pontifícia universidade católica do rio de janeiro

TEORIA DOS JOGOS
Professor: Antônio Marcos Hoelz Ambrózio
Monitor: Christiam Gonzales
Entregar os exercícios 1, 2 e 4 até 10/11.
5ª Lista de exercícios
Parte I:Desenho de Mecanismo
Questão 1) Suponha que o FMI deve decidir o montante de empréstimo k a ser feito para
um certo país em desenvolvimento. Esse país tem uma função de produção dada por A.f(k),
onde f é uma função diferenciável, estritamente crescente e côncava, com f(0)=0, e A
reflete o potencial de crescimento do país (qualidade das instituições, etc). Suponha que A
possa assumir dois valores, A1 (com chance p) ou A2 (A1>A2). Para um dado contrato (R,k)
oferecido pelo FMI, onde R é o montante de repagamento e k o montante de empréstimo, a
utilidade do país de tipo i é dada por Ui = Ai.f(k) – R, e a utilidade do FMI é dada por
V = R – (1+r).k (onde r é o custo de captação do FMI). A utilidade de reserva do país,
independente de seu tipo, é dada por zero. Suponha ainda que pegar empréstimo e não fazer
o repagamento prometido é arbitrariamente custoso (ou seja, um governo que aceita um
determinado contrato deve necessariamente cumpri-lo). A sequência do jogo é a seguinte: o
FMI oferece o contrato (ou menu de contratos), o país observa e decide se aceita (no caso
de um menu de contratos, escolhe qual) ou não.
a) Desenhe as curvas de indiferença para os dois tipos de país (associadas ao nível de
utilidade 0) e a curva de indiferença do FMI no plano (eixo y=R , eixo x=k).
Explique intuitivamente o formato dessas curvas e indique a direção de crescimento
das utilidades.
b) Suponha informação completa. Caracterize a solução de first-best (contratos ótimos
de informação completa) e represente graficamente. Que país deve receber um
maior nível de empréstimo?
c) Seja agora informação assimétrica, onde o País conhece seu tipo (ou seja, qual é o
seu Ai), mas o FMI conhece apenas a distribuição de probabilidade p. Se ambos os
contratos da solução first-best forem oferecidos, algum tipo irá invejar o contrato
ótimo do outro tipo? Mostre no gráfico.
d) Escreva o problema que o principal (FMI) deve resolver para maximizar sua
utilidade esperada nesse contexto de informação assimétrica (assuma que o
principal deseja que ambos os tipos recebam empréstimo).
e) Explique suscintamente o trade-off entre renda extra e eficiência nesse modelo com
informação assimétrica.
Questão 2) Seja uma economia onde um agente com renda inicial W estritamente avesso
ao risco se depara com duas possibilidades: ele pode sofrer um acidente (estado ruim) – e
então sua renda se reduz para (W – L) – ou não sofre acidente (estado bom), continuando
com renda W. Suponha que este agente pode ser de dois tipos: com probabilidade q o
agente é do tipo eficiente, tendo uma probabilidade de sofrer acidente baixa pl, enquanto
que com a probabilidade (1-q) ele é ineficiente, com uma alta probabilidade de sofrer
acidente, ph. O agente sabe seu tipo.
Considere que o mercado de seguros seja composto por uma única firma
monopolista, neutra ao risco (onde a firma conhece as probabilidades mas não exatamente
qual o tipo do agente). O contrato de seguro consiste em um par (A,B), onde A é o prêmio
pago e B o pagamento líquido feito ao segurado em caso de acidente. Assim, se um agente
cuja probabilidade de sofrer acidente é p acerta um contrato (A,B) com a firma (lembre que
nesse tipo de modelo a parte menos informada joga primeiro, ou seja, a firma oferece os
contratos), sua utilidade esperada será [(1-p).U(W-A) + p.U(W-L+B)] e o lucro da firma
será [(1-p)A-p.B]. Note ainda que nenhum contrato pode deixar o segurado com utilidade
esperada menor que aquela que ele tem quando não faz seguro algum (justamente a
utilidade de reserva do agente). Definindo Wb e Wr como as rendas nos estado bom e ruim,
respectivamente, responda ao que se pede:
a) Desenhe as curvas de indiferença de ambos os tipos no plano (Wr, Wb) que passam
pelo ponto de dotação inicial dos agentes (ou seja, o ponto sem seguro). Qual dos
dois tipos tem a CI mais inclinada nesse ponto? Por quê?
b) Suponha que haja informação simétrica. Caracterize graficamente a solução ótima
(first-best). Algum tipo inveja o outro? Qual? Explique.
c) Suponha agora que há informação assimétrica. Caracterize o problema que a firma
deve resolver se quer que ambos os tipos participem do mercado.
d) Explique intuitivamente qual deve ser a solução do problema acima.
Questão 3) Algumas relações Principal – Agente são caracterizadas por um problema de
informação assimétrica sobre a ação: assim, embora o tipo do agente possa ser conhecido,
este Agente faz alguma escolha durante a transação econômica que não é observável (e
logo não pode ser especificada em contrato) pelo Principal. O problema do Principal então
é desenhar os termos do contrato a fim de induzir o agente a escolher uma determinada
ação que queira implementar.
Um exemplo típico desse problema é descrito a seguir: considere a relação entre um
proprietário de terra (Principal) e um agricultor (Agente). Suponha que o proprietário seja
neutro ao risco e o agricultor seja avesso ao risco com função utilidade dada por u(w,e) =
w - e . O agricultor decide se realiza um nível alto (e=1) ou baixo (e=0) de esforço, sendo
que a produção depende do esforço do agricultor e também das condições climáticas. Mais
especificamente, o resultado obtido pode ser bom, com o valor da produção igual a 10 ou
ruim , com valor da produção igual a 5. A probabilidade de se obter um resultado bom é de
2/3 caso o agricultor escolha alto esforço e de 1/2 caso a escolha seja baixo esforço.
Suponha finalmente que o agricultor tenha utilidade reserva igual a 2.
a) Se o esforço for observável e contratável, qual deve ser o salário que o proprietário
deve pagar a fim de induzir o esforço eb? E para induzir o esforço ea?
b) Suponha que esforço não seja observável, mas apenas a produção. Qual o contrato
ótimo que deve ser oferecido a fim de induzir esforço baixo?
c) Ainda supondo que esforço não seja observável, mas que apenas a produção seja,
escreva o problema que o principal deve resolver se deseja induzir esforço alto.
d) O que deve se alterar no contrato ótimo do item (c) caso a desutilidade do esforço
alto seja maior que 1?
Parte II: EBP
Questão 4) Considere o seguinte jogo dinâmico de informação imperfeita:
1
R
L
M
2
L’
2, 1
R’
0, 0
1, 3
L’
0, 0
2
R’
0, 1
a) Defina o espaço estratégico de cada jogador. Escreva este jogo na forma
normal.
b) Encontre todos os EN em estratégias puras deste jogo.
c) Encontre todos os ENPS deste jogo. Discuta as diferenças deste resultado
com o do item anterior.
d) Defina Equilíbrio Bayesiano Perfeito. Encontre os ENBP deste jogo.
Questão 5) Exercícios do Gibbons: 4.1, 4.2 e 4.3.