2º Exame

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
MECÂNICA DOS MEIOS CONTÍNUOS
2º Exame – 10 de Julho de 2004
Observações:
1) Resolver os Problemas em folhas separadas.
3) Não podem ser consultados quaisquer elementos de estudo para além do formulário fornecido.
4) A duração total do Exame é de 3 horas.
1º Problema (10.5 val)
A placa rectangular ABCD, com 10 cm de espessura, deslocou-se para a posição A’B’C’D’ conforme
representado na figura.
a
2
c
b
D’
D
C
0.8
(3)
C’
B
A
1.0
Aço:
E = 200 GPa
 = 0.3
d
B’
A’
1
0.5
0.5 (m)
(2.0) a) Sabendo que a placa está submetida a um estado de deformação homogéneo, definido no sistema de
1 1 0
eixos x1, x2, x3 por [ij] =  1 1 0  x10-4, obtenha o vector rotação de corpo rígido e determine os
0 0 0
valores a, b, c e d indicados na figura.
(1.0) b) Determine as componentes de tensão na placa referidas ao mesmo sistema de eixos.
Posteriormente, a placa foi submetida a uma 2ª solicitação caracterizada por V
referidas ao sistema de eixos x’1, x’2, x3, dadas por:
[’ij
2ª sol.
 -10 -5 0 
] =  -5 ’ 0  MPa.
 0 0 -10 
2ª sol.
= -10-5 m3 e por tensões,
2
2’
1’
(3)
NOTA: Se não conseguir obter o valor de ’22
2ª sol.
, admita ’22
2ª sol.
30º
1
= -42.5 MPa.
Para a actuação simultânea das duas solicitações determine:
(2.0) c1) as tensões e direcções principais;
(1.0) c2) a distorção máxima e as direcções entre as quais essa distorção se verifica;
(1.0) c3) As forças distribuídas ao longo da fronteira AB.
(2.0) d) Mostre que, caso não se verifique qualquer simetria material, as características do comportamento de
um sólido elástico de Hooke dependem de 21 constantes elásticas independentes.
(1.5) e) O teorema dos trabalhos virtuais permite escrever:

XjujdV + 
tjujdS  
ij ijdV = 0.
V
S
V
Refira o significado dos três termos na equação acima e diga, justificando, quais as relações
constitutivas admitidas na sua demonstração.
2º Problema (5.5 val.)
Considere o seguinte campo de deslocamentos em coordenadas lagrangeanas:
u1 = X1 [exp(t) –1],
u2 = X2 [exp(-t) –1],
u3 = 0
(Xi em [m], t em [s], ui em [m]).
(1.5) a) Calcule a velocidade e a aceleração do movimento nas descrições material e espacial.
Na resolução das alíneas seguintes considere: v1 = x1, v2 = - x2.
(1.5) b) Determine as linhas de corrente e represente-as esquematicamente.
(1.0) c) Determine as componentes do tensor taxa de deformação e do tensor da vorticidade.
(1.5) d) Particularize as equações de Navier Stokes para o caso do escomento permanente e irrotacional.
3º Problema (4.0 val.)
Maxwell
Considere a barra representada, na qual se pode admitir que AB é um corpo de
Maxwell e BC um corpo de Kelvin (E = 30 GPa e = 107 GPa.s). Para a
A
história do carregamento representada:
4m
(2.0) a) determine os deslocamentos do ponto C nos instantes:
t0 = 0, t1 = t1 = 1 dia, e t2 = .
(2.0) b) Diga, justificando, se a barra AB permite modelar correctamente o
comportamento do betão submetido ao carregamento indicado.
Kelvin
C
B
2m
P
t
t1
FORMULÁRIO
T’rs = air ajs Tij ,
ij,i + Xj = 0 ,
R=
Tij = air ajs T’rs ,
tj = ij ni ,
j (n) = ij ni ,



T12
2 = arcsin  R  ,  =
 


 . - n2 , OC =
T11 + T22
2
d 



ij = (ui,j + uj,i) ,
ij = (ui,j - uj,i),
dt = t + vkxk ,


dx1 dx2 dx3


Vij = (vi,j - vj,i) ,
i = eíjk Vkj,
v1 = v2 = v3 = dt,




(ijijT) +
(  T) ij ,

 kk kk
ij = 2 (ijijT) +  (kkkkT) ij ,
d
ij = -p ij +2 Dij + Dkk ij , dt +  vk,k = 0 ,
W = 
 ijdij ,
ij,i + bj =  aj
,
1 t
 = 0 (E + ) ,

U=
WdV ,
V
du
 dt = íj Dij - qj,j + r,
 = 0 exp(-


ij = E ij -E kk ij + ijT ,
kk
T
3 = K ( ),
K=
ijt = 2G (ijtijt T),
E
3(1-2

XjujdV + 
tjujdS - 
ij ijdV = 0
V
S
V
vj
-p,j + (vi,ji + vj,ii) +  vk,kj + bj = 
+  vj,k vk
t
E
E 
 
t) ,  = E 1 - exp(- t) .

 


aij = cos (e i , e'j ) , n =  . n
T = A T’ AT,
T122 + T - OC,

Dij = (vi,j + vj,i) ,

ij =
T’ = AT T A ,
  kk