 Assimptotas:
Horizontal: quando x+, y=0; quando x-, f +, (i.e., f não tem assimptota
horizontal)
f x 


  
Oblíqua: f não tem assimptota oblíqua  m  lim
x
x  


 Zeros: x=0 ou x=-1/2
 Monotonia; extremos
Recorrendo às regras de derivação, obtém-se f x    2 x 2  x  3 e  x .
Os zeros de f  são –1 e 3/2.
Recorrendo a um quadro para estudar o sinal de f  , verifica-se que em –1 há um
máximo e em 3/2 há um mínimo.


 Concavidades: pontos de inflexão
f x   2 x 2  5x  2 e  x


5  41
5  41
e b=
4
4
Recorrendo a um quadro para estudar o sinal de f  , verifica-se que em a e b há 2
pontos de inflexão e que f tem a concavidade virada para cima em ]-,a[  ]b,+ [ e
tem a concavidade virada para cima em [a,b].
Os zeros de f  são a=

Gráfico de f:
3. Considere a seguinte série:

x  52n1

4n
n 1
Para os valores reais de x que tornam a série convergente, calcule a sua soma e indique
o referido conjunto de valores de x.
(2 valores)
Indicações de resposta:
3

Começar por mostrar que a série é uma série geométrica:
2
1     x  5


x  5 n 1  4

x  52n1 =

Para a série ser convergente tem que ter-se

4n
n 1
n

 , com x  5 .


 x  5 2
4
 1 . Resolvendo a inequação,
obtém-se o intervalo de convergência ]-7,-3[\{-5}.

A soma da série no intervalo de convergência é s  
4 x  5 
1   x  5
2
.
4. Calcule as primitivas das seguintes funções:
log x
a)
(2 valores)
x  12
b)
1
x  2x  3
3
(2,5 valores)
Indicações de resposta:
a) Atender a que
Resp.: 
log x
x  1
= x  1 log x . Resolver a primitiva por partes.
2
2
log x
x
 log
C
x 1
x 1
b) Trata-se de uma primitiva de uma fracção racional. Começar por decompor o
denominador em factores.
Tem-se
1
1
P 3
=P
x  1x 2  x  3
x  2x  3
1
A
Bx  C
 2
Fazendo
=
, obtém-se
2
x  1x  x  3 x  1 x  x  3
1
1
2
A ; B ; C 
5
5
5
Substituindo estes valores e primitivando, a primitiva pretendida
1
1
2 11
 2 x  1   
é  log x  1   log x 2  x  3  3
arctg 
   C
5 
2
11
 11   


5. Represente graficamente e calcule a área da região do plano que satisfaz as
condições:
 y 2  2x  1

x  y  1  0
(3,5 valores)
4
Indicações de resposta:
Começar por representar graficamente a região, atendendo a que y 2  2 x  1 é uma
parábola cujo eixo de simetria é o eixo xx’ e x  y  1  0  y  x  1 .
Os pontos de intersecção das curvas são x=0 e x=4.
Tem-se:
A área da região é dada por
0
4
1 / 2
0
 2 2 x  1 dx  


2 x  1  x  1 dx
Recorrendo à fórmula de Barrow, obtém-se
6. Determine a função contínua
x3
log f ( x) 
2 5
9

5
3 2
2
f :  0    , que verifica
et
 f  t  dt
3
x  0
0
Sugestão: Derive ambos os membros da igualdade.
(2 valores)
Indicações de resposta:
O integral dado é um integral indefinido. Atendendo à sugestão dada e ao teorema
fundamental do cálculo integral, tem-se sucessivamente:

x3
t

  e
log f ( x)    3 dt 
0 f t

x3
x3
f x 
e
e
 3x 2

 3x 2 =
3
3
f x 
f x  f x
 
 
Como f(x)>0, então f x  3x 2  e x . Primitivando, vem f x  e x .
FIM
3
3
5