Apostila Cálculo III 2011

FACULDADE DE ENGENHARIA
ARQUITETURA E TECNOLOGIA
NOTAS DE AULA PARA ACOMPANHAR A
DISCIPLINA DE CÁLCULO III
Prof ª. Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido
Marília - SP
1º Semestre de 2011
Apostila de Cálculo III –Engenharia – Unimar – 1º Semestre 2011
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANTON, H. Cálculo – um novo horizonte. V. 1. 6 ª ed. Bookman: Porto Alegre. 2.000.
EDWARDS JR., C.H. & PENNEY, D.E. Cálculo com geometria analítica. V. 1 e 2. 4ª ed.
Prentice Hall: Rio de Janeiro. 1997.
FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M.B. Cálculo A. 5ª ed. McGraw- Hill: São Paulo. 1992.
FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M.B. Cálculo B. 2ª ed. McGraw- Hill: São Paulo. 1999.
GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 1. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987.
GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 2. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987.
GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 3. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2. 2ª ed. Harbra: São Paulo. 1986.
PISKUNOV,N.Cálculo diferencial e integral.V.1e2.6ªed.MIR:
Moscou.1977.
SWOKOWSKI. Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2. 2ª ed. McGraw-Hill: São
Paulo. 1984.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
- Aplicações da Integral Definida
Cálculo da área em coordenadas cartesianas
Cálculo de comprimento de arco
Cálculo da área de um sólido de revolução
Cálculo do volume de um sólido de revolução
Coordenadas polares: gráficos
Cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares
Cálculo de áreas planas em coordenadas polares
- Funções de várias variáveis
Definição
Representação geométrica de uma função de duas variáveis
Derivadas parciais da função de várias variáveis
Interpretação geométrica da função de várias variáveis
Derivação da função composta. Derivada total
Derivada parcial de ordem superior
- Integrais múltiplas
Integral dupla
Cálculo da integral dupla
Cálculo de áreas e volumes utilizando integrais duplas
Integral dupla em coordenadas polares
Substituição de variáveis em uma integral dupla
Integral tripla
Cálculo da integral tripla
Mudança de variáveis em uma integral tripla
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1. Aplicações da Integral Definida
Estudamos a integral definida e analisamos uma importante aplicação que é o cálculo
de Área de regiões planas.
Agora, outras aplicações da integral definida serão discutidas.
1.1 Comprimento de arco em coordenadas cartesianas
Seja f uma função suave (f e sua derivada f ’ são contínuas) em [a,b]. O comprimento de
arco do gráfico de f de A(a,f(a)) à B(b,f(b)) é dado por:
b
L   1  f ' x  dx
2
a
Obs: Podem ocorrer situações em que a curva é dada por x = g(y) em vez de y = f(x). Neste
caso, o comprimento do arco da curva de A(g(c),c) até B(g(d),d) é dado por:
d
L   1  g' y  dy
2
c
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Exercícios
1) Encontre o comprimento de arco do gráfico de (y – 1)³ = x² no intervalo [0,8].
(Resp. L  9,0734 u.c.)
2) Encontre o comprimento de arco da curva y = x2/3 do ponto (1,1) a (8,4).
(Resp. L  7,6 u.c.)
3) Encontre o comprimento do arco da curva 8y = x 4 + 2x -2 do ponto onde x = 1 ao ponto x = 2.
(Resp. L = 33/16 u.c)
1.2 Comprimento de arco uma curva plana dada por suas Equações Paramétricas
Vamos calcular o comprimento de arco de uma curva C, dada na forma paramétrica
pelas equações.
x  x ( t )

y  y( t ), t  t 0 , t 1 
onde x = x(t) e y = y(t) são contínuas com derivadas contínuas e x’(t)  0 para todo t  t 0 , t 1 
Neste caso, conforme vimos, estas equações definem uma função y = f(x), cuja
derivada é dada por f ' ( x ) 
dy y' ( t )

. Segue então, através de uma substituição, que:
dx x ' ( t )
b
L   1  f ' x  dx 
2
a
t1

t0
 y' t  
1 
 x ' ( t ) dt ,
 x' (t) 
2
onde t0 = a e t1 = b.
Portanto,
L
t1
2
2
 x ' ( t )  y' t 
dt .
t0
Exercícios
1) Ache o comprimento de arco da curva paramétrica x = t³/3 e y = t²/2 no intervalo [0,1].
(Resp. L = (2.2 – 1)/3  0,61 u.c.)
2) Calcular o comprimento de arco da hipociclóide x = 2.sen³t e y = 2.cos³t.
(Resp. L = 12 u.c.)
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1.3 Área de uma região plana
Vamos calcular área de uma região plana, sendo que as curvas que delimitam a região
são dadas na forma paramétrica.
Conforme vimos anteriormente, a área é dada por:
b
b
a
a
A   f ( x ) dx   y dx .
Fazendo a substituição x = x(t) e dx = x’ (t) dt, obtemos:
t1
A   y( t ).x ' ( t ) dt .
t0
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercícios
1) Determine a área da região compreendida entre a curva paramétrica x = t³, y = 2t² + 1,
- 1  t  1 e o eixo x. (Resp. A = 22/5 u.a.)
x  2. cos t
x  2. cos t
e 
.
y  4sent
y  sent
2) Calcular a área entre as elipses 
(Resp. A =
6 u.a.)
1.4 Volume de um Sólido de Revolução
Fazendo-se uma região plana girar em torno de uma reta do plano, o sólido resultante é
chamado sólido de revolução. A reta em torno da qual se processa a revolução é chamado
eixo de revolução.
Por exemplo, fazendo a região limitada pelas retas y = 0, y = x e y = 4 girar em torno do
eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cone.
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Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y = 3 girar em torno do eixo
dos y, obtemos um cilindro.
Consideremos agora, o problema de definir o volume do sólido T, gerado pela rotação
em torno do eixo dos x, da região plana R.
Seja f contínua em [a,b]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da
região delimitada pelos gráficos de f, de x = a, x = b e do eixo x é dado por:
b
V  . f x  dx .
2
(*)
a
A fórmula (*) pode ser generalizada para outras situações:
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I – A região R está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b.
Supondo f(x)  g(x),  x  [a,b], o volume do sólido T, gerado pela rotação de R em
torno do eixo dos x, é dado por:
b


V  . f x   gx  dx .
2
2
a
II – Ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região R gira em torno do eixo dos y.
Neste caso, temos:
d
V  . gy  dy .
2
c
III – A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.
Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos:
b
V  . f x   L dx .
2
a
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Se o eixo de revolução for a reta x = M, temos:
d
V  . gy   M  dy .
2
c
Exercícios
1) A região R, limitada pela curva y =
1 2
x , o eixo dos x e as retas x = 1 e x = 4, gira em torno
4
do eixo dos x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado. (Resp. V = 1023 /80 u.v.)
Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x.
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2) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada
pela parábola y =


1
1
13  x 2 e pela reta y = ( x  5) .(Resp. V = 64 /5 u. v.)
4
2
Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x.
3) Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região entre o
gráfico da função y = senx e o eixo dos x, de 
3

e até
. (Resp. V = ² u.v.)
2
2
Na figura, vemos a região R e o sólido T gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x.
4) A região R, delimitada pela parábola x =
1 2
y  1 e pelas retas x = -1, y = -2 e y = 2 gira em
2
torno da reta x = -1. Desenhe e determinar o volume do sólido de revolução obtido.
(Resp. V = 448 /15 u.v.)
1.5 Área de uma Superfície de Revolução
Quando uma curva plana gira em torno de uma reta no plano, obtemos uma superfície
de revolução.
Vamos considerar o problema de determinar a área da superfície de revolução S, obtida
quando uma curva C, de equação y = f (x), x  [a,b], gira em torno do eixo dos x (ver Figura a
seguir).
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Definição: Seja C uma curva de equação y = f (x), onde f e f ’ são funções contínuas em [a,b] e
f (x)  0,  x  [a,b]. A área da superfície de revolução S, gerada pela rotação da curva C
ao redor do eixo dos x, é definida por
b
A  2. f ( x ). 1  f ' x  dx .
2
a
OBS: Se a curva girar em torno do eixo dos y, a área será dada por:
d
A  2. g( y). 1  g' y  dy
2
c
Exercícios
1) Ache a área do parabolóide, obtido pela revolução do arco de parábola y = x², 0  x  2, em
torno do eixo do x.
(Resp. A = 13 / 3 u.a.)
2) Ache a área da superfície gerada pela revolução da curva 3x = y³, 0  x  9, em torno do
eixo do y.
(Resp. A  258,8468 u.a.)
1.6 Coordenadas Polares
No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da
medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa.
A Figura a seguir ilustra um ponto P num sistema de coordenadas polares.
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O ponto fixo, denotado por O, é chamado pólo ou origem.
O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r,), onde r representa a
distância entre a origem e o ponto P, e  representa a medida, em radianos do ângulo
orientado AÔP.
OBS: (i)  > 0  o ângulo AÔP está descrito no sentido anti-horário.
(ii)  < 0  o ângulo AÔP está descrito no sentido horário.
(iii) (0, ), , representa o pólo ou origem.
As coordenadas polares (r,) estabelecem a posição do ponto P em relação a uma
grade formada por círculos concêntricos com centro em O e semi-retas partindo de O:
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Exercício Marque o ponto tendo o conjunto dado de coordenadas polares:


(a)  3,
2 

3 


5 
6 


(b)   4,  
(c)  4,
5 

4 


(d)   2,
4 

3 
1.6.1 Conversão de coordenadas polares
y
(x,y) : coordenadas cartesianas
(r,) : coordenadas polares
x
Ás vezes pode ser necessário converter a representação cartesiana para a polar; ou
vice-versa. Para visualizar isto, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o pólo do
segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x e o raio para o qual  

com o eixo
2
positivo y.
Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas
polares (r, ), vamos analisar o caso em que o ponto P está no primeiro quadrante.
Observemos que:
1) r > 0  cos  =
ca x

h
r
e
sen  =
co y

h
r

2) r < 0  cos  =
ca  x x


h
r r
e
sen  =
co  y y


h
r r
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x  r. cos 
(*)

y  r.sen
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Elevando (*) ao quadrado e somando ambos temos:
x² + y² = r².cos² + r².sen² = r².(cos² + sen²) = r².
r=
x 2  y2 .
OBS : tg  = y / x   = arct (y/x).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercícios
1) Encontre as coordenadas cartesianas retangulares de cada um dos seguintes pontos cujas
coordenadas polares são dadas:
(a) (4,
1
)
6
(b) (2, 
Resp. (23, 2)
3
)
4
(c) (- 4,
Resp. (-1,-1)
2
)
3
(d) (- 2,
7
 )
4
Resp. (- 2, 22)
Resp. (2, -23)
2) Encontre um conjunto de coordenadas polares para cada um dos seguintes pontos cujas
coordenadas cartesianas retangulares são dadas. Tome r > 0 e 0   < 2.
(a) (1, - 1)
(b) (- 3, 1)
Resp. (2, 315º)
3) Marque o ponto (2,
(c) (2,2)
Resp. (2, 150º)
(d) (- 2,- 23 )
Resp. (22, 45º)
Resp. (4, 240º)
1
 ) tendo o conjunto dado de coordenadas polares; depois encontre
2
outro conjunto de coordenadas polares para o mesmo ponto, tal que:
(a) r < 0 e 0   < 2
Resp. (-2,
3
)
2
(b) r > 0 e - 2 <   0
Resp. (2,

(c) r < 0 e - 2 <   0
3
)
2
Resp. (-2,

1
)
2
4) Obtenha uma equação cartesiana do gráfico tendo a equação polar r² = 2.sen2.
(Resp. (x² + y²)² = 4xy)
5) Encontre a equação polar do gráfico tendo a equação cartesiana (x² + y²)² = 4.( x² - y²).
(Resp. r² = 4.cos2)
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1.6.2 Gráficos de Equações com Coordenadas Polares
O gráfico de F(r, ) = 0 é formada por todos os pontos cujas coordenadas polares
satisfazem a equação. É comum apresentarmos a equação numa forma explícita; isto é,
r = f ().
Os seguintes procedimentos poderão nos auxiliar no esboço do gráfico:
(i) Construir uma tabela a partir de valores de  (0, 
6
,  ,  ,  , ... ) selecionados;
4
3
2
(ii) Encontrar os valores de  para os quais a curva passa pelo pólo;
(iii) Verificar simetria. A simetria do gráfico de uma equação polar pode ser freqüentemente
constatada fazendo-se substituições convenientes na equação e testando para ver se a nova
equação é equivalente à original. A tabela seguinte mostra algumas substituições que
acarretam a simetria indicada.
Substituições
Simetria
(r, ) por (r, - )
Eixo - x
(r, ) por (- r, )
Origem
(r, ) por (r,  - )
Eixo - y
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercícios Esboçar o gráfico das seguintes funções:
1) r = 2
4) r = 1- 2.cos
6
2) r = 1 + 

5) r = 4.cos2
3) r = 3 + 2.sen
1.6.3 Comprimento de arco em coordenadas polares
O comprimento de arco da curva por r = f () entre  =  e  =  é dado por

L
f ' ()2  f 2
d

desde que f ’ exista e seja contínua no intervalo [,].
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Exercícios
1) Encontre o comprimento de arco de  = 0 a  =  da cardióide r = 2.(1 - cos ).
(Resp. L = 16 u.c.)
2) Determine o comprimento da espiral de equação r = e/2, de  = 1 a  = 2.
(Resp. L  2,4 u.c.)
1.6.4 Áreas em Coordenadas Polares
Queremos encontrar a área A, da Figura delimitada pelas retas  =  e  =  e ela
curva r = f (), que é dada por:
1 
2
A  . f  d
2
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercícios
1) Encontre a área da região limitada pela cardióide r = 2 + 2 cos.
(Resp. A = 6 u.a.)
2) Encontre a área de uma pétala da rosácea dada por r = 3.cos3.
(Resp. A  3 /4 u.a.)
3) Encontrar a área da região entre os laços interno e externo da limaçon r = 1 - 2.sen.
(Resp. A  8,34 u.a.)
4) Encontre a área da região comum limitadas pelo círculo r = - 6.cos e pela cardióide
r = 2- 2.cos.
(Resp. A = 5 u.a.)
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