1) (U.F.MG) - Um quadrilátero convexo tem suas diagonais AC e BD

MATEMÁTICA II – 2a ETAPA/ UFMG
(Questões abertas)
 GEOMETRIA PLANA
================================================================================
1) (U.F.MG) - Um quadrilátero convexo tem suas diagonais AC e BD perpendiculares .
Prove que (AB)2 + (CD)2 = (AD)2 + (BC)2 .
2) (U.F.MG) – Na figura , os ângulos AP1B , AP2B e ABP2 , medem respectivamente 60o ,
45o e 900 . Se P1P2 = 2 , calcule o comprimento AB .
3 3
)
4
3) (U.F.MG) - Na figura , ABCD é um paralelogramo e MA = 1 cm , AB = 2 cm , AD =
= k cm e os ângulos DMA (de vértice M) e ACB (de vértice C) são iguais . Calcule o
valor de k .
(Resp. : AB =
(Resp. : k = 2 )
4) (U.F.MG) – Os raios dos círculos de centros A e B medem 3 m e 3 3 m respectivamente e a distância AB mede 6 m . Calcule a área da região comum aos mesmos .
(Resp. : A =
15
- 9 3
2
m2 )
5) (U.F.MG) - Em um triângulo ABC , M e N são pontos médios dos lados AB e AC , respectivamente . Duas retas paralelas passam por M e N e cortam o lado BC em Q e P , respectivamente . Prove que a soma das áreas dos triângulos BQM e CPN é a quarta parte da área do triângulo ABC .
6) (U.F.MG) – Dado um triângulo de lados BC = a , AC = b e AB = c , mostre que a
1
2(b 2  c 2 )  a 2 .
mediana relativa ao lado BC é igual a
2
7) (U.F.MG) - Observe a figura .
Nessa figura , ABCD é um quadrado de lado a , F é o ponto de tangência da diagonal
BD com a semicircunferência de centro E . calcule o raio da semicircunferência
em função de a .
(Resp. : raio = a( 2 - 1) )
8) (U.F.MG) - Observe a figura .
Nessa figura , B é o ponto médio do segmento DE e ABCD é um retângulo de lados
DC = 1 e AD = 2 . Calcule a medida do segmento AE .
(Resp. : AE = 2 2 )
9) (U.F.MG) - Observe a figura .
Nessa figura , as retas r , s e t são paralelas ; a distância entre r e s é 1 ; a distância
entre s e t é 3 ; EF = 2 e FG = 5 . Calcule a área do quadrilátero ABCD .
88
(Resp. :
)
3
10) (U.F.MG) - Observe a figura . Nessa figura , os segmentos BC e DE são paralelos .
Sendo A1 e A2 as áreas dos triângulos ABC e BCD , respoectivamente , sabe-se
A
A
5
que 1 
. Considerando A3 a área do triângulo DCE , calcule o valor de 3 .
A2
3
A2
(Resp. :
A3 8
 )
A2 5
11) (U.F.MG) - Observe a figura . Nessa figura , O é o centro do semicírculo de diâmetro
1
1
2
AD , AC = CO , BÂD =  e BCD =  . Demonstre que
.


tg tg 2 tg