o método de Levi em sala de aula

O MÉTODO DE LEVI EM SALA DE AULA
Thiago Formehl (IC/Voluntário-UNICENTRO), Edilson Roberto Pacheco (Orientador),
e-mail: [email protected]
Palavras-chave: História da Matemática, Educação Matemática, raiz quadrada.
Resumo:
Neste trabalho relata-se a aplicação do método de Levi Ben Gershon (1288-1344)
para extração de raízes quadradas em sala de aula em um colégio público de
Guarapuava. Observou-se que se tratou de um procedimento inovador,
considerando que os alunos realizam este tipo de cálculo somente com o auxílio da
calculadora, sem conhecimento de um procedimento matemático. Além disso, o
método pode ser utilizado como exercício de interpretação e ser relacionado com
outras disciplinas.
Introdução
Para alguns autores o ensino e aprendizado da Matemática podem ser
desenvolvidos integrando História da Matemática com Educação Matemática,
recurso que vem sendo utilizado em vários âmbitos.
Segundo Fasanelli (2000 apud Baroni e Bianchi 2007) a forma como a história
da matemática pode ser apresentada possibilita apurar o interesse dos alunos pela
matemática e estimulá-los a pensar, fazendo-os desvendar os conceitos em
questão.
Tzanakis e Arcavi (2000, p.210) apontam vantagens da utilização da história
da matemática no ensino da matemática, dentre elas, introdução de conceitos,
métodos ou provas, aprofundamento, bem como comparação de conteúdos.
Nesse sentido pode ser caracterizado um estudo sobre o método de Levi Ben
Gershon, um exegeta judeu francês, que desenvolveu estudos originais na França
do século XIV, dentre eles, um procedimento para extração da raiz quadrada de um
quadrado perfeito.
Materiais e Métodos
A atividade foi desenvolvida em uma turma com 17 alunos da 3° série do Ensino
Médio de um colégio público, em Guarapuava (PR), durante um período de 5 horasaula.
Primeiramente, foi perguntado aos alunos se conheciam algum algoritmo para
extrair raízes quadradas de quadrados perfeitos. A seguir, fez-se um breve
comentário histórico sobre a invasão árabe da Península Ibérica, Levi Ben Gershon
e o contexto em que ele viveu. Cada aluno recebeu, então, uma folha com a
descrição do algoritmo (abaixo), constante em Langermann e Simonson (2000) para
determinação da raiz quadrada de, por exemplo, 1522756.
Outros exemplos foram desenvolvidos nesse período e, ao final, foi pedido
que aplicassem o método ao número 74563225, cuja raiz quadrada é 8635.
Modelo do texto entregue aos alunos:
Método de Levi Ben Gershon (1288-1344)
Para Extração de Raízes Quadradas
“Com o objetivo de extrair a raiz quadrada de um quadrado perfeito, escreva o número em
uma fila de acordo com seus níveis, e examine o último nível para ver se é ímpar. Se não for
ímpar, então puxe o dígito do nível anterior a este, de forma que o último dígito seja de um
nível ímpar. Posteriormente, encontre a raiz mais próxima a esse número, mas ainda menor
que ele, e escreva a raiz desse quadrado embaixo na fila da raiz, sob fila prévia, no nível
médio entre o primeiro e último níveis. Isso é o que chamamos fila resultado. E o quadrado
dessa raiz é subtraído da linha topo, e o que permanece é dividido por duas vezes a raiz.
Mas tome cuidado que depois da divisão, ainda permanece uma quantia tão grande quanto
o quadrado da raiz que resultou da divisão. Então escreva esse resultado na fila raiz, no
nível do qual a distância do nível que você dividiu é igual à distância daquele nível ao
primeiro nível. Agora tome esse resultado e multiplique isso por duas vezes a raiz que
existe, e por ele mesmo. O resultado é subtraído da linha topo. Então você deve fazer isso
até não haver coisa alguma deixada na linha topo”
Resultados e Discussão
Quando questionados sobre o conhecimento de outros métodos para extrair a raiz
quadrada de um quadrado perfeito, os alunos responderam que o único meio que
conheciam era por decomposição do número dado em fatores primos.
No início, interpretaram com certa facilidade o que eram os “níveis” descritos
no método e, assim, desenvolveram a primeira parte do algoritmo. A dificuldade,
entretanto, foi utilizar o dígito seguinte da “fila resultado” na parte do método “Agora
tome esse resultado e multiplique isso por duas vezes a raiz que existe, e por ele
mesmo”, devido à dificuldade na interpretação que um zero deveria ser acrescido à
atual raiz. Esta dúvida foi sanada posteriormente, em outros exemplos. Além disso,
dificuldade também foi verificada para expressar esse passo numa equação, o que
se repetiu a cada iteração realizada.
Somente a partir de exemplos mais simples, a parte do método “Mas tome
cuidado que depois da divisão, ainda permanece uma quantia tão grande quanto o
quadrado da raiz que resultou da divisão” tornou-se mais clara para os alunos.
A dificuldade de interpretação também se verificou na parte do método “Então
você deve fazer isso até não haver coisa alguma deixada na linha topo”, já que os
alunos repetiram o algoritmo desde o início.
Alguns alunos dependiam totalmente do uso da calculadora, mesmo nas operações
mais básicas, o que provavelmente justifica o fato de terem apresentado uma
resposta correta sem utilizar o algoritmo corretamente.
Conclusões
A utilização da História da Matemática, neste caso, coaduna-se com o que vem
sendo diversificado em suas categorias de apresentação (VIANNA, 1995). Aqui o
fator motivacional, a informação e a estratégia didática se configuram na atividade
proposta e desenvolvida.
Cálculos para determinação de raízes quadradas são comumente efetuadas
com o auxílio de calculadora, o que se configura como procedimento mecânico e, na
maioria das vezes, sem contextualização.
Pelo relato feito por alguns alunos notou-se que se tornou interessante a
utilização de um método histórico para realizar cálculos, mesmo se verificando que
uma parte considerável dos alunos não efetua com facilidade as operações básicas
inerentes ao método e apresentaram dificuldade na interpretação.
A extração da raiz quadrada de um quadrado perfeito pela decomposição em
fatores primos, pode se tornar trabalhosa ao se tratar de um número de nove ou dez
dígitos, o que torna o método de Levi vantajoso neste caso.
O método pode ser testado para outros conjuntos numéricos, questão
proposta pelos alunos. Além da matemática, conteúdos de outras disciplinas podem
ser abordados ao se trabalhar o método de Levi em sala de aula, como, por
exemplo, o contexto histórico e geográfico dos judeus na Península Ibérica e
aspectos biográficos da figura desse estudioso, pouco conhecido.
Referências
1.
Baroni, R. L. S.; Bianchi, M. I. Z. (História da Matemática em Livros Didáticos).
Pacheco, E. R.; Valente, W. R. (orgs.). Guarapuava: Sociedade Brasileira de
História da Matemática, 2007, 62. (História da Matemática para Professores).
2.
Langermann, Y.; Simonson, S. (The Hebrew Mathematical Tradition) In: H. Selin
(ed.) Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics:
Kluwer Academic Publishers, 2000, 167-188.
3.
Pacheco, E. R. (Sobre Condição Judaica e Matemática) Tese de Doutorado,
Universidade Estadual Paulista, 2006.
4.
Tzanakis, C.; Arcavi, A. (Integrating History of mathematics in the classroom: na
analytic survey). In FAUVEL, J.; Maanen, J. van. History in Mathematics
Education: The ICMI Study. Dordrecht/London: Kluwer Academic Publishers, vol.
6, 2000, 201-240.
5.
Vianna, C. R. (Matemática e História: Algumas relações e implicações
pedagógicas). Dissertação de Mestrado, Universidade de São Paulo, 1995.