Apostila Geometria André

PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
OS ELEMENTOS BÁSICOS DA GEOMETRIA

Os elementos básicos do estudo da
Geometria são ideias de ponto, reta e plano. No nosso
dia-a-dia usamos essas palavras em diversas
ocasiões, e com diversos significados, tais como:
plano 
A Semi-reta
Se pudéssemos cortar uma reta ao meio e
ficar apenas com a sua metade, teríamos o que
chamamos de semi-reta e o ponto onde a reta foi
cortada seria o ponto de origem da semi-reta.
Graficamente, uma semi-reta pode ser
representada pela figura a seguir:
A
– Esse é o ponto de partida para a execução do
projeto.
– A que ponto chegamos!
– Estamos na reta final do trabalho.
– Eu tenho um plano!
Sob o ponto de vista da Geometria, no
entanto, essas palavras têm significados muito
específicos. Contudo, apesar de serem conceitos
importantes, são difíceis de serem definidos por serem
intuitivos.
Tente dar uma definição de um deles:
– O que é reta?
O
semi-reta OA
O Segmento de Reta
Vamos considerar a figura a seguir que representa
uma reta que contém os pontos A e B.
B
A
O
O PPO
ON
NTTO
O,, A
AR
REETTA
A EE O
O PPLLA
AN
NO
O
A parte da figura que fica entre os pontos A e B,
incluindo os pontos A e B, é o que chamamos de
segmento de reta. Neste caso, A e B são chamados
extremidades do segmento AB.
O ponto, a reta e o plano não existem no
mundo real: um grão de areia, uma vareta ou um
tampo de mesa nos dão uma ideia de ponto, de reta e
de plano. Mas nunca vimos um grão que não tenha
volume (por menor que ele seja), uma vareta que não
tenha espessura e se prolongue indefinidamente, ou
um tampo de mesa que se prolongue em todas as
direções.
Para trabalhar com esses conceitos,
precisamos raciocinar de forma a evitar erros.
Queremos encontrar propriedades que sejam
verdadeiras.
Justamente porque ponto, reta e plano não
existem no mundo real, é importante que usemos
certas regras que permitam dizer se nossas
conclusões são verdadeiras ou não. Nem sempre os
nossos sentidos, ou o nosso bom senso, nos levam a
conclusões válidas, como você verá nos exemplos a
seguir.
O po nto
Graficamente,
um
ponto
pode
ser
representado pela figura “”, e é indicado por letras
maiúsculas do nosso alfabeto. Assim, temos:
A reta
Na figura 1 a seguir, com o auxílio de uma
régua, veja se as linhas que ligam M a N e P a Q são
linhas retas.
Uma reta é uma figura com infinitos pontos.
Graficamente, uma reta pode ser representada pela
figura a seguir, e é indicada por letras minúsculas do
u
nosso alfabeto.
reta u
N
M
Podemos também indicar uma reta pelos
pontos que pertencem a ela. Por exemplo: se uma
reta contém os pontos A e B, podemos indicá-la por:
Q
P
reta AB ou simplesmente reta AB, quando especificado
que AB é uma reta.
Fig. 1
Quando três ou mais pontos pertencem à
mesma reta, eles são chamados de pontos colineares.
Na figura 2 abaixo, qual das linhas é maior: a
horizontal ou a vertical?
O plano
Graficamente,
um
plano
pode
ser
representado pela figura a seguir (um paralelogramo),
e é indicado por uma letra minúscula do alfabeto
grego:  (alfa),  (beta),  (gama),  (delta) etc.
1
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GEOMETRIA
representação 
Fig. 2: Qual é a maior linha?
Bem, se por um lado não podemos confiar
apenas no bom senso e na intuição, por outro, eles
são muito importantes. Isto porque em Geometria,
algumas afirmações são aceitas como sendo
verdadeiras sem quaisquer contestações, pois são
situações bastante intuitivas.
Veja a seguir algumas dessas afirmações.
uv=P
indicação  u  v
OBS.: Há um caso
particular de retas concorrentes
que são as retas que se cruzam formando quatro
ângulos congruentes (iguais); a representação deste
caso lembra a figura do sinal de mais (+).
u
indicação 
Medida de um segmento de reta
Determinar a medida de um segmento de reta é medir
o seu comprimento, ou seja, dizer qual é o seu
tamanho. Para isso, precisamos de uma unidade de
medida, que é o que tomaremos por comparação
(medir quer dizer comparar), como por exemplo: o
palmo, o passo, a jarda, o metro, o quilômetro etc.
Observe a figura a seguir.
X
v
representação 
 Por um único ponto passam inúmeras retas.
 Por dois pontos distintos (ou seja, diferentes),
passa uma única reta.
uv
Retas Coincidentes
Duas retas são ditas coincidentes quando têm
mais de um ponto em comum.
representação 
v
uv=u
ou
uv=v
u
indicação 
Y
uv
Retas Reversas
Duas retas são ditas reversas quando não
possuem pontos em comum e se encontram em
v
planos diferentes. Observe.
u
A
B
Q
P
u
Tomando como unidade de medida o segmento u,
você seria capaz de dizer as medidas dos segmentos:
XY 
PB 
PQ 
No desenho acima, temos um cubo, uma
figura com várias faces. As retas u e v estão em faces
diferentes e não se cruzam.
PPO
OSSIIÇ
ÇÕ
ÕEESS R
REELLA
ATTIIVVA
ASS D
DEE D
DU
UA
ASS R
REETTA
ASS
E
EXXEERRCCÍÍCCIIO
OSS
Num mesmo plano, duas retas podem ser:
paralelas, concorrentes ou coincidentes. E, quando
em planos diferentes, podem ser, também, reversas.
Veja.
11.. Diga se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou
falsa.
 Por um ponto passam infinitas retas.
 Por três pontos dados passa uma reta.
 Quatro pontos dados, todos distintos, determinam
duas retas.
 Se dois pontos distintos A e B pertencem às retas r e
s, então r = s.
 Duas retas distintas que têm um ponto em comum
são concorrentes.
 Quatro pontos distintos, sendo três deles colineares,
determinam quatro retas.
Retas paralelas
Duas retas são ditas paralelas quando não
têm pontos em comum.
u
v
representação 
uv=
indicação 
u // v
22.. Dados três pontos distintos de uma reta, quantos
Retas Concorrentes (ou secantes)
Duas retas são ditas concorrentes (ou
secantes) quando têm apenas um ponto em comum.
segmentos distintos eles determinam?
33.. Marque numa folha quatro pontos distintos, três a três
não colineares. Quantas retas podemos traçar passando por
dois desses pontos?
u
P
v
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44.. Dados dois pontos distintos, A e B, quantos segmentos
há com extremidades A e B? Quantos segmentos há que
passam pelos pontos A e B?
55.. Faça um desenho onde constem os pontos A, B, C, D e
E, e retas r e s, satisfazendo ao mesmo tempo os itens a
seguir:
 r e s não são coincidentes;
 A  r e A  s;
 B  r e C  r;
 B e C estão em semiplanos opostos com respeito a s;
 D e E estão em semiplanos opostos com respeito a r,
e nenhum dos dois pontos pertence a s.
66.. Desenhe dois segmentos AB e CD tais que a interseção
de AB e CD é o conjunto vazio, mas AB e CD têm um ponto
em comum.
77.. Desenhe dois segmentos AB e CD tais que a interseção
de AB e CD é o conjunto vazio, mas AB = CD.
88.. Escreva o que significa dizer que três pontos não são
colineares.
99.. (ESA) Na figura abaixo, o segmento AB mede 14 cm e o
segmento MN mede 12 cm, M é o ponto médio de AB e N o
ponto médio de BC. A medida do segmento AC, em cm, é:
A
M
B
N
C
a) 28
b) 20
c) 12
d) 19
e) 24
1100..(ESA) Considere os pontos colineares A, B, O e C na
ordem OABC. Se AO = 3 cm, OB = 5 cm e 4AB + AC – 2BC
= 6, então a distância, em cm, entre os pontos O e C é igual
a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
s
1111.. Observe a figura e leia
r
com atenção as afirmações
que seguem a seu respeito.
u
I. As retas t e u são
concorrentes oblíquas.
t
II. As retas s e u são reversas.
III. As retas s e t são concorrentes perpendiculares.
IV. As retas u e r são paralelas.
V. As retas t e s são coplanares.
De acordo com a figura anterior, a alternativa correta é:
a) todas as afirmações acima são verdadeiras
b) nenhuma das afirmações acima é verdadeira
c) As falsas são I, IV e V
d) as verdadeiras são II, III IV
e) as verdadeiras são II e IV
3
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GEOMETRIA
8. AS SUBSTITUIÇÕES
São permitidas substituições nos casos de:
a) Um jogador ser carregado para casa pela orelha
para fazer lição.
UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO
b) Jogador que arrancou o tampão do dedão do pé.
Porém, nestes casos, o mesmo acaba voltando a
partida após utilizar aquela água “santa” da torneira do
quintal de alguém.
As 10 regras do Futebol de Rua,
o verdadeiro futebol de macho!
c) Em caso de atropelamento.
1. A BOLA
A bola pode ser qualquer coisa remotamente esférica.
Até uma bola de futebol serve. No desespero, usa-se
qualquer coisa que role, como uma pedra, uma lata
vazia ou a merendeira do irmão menor.
9. AS PENALIDADES
A única falta prevista nas regras do futebol de rua é
atirar o adversário dentro do bueiro.
10. A JUSTIÇA ESPORTIVA
Os casos de litígio serão resolvidos na porrada,
prevalece os mais fortes e/ou quem pegar uma pedra
antes.
2. O “GOL”
O gol pode ser feito com o que estiver à mão: tijolos,
paralelepípedos de concreto, camisas emboladas,
chinelos, os livros da escola e até o seu irmão menor.
Se for golzinho, há uma distância de mais ou menos 4
ou passos, dependo do tamanho do pé (38, 40 etc).
QUEM NÃO JOGOU, PERDEU UM DOS MELHORES
MOMENTOS DA VIDA.
3. O CAMPO
O campo pode ser só até o fio da calçada, calçada e
rua, rua e a calçada do outro lado e, nos grandes
clássicos, o quarteirão inteiro.
Extraído e adaptado do site
http://estadio97.uol.com.br/forumMsg.asp?forumId=3821&vis=1
Acessado em 17 de março de 2011.
O texto acima, escrito por um jovem chamado
Carlos Eli nos leva a um momento incrível de nossas
vidas (pelo menos para os homens).
Há um momento em que, ao falar sobre o
“gol”, é citada a distância entre os objetos utilizados –
4 ou 5 passos (aqui, o passo se refere ao
comprimento do pé do jogador).
Neste caso, “o passo” é a unidade de medida
utilizada para medir a distância entre os objetos.
Saiba que medir significa comparar.
4. DURAÇÃO DO JOGO
O jogo normalmente vira 5 e termina 10; pode durar
até a mãe do dono da bola chamar ou escurecer. Nos
jogos noturnos, até alguém da vizinhança ameaçar
chamar a polícia.
5. FORMAÇÃO DOS TIMES
Varia de 3 a 70 jogadores de cada lado. Ruim vai para
o gol. Perneta joga na ponta, na esquerda ou na
direita, dependendo da perna que faltar. De óculos é
meia-armador, para evitar os choques. Os com mais
corpo é beque.
Para medir uma distância, é preciso uma unidade
de medida. Esta unidade é o que será comparada
com a distância em questão.
Portanto, para medir uma distância, é
necessário ter alguma coisa que se possa comparar
com essa distância.
No caso do “golzinho”, a distância está entre
uma baliza e outra e a unidade de medida utilizada foi
o passo.
6. O JUIZ
Não tem juiz.
7. AS INTERRUPÇÕES
No futebol de rua, a partida só pode ser paralisada em
3 eventualidades:
a) Se a bola entrar por uma janela. Neste caso os
jogadores devem esperar 10 min pela devolução
voluntária da bola. Se isso não ocorrer, os jogadores
devem designar voluntários para bater na porta da
casa e solicitar a devolução, primeiro com bons modos
e depois com ameaças de depredação.
AS DIFERENTES UNIDADES DE MEDIDA
AO LONGO DA HISTÓRIA
b) Quando passar na rua qualquer garota gostosa.
Medidas de comprimento:
Côvado, do cotovelo à ponta dos dedos = 45
centímetros
Braça, 4 côvados = 1.80 metros
Estádio, 400 côvados = 1.480 metros
c) Quando passarem veículos pesados, de ônibus
para cima. Bicicletas e Fusquinhas podem ser
chutados junto com a bola e, se entrar, é gol.
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GEOMETRIA
Milha = cerca de 3 metros
Caminho de um sábado = aproximadamente
1.080 metros
s elementos básicos do estudo da Geometria
são ideias de ponto, reta e plano. No nosso dia-a-dia
usamos essas palavras em diversas ocasiões, e com
diversos significados, tais como:
– Esse é o ponto de partida para a execução do
projeto.
– A que ponto chegamos!
– Estamos na reta final do trabalho.
– Eu tenho um plano!
Sob o ponto de vista da Geometria, no
entanto, essas palavras têm significados muito
específicos. Contudo, apesar de serem conceitos
importantes, são difíceis de serem definidos por serem
intuitivos.
Tente dar uma definição de um deles:
– O que é reta?
O
O PPO
ON
NTTO
O,, A
AR
REETTA
A EE O
O PPLLA
AN
NO
O
O ponto, a reta e o plano não existem no
mundo real: um grão de areia, uma vareta ou um
tampo de mesa nos dão uma ideia de ponto, de reta e
de plano. Mas nunca vimos um grão que não tenha
volume (por menor que ele seja), uma vareta que não
tenha espessura e se prolongue indefinidamente, ou
um tampo de mesa que se prolongue em todas as
direções.
O po nto
Graficamente,
um
ponto
pode
ser
representado pela figura “”, e é indicado por letras
maiúsculas do nosso alfabeto. Assim, temos:
5
ÂNGULOS
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GEOMETRIA
Ângulo que tem medida igual a 90º.
B
Ângulo reto AÔB
O
A
Ângulo obtuso:
Ângulo cuja medida está entre 90º e 180º.
Ângulos são figuras geométricas formadas por
duas semi-retas de mesma origem.
B
Ângulo obtuso AÔB
A
O
B
Para a figura ao lado,damos a
indicação AÔB ou apenas Ô.
As semi-retas OA e OB são os
lados do ângulo.
Dizemos ainda que o ponto O é
o vértice do ângulo.
O
A
Ângulo raso ou meia volta:
Ângulo que tem medida igual a 180º.
A cada ângulo podemos associar um número, ou seja,
uma medida. A unidade de medida que vamos,
inicialmente, utilizar para trabalhar com tais medidas é
o Grau.
Tomando uma circunferência e dividindo-a em 360
partes iguais, cada um dos ângulos centrais obtidos
por essa divisão tem como medida 1 grau (indica-se:
1º).
Ângulo raso AÔB
A
B
O
Ângulo rombo ou uma volta:
Ângulo que tem medida igual a 360º.
A
O
Ângulo de uma volta AÔB
B
O
OU
UTTR
RA
ASS C
CLLA
ASSSSIIFFIIC
CA
AÇ
ÇÕ
ÕEESS.....
Ângulos congruentes:
Dois ângulos são congruentes quando possuem e
mesma medida.
m(AÔB) = 35º
Ângulo nulo:
É a figura formada por duas semi-retas coincidentes,
considerando que não há abertura entre elas.
A
D
B
C
CLLA
ASSSSIIFFIIC
CA
AÇ
ÇÃ
ÃO
O PPA
AR
RA
AO
OSS Â
ÂN
NG
GU
ULLO
OSS D
DEE
A
C
O
R
D
O
C
O
M
S
U
A
S
M
E
D
I
D
A
S
:
ACORDO COM SUAS MEDIDAS:
O
O
m(CÔD) = 35º
Ângulos adjacentes:
Dois ângulos são adjacentes quando têm o mesmo
vértice e um dos lados em comum e não possuem
pontos interiores em comum.
Ângulo nulo AÔB
B
Ângulo agudo:
Ângulo cuja medida está entre 0º e 90º.
Ângulos AÔB e BÔC são
adjacentes e possuem o
lado OB em comum
B
A
C
B
O
Ângulo agudo AÔB menor
que 90º e maior que 0º
O
C
A
O
Ângulos complementares:
Dois ângulos são complementares quando a soma de
suas medidas é 90º.
A
Ângulo reto:
6
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C
Na figura, o ângulo AÔB tem medida b
e o ângulo BÔC tem medida a. Como
os ângulos BÔC e AÔB juntos formam
um ângulo reto (a + b = 90º) então,
eles são complementares.
Dizemos ainda que o complemento do
ângulo a é 90º - a e o complemento do
ângulo b é 90º - b.
B
a
b
O
GEOMETRIA
A
02. (ENEM-2004) Nos X-Games Brasil, em maio de
2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado
“Mineirinho”,
conseguiu
realizar
a
manobra
denominada “900”, na modalidade skate vertical,
tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir
esse feito. A denominação “900” refere-se ao número
de graus que o atleta gira no ar em torno de seu
próprio corpo, que, no caso, corresponde a
a) uma volta completa.
b) uma volta e meia.
c) duas voltas completas.
d) duas voltas e meia.
Ângulos suplementares:
Dois ângulos são suplementares quando a soma de
suas medidas é 180º.
Na figura, AÔB e BÔC, de
medidas, respectivamente a e b,
são
suplementares,
pois
formam, juntos, um ângulo de
meia volta.
Dizemos
ainda
que
o
suplemento do ângulo a é (180º
- a) e que o suplemento do
ângulo b é (180º - b).
B
a
b
O
A
C
03. A medida do suplemento de um ângulo cuja
medida é a, é:
a) 90º – a
c) 90 + a
b) 180º – a
d) 180º + a
04. (U. Passo Fundo – RS) A diferença entre dois
ângulos suplementares é 48º. O maior deles mede:
a) 42º b) 69º c) 76º d) 204 e) 114º
Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no
vértice desse ângulo e que o divide em dois outros
ângulos congruentes (iguais).
A
C
D
05. Na figura abaixo, a medida de x é:
C
Na figura, a medida do ângulo
CÔA é igual a medida do ângulo
AÔD, portanto, OA é a bissetriz do
ângulo CÔD.
B
2x + 20º
x + 10º
O
A
a) 20º
O
Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos são chamados opostos pelo vértice
quando os lados de um ângulo são semi-retas opostas
aos lados do outro.
Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre
congruentes, ou seja, têm a mesma medida.
d) 9º
2x + 20º
3x – 65º
A
a) 45º
B
O
b) 70º
c) 20º
d)110º
07. Na figura abaixo, qual o valor de x?
A
O
c) 27º
06. Na figura abaixo, a medida do menor ângulo é:
Na figura, AÔB e CÔD são
opostos pelo vértice O.
C
b) 45º
D
2x - 30º
B
x
 30 º
2
O
E
EXXEERRCCÍÍCCIIO
OSS
08. Na figura abaixo, qual o valor de x e y?
01. Descubra a
desconhecidos.
medida
dos
ângulos
centrais
2x + 20º
50º
30º
y
60º
50º
80º
?
C
40º
100º
?
50º
40º
7
x
x
E
09. Sobre a figura abaixo, é
correto afirmar que:
B
D
x x
O
xx
F
x
x
A
H
G
PROF ANDRÉ FONSECA
a) AÔB = AÔC
b) AÔC = BÔE
GEOMETRIA
c) AÔC = EÔG
d) BÔD = CÔF
RETAS PARALELAS CORTADAS POR
10. Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros de
um relógio, supondo um relógio analógico, quando o
relógio estiver marcando:
a) 2h
b) 18h
c) 21h
d) 12:30h
e) 3:40h
UMA TRANSVERSAL
Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma
transversal, determinam oito ângulos, assim
denominados.
b
c
11. Qual é o ângulo que somado ao triplo do seu
complemento é igual a 210?
12. Determine dois ângulos suplementares, sabendo
que um deles é o triplo do outro.
f
e
g
h
a
r
d
s
Os ângulos formados têm nomes particulares. Veja:
13. Qual é a medida do ângulo formado pelas
bissetrizes
de
dois
ângulos
adjacentes
e
suplementares?
Ângulos correspondentes: a e e, b e f, c e g, d e h;
Ângulos alternos internos: c e e, d e f;
Ângulos alternos externos: a e g, b e h;
Ângulos colaterais internos: c e f, d e e; e
Ângulos colaterais externos: a e h, b e g.
GABARITO:
1- a) 110º b) 160º; 2-D; 3-B; 4-E; 5-A; 6-B; 7-40º; 8-x=15º e y=130º;
9-C; 10- a) 60º, b) 180º, c) 90º, d) 165º, e) 130º; 11-30º; 12-45º e
135º, 13-90º;
PROPRIEDADES
 Ângulos alternos internos são
 Ângulos alternos externos são
 Ângulos correspondentes são
 Ângulos colaterais internos são
 Ângulos colaterais externos são
congruentes
suplementares
E
EXXEERRCCÍÍCCIIO
OSS
01. Na figura, r // s e t é transversal.
t
a
d
r
b
e
c
h
s
f
g
Então, a afirmativa correta é:
a) a = b
b) b + h = 180º
c) c + h = 180º
d) b = e
02. Dadas as retas paralelas cortadas por transversal
abaixo, faça o que se pede:
8
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GEOMETRIA
112º
a) Calcule x, y e z, sabendo que 2x + y + z = 240º.
x
s
y
x
09. Duas retas paralelas cortadas por uma transversal
formam ângulos alternos externos expressos em
graus por 13x – 8º e 6x + 13º.
A medida desses ângulos vale:
a) 31º b) 3º ou 177º c) 30º e 150º d) 62º e) 93º
z
b) Calcule x e y.
10. Para calcular a circunferência terrestre, o sábio
Erastóstenes valeu-se da distância conhecida de
800km entre as localidades de Alexandria e Siena no
Egito (A e B, respectivamente), situadas no mesmo
meridiano terrestre. Ele sabia que quando em Siena
os raios solares
caiam verticalmente, em Alexandria eles faziam um
ângulo de 7,2º com a vertical. Calcule, com esses
dados, a circunferência terrestre, isto é, o
comprimento de uma volta completa em torno da
Terra.
r
2x
4x
y
s
120º
Então, a afirmativa correta é:
e) a = b
f) b + h = 180º
g) c + h = 180º
h) b = e
7,2º
A
raios
solares
800km
B
03. Qual é o menor ângulo formado pelos ponteiros de
um relógio, supondo o relógio analógico, quando este
marcar 2:30h? E quando marcar 2:45h?
04. Qual é o ângulo que somado ao triplo do seu
complemento é igual a 210º?
11. (UNIRIO) As retas r e s são paralelas. O valor do
ângulo  apresentado na figura abaixo é:
05. Determine dois ângulos suplementares, sabendo
que um deles é o triplo do outro.

06. Qual é a medida do ângulo formado pelas
bissetrizes
de
dois
ângulos
adjacentes
e
suplementares?
130º
07. Na figura, AÊJ = DÔI e CÔI é o complemento de
DÔI. Identifique a sentença correta.
C
D
B
A
a) 40º
F
G
J
c) 130º
d) 45º
e) 65º
12. (CAP-UFRJ-06) Na figura a seguir, considere o
par de retas t, v e o par de retas r, s.
E
O
b) 50º
I
K
a) AF // GI.
b) CK  GI.
c) JÔK é o complemento de DÊF.
d) DÔI é suplemento de IÔK.
a) Indique o par de retas paralelas.
b) De acordo com a orientação apresentada,
determine se o outro par de retas se interceptará ao
norte, ao sul, à leste ou à oeste. Justifique.
08. Calcule o valor de x, sendo r//s.
r
40º
9
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GEOMETRIA
 acutângulo: se, e somente se, têm os três ângulos
agudos; e
GABARITO
1-C; 2-A; 3-40.000km; 4-72º; 5-A; 6-B; 7-A; 8-a) t e v, b)?; 9-
 obtusângulo: se, e somente se, tem um ângulo
obtuso.
TRIÂNGULOS
É possível desenhar um triângulo
acutângulo escaleno e um triângulo
obtusângulo isósceles? E triângulos
equiláteros
obtusângulos?
Procure
verificar quais as combinações possíveis
de acordo com seus desenhos.
1.
CONCEITO
Os triângulos, assim como as retas, os ângulos,
os segmentos de reta etc. são objetos idealizados,
nascidos da observação de objetos materiais com
forma triangular (como por exemplo um guardanapo
de papel dobrado). Veja se você consegue identificar
alguns triângulos na figura a seguir.
OBS.:
O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo é chamado de
hipotenusa (maior lado) e os outros são chamados de catetos.
1.1. Definição
Dados três pontos A, B e C não colineares, à
reunião dos segmentos AB, AC e BC chama-se
triângulo ABC (ou ΔABC).
A
Indicação:
ABC = AB  AC  BC
B
Condição de Existência
1.4. “Em todo triângulo, a medida de qualquer lado é
menor que a soma das medidas dos outros lados.”
Chamando as medidas dos três lados de um triângulo
qualquer de a, b e c, temos:
a<b+c
b< a+c
c<a+b
C
Exemplo
1.2. Elementos de um Triângulo
No ABC acima, temos:
lados: AB, BC e AC
vértices: A, B e C
1.3. Classificação
podem
c
É possível formar um triângulo com as medidas
2cm, 3cm e 6cm?
Vejamos...
Se cada medida deve ser menor que a soma das
outras, então...
2 < 3 + 6 => verdadeiro
3 < 2 + 6 => verdadeiro
6 < 2 + 3 => falso
ângulos internos: BAˆ C , ABˆ C e ACˆ B
ou ainda, Â , B̂ e Ĉ .
1.3.1. Quanto aos lados
Quanto aos lados, os triângulos
classificados da seguinte maneira:
b
a
Conclusão
» Não é possível formar um triângulo com essas medidas.
ser
 equiláteros: se, e somente se, têm os três lados
congruentes;
2. PROPRIEDADES QUE RELACIONAM
ÂNGULOS DE UM TRIÂNGULO
OS
 isósceles: se têm dois lados congruentes; e
1ª propriedade:
A soma dos ângulos internos de um triângulo
qualquer é igual a 180º.
 escalenos: se, e somente se, dois quaisquer lados
não são iguais, ou seja, todos os lados diferentes.
1.3.2. Quanto aos ângulos
Quanto aos ângulos, os triângulos podem ser
classificados da seguinte maneira:
A
m( Aˆ )  m(ˆ B)  m(Cˆ )  180 º
 retângulo: se, e somente se, têm um ângulo reto;
B
10
C
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GEOMETRIA
2ª propriedade:
A
medid
a do
ângulo
externo de um triângulo qualquer é igual à soma das
medidas dos ângulos internos não-adjacentes a ele.
OBS.:
1. Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é
chamado de base do triângulo isósceles.
2. Todo triângulo equilátero é também isósceles.
3.2. Bissetriz (interna)
Segmento que une um vértice a um ponto qualquer do
lado oposto a ele e divide o ângulo desse vértice em
dois ângulos de mesma medida (congruentes).
Todo triângulo possui três bissetrizes, que se
encontram em um ponto chamado Incentro.
A
A
x̂
B
No triângulo ao lado temos:
 AD é a bissetriz relativa ao ângulo Â;
 BE é a bissetriz relativa ao ângulo B;
 CF é a bissetriz relativa ao ângulo C.
C
F
Na figura acima, x é um ângulo externo não adjacente
aos ângulos A e C.
Pela 2ª propriedade, temos:
B
m( xˆ )  m( Aˆ )  m( Bˆ )
E
C
D
Incentro
3.2.1. Propriedade do Incentro
3.2.1.1. Em todo triângulo, o Incentro é equidistante
(tem a mesma distância) dos três lados.
3.2.1.2. O incentro é, também, o centro do círculo
inscrito no triângulo.
3ª propriedade:
Num triângulo, ao maior lado opõe-se o maior
ângulo, e ao menor lado opõe-se o menor ângulo.
3.
I
PONTOS NOTÁVEIS
I
3.1. Mediana
Segmento que une um vértice ao ponto médio do lado
oposto a ele. A
P
N
G
B
3.3. Altura
Segmento que liga um dos vértices ao lado oposto (ou
ao seu prolongamento) e que é perpendicular a esse
lado (ou prolongamento).
Todo triângulo possui três alturas, que se encontram
em um ponto chamado Ortocentro.
 AM é mediana relativa ao lado BC;
 BN é a mediana relativa ao lado AC;
 CP é a mediana relativa ao lado AB.
C
M
Baricentro
Todo triângulo possui três medianas, que
encontram em um ponto chamado baricentro.
se
3.3.1. Posições do Ortocentro em relação a um
triângulo
3.3.1.1. é interno, se o triângulo é acutângulo (todos
os ângulos são agudos).
3.1.1. Base Média de um Triângulo
Def.: Base média de um triângulo é um
segmento que liga dois pontos médios dos lados de
um triângulo. Este segmento é paralelo a um dos
lados e vale metade do lado do qual ele é paralelo.
A
P
B
G
M
N
3.3.1.2. coincide com o vértice do ângulo reto, se o
triângulo é retângulo.
3.3.1.3. é externo, se o triângulo é obtusângulo (possui
um ângulo obtuso).
Sendo P, N e M pontos médios dos
lados AB, AC e BC, respectivamente,
temos:
BC
 PN // BC  PN =
2
AC
 PM // AC  PM =
2
AB
C  MN // AB  MN =
2
Você seria capaz de encontrar o
Ortocentro de cada um dos triângulos
a seguir?
3.1.2. Propriedade do Baricentro
Sendo G o baricentro, temos:
 AG = 2 AM ; GM = 1 AM
3
 BG = 2 BN ; GN =
3
 CG = 2 CP ; PG =
3
1 BN
3
1 CP
11
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Na figura acima temos:
R  raio da circunferência (maior) circunscrita ao triângulo
r  raio da circunferência (menor)inscrita ao triângulo
h  altura do triângulo equilátero
3.4. Mediatriz
É uma reta perpendicular ao lado de um triângulo,
passando pelo seu ponto médio.
Todo triângulo possui três mediatrizes, que se
encontram em um ponto chamado Circuncentro.
A
No triângulo ao lado temos:
 s é a mediatriz de BC;
 t é a mediatriz de AB;
 r é a mediatriz de AC;
 P é o circuncentro do ABC.
r
t
Como O é também o baricentro (encontro das medianas) do
triângulo, esse ponto divide a altura AH em segmentos
proporcionais a 2 e 1.
Assim, se r e R são os raios das circunferências inscrita e
circunscrita, respectivamente, e h é a altura, é imediato que
P
B
r =
1
h
3
e R =
2
h
3
C
s
3.4.1.
EXERCÍCIOS
Propriedade do Circuncentro
01. Observe a figura a seguir e determine:
3.4.1.1. O ponto P (circuncentro), no triângulo anterior,
é equidistante dos três vértices do triângulo.
3.4.1.2. O circuncentro é também o centro da
circunferência circunscrita ao triângulo.
1̂
A
A
No triângulo ao lado temos que:
 m(AP) = m(CP) = m(BP);
 AP, CP e BP são raios da
circunferência.
P
3̂
M
N
2̂
B
C
a) os vértices do triângulo;
b) a indicação do triângulo;
c) o ângulo oposto ao lado PN;
Observações Importantes
d) o lado oposto ao ângulo M̂ ;
e) m( Nˆ )  m(3ˆ ) ;
I. Num triângulo retângulo, a mediana relativa a
hipotenusa divide o triângulo original em dois
triângulos isósceles.
f) a medida do ângulo M̂ se m(2ˆ ) = 140º;
g) a medida do ângulo 3̂ se m(Nˆ ) = 45º.
O ponto O é o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo.
02. É possível a construção de um triângulo retângulo
equilátero?
O
03. É possível a construção de um triângulo que tenha
dois ângulos retos? E a de um triângulo que tenha
dois ângulos obtusos?
II. No triângulo equilátero, o incentro, o baricentro, o
ortocentro e o circuncentro coincidem num único
ponto O, chamado “centro do triângulo equilátero”.
04. No triângulo ABC a seguir, AM é a mediana.
Determine o perímetro desse triângulo.
A
A
3,5 cm
2,2 cm
R= 2h
R
h
3
O
r
1,9 cm
B
r= 1h
3
B
H
C
12
M
C
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c) No triangulo CDO, identifique o lado de maior
comprimento. Justifique.
d) Determine o menor lado do polígono ABCDEO.
05. Considerando congruentes os triângulos abaixo,
calcule o valor de x e de y.
5x - 2
68º
37
09. (PUC) Na figura abaixo, a = 100º e b = 110º.
Quanto mede o ângulo x?
a) 30º
x
b) 50º
c) 80º
d) 100º
b
a
e) 220º
6x
37
54º
68º
4y + 8
3y + 9
06. Na figura a seguir, 5x, 3x – 15º e 2x + 5º
representam as medidas dos três ângulos internos do
triângulo AMN. Nestas condições, qual deve ser o
valor de x?
10. (FAETEC) Na figura abaixo, r é a bissetriz do
ângulo ABC. Se  = 40º e  = 30º, então:
r
a)  = 0º
C
b)  = 5º
c)  = 35º

d)  = 15º
e) os
dados
são


insuficientes
para
a
A
B determinação de .
A
5x
3x – 15º
2x + 5º
M
N
11. (UFMG) Na figura a seguir, AB  AC , BD é
bissetriz de ABˆ C , CE é bissetriz de BCˆ D e a
07. Qual deve ser o valor da medida m do ângulo
externo do triângulo abaixo?
medida do ângulo ACˆ F é 140º. A medida do ângulo
DEˆ C , em graus, é:
m
A
D
E
155º
110º
B
a) 35º
b) 40º
c) 30º
08. (CAP-UFRJ-2006) Considere a figura a seguir.
C
45º
B
59º
86º
62º
O
A
59º
60º
F
d) 15º
e) 20º
12. Analise, em cada um dos casos abaixo, se é
possível construir um triângulo com as seguintes
medidas dos lados:
a) 6, 10 e 18
b) 8, 4 e 6
c) 3, 10 e 17
45º
46º
C
60º
13. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada
afirmação a seguir:
a) os ângulos agudos de um triângulo retângulo são
suplementares.
b) se a medida em graus de um ângulo é x, então o
seu suplemento mede, em graus, 180º - x.
c) qualquer triângulo isósceles tem todos os seus
ângulos agudos.
d) se a medida em graus de um ângulo é x, então o
seu complemento é 90º + x.
D
60º
E
a) Calcule a medida do ângulo BÂO.
b) Identifique qual dos triângulos é um triangulo
retângulo. Justifique.
13
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das bissetrizes internas do triângulo. O valor do
ângulo NIP é:
a) 35º b) 70º c) 90º d) 110º e) 140º
19. (UFF) O triângulo MNP é tal que M=80º e P=60º.
A medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo
interno N com a bissetriz do ângulo externo P é:
a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º
14. Na figura abaixo, a medida de AD é igual a
medida de BD. Então, x, y e z medem,
respectivamente:
B
z
100º
A
20. (UFF) Determine o intervalo de variação de x,
para que exista um triângulo com as medidas:
a) x + 10, 2x + 4 e 20 – 2x.
b) 40 – x, 3x – 15 e x + 10
y
x
(UFRJ-2000) Na figura ao lado, cada um
dos sete quadros contém a medida de um
ângulo expressa em graus. Em quaisquer
três quadros consecutivos, temos os três
ângulos internos de um triângulo.
Determine o valor de x.
70º
C
D
a) 100º, 30º e 40º
b) 100º, 70º e 10º
c) 80º, 70º e 10º
d) 80º, 30º e 40º
65º
a
30º
50º
b 60º
x
21. Na figura, temos:
15. (PUC-RJ) Dada a figura, coloque os segmentos
em ordem crescente.
d
100º
b
c
c
e
x
a) x = a – b + c
b) x = a + b + c
c) x = a – b – c
d) x = – a + b + c
e) x = a + b – c
80º
a
22. (UFU-MG) Na figura abaixo, AO e OB são
perpendiculares, BC é bissetriz do ângulo DBA e AC é
a bissetriz do ângulo EÂB. A medida do ângulo BCA é:
16. (UFMG) Na figura abaixo, DB = DE e AD é a
bissetriz interna do triângulo ABC. O ângulo  mede:
C
A
D
a) 10º
b) 14º
c) 16º
d) 18º
e)20º
E

50º
B
B
46º
D
C
O
17. (CP II) Na figura abaixo, os ângulos destacados
medem 30º, 45º e 60º.
Identifique, na figura, a medida de cada ângulo.
A
E
23. (PUC-RJ) As dimensões do triângulo ABC são AB
= 11, AC = 18 e BC = 20. Calcule o perímetro do
triângulo AMN, sabendo-se que MN é paralelo a BC,
que OB é bissetriz do ângulo ABC e que OC é a
bissetriz do ângulo ACB. A
M
B
C
O
N
A
18. (UERJ/UFF) MNP é um triângulo isósceles (MN =
NP) cujo ângulo M vale 40º. I é o ponto de interseção
B
14
C
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24. (UNB-DF) Considere as afirmações:
I. Se num triângulo, a altura relativa a um lado
coincide com a bissetriz do ângulo oposto a ele, o
triângulo é necessariamente isósceles.
II. Num triângulo isósceles qualquer, as três
medianas são necessariamente iguais.
III. Se um triângulo tem duas alturas iguais, então ele
é necessariamente equilátero.
Pode-se afirmar que:
a) I e II são corretas, III é falsa.
b) todas são falsas.
c) I é correta, II e III são falsas.
d) n.r.a.
30. O triângulo AOE é tal que  = 80º e Ê = 60º. A
medida do ângulo formado pela bissetriz interna de Ô
com a bissetriz externa do ângulo externo de Ê é:
a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º
31. (PUC-RJ-2005) Os ângulos de um triângulo
medidos em graus são:
3x – 48, 2x + 10 e x – 10.
O maior ângulo mede:
(A) 86° (B) 45° (C) 75° (D) 90° (E) 40°
25. Obtenha x na figura abaixo, onde as retas r e s
são paralelas.
x
2x + 20º
r
70º
s
26. Se a medida de um ângulo interno de um triângulo
é igual a soma das medidas dos dois outros ângulos
internos, então, necessariamente, este triângulo é:
a) retângulo
b) equilátero
c) tem lados medindo 3, 4 e 5;
d) é isósceles, não equilátero
e) tem ângulo interno de 30º
27. (FUVEST) As retas t e s são paralelas. A medida
do ângulo x, em graus, é:
t
s
x
120º
140º
28. (PUC) O maior dos segmentos desenhados na
figura a seguir é:
B
59º
60º
A
D
63º 57º
C
29. Em um triângulo AOE, os ângulos  e Ô medem,
respectivamente, 86º e 34º. Determine a medida do
ângulo formado pela mediatriz relativa ao lado OE e
pela bissetriz do ângulo Ê.
15
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GEOMETRIA
1-a) A, M, N; b) AMN; c) Â ou MÂN; d) AN; e) 180º f) 40º; g) 135º; 2-Não.
Justifique.; 3-Não. Justifique.; 4-9,5cm; 5- x=10 e y=13; 6-x=19; 7-85º; 8-a)
48º b) BOC c) CD; d) AB; 9-a; 10-b; 11-b; 12-a) não b)sim c) não; 13F,V,F,F; 14-d; 15-b<a<c<e<d; 16-c; 17-B=60º, C=45º, Â=30º; 18-d; 19-c; 20a)6/5<x<26/3, b)9<x<65/3; 21-x=15º; 22-m(BCA)=45º; 23-29; 24-c; 25-x=50;
26-a; 27-x=70º; 28-BD; 29-60º; 30-C;
as diagonais são bissetrizes dos ângulos iguais –
que neste caso, são os ângulos opostos.
QUADRADO
Quadrado é o paralelogramo que possui lados e
ângulos iguais.
QUADRILÁTEROS
Propriedades:
Sendo o quadrado ao mesmo tempo losango e
retângulo, ele possui as propriedades desses outros
dois polígonos.
Quadrilátero é o polígono de quatro lados.
B
A
SOM A DOS ÂNGULOS INTERNOS
A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero
convexo vale 360º.
45º
45º
PARALELOGRAMO
Paralelogramo é o quadrilátero em que os pares de
lados opostos são paralelos.
M
B
A
D
TRAPÉZIO
Trapézio é o quadrilátero que possui apenas dois de
seus lados paralelos, denominados bases do trapézio.
A distância entre as duas bases chama-se altura do
trapézio.
M
D
C
Aˆ  Bˆ  Bˆ  Cˆ  Cˆ  Dˆ  Dˆ  Aˆ  180º
Trapézio Isósceles: os lados não paralelos são
iguais. Neste caso, os ângulos em cada base também
são iguais.
Trapézio Escaleno: se os lados não paralelos são
desiguais.
Trapézio Retângulo: se um dos lados não paralelos é
perpendicular às bases.
Propriedades:
Em todo paralelogramo
os lados opostos são sempre iguais;
ângulos consecutivos são suplementares; e
as diagonais cortam-se nos seus pontos médios.
RETÂNGULO
Retângulo é o paralelogramo cujos ângulos são
sempre iguais (portanto retos).
Propriedades:
Num trapézio isósceles os ângulos adjacentes a
uma mesma base são congruentes;
Num trapézio isósceles as diagonais são
congruentes.
B
A
C
Base Média (bm) de um trapézio
M
D
A
C
Propriedades:
Em todo retângulo
as diagonais são congruentes; e
as diagonais se cortam nos pontos médios.
M
base menor
bm
B
N
LOSANGO
Losango é o paralelogramo cujos lados são iguais.
D
A
Base maior
B
A base média é paralela às bases e mede:
D
bm 
C
Propriedades:
Em todo losango
as diagonais são perpendiculares entre si;
as diagonais se cortam nos pontos médios; e
Base maior  base menor
2
Mediana de Euler
16
C
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GEOMETRIA
Chama-se Mediana de Euler de um trapézio ao
segmento que liga os pontos médios das diagonais e
que fica sobre a base média.
Seu comprimento mede:
Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se
usar como exemplo a figura denominada:
a) losango
c) retângulo
b) trapézio
d) quadrado
Base maior  base menor
2
mE 
A
base menor
38. (ENEM-00) Um marceneiro deseja construir
uma escada trapezoidal com 5 degraus, de
forma que o mais baixo e o mais alto tenham
larguras respectivamente iguais a 60 cm e a
30 cm, conforme a figura:
B
30
M
N
P mE Q
D
60
C
Base maior
39. (UFRJ-2003) De um retângulo de 18 cm de
largura e 48 cm de comprimento foram
retirados dois quadrados de lados iguais a 7
cm, como mostra a figura.
EXERCÍCIOS
32. Calcule x em cada uma das figuras.
a)
2x – 30º
x+50
º
100º
b)
x
x – 20º
x
Os degraus serão obtidos cortandose uma peça linear de madeira cujo
comprimento mínimo, em cm, deve
ser:
(A) 144.
(B) 180.
(C) 210.
(D) 225.
(E) 240.
60º
Qual o perímetro da figura resultante?
x
40. (UERJ-2001) O gráfico abaixo representa a
indicação da velocidade de um carro em
movimento, em função do tempo.
33. Calcule x no paralelogramo.
2x+10º
x +70º
34. Calcule x no paralelogramo.
150º
x
Sabendo-se que, em t = 2 s, a velocidade é de 6 m/s,
a ordenada do ponto A é:
(A) 3,5 (B) 3,0 (C) 2,5 (D) 2,0
35. Na figura a seguir, A e B distam 2 cm e 6 cm,
respectivamente, da rata r, e M é o ponto
médio de AB. Calcule a distância do ponto M
à reta r.
41. (ITA-SP) Dadas as afirmações:
I – Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero
são suplementares.
II – Quaisquer dois ângulos consecutivos de um
paralelogramo são suplementares;
III – Se as diagonais de um paralelogramo são
perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto
médio, então, este paralelogramo é um losango.
Podemos afirmar que:
a) todas são verdadeiras.
b) apenas I e II são verdadeiras.
c) apenas II e III ao verdadeiras.
d) apenas II é verdadeira.
e) apenas III é verdadeira.
B
M
A
r
36. (UNIFESP) Em um paralelogramo, as
medidas
de
dois
ângulos
internos
consecutivos estão na razão 1:3.
O ângulo menor desse paralelogramo mede:
a) 45º b) 50º c) 55º d) 60º e) 65º
37. (UERJ-2000) Se um polígono tem todos os
lados iguais, então todos os seus ângulos
internos são iguais.
GABARITO
17
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GEOMETRIA
21-a) 72º b) 80º; 22-60º; 23-75º; 24-4 cm; 25-a; 26-a;
27-D; 28-160 cm; 29-D; 30-C
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS (Se)
A soma de todos os ângulos externos de um polígono
convexo é
Se = 360º
POLÍGONOS
POLÍGONOS REGULARES
Nos polígonos regulares, podemos calcular o valor de
cada ângulo interno ou externo.
Chama-se polígono a toda linha poligonal simples.
Quando um polígono possui as medidas de seus lados
e ângulos congruentes ele é chamado de polígono
regular.
ÂNGULOS INTERNOS
ai 
GÊNERO DE UM POLÍGONO
Chama-se gênero de um polígono o número de lados
que ele possui.
número de lados (n)
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n=8
n=9
n = 10
n = 11
n = 12
n = 15
n = 20
ÂNGULOS EXTERNOS
ae 
nome
triangulo
quadrilátero
pentágono
hexágono
heptágono
octógono
eneágono
decágono
undecágono
dodecágono
pentadecágono
icoságono
EXERCÍCIOS
42. Quantos lados tem o polígono no qual se pode
traçar 35 diagonais de cada vértice?
a) 35 b) 32 c) 10 d) 38 e) impossível
43. O número de diagonais que se pode traçar por
um dos vértices de um icoságono é:
a) 10 b) 12 c) 17 d) 20 e) 170
44. Considere um polígono regular ABCD... . O
ângulo formado pelos prolongamentos dos
lados AB e DC mede 108º. Determine o
polígono.
nn  3
2
45. Em um polígono regular, o ângulo interno
mede 8x–20º e o externo mede 3x–20º. Qual
o polígono?
a) pentágono b) octógono
c) decágono
d) hexágono
e) eneágono
ÂNGULOS EXTERNOS E INTERNOS
Em qualquer vértice de um polígono a soma do ângulo
interno com o seu adjacente externo é sempre 180º.
ae
ae+ ai = 180º
46. (ENEM-02) Na construção civil, é muito
comum a utilização de ladrilhos ou azulejos
com a forma de polígonos para o revestimento
de pisos ou paredes. Entretanto, não são
todas as combinações de polígonos que se
prestam a pavimentar uma superfície plana,
sem que haja falhas ou superposições de
ladrilhos, como ilustram as figuras:
ai
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS (Si)
A soma de todos os ângulos internos de um polígono
convexo é dada por
Si = 180º(n – 2)
S e 360º

n
n
OBS.: O número de diagonais que passam pelo centro
de um polígono regular é igual a n/2, quando n for um
número par.
NÚMERO DE DIAGONAIS (d)
De qualquer vértice de um polígono de n lados partem
n – 3 diagonais.
O número total de diagonais é dado por:
d
S i 180º n  2

n
n
18
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
49. (CN) Um aluno declarou o seguinte, a respeito
de um polígono convexo P de n lados:
“Partindo da premissa de que eu posso traçar (n – 3)
diagonais de cada vértice de P, então, em primeiro
lugar, o total de diagonais de P é dado por n(n – 3); e,
em segundo lugar, a soma dos ângulos internos de P
é dada por 180º(n – 3)”.
Logo, o aluno:
a) errou na premissa e nas conclusões;
b) acertou na premissa e na primeira conclusão, mas
errou na segunda conclusão;
c) acertou na premissa e na segunda conclusão, mas
errou na primeira conclusão;
d) acertou na premissa e nas conclusões
e) acertou na premissa e errou nas conclusões.
Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano
50. (UFJF-MG) Em um pentágono convexo, os
ângulos internos formam uma P.A. de razão r.
O valor de r, tal que o maior ângulo desse
pentágono meça 128º, é:
a) 10 b) 15º c) 20º d) 27º e) 36º
Figura 2: Heptágonos regulares não
pavimentam o plano (há falhas ou
superposição)
51. A figura descreve o movimento de um robô:
A tabela traz uma relação de
alguns polígonos regulares, com as respectivas
medidas de seus ângulos internos.
2 m 45º
2m
Triângulo
Quadrado
Pentágono
45º
Hexágono
2m
60º
90º
Octógono
Eneágono
135º
A) triângulo
C) pentágono
140º
108º
partindo de A, ele, sistematicamente, avança 2m e
gira 45º para a esquerda.
Quando esse robô retornar ao ponto A, a trajetória
percorrida terá sido:
a) uma circunferência.
b) um hexágono regular.
c) um decágono regular.
d) um polígono não regular.
e) um octógono regular.
120º
Se um arquiteto deseja
utilizar uma combinação de
dois tipos diferentes de
ladrilhos entre os polígonos
da tabela, sendo um deles
octogonal, o outro tipo
escolhido deverá ter a
forma de um
B) quadrado
D) hexágono
GABARITO
31-D; 32-C; 33-decágono; 34-E; 35-B; 36-B; 37-36; 38-E; 39-A; 40-E
(E) eneágono
47. (CEFET) A soma de seis ângulos internos de
um octógono convexo é 880º. Se a diferença
entre os outros dois ângulos é de 20º, eles
valem, respectivamente,
a) 80º e 100º
b) 90º e 110º
c) 110º e 130º
d) 420º e 440º
e) 430º e 450º
48. (CAP-UFRJ) Se ABCDE é um pentágono
regular convexo, calcule a medida do ângulo
formado pelas diagonais AC e AD.
19
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
Duas cordas paralelas de uma circunferência
sempre determinam, entre suas extremidades, arcos
B
congruentes.
D
A
C
O
Quando, de um ponto exterior, traçamos duas retas
tangentes a uma circunferência, os segmentos
compreendidos entre o tal ponto e os pontos de
tangencia são congruentes.
CIRCUNFERÊNCIA
Circunferência
de
círculo,
ou
simplesmente
circunferência, é o lugar geométrico dos pontos do
plano que equidistam de um ponto fixo.
O ponto fixo é chamado centro e a distância comum é
o raio da circunferência.
A
P
B
raio
O
PA = PB
O ângulo formado na circunferência pelo raio e a
reta tangente mede 90º.
O
PRINCIPAIS ELEMENTOS DA CIRCUNFERÊNCIA
B
E
A
C
r
F
TEOREMA DE PITOT
Se um quadrilátero é circunscritível a uma
circunferência, as somas das medidas dos lados
A
opostos são iguais.
D
O
B
s
t
AB + CD = BC + DA
D
Na figura acima, temos.
O é o centro;
AB é uma corda;
AB é um arco;
FE é uma flexa
CD é o diâmetro;
r é a reta secante à circunferência;
s é a reta tangente à circunferência;
t é a reta exterior à circunferência.
ÂNGULO CENTRAL E MEDIDA ANGULAR DE UM ARCO
O ângulo formado no centro da circunferência por dois
raios chama-se ângulo central, e sua medida é a
mesma (medida angular) do arco formado pelos raios.
A
O
ÂNGULO INSCRITO EM UM ARCO
PROPRIEDADES IMPORTANTES
A mediatriz de uma corda sempre passa pelo
centro da circunferência, e pelo ponto médio do arco
subtendido pela corda.
A

B
OBS.: Círculo é a superfície plana limitada pela
circunferência.
A



B
E
B
F
20
O
C
    
AB
2
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
Os ângulos, ,  e  estão inscritos no arco AB da
figura.
cm, AC = 7 cm e BC = 9 cm, determine AR, BS e
CT.
A
Consequências Importantes
Se um triangulo está inscrito em uma
circunferência, de tal forma que um de seus lados seja
um diâmetro, então, este lado é a hipotenusa do
triangulo, que é retângulo.
T
R
B
C
S
A
r
r
C
B
O
Para que um quadrilátero seja inscritível em uma
circunferência,
deve
ter
ângulos
opostos
suplementares.
A
B
D
53. (UFRJ) Na figura abaixo, o pentágono ABCDE
é circunscrito ao círculo de centro O e F, G, H,
I e J são pontos de tangência.
Os segmentos AF, CH e DI têm o mesmo
comprimento x. EJ mede x + 1, enquanto BG mede x
+ 2. O perímetro do pentágono é igual a 16 e a
distância OB é igual a 7.
A
ˆ  180º
Aˆ  Cˆ  Bˆ  D
C
F
ÂNGULO DE SEGMENTO
É o ângulo formado por uma corda e uma reta
tangente à uma circunferência em um dos extremos
da corda.
J
AB
2
D
B
D
B
AB  CD
2

C
2
6
cm
cm
55. (PUC-MG) na figura abaixo,
o valor de x é:
ÂNGULOS EXCÊNTRICOS EXTERNOS
D
m
m
C

n
n
3x+12º

a) 15º
n

b) 18º
º
x
B
E
m
C
54. Determine o perímetro do triangulo da figura
abaixo.
ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERNO

H
I
Determine o raio do circulo inscrito no pentágono.

A
B
O
A

G
E
c) 24º
d) 32º
e) 35º
56. (CESGRANRIO-RJ) Se, na figura, m(AB) =
20º, m(BC) = 124º, m(CD) = 36º e m(DE) = 90º,
então o ângulo x mede:
E
 
mn

2
D
A
x
EXERCÍCIOS
C
a) 34º
52. Na figura, R, S e T são pontos de tangencia do
circulo inscrito ao triangulo ABC. SE AB = 6
21
b) 35º30’
c) 37º
B
d) 38º30’
e) 40º
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GEOMETRIA
57. Calcule o raio da circunferência inscrita em
um triangulo retângulo de catetos 3 e 4.
58. Considere o círculo que tangencia a reta r no
ponto A e tem seu diâmetro BC sobre a reta s.
Então, os ângulos do triangulo ABC valem:
C
B
O
20º
A
a) 35º, 55º e 90º
b) 20º, 70º e 90º
c) 30º, 60º e 90º
d) 40º, 60º e 80º
e) 50º, 50º e 80º
59. Na figura abaixo, O é o centro do círculo e CD
= BO. Calcule o ângulo .
B
C
A
a) 18º
b) 36º

72º
O
E
c) 24º
d) 9º
D
e) 16º
60. A e B são pontos de um círculo que o dividem
em arcos proporcionais a 5 e 4. As tangentes
traçadas por A e B formam:
a) 60º b) 50º c) 40º d) 30º e) 20º
61. Calcule os ângulos ,  e  da figura abaixo,
sabendo-se que t é tangente ao círculo e que
 = 6.


O

t
a)  = 10º,  = 120º e  = 60º
b)  = 15º,  = 160º e  = 90º
c)  = 20º,  = 120º e  = 120º
d)  = 15º,  = 150º e  = 90º
e)  = 15º,  = 165º e  = 90º
GABARITO
41-AR=1cm, BS=5cm e CT=4cm; 42-210; 43-24cm; 44-C; 45-C;
46-1 cm; 47-B; 48-C; 49-E; 50-D
22
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GEOMETRIA
Proporção é a igualdade (equivalência) entre
duas razões. Dois segmentos são proporcionais a
outros dois quando a razão entre os dois primeiros é
igual à razão entre os outros dois, ou seja, sejam a, b,
c e d números inteiros quaisquer; dizemos que esses
números formam, nesta ordem, uma proporção, se
a c
 .
b d
Exemplo numérico:
5 15

.
10 30
Uma situação onde podemos verificar uma proporção
acontecendo é quando queremos ampliar uma
fotografia, seja digitalmente ou analogicamente.
Imagine que uma foto 3x4 (3 cm de largura
por 4 cm de comprimento) deve ser ampliada de modo
que o lado maior meça 20 cm. Dessa forma, o lado
menor deverá medir 15 cm.
Veja.
3 15

4 20
LINHAS PROPORCIONAIS
Antes de começar a discussão sobre o
assunto de que trataremos aqui, vamos compreender
o significado de algumas expressões que serão muito
utilizadas no desenvolver dessa questão.
Se simplificarmos a segunda fração, veremos
que a fração resultante será a mesma que a primeira
fração, portanto, são equivalentes. Neste caso, temos
uma proporção acontecendo.
ALGUMAS DEFINIÇÕES...
Razão
Razão é o quociente entre dois valores, ou
seja, a divisão ou comparação entre eles.
Podemos ter como exemplo de razão a escala
de um mapa. Veja:
1 : 100.000 cm
Na escala acima, vemos uma comparação
entre o tamanho representado pelo mapa
(representação de um espaço através de um figura) e
o tamanho real. O “tamanho” a que se refere aqui
pode ser, por exemplo, a distância entre duas cidades.
A escala (que é uma razão) acima nos diz que se a
distância entre duas cidades no mapa é de 1 cm,
então, a distância real entre as duas cidades é de
100.000 cm, ou seja, 1km.
A razão que nos interessa aqui é a razão entre
dois segmentos. Razão entre dois segmentos é o
quociente entre os números que exprimem suas
medidas, sendo sempre o segundo número diferente
de zero, ou seja, dado um número a e um número b, a
razão entre a e b é representada por
TEOREMA DE THALES
Um feixe de retas paralelas (a, b, c e d na figura)
determina em duas transversais quaisquer, (r e s na
figura) segmentos proporcionais.
r
A
B
C
D
a
; b≠0
b
. (lê-se: a está para b ou simplesmente a
s
A’
a
B’
Na figura, a//b//c//d.
b
C’
c
D’
d
Podemos escrever, para a figura acima:
para b).
AB A' B' CD
AC
AD
BD





BC B' C ' C ' D' A' C ' A' D' B' D'
A razão entre os lados de um televisor padrão
widescreen é 16:9, ou seja, a cada 16 cm de
comprimento, temos 9 cm de largura.
Vale ressaltar que a mesma razão acima pode ser
também escrita na forma 16 .
9
CONSEQUÊNCIAS DO TEOREMA DE THALES
1ª consequência:
Quando uma reta paralela a um lado de um
triangulo intercepta os outros lados em dois pontos
Proporção
23
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GEOMETRIA
distintos, ela determina sobre esses lados segmentos
proporcionais.
A
r//BC  EF//BC
AE
AF
AB


EB
FC
AC

E
F
r
B
C
O que você diria sobre as figuras acima?
São iguais?
Se você respondeu que sim, experimente pegar uma
régua e medir os lados de cada uma delas. E então,
são iguais.
Você deve ter percebido que não, não pela
dificuldade visual, mas pelo conceito do “igual”.
Quando dizemos que duas figuras são iguais, elas
devem ter todas as características em comum,
inclusive o tamanho. E isso, é fácil verificar que não
acontece com as duas figuras anteriores.
Contudo, mesmo não podendo dizer que são iguais,
podemos dizer que são figuras semelhantes.
2ª consequência:
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo
divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos
lados adjacentes.
A
â
B
â
AB AC

BD CD
D
Duas figuras são semelhantes quando possuem a
mesma forma, ou seja, quando possuem mesmos
ângulos e os lados correspondentes dessas figuras
são proporcionais.
C
Observações:
Se dois triângulos são semelhantes e a razão de
semelhança é k, então:





Quando ampliamos ou reduzimos uma figura de modo
que essa mudança aconteça de forma proporcional,
obtemos assim duas figuras semelhantes.
Voltando às figuras anteriores...
Você notou que o comprimento da figura maior é o
produto (multiplicação) entre o comprimento da
primeira figura e um número k?
Você notou que o mesmo acontece com a largura?
Esta é uma característica presente em figuras que
são semelhantes – seja uma ampliação ou redução de
uma outra figura, isso só acontece multiplicando ou
dividindo ambos os lados por um mesmo número – e k
é chamado de razão de semelhança entre as figuras
ou constante de proporcionalidade.
a razão entre duas alturas correspondentes é k.
a razão entre duas medianas correspondentes é k.
a razão entre duas bissetrizes correspondentes é k.
a razão entre seus perímetros é k.
a razão entre suas áreas k2.
Semelhança aplicada a Triângulos
Dizemos que duas figuras – ou dois objetos – são
semelhantes quando se parecem. Uma lapiseira e
uma caneta, por exemplo, são parecidos e, por isso,
poderíamos dizer “são semelhantes”.
Mas, o conceito que semelhança que será
abordado aqui não é o mesmo do dia-a-dia, o mesmo
que poderíamos aplicar à lapiseira e à caneta, mas
trataremos aqui o conceito de semelhança do ponto
de vista da Geometria, ou seja, da Matemática.
Observe as imagens a seguir.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes quando tiverem:
 ângulos correspondentes congruentes;
 lados correspondentes proporcionais.
Se um triângulo ABC é semelhante a outro DEF,
indicamos que são semelhantes da seguinte forma:
ABC ~ DEF
Observe os triângulos representados pelas figuras a
seguir.
D
A
b
b k
35º
35º
24
80º
65º
B
C
E
F
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GEOMETRIA
Pelas representações, verificamos que ABC ~
DEF, já que Aˆ  Bˆ , Bˆ  Eˆ e Ĉ  Fˆ . E temos que
63. (CAP-UFRJ-06) Na figura
ao lado, o ABC é retângulo e
isósceles.
Considere AP = 3 e PQ = 6.
a) Determine a medida do
segmento AQ.
b) Determine o perímetro do
ABC.
AB AC BC .


DE DF EF
Observe os exercícios resolvidos a seguir.
Exercício 1
As retas r1, r2 e r3, na figura a seguir, são paralelas
e as medidas dos segmentos de transversais são
dadas em centímetros. Nessas condições, calcule o
valor de x.
t2
t1
64. Determine o valor de x e y nas figuras.
a)
MN // BC
r1
1,2
r2
B
r3
c)
Solução:
x 1,2  3 x = 1,2  15  3x = 18  x = 18 

15
3
M
4
N
5
4
x
DE // AC
A
D
21
E
20
8
12 B
6
x
E 4
EB // DC
y
A
5
C
15
d)
D
B
y
C
y
3
N
10
B
6
12
x = 3 cm.
6
x
y
M
3
15
MN // BC
A
A
4
x
b)
x
C
C
Exercício 2
Qual o valor de x na figura a seguir?
D
A
x
35º
39 cm
13 cm
12 cm
80º
65º
B
65. Determine a medida do lado do quadrado da
figura abaixo.
35º
10 cm
C
E
4
F
30 cm
6
66. (Enem) A sombra de uma pessoa que mede 1,80
m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu
lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m.
Se, mais tarde, a sombra do poste diminui 50 cm, a
sombra da pessoa passou a medir:
a) 30 cm b) 45 cm c) 50 cm d) 80 cm e) 90 cm
XERCÍCIOS
62. Para medir a altura de um pinheiro, fiz o seguinte:
peguei um bastão de 1,5 m e verifiquei que ele
projetava uma sombra de 2 m, enquanto o
pinheiro projetava uma sombra de 16m. Que
altura encontrei?
67. Observe as afirmações a seguir.
I. Todos os triângulos congruentes são semelhantes.
II. Todos os triângulos semelhantes são congruentes.
h
25
1,5 m
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
III. Todos os triângulos retângulos são semelhantes.
IV. Todos os triângulos equiláteros são semelhantes.
V. Dois triângulos isósceles que têm os ângulos do
vértice congruentes são semelhantes.
A respeito das afirmações, podemos dizer que:
a) todas são verdadeiras.
b) todas são falsas.
c) uma delas é verdadeira.
d) duas delas são verdadeiras.
e) três delas são verdadeiras.
71. (UFF-2002) O circuito triangular de uma corrida
está esquematizado na figura a seguir.
P Rua PQ Q Av. QR
R
4 km
2 km
3 km
Av. SR
S
Rua TS
T
68. (UNIRIO) Numa cidade do interior, à noite, surgiu
um objeto voador não identificado, em forma de disco,
que estacionou a 50 m do solo, aproximadamente. Um
helicóptero do exercito, situado a aproximadamente 30
m acima do objeto, iluminou-o com um holofote,
conforme mostra a figura.
30 m
50 m
As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada
corredor deve percorrer o circuito passando,
sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando,
finalmente, a S. Assinale a opção que indica o
perímetro do circuito.
a) 4,5km b) 19,5km c) 20,0km d) 22,5km e) 24,0km
Sendo
assim,
pode-se
afirmar que o raio do discovoador
mede,
em
m,
aproximadamente:
a. 3,0
b. 3,5
c. 4,0
d. 4,5
e. 5,0
72. Na figura, AB e DE são paralelos. Calcule o valor
de x.
B
A
6 cm
7 cm
C
x
5 cm
sombra
16 m
E
D
69. (UFRJ – Específica) Três goiabas perfeitamente
esféricas de centros C1, C2 e C3 e raios 2 cm, 8 cm e 2
cm estão sobre uma mesa tangenciando-se como
sugere a figura abaixo.
Um bichinho que
está no centro da
primeira
goiaba
C2
quer se dirigir para
o centro da terceira
pelo caminho mais
C1
C3
curto.
73. A razão de semelhança de dois triângulos
equiláteros é 2/5. O lado do menor mede 8 m. Calcule
a medida do lado do outro triângulo.
74. Na figura, AD é a bissetriz interna do ângulo A.
Calcule o valor de x.
A
70. (UEL) O gráfico a seguir mostra a atividade de
café, em milhões de toneladas, em certo município do
estado do Paraná.
B
14
2 cm
D
x
C
75. Um triângulo, cujos lados medem 12 m, 18 m e
20m, é semelhante a outro cujo perímetro mede 10 m.
Calcule as medidas dos lados do triângulo menor.
5
76. Um menino de 1,50 m de altura observa, num dia
de sol, as sombras de uma torre de radio-emissora e a
sua própria sombra. Não dispondo de uma fita métrica
ou de trena, ele toma um cordão, mede sua sombra e
a compara com a da torre, verificando ser esta 10
vezes a medida da sua. Calcule a altura da torre.
anos
1990
8 cm
4 cm
Quantos centímetros percorrerá?
1996
De acordo com o gráfico, é correto afirmar que, em
1994, a produção de café nesse município foi, em
milhões de toneladas:
a) 9,5 b) 9 c) 10,5 d) 11 e) 12,5
26
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
77. Um menino de 1,50 m de altura observa, num dia
de sol, as sombras de uma torre de radio-emissora e a
sua própria sombra. Não dispondo de uma fita métrica
ou de trena, ele toma um cordão, mede sua sombra e
a compara com a da torre, verificando ser esta 10
vezes a medida da sua. Calcule a altura da torre.
a2 = b2 + c2
a
b
c
GABARITO:
62-12m; 63-18+92; 64-a) x=10 e y=6 b) x=8; y=3 c) x = 10/3 e y =
20/3 d) x = 18; y = 14; 65-2,4; 66-B; 67-E; 68-A; 69-16,8 cm; 70-D;
71-B; 72-35/6; 73-20m; 74-4 cm; 75-12/5, 18/5 e 4 cm; 76-15m; 7715m
Exemplo de aplicação do Teorema de Pitágoras:
RELAÇÕES MÉTRICAS NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS
(FAETEC-05) No topo de uma caixa d’água distante 6m do
solo, apóia-se uma escada, como na figura abaixo.
A
6m
Â1
b
h
C
Â2 c
H
m
8m
B
n
Se a distância da viga de sustentação da caixa d’água até o
pé da escada é de 8 m e a sua altura é de 6 m, o
comprimento dessa escada, em metros é:
a
Solução:
Chamando o comprimento da escada de x, temos:
O ABC acima é chamado “triângulo retângulo”
porque possui um ângulo interno reto, ou seja, 90º.
Os lados perpendiculares entre si – que formam o
ângulo reto – denominam-se catetos. O lado oposto
ao ângulo reto (maior ângulo) é chamado hipotenusa.
a2 = b2 + c2
x2 = 62 + 82
x2 = 36 + 64
x2 = 100
x = 100
x = 10
No triângulo retângulo acima, no qual  é o ângulo
reto, temos:
Resposta: 10 metros
a é a medida da hipotenusa BC.
c é a medida do cateto AB.
b é a medida do cateto AC.
h é a medida da altura AH.
m é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.
n é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
EXERCÍCIOS
78. Em um triângulo retângulo os catetos medem
15cm e 20cm. Ache as medidas de sua hipotenusa.
79. Em um triângulo retângulo os catetos medem
15cm e 20cm. Ache as medidas de sua hipotenusa.
Em relação aos ângulos, temos as relações:




m( A1 )  m( B) ou m( A2 )  m(C )
80. (UFPE) Um barco navegou 10 km para o oeste,
depois 5 km para o sul, depois 13 km para o leste, e
finalmente 9 km para o norte.
Onde o barco parou relativamente ao ponto de
partida?
a) 5 km ao norte
b) 3 km a sudeste
c) 4 km ao sul
d) 3 km a sudoeste
e) 5 km a nordeste
Em relação aos lados, temos as relações:
1) a = m + n
2) b2 = am
3) c2 = na
4) h2 = mn
5) ah = bc
TEOREMA DE PITÁGORAS
Em qualquer triângulo retângulo vale a relação
27
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
Sabendo que AB, CD e DE medem, respectivamente,
6m, 4m e 4m, calcule a medida de BE.
parede
muro
muro
Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
"Quem és tu?" – indagou ele em ânsia radical.
"Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa."
...................................................................................
parede
81. Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à
Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o
fragmento abaixo:
45º
Figura 2
Figura 1
(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para
atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a
seguinte resposta:
a) "Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de
hipotenusa."
b) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode
me chamar de hipotenusa."
c) "Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode
me chamar de quadrado da hipotenusa."
d) "Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode
me chamar de quadrado da hipotenusa."
85. (UFRJ-99-2ª fase) Na figura, o triângulo AEC é
equilátero e ABCD é um quadrado de lado 2 cm.
Calcule a distância BE.
82. A medida da altura do trapézio a seguir é:
86. Use o teorema de
Pitágoras para encontrar
a fórmula da diagonal do cubo abaixo.
12
10
10
h
a) 9,5
b) 9
c) 8,5
a
d
24
d) 8
a
a
83. (UERJ-2000) Observe o desenho.
Ele representa uma folha
retangular com 8cm x
13cm, que foi recortada
formando duas figuras I e
II,
que,
apesar
de
distintas,
possuem
a
mesma área.
A diferença entre o
perímetro da figura I e da
figura
II,
em
cm,
corresponde a:
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6
87. As circunferências da figura abaixo possuem raios
R e r. Calcule o segmento da tangente comum.
x
84. (UFF) Na figura abaixo, os triângulos ABC e DEF
são equiláteros.
88. Considere a figura a seguir na qual os segmentos
de reta AB e CD são perpendiculares ao segmento de
reta BC. Se AB = 19 cm, BC = 12 cm e CD = 14 cm,
determine a medida, em cm, do segmento de reta AD.
B
E
A
A
C
D
F
D
28
PROF ANDRÉ FONSECA
B
GEOMETRIA
uma estação central que seja ao mesmo tempo
equidistante das estações A e B e da estrada (reta)
que liga as estações C e D.
A nova estação deve ser localizada
(A) no centro do quadrado.
(B) na perpendicular à estrada que liga C e D
passando por seu ponto médio, a 15 km dessa
estrada.
(C) na perpendicular à estrada que liga C e D
passando por seu ponto médio, a 25 km dessa
estrada.
(D) no vértice de um triângulo equilátero de base AB,
oposto a essa base.
(E) no ponto médio da estrada que liga as estações A
e B.
C
89. Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma
escada na parede de sua casa, de forma que o topo
da escada ficou a uma altura de 14 metros (figura 1).
Enquanto Roberto subia os degraus, a base da
escada escorregou por 1 metro, indo tocar o muro
paralelo à parede (figura 2). Refeito o susto, Roberto
reparou que, após deslizar, a escada passou a fazer
um ângulo de 45º com a horizontal (figura 2).
Pergunta-se:
A) qual é a distância entre a parede da casa e o
muro?
B) Qual é o comprimento da escada de Roberto?
90. Os semicírculos de diâmetro AO, OB e AB têm
centros sobre a reta AB. O círculo de centro O lhes é
tangente. Se AB = 12 cm, calcule R.
R
O´
A
O
B
a) 1 cm
b) 3 cm
c) 5 cm
d) 2 cm
e) 4 cm
91. (ENEM-2006) Observe a figura.
Na figura acima, que representa o projeto de uma
escada com 5 degraus de mesma altura, o
comprimento total do corrimão é igual a
A) 1,8 m.
B) 1,9 m.
C) 2,0 m.
D) 2,1 m.
E) 2,2 m.
92. (ENEM-2005) Quatro estações distribuidoras de
energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de
um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir
29
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
Um metro quadrado (1m2) é uma superfície que corresponde
a um quadrado de 1 metro de lado.
GABARITO
61-25 cm; 62- – 2 + 22 ou – 2(1 – 2); 63-E; 64-D; 65-D; 66-D; 67BE = 84 ou 221; 68-6 – 2; 69-a3; 70-2Rr; 71-13cm; 72- a) 3m
b) 32 m; 73-D; 14-D; 15-B
área
de Figuras Planas
ÁREA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
Área do Paralelogramo
O CONCEITO DE ÁREA
Em diversos contextos e por vários motivos os povos
sentiram necessidade de medir superfícies. No antigo Egito, por
exemplo, a cada ano, os estiradores de cordas – homens
incumbidos de demarcar as terras inundadas pelo rio Nilo,
determinavam a área de cada propriedade, não apenas para que
os proprietários pudessem preservar suas terras, mas também e
principalmente, para que fosse garantido o pagamento dos
impostos sobre essas propriedades aos faraós.
Atualmente, por outros motivos, temos a necessidade de
determinar áreas. Por exemplo, ao fazer a previsão de gastos para
azulejar uma cozinha, ou, ainda, para decidir qual a área que um
escritório deve ter para acomodar uma determinada quantidade de
funcionários.
É importante saber que para medir* uma superfície é
necessário tomar uma outra superfície, considerada unidade de
medida, e verificar quantas vezes essa superfície cabe naquela
que se quer medir.
Slosango = b  h
h
b
Áreas de Triângulos
Conhecendo sua base e sua altura
STriângulo =
h
* um dos significados para a palavra medir é comparar. Ao medir
uma superfície, estamos, na verdade, comparando-a com outra, que
pode ser menor ou maior.
bh
2
b
Conhecendo o lado (l) de um triângulo equilátero
NOTAS
Unidade de medida é o instrumento usado para comparar
medidas. Por exemplo, o m2, a polegada, a jarda o ano-luz etc.
Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus
lados.
Figuras congruentes têm mesma área.
Se uma região R é dividida em duas regiões R1 e R2, então,
SR = SR1 + SR2.
A área de uma região retangular é o produto dos
comprimentos de dois lados consecutivos.
STriângulo =
l2 3
4
l
Conhecendo seus lados – Fórmula de Hierão
Sretângulo = b  h
h
c
b
a
Duas figuras são ditas equivalentes quando têm áreas
iguais.
b
30
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
p p  a p  b p  c
STriângulo =
p é o semi-perímetro do triângulo
Conhecendo dois lados e o ângulo entre eles
STriângulo =
b
b  c  sen
2

c
Área do Losango
EXERCÍCIOS
A
B
SLosango =
D
C
93. (UFRJ - 2004) Um grande ato publico em favor da
Educação foi organizado em uma certa cidade. Uma
avenida de 1,25 km de extensão e 40 m de largura foi
totalmente tomada pelo público.
Supondo que quatro pessoas ocupam 1 metro
quadrado, calcule quantas pessoas foram ao evento.
DB  AC
2
Área do Trapézio
A
base menor
94. (Unirio-2002) Considere um tablado para a Escola
de Teatro da UNIRIO com a forma trapezoidal abaixo.
B
STrapézio =
M
( AB  CD)
h
2
15 m
5m
N
bm
5m
9m
D
Quantos m2 de madeira serão necessários para cobrir
a área delimitada por esse trapézio?
a) 75 b) 36 c) 96 d) 48 e) 60
C
Base maior
Área do Círculo de raio R
SCírculo =
O
raio
95. Calcule a área sombreada, sabendo que a área do
paralelogramo é 80 m2.
r 2
A
96. (UENF 2000) Um terreno com a forma de um
quadrado de 40m de lado foi dividido em três regiões
retangulares, destinadas à construção de uma casa
(I), um campo de futebol (II) e uma piscina (III),
conforme sugere a figura a seguir:
Área do Setor Circular de raio R e ângulo 
(I)
O

S Setor
R

360º
40 m
R 2
31
(II)
(III)
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
x
100.
(UFF-2000) Os retângulos R1, R2 e R3,
representados na figura, são congruentes e estão
divididos em regiões de mesma área.
25 m
Sabendo que as áreas das regiões I e II são iguais,
calcule:
A) a área da região II;
B) o valor de x na região III.
R1
R2
R3,
Ao se calcular o quociente entre a área da região
pintada e a área total de cada um dos retângulos R 1,
R2 e R3, verifica-se que os valores obtidos formam
uma progressão geométrica (P.G.) decrescente de
três termos.
A razão dessa P. G. é:
a)1/8 b) 1/4 c) 1/2 d) 2 e) 4
97. (Enem) Um terreno com o formato mostrado na
figura foi herdado por quatro irmãos e deverá ser
dividido em quatro lotes de mesma área. Um dos
irmãos fez algumas propostas de divisão para que
fossem analisadas pelos demais herdeiros.
Dos esquemas abaixo, onde lados de mesma medida
têm símbolos iguais, o único em que os quatro lotes
não possuem, necessariamente, a mesma área é:
101.
(ENEM-03) Dados divulgados pelo Instituto
Nacional de Pesquisas Espaciais mostraram o
processo de devastação sofrido pela Região
Amazônica entre agosto de 1999 e agosto de 2000.
Analisando fotos de satélites, os especialistas
concluíram que, nesse período, sumiu do mapa um
total de 20000 quilômetros quadrados de floresta. Um
órgão de imprensa noticiou o fato com o seguinte
texto:
O assustador ritmo de destruição é de um
campo de futebol a cada oito segundos.
Considerando que um ano tem aproximadamente
32x106 s (trinta e dois milhões de segundos) e que a
medida da área oficial de um campo de futebol é
aproximadamente 10-2 km2 (um centésimo de
quilômetro quadrado), as informações apresentadas
nessa notícia permitem concluir que tal ritmo de
desmatamento, em um ano, implica a destruição de
uma área de
A) 10 000 km 2, e a comparação dá a ideia de que a
devastação não é tão grave quanto o dado numérico
nos indica.
B) 10 000 km 2, e a comparação dá a ideia de que a
devastação é mais grave do que o dado numérico nos
indica.
C) 20 000 km 2, e a comparação retrata exatamente o
ritmo da destruição.
D) 40 000 km 2, e o autor da notícia exagerou na
comparação, dando a falsa impressão de gravidade a
um fenômeno natural.
(E) 40 000 km 2 e, ao chamar a atenção para um fato
realmente grave, o autor da notícia exagerou na
comparação.
98. (UFRJ) Na figura abaixo o quadrado ABCD tem
lado 6. Q1, Q2, Q3 e Q4 são quadrados de lado x. A
região hachurada tem área 16.
Determine x.
102.
(ENEM-01) Um município de 628 km² é
atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A
e B alcançam um raio de 10km do município,
conforme mostra a
figura:
Para orçar um contrato
publicitário,
uma
agência precisa avaliar
a probabilidade que um
morador
tem
de,
circulando livremente
99. (PUC-SP) Uma pizzaria oferece aos seus clientes
pizzas grandes de forma circular por R$ 50,00. Para
atender alguns pedidos, a pizzaria passará a oferecer
a seus clientes pizzas médias, também de forma
circular. Qual deverá ser o preço da pizza média, se o
preço das pizzas são proporcionais às suas áreas?
(Dados: raio da pizza grande = 35 cm e raio da pizza
média = 28 cm).
32
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
pelo município, encontrar-se na área de alcance de
pelo menos uma das emissoras.
Essa probabilidade é de, aproximadamente,
A) 20% B) 25% C) 30% D) 35% E) 40%
107.
(UERJ-2011-1ºEQ) A embalagem de papelão
de um determinado chocolate, representada na figura
abaixo, tem a forma de um prisma pentagonal reto de
altura igual a 5 cm.
103.
(UERJ-2003) Uma folha de papel retangular,
como a da figura 1, de dimensões 8 cm × 14 cm, é
dobrada como indicado na figura 2.
Em relação ao prisma, considere:
- cada um dos ângulos A, B, C e D da base superior
mede 120º;
- as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada.
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a
embalagem custa R$10,00 por m 2 e que 3 = 1,73.
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor,
em reais, gasto somente com o papelão é
aproximadamente igual a:
a) 0,50 b) 0,95 c) 1,50 d) 1,85
Se o comprimento CE é 8 cm, a área do polígono
ADCEB, em cm2,é igual a:
a) 112 b) 88
c) 64 d) 24
104.
(Unesp-SP) O menor país do mundo é o
Vaticano, com 0,4 km2 de área. Se o território do
Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a
medida de seus lados, em metros, estaria entre:
a) 200 e 201 b) 220 e 221
c) 401 e 402 d) 632 e 633
108.
(UFF-04) Dentre as previsões populacionais
para o Brasil, a mais sensata parece ser a do Fundo
das Nações Unidas. Essa instituição prevê que o país
estacionará em torno de 400 milhões de habitantes,
no fim do século XXI.
105.
(UFRJ - 2005) Uma pizzaria vende pizzas
grandes e pequenas no tradicional formato circular. As
grandes têm 40 cm de diâmetro e custam R$ 18,00;
as pequenas têm 20 cm de diâmetro e custam R$
6,00. Todas têm a mesma espessura.
a) Lúcia e Raquel foram a essa pizzaria dispondo,
cada uma, de R$ 10,00. Raquel propôs dividir uma
pizza
grande; Lúcia sugeriu que pedissem três pequenas.
Qual dessas opções permite que elas comam mais?
b) Manuel e Joaquim foram a essa pizzaria, com muita
fome, e gastaram R$ 60,00 em 10 pizzas pequenas.
Determine de quantas outras formas eles poderiam,
nessa pizzaria, gastar os mesmos R$ 60,00 em
pizzas.
c) Em qual das opções do item anterior os dois
comeriam mais pizzas?
Trecho adaptado de reportagem da revista Veja, 27 de março de 1996.
A mesma reportagem considera, ainda, que tal
crescimento populacional garantiria ao Brasil uma
densidade demográfica (razão entre o número de
habitantes e a área do país), no fim do século XXI,
igual à metade da densidade demográfica da França
no ano de 1996.
Sabe-se que a área territorial do Brasil é,
aproximadamente, 15,5 vezes a área da França.
Pode-se concluir, de acordo com a reportagem, que a
população da França, em 1996, em milhões de
habitantes, era de, aproximadamente:
A) 12,6
D) 75,7
B) 25,8
E) 103,20
C) 51,6
106.
(UENF-UERJ-01) Um atleta está treinando em
uma pista retilínea e o gráfico abaixo apresenta dados
sobre seu movimento.
v (m/s)
4
GABARITO
2
5
10
71-200.000 pessoas; 72-D; 73-40 m2; 74- a) 600 m2,
b) 16 m; 75-E; 76- x = 1 ou x = 2; 77-R$ 32,00; 78-C;
79-E; 80-B; 81-C; 82-D; 83- a) A opção que Raquel
sugeriu.
b) Três maneiras diferentes: 3 grandes e 1 pequena, 2
grandes e 4 pequenas e 1 grande e 7 pequenas. c) Na
opção: 3 grandes e 1 pequena; 84-22,5; 85- B; 86-C
t (s)
A distância percorrida pelo corredor, no intervalo entre
0 e 5 segundos, é igual à área do trapézio sombreado.
Calcule essa distância.
33
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
Observe o triângulo retângulo ABC, indicado a seguir.
B

 < 90º
 < 90º
 +  = 90º
a
c

A
C
b
No triangulo, temos:
BC - hipotenusa de medida a.
AB e AC - catetos de medidas, respectivamente c e b.
Chamamos de razões trigonométricas as divisões
entre os lados do triângulo retângulo.
TRIGONOMETRIA
Para isso, tomemos como ângulo de referência o
ângulo .
Para , temos:
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
cateto oposto a  AB c
  seno de 
=
BC a
hipotenusa
A palavra trigonometria, de origem grega (tri =
três, gono = ângulo, metria = medida), significa “medida
de triângulos”. Como o nome sugere, a Trigonometria é
a parte da Matemática que estuda as relações entre as
medidas dos lados e as medidas dos ângulos de um
triângulo.
Embora não se tenha informações precisas sobre
a origem desse estudo, há registros de sua aplicação por
babilônicos e antigos egípcios, especialmente na
Agrimensura e na Astronomia. A Trigonometria era
usada, por exemplo, para determinar distâncias que não
podiam ser medidas com instrumentos, como distâncias
entre planetas. Entre os gregos, suas primeiras aplicações
práticas ocorreram com Ptolemaios, por volta do ano 150
d.C., que a usou para determinar a latitude e longitude de
cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.
Do mundo grego, a Trigonometria passou para a
Índia, onde era usada, a partir do século V, nos cálculos
astrológicos. No ano 800, aproximadamente, ela chega
ao mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e
aplicada na Astronomia e Cartografia. Alcança, com os
livros de Ptolemaios, a Europa Cristã em torno do ano
1100. Com os portugueses encontra uma aplicação de
enorme valor econômico na Navegação Oceânica.
Até cerca de 1600, todas as aplicações da
Trigonometria (Astronomia, Cartografia e Navegação
Oceânica) nada tinham a ver com problemas de
agrimensura ou topografia. É importante observar que,
nesse período, a Trigonometria estava num estágio
bastante desenvolvido, em muito ultrapassando o que é
hoje ensinado no ensino médio.
Seno de um ângulo agudo é a razão entre a
medida do cateto oposto ao ângulo e a medida da
hipotenusa. Indica-se: sen 
cateto adjacente a  AC b
  cosseno de 
=
BC a
hipotenusa
Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a
medida do cateto adjacente ao ângulo e a medida
da hipotenusa. Indica-se: cos 
AB c
cateto oposto a 
  tangente de 
=
cateto adjacente a  AC b
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a
medida do cateto oposto ao ângulo e a medida do
cateto adjacente ao ângulo. Indica-se: tg 
VALORES DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS
ÂNGULOS NOTÁVEIS (30º, 45º E 60º)
A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir
não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as
artes e poupar trabalho aos homens. (Descartes)
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
34
30º
45º
60º
Seno
1
2
Cosseno
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
3
3
Tangente
1
b) o valor correto.
c) a metade do valor correto.
d) o dobro do valor correto.
e) um valor maior que o correto, diferente do dobro do
correto.
3
Exercícios resolvidos:
Calcular seno, cosseno e tangente de cada ângulo
agudo na figura.
6

2. Um avião levanta vôo em B, e sobe fazendo um
ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura
estará e qual a distância percorrida quando passar
pela vertical que passa por uma igreja situada a 2 km
do ponto de partida?
Dados: sen 15º = 0,26 e tg 15º = 0,27.
10

8
8 4

10 5
6 3

cos =
10 5
8 4
tg = 
6 3
6 3

10 5
8 4

cos =
10 5
6 3
tg = 
8 4
sen =
sen =
3. (Fumec-MG) x =
sen 60º  cos 45º
implica:
tg30º
2 3
3
3 6
b) x =
2
3 2
c) x =
2
3 6
6
32 6
e) x =
3
a) x =
Calcular a medida x no triangulo retângulo a seguir.
12
º
d) x =
4. (FUVEST-SP) Calcule x indicado na figura.
x
Na figura acima temos, para o ângulo dado (30º), o
cateto adjacente e a hipotenusa do triângulo.
Das razões trigonométricas apresentadas, a única que
trabalha com esses elementos é a razão cosseno.
Portanto, vamos trabalhar com o cosseno de 30º, que
x
30º
60º
100m
3
na tabela trigonométrica nos dá o valor
.
2
5. (UERJ) Um barco navega na direção AB, próximo a
um farol P, conforme a figura abaixo.
Para resolver um problema desse tipo, devemos
igualar o valor “numérico” do cosseno dado na tabela
com o valor algébrico do cosseno representado pela
figura.
Logo, teremos:
x
3

12
2
Resolvendo essa regra de três, obtemos
x = 6 3.
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da
embarcação ao farol, forma um ângulo de 30º com a
direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no
ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da
embarcação ao farol, forma um ângulo de 60º com a
mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB, a
menor distância entre a embarcação e o farol será
equivalente, em metros, a:
a) 500 b) 5003 c) 1.000 d) 1.0003
EXERCÍCIOS
1. (UNIRIO-2005) Ao ser indagado sobre o valor de
sen 45º, um estudante pensou assim:
45º = 30º 60º
2
sen 45º = sen30º  sen 60º
2
6. (UERJ - 2000) Observe a bicicleta e a tabela
trigonométrica.
Continuando nesse raciocínio, o estudante encontrou
como resposta:
a) um valor menor que o correto, diferente da metade
do correto.
35
PROF ANDRÉ FONSECA
ÂNGULO
(em graus)
10
11
12
13
14
GEOMETRIA
SENO
COSSENO
TANGENTE
0,174
0,191
0,208
0,225
0,242
0,985
0,982
0,978
0,974
0,970
0,176
0,194
0,213
0,231
0,249
9. (UERJ-09) Um piso plano é revestido de
hexágonos regulares congruentes cujo lado mede 10
cm.
Na ilustração de parte desse piso, T, M e F são
vértices comuns a três hexágonos e representam os
pontos nos quais se encontram, respectivamente, um
torrão de açúcar, uma mosca e uma formiga.
Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual
a 120 cm e os raios PA e QB medem,
respectivamente, 25 cm e 52 cm.
De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte
valor:
a) 10º b) 12º c) 13º d) 14º
Ao perceber o açúcar, os dois insetos partem no
mesmo instante, com velocidades constantes, para
alcançá-lo. Admita que a mosca leve 10 segundos
para atingir o ponto T. Despreze o espaçamento entre
os hexágonos e as dimensões dos animais.
A menor velocidade, em centímetros por segundo,
necessária para que a formiga chegue ao ponto T no
mesmo instante em que a mosca, é igual a:
(A) 3,5 (B) 5,0 (C) 5,5 (D) 7,0
7. (UNI-RIO - RJ) Um disco voador é avistado, numa
região plana, a uma certa altitude, parado no ar. Em
certo instante, algo se desprende da nave e cai em
queda livre, conforme mostra a figura. A que altitude
se encontra esse disco voador?
10. (UFRJ-99-2ª fase) Na figura a seguir, os círculos
de centros O1 e O2 são tangentes em B e têm raios
1cm e 3cm.

d
Considere as afirmativas:
I. A distância d é conhecida.
II. A medida do ângulo  e a tg do mesmo ângulo são conhecidas.
Então, tem-se que:
a) A I sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a II
sozinha, não.
b) A II sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a I,
sozinha, não.
c) I e II, juntas são suficientes para responder à pergunta, mas
nenhuma delas, sozinha, não é.
d) Ambas são, sozinhas, suficientes para responder à pergunta.
e) A pergunta não pode ser respondida por falta de dados.
Determine o comprimento da curva ABC.
GABARITO
1- ; 2- altura: h = 0,54 km ; distância: d  2,07 km; 3-B;
4-x = 503 m; 5-B; 6-C; 7-C; 8-35,70 m; 9-D; 10-5/3
8. Um observador, com 1,70m de altura, vê uma luz
no alto de uma torre de televisão, sob um ângulo de
60º, como mostra a figura. Esse observador se
encontra a 20m da base da torre (distância horizontal).
Determine a altura aproximada da torre.
(Dado:
3  1,7 )
36
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
É a essa infinidade de pontos que chamamos
CIRCUNFERÊNCIA, ou seja, circunferência é na
verdade um conjunto de pontos tal que a distância
entre eles e um ponto fixo – neste caso, o centro – é
sempre a mesma.
E mais, a essa distância que é sempre constante
(isso quer dizer que não há variação) chamamos RAIO
da circunferência.
Na figura ao lado, tem-se que
o segmento OB é um raio da
circunferência. O segmento
OC também é um raio.
C
O
B
Repare que neste desenho o
interior da circunferência foi
sombreado (hachurado).
A essa região sombreada
chamamos CÍRCULO.
Em qualquer circunferência, dois raios colineares
são chamados de DIÂMETRO. Na figura acima, CB é
um diâmetro.
A C i r c u n f e r ê n c i a
ENTENDENDO
O QUE É UMA
Observe a figura a seguir.
COMPRIMENTO
s e u
DE UMA
CIRCUNFERÊNCIA
C o
m p r i m e Neste
n tópico,
t ovamos desenvolver uma atividade e
CIRCUNFERÊNCIA
para isso você vai precisar de:
 algum material que seja redondo – um CD, uma
bandeja, uma roda etc;
 um barbante ou um pedaço de linha (também pode
ser uma fita métrica);
 uma régua (caso não tenha uma fita métrica)
 um lápis ou uma caneta, ou algo que possa marcar
um ponto na linha (ou barbante) que estiver
usando.
E
I
O
A figura apresenta alguns pontos, O, I, E e outros
pontos que não foram nomeados.
Com o auxílio de uma régua, meça a distância,
em cm, entre o ponto O e os pontos que não foram
nomeados. Depois, coloque os resultados na tabela a
seguir.
Distância entre
OeI
OeE
O e os demais pontos
e
De posse dos materiais acima, encontre:
a) a medida do comprimento da borda
(circunferência) do objeto redondo;
b) a medida do diâmetro desse mesmo objeto.
Valor encontrado
Anote os valores na tabela a seguir.
Comprimento da borda
do objeto
Agora, pense e responda:
Quantos outros pontos você
acha que existem de modo que a
distância entre o ponto O e cada
um desses pontos seja sempre
igual à descrita na 3ª linha da
tabela acima?
Diâmetro do objeto
Agora, escreva no quadro a seguir o resultado da
divisão (razão) entre o comprimento da borda
(circunferência) e o diâmetro do objeto, e em
seguida, compare o resultado encontrado com o
resultado dos seus colegas.
37
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
borda

diâmetro
Saiba que as razões que vocês encontraram
devem ter valores próximos ao de um número muito
importante da Matemática, o qual é representado
pelo símbolo , que é a letra p do alfabeto grego e
pronuncia-se “pi”. Observe o valor de  a seguir com
100 casas decimais:
3,14159265358979323846264338327950288419716
9399375105820974944592307816406286208998628034
825342117068...
Saiba também que esse número não é um número
racional, ou seja, não pode ser obtido por meio de
uma razão, como você calculou nessa atividade. Ele é
obtido por outros métodos matemáticos. Além disso,
 possui infinitas casas decimais.
O importante é você ter observado que todos os
círculos (ou circunferências) apresentam uma
característica de regularidade expressada por esse
valor chamado .
Dessa regularidade, podemos então escrever a
seguinte equação:
C

d
Sabe-se que ABCD é um quadrado de lado 10 cm. As
linhas curvas são semicircunferências com centros nos
pontos médios, M e N, dos lados do quadrado.
5. Supondo que a Terra seja uma esfera de raio r =
6.375 km, determine a distância do equador a um
ponto situado a uma latitude 30º norte.
Adote  = 3,14.
6. (UFF) Um serralheiro deseja construir a grade de
ferro desenhada abaixo.
Sabe-se que MN é mediatriz do lado LK do retângulo
IJKL, a medida do ângulo JMK = IML = 60º e as
medidas de LK, MN e JK são, respectivamente, 2 m, 2
m e 3 m.
Para construir o arco de circunferência IJ, o
serralheiro deve utilizar uma vara de ferro com o
seguinte comprimento:
Onde C representa o comprimento da
circunferência e d, o diâmetro.
E a mesma equação pode ser escrita:
C d 
Ou ainda,
C  2r
a)
Onde r representa o raio da
circunferência.
1. As rodas de uma bicicleta têm 60 cm de diâmetro.
a) qual o comprimento da circunferência dessa roda?
b) quantas voltas dará cada roda num percurso de
94,2 m? (apenas no item b, use  = 3,14)
2. Um ciclista dá 500 pedaladas completas numa
bicicleta cujo raio da roda é 25 cm. Considerando que
a roda dá uma volta completa a cada pedalada dada
pelo ciclista, determine quantos metros ele percorreu
aproximadamente.
Considere  = 3,14
4. Determine o perímetro da figura sombreada,
indicada a seguir.
D
3
m
4
c)
4
m
5
d)
5
m e) m
6
Em que opção abaixo a roda traseira dá o maior
número de voltas por pedalada?
3. Numa circunferência de raio r = 30 cm, qual é o
comprimento de um arco que subentende um ângulo
central de 60º?
M
b)
7. (ENEM-98) As bicicletas possuem uma corrente que
liga uma coroa dentada dianteira, movimentada pelos
pedais, a uma coroa localizada no eixo da roda
traseira, como mostra a figura.
O número de voltas dadas pela roda traseira a cada
pedalada depende do tamanho relativo destas coroas.
EXERCÍCIOS
A
2
m
3
38
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GEOMETRIA
Um radiano é o ângulo central de um círculo que
subentende um arco de comprimento igual ao raio do
círculo.
A
r
arco AB de comprimento r
1 rad
8. (ENEM-98 - Adaptada) Quando se dá uma pedalada
na bicicleta a seguir (isto é, quando a coroa acionada
pelos pedais dá uma volta completa), qual é a
distância aproximada percorrida pela bicicleta, em
metros?
(use  = 3)
r
Neste caso, como o comprimento do raio é igual ao
comprimento arco, a medida do ângulo central é, em
radianos, igual a 1.
Como o comprimento de uma circunferência pode ser
calculado pela expressão 2r, podemos dizer quantas
vezes esse arco AB cabe na circunferência através da
divisão:
2r
, ou seja, 2 vezes.
r
Portanto, podemos concluir que o ângulo central
correspondente a uma volta é, em radianos, 2 rad.
Podemos, a partir dessa informação, estabelecer uma
relação entre medidas de ângulos em graus e radianos.
Algumas delas estão representadas a seguir.
GABARITO:
1-a) 60 cm, b) 50 voltas; 2 – 785 m; 3- 31,4 cm; 4-10(2 + ) cm; 5
- 3.336,25 km; 6-A; 7-A; 8-7,2 m;
TRIGONOMETRIA
II
I
0º  360º
180º
COMPRIMENTO DE CIRCUNFERÊNCIA
Supondo
que
pudéssemos
cortar
uma
circunferência e esticá-la, retificando-a, obteríamos um
segmento de reta AB. O comprimento desse segmento é
denominado comprimento da circunferência.
III
II
I
III
IV

IV
0  2
3/2
270º
Podemos, a partir da informação 180º =  e de uma
regra de três simples, calcular o valor de qualquer arco
em graus ou em radianos.
Exemplo: Qual é o arco em radianos, equivalente ao arco de
150º?
Solução:
Valor do arco em graus
Valor do arco em rad
180º

150º
x
r
circunferência retificada
/2
90º
TRIGONOMETRIA NO CICLO
A
B
B
A medida do comprimento da circunferência é
dada por:
180 º x  150 
150 
180
5
x
6
x
C = r
Aqui, o valor de p é 3,1415926...
UNIDADES DE MEDIDA DE ARCOS E ÂNGULOS
Para medir arcos e ângulos utilizam-se duas
medidas: o grau e o radiano.
ARCO ORIENTADO
A figura mostra que o
percurso de A para B pode ser
feito no sentido anti-horário,
seguindo o menor arco AB, ou no
sentido horário, seguindo o maior
arco AB.
O Grau
Dividindo uma circunferência em 360 partes
iguais, cada uma dessas partes é um arco de 1º. (lê-se: um
grau)
B
O
A
Estabelecendo como positivo o sentido anti-horário
(contrário ao movimento dos ponteiros do relógio) e
como negativo o sentido horário, temos:
O Radiano
39
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
B
B
A
O
Dando voltas no sentido positivo, temos:
sentido
positivo

A
O

2
sentido
negativo
med  AB   
3
rad
2
med  AB  

2
 2 ,

2
 2  2 ,

2
 3  2 ...
De modo geral, podemos escrever que todos os arcos
rad
côngruos a
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA OU
CICLO TRIGONOMÉTRICO
É a circunferência de raio unitário (r = 1) que se
divide em quatro regiões, por dois diâmetros
perpendiculares. Cada região é um quadrante.

são arcos do tipo
2

 2k , k   .
2
SENO E COSSENO NO CICLO
Seja P a extremidade do arco AP no primeiro
quadrante, como mostra a figura a seguir.
Lembre-se: no ciclo trigonométrico, o raio vale 1.
y
y
B(0, 1)
r = 1 A(1, 0)
C(- 1, 0)
1
x
O
D(0, - 1)
60º

.
3
60º (60º + 0  360º)
420º (60º + 1  360º)
780º (60º + 2  360º)
1.140º (60º + 3  360º)

x
O eixo y é o eixo dos senos e o eixo x é o eixo dos
cossenos.
Se P é um ponto do ciclo trigonométrico, podemos
escrever: M(cos, sen).
Essa nova ideia nos permite ir além dos ângulos agudos;
e passamos a ter também valores de senos, cossenos e
tangentes tanto positivos quanto negativos, dependendo
do quadrante onde se encontra a extremidade do arco
estudado.
A tabela a seguir fornece os sinais das razões seno,
cosseno e tangente de acordo com os quadrantes.
1º Quad 2º Quad 3º Quad 4º Quad
+
+
seno
+
+
cosseno
+
+
tangente
A
x
Existem infinitos arcos com extremidade em P, ou seja,
côngruo a 60º ou
B
A
Daí, definimos:
 sen  é a ordenada do ponto P;
 cos  é a abscissa do ponto P.

3
O

Do triângulo retângulo OPB, temos:
PB PB
sen  =

 PB
OP
1
OB OB
cos  =

 OB
OP
1
ARCOS CÔNGRUOS
Considere um ponto P localizado no 1º
quadrante do ciclo trigonométrico de modo que o arco
AP (A é ponto de origem do ciclo) forme um ângulo de
60º, ou seja, /3. É possível dar várias voltas num
sentido ou noutro de maneira que sempre o arco
produzido tenha a mesma extremidade P.
Chamamos esses arcos de arcos côngruos.
Lembre-se: uma volta é equivalente a 360º ou 2 rad.
y
Observe.
P
A(1, 0); P(B, C)
P
C
60º (60º + 0  360º)
– 300º (60º – 1  360º)
– 660º (60º – 2  360º)
– 1.020º (60º – 3  360º)

Importante: como a circunferência trigonométrica possui raio
unitário, ou seja, igual a 1, o seno ou o cosseno de qualquer arco
nunca pode ser menor que – 1 ou maior que 1.
- 1  sen   1
- 1  cos   1
A tangente pode ser calculada como a razão entre o seno e o
cosseno e o seu valor pode ser qualquer número real.
De um modo geral, podemos escrever uma expressão que
represente todos os arcos côngruos a 60º:
60º + 360ºk, k  
Exemplo:
Determinar todos os arcos côngruos ao arco de
medida


 2 ,  2  2 ,  3  2 ...
2
2
2
Ou no sentido negativo:

.
2
40
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triangulo
retângulo OPB da última figura, obtemos:
14.
(UERJ-2005-II)
A Terra pode ser
representada por uma
esfera cujo raio mede
6.400
km.
Na
representação
abaixo,
está indicado o trajeto de
um navio do ponto A ao
ponto C, passando por B.
P
OP 2  PB 2  OB 2
12  sen 2  cos 2 
 sen 2  cos 2   1
O
B
EXERCÍCIOS
Qualquer
ponto
da
superfície da Terra tem coordenadas (x;y), em que x
representa a longitude e y, a latitude. As coordenadas dos
pontos A, B e C estão indicadas na tabela a seguir.
Coordenadas
x
y
135º
0º
135º
60º
90º
60º
Pontos
9. As rodas de uma
A
bicicleta têm 60 cm de
B
diâmetro.
C
a) qual o comprimento da
circunferência dessa roda?
b) quantas voltas dará cada roda num percurso de 94,2
m?
Use  = 3,14.
Considerando  igual a 3, a distância mínima, em
quilômetros, a ser percorrida pelo navio no trajeto ABC é
igual a:
a) 11.200 b) 10.800 c) 8.800 d) 5.600
15.
(UFF) Um serralheiro deseja construir a grade de
ferro desenhada abaixo.
Sabe-se que MN é mediatriz do lado LK do retângulo
IJKL e as medidas de LK, MN e JK são,
respectivamente, 2 m, 2 m e 3 m.
Para construir o arco de circunferência IJ, o serralheiro
deve utilizar uma vara de ferro com o seguinte
comprimento:
10.
Numa circunferência de raio r = 30 cm, qual é o
comprimento de um arco que subentende um ângulo
central de 60º?
Considere  = 3,14
11.
Determine o perímetro da figura sombreada,
indicada a seguir.
A
M
D
a)
B
N
C
Sabe-se que ABCD é um quadrado de lado 10 cm. As
linhas curvas são semicircunferências com centros nos
pontos médios, M e N, dos lados do quadrado.
2
m
3
b)
3
m
4
c)
4
m
5
d)
5
m e) m
6
16.
(ENEM-98) As bicicletas possuem uma corrente
que liga uma coroa dentada dianteira, movimentada
pelos pedais, a uma coroa localizada no eixo da roda
traseira, como mostra a figura.
O número de voltas dadas pela roda traseira a cada
pedalada depende do tamanho relativo destas coroas.
Considere  = 3,14.
12.
Supondo que a Terra seja uma esfera de raio r =
6.375 km, determine a distância do equador a um ponto
situado a uma latitude 30º norte.
Adote  = 3,14.
13.
(UNICAMP) Os pontos A e B estão, ambos,
localizados na superfície terrestre a 60º de latitude norte;
o ponto A está a 15º 45’ de longitude leste e o ponto B a
56º 15’ de longitude oeste.
a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeitamente
esférica, mede 6.400 km, qual é o raio do paralelo de 60º?
b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B,
medida ao longo do paralelo de 60º?
Em que opção abaixo a roda traseira dá o maior número
de voltas por pedalada?
(use 22/7 como aproximação para )
41
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
24. (UFRJ - 2004 - 2ª fase) A equação
x2 - 2x cos θ + sen2 θ = 0 possui raízes reais iguais.
Determine θ, 0  θ  2.
25. (UFF-00) Considere os ângulos ,  e , conforme
representados no círculo.
Pode-se afirmar que:
a) cos  < cos 
b) sen  < cos 
c) cos  > cos 
d) cos  < cos 
e) sen  > sen 
17.
(ENEM-98) Quando se dá uma pedalada na
bicicleta ao lado (isto é, quando a coroa acionada pelos
pedais dá uma volta completa), qual é a distância
aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o
comprimento de um círculo de raio R é igual a 2R, onde
  3?
26. (UERJ - 2003) Observe a matriz a seguir.
 senx cos 2 x 1


 senx cos x 0
 senx
1
1


18. (PUC) O valor de sen 1200º é igual a:
a) cos 60º
d) – sen 30º
b) – sen 60º
e) cos 45º
c) cos 30º
Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte
resultado:
a) 1
b) sen x
c) sen2 x
d) sen3 x
19. (UFF-97) Para  = 89º, conclui-se que:
a) tg  < sen  < cos 
b) cos  < sen  < tg 
c) sen  < cos  < tg 
d) cos  < tg  < sen 
e) sen  < tg  < sen 
GABARITO:
1-a) 1,884m, b) 50 voltas; 2- 31,4; 3-51,4 cm; 4-3.336,25
km; 5-a) 3.200km, b) 4.022,86km; 6-C; 7-A; 8-A; 9-C; 10-
20. (UFF-2002) Seja x um arco do primeiro quadrante tal
que sen x = 0,6. Pode-se afirmar que:
=


 x  = - 0,3
2

a) sen 
d) cos x = 0,8
b) cos 2x = - 0,6
e) sen 2x = 1,2


c) cos  x 

C; 11-B; 12-D; 13-D; 14-D; 15-D; 16- =
 = 0,6
2
21. (CESGRANRIO) O número de soluções da equação
sen2 x = 2 sen x, no intervalo [ 0, 2 ], é:
a) 0
d) 3
b) 1
e) 4
c) 2
22. No intervalo [ 0 , 2 ], o número de soluções
distintas da equação sen x 
2
a) 0
b) 1
c) 2
1  cos x
é:
2
d) 3
e) 4
23. (UGV - 78) Sejam sen x = a e cos x =
Então, o valor de a é:
a) 1 ou 0 b) -1 ou 0 c) 2 ou - 2 d) 0 e) -1
a2 1 .
42
5
7
;=
; 17-E; 18-D.
4
4
3

;=
4
4
;
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
Ao conjunto formado por todos os segmentos paralelos à reta r
com extremidades nos planos  e (sólido geométrico),
denominamos prisma.
d
ELEMENTOS
bases: são os polígonos congruentes e paralelos.
faces laterais: são os paralelogramos.
arestas das bases: são os lados dos polígonos das bases.
arestas laterais: são os lados do prisma que ligam uma base a
outra. São paralelas e de comprimentos congruentes.
altura: é a distância entre os planos das bases.
CLASSIFICAÇÃO
De acordo com os polígonos das bases, os prismas
podem ser:
 triangulares – quando as bases são triângulos,
 quadrangulares – quando as bases são quadriláteros,
 pentagonais – quando as bases são pentágonos,
 hexagonais – quando as bases são hexágonos, etc.
De acordo com a inclinação (ângulo) entre as faces
laterais e as bases, os prismas podem ser:
 retos – quando as arestas laterais são perpendiculares aos
planos das bases.
 oblíquos – quando as arestas laterais são obliquas aos planos
das bases.
IMPORTANTE:
Quando um prisma é reto e a bases são polígonos regulares, ele é
denominado Prisma Regular.
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Prismas
Prismas Notáveis_____________________________
Considere um polígono contido num plano . Considere
também uma reta que intercepta este plano. Observe a figura.
PARALELEPÍPEDO
São prismas formados por seis faces, todas em forma de
paralelogramos.
r
Para cada ponto do
polígono no plano a, considere
segmentos de reta paralelos à
reta r.
paralelepípedo reto
paralelepípedo oblíquo
r
CUBO
Paralelepípedo reto formado por arestas de mesma medida.
Considere  um plano
paralelo a . Para cada ponto
do polígono em , existe um
r
segmento paralelo à reta r com
extremidades nos dois planos.
43
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
EXERCÍCIOS
DIAGONAL DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (D)
c
D
face
b
a
11.. (UFRJ-03) Uma pedra de massa 25 kg tem a forma
Considere o paralelepípedo ao lado.
Chamaremos por a o seu
comprimento, b a sua largura e c
a sua altura.
aresta lateral
h
face lateral
base
aresta da base
de um paralelepípedo com 2 cm de espessura. Sua
base é um quadrado com 1 m de lado. Qual a
massa de uma outra pedra, do mesmo material,
que tem a forma de um paralelepípedo com 2 m
de comprimento, 80 cm de
largura e 3 cm de espessura?
O comprimento da diagonal D
pode ser calculado aplicando o
teorema de Pitágoras no triangulo
retângulo de medidas D, d e c,
onde D é a diagonal do
paralelepípedo, d é a diagonal do
retângulo da base e c é a altura.
22.. (UNIRIO-05) Uma sala de 8 m de comprimento, 60
dm de largura e 30 dm de altura deverá ser
ocupada por 48 pessoas. Sabe-se que a
quantidade de ar necessária para que uma pessoa
tenha boas condições de permanecer numa sala é
4 m 3.
De quanto, no mínimo, se deve aumentar a medida da
altura dessa sala, para que a necessidade de ar de todas as
pessoas que lá estarão seja plenamente satisfeita?
a) 2m b) 1,5m c) 1m d) 0,75m e) 0,50m
(I) D  d  c
Aplicando Pitágoras ao triângulo retângulo da base, temos:
2
2
2
(II) d  a  b
2
2
2
(II) em (I)  D  a  b  c
2
2
2
33.. (UFF-01) Uma piscina tem a forma de um prisma
2
reto, cuja base é um retângulo de dimensões 15 m
e 10 m.
A quantidade necessária de litros de água para que o nível
de água da piscina suba 10 cm é:
a) 0,15 L b) 1,5 L c) 150 L d) 1.500 L e) 15.000 L
D  a 2  b2  c 2
Para o cubo, temos que sua diagonal D mede:
44.. (UNI-RIO) Os lados de um cubo são multiplicados
por 2. O volume do cubo fica:
a) 2 vezes maior
b) 3 vezes maior
c) 4 vezes maior
d) 6 vezes maior
e) 8 vezes maior
Da 3
onde a é a medida da aresta.
ÁREA TOTAL DA SUPERFÍCIE DE UM PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO (St)
Calcular a área da superfície de um paralelepípedo retângulo é o
mesmo que calcular a soma das áreas das faces retangulares.
55.. (UFPE) Segundo o regulamento de uma companhia
de transporte, a bagagem de mão de um
passageiro, na forma de um paralelepípedo reto,
deve ter altura de, no máximo, 45 cm e a soma da
largura e do comprimento não pode ultrapassar 80
cm.
Para qual valor da largura, medida em cm, o volume da
bagagem de mão será o máximo?
St  2ab  ac  bc 
Para o cubo, temos:
66.. (UERJ) Na construção de um hangar, com a forma
S t  6a
de um paralelepípedo retângulo, que possa abrigar
um “Airbus” foram consideradas as medidas
apresentadas abaixo:
2
VOLUME (V)
De modo geral, o volume de qualquer prisma pode ser calculado
multiplicando a área da base do prisma pela sua altura.
Para o paralelepípedo acima, temos que o seu volume é dado por:
V  abc
79,8 metros
onde a, b e c são, respectivamente, o comprimento, a largura e a
altura do paralelepípedo.
Para o cubo, temos:
24,1 metros
V  a3
onde a é a aresta do cubo.
73 metros
44
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
(Adaptado de Veja, 14/06/2000)
Calcule o volume mínimo desse hangar.
77.. Um caminhão basculante tem a carroceria com as
dimensões indicadas na figura.
GABARITO
1-60kg; 2-C; 3-E; 4-E; 5-40cm; 6-140.392,14 m; 7-20; 8-E.
9-B;
Calcule quantas viagens deverá fazer para transportar
136m3 de areia.
Cilindros
88.. Depositam-se 5.000 litros de água no interior de um
Considere um plano  e um círculo contido neste plano.
Considere também uma reta r que intercepta este plano. Observe
a figura.
r
Considere
também
segmentos
de
retas
(paralelos
a

reta r) com extremidades no
plano  e em um plano ,
paralelo a .
reservatório com a forma de um paralelepípedo
reto-retângulo de 10 m de comprimento por 5 m de
largura. A partir desse instante, um vazamento
começa a baixar o nível d’água, à base de um
centímetro a cada 24 horas.
O número de horas que, no mínimo, deverão transcorrer
para que o reservatório fique completamente vazio
(desprezando-se qualquer outra eventual forma de perda
d’água) é:
a) 96 b) 120 c) 144 d) 192 e) 240
r
99.. (UERJ-2012-2ºEQ) As figuras a seguir
mostram dois pacotes de café em pó que
têm a forma de paralelepípedos retângulos
semelhantes.
Ao conjunto formado
por todos os segmentos
paralelos a r com extremidades
nos planos  e , chama-se
cilindro.


ELEMENTOS
base
altura h
raio da base
geratriz
eixo
Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do
menor, a razão entre a medida da área total do maior
pacote e a do menor é igual a:
a)
3
b)
3
bases: são os círculos contidos nos planos  e ..
altura: é a distância entre as bases.
eixo: é a reta que passa pelo centro das bases.
geratriz: é qualquer segmento paralelo ao eixo, com extremidades
nos pontos das circunferências das bases.
3
4
c)
6
d)
8
base
CLASSIFICAÇÃO
Um cilindro circular pode ser reto ou oblíquo.
45
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
 reto – quando as geratrizes são perpendiculares as bases.
geratriz
=
altura
EXERCÍCIOS
111... (ENEM-99) Uma garrafa cilíndrica está
fechada, contendo um líquido que ocupa quase
completamente seu corpo, conforme mostra a
figura. Suponha que, para fazer medições, você
disponha apenas de uma régua milimetrada.
Para calcular o volume do líquido contido na
garrafa, o número mínimo de medições a serem
realizadas é:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Nota: Quando num cilindro circular reto, a medida da altura é igual
à medida do diâmetro do círculo da base, o cilindro é denominado
cilindro equilátero.
 oblíquo – quando as geratrizes são oblíquas as bases.
geratriz
222... (ENEM-99) Para calcular a capacidade total da garrafa,
lembrando que você pode virá-la, o número mínimo de
medições a serem realizadas é:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
altura
333... (ENEM-01) Em muitas regiões do Estado do
Amazonas, o volume de madeira de uma árvore cortada é
avaliado de acordo com uma prática dessas regiões:
IMPORTANTE:
Um cilindro circular reto pode ser obtido pela rotação completa de
um retângulo em torno de um eixo. Por esse fato, dizemos que
esse tipo de cilindro é um sólido de revolução.
geratriz
I - Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um
barbante.
II - O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em
seguida, seu comprimento é medido com fita métrica.
raio
1ª dobra
VOLUME (V)
Como a ideia da construção do (sólido) cilindro é
análoga à construção de um prisma, isto é, uma região localizada
entre dois planos paralelos, o volume do cilindro será análogo ao
volume do prisma, ou seja, o produto entre a área da base e a
altura. Como a base é um círculo, teremos:
III - O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele
mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco.
Esse é o volume estimado de madeira.
Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do
volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito.
A diferença entre essas medidas é praticamente equivalente
às
perdas de madeira no processo de corte para
comercialização.
Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de
A) 30% B) 22% C) 15% D) 12% E) 5%
VPRISMA  r 2 h
onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.
ÁREA TOTAL DA SUPERFÍCIE DO CILINDRO (ST)
A área total da superfície de um cilindro será a soma das
áreas das bases com a área lateral. Se pudéssemos retirar as
“cascas” de um cilindro, teríamos dois círculos (bases) e um
retângulo (área lateral).
444... (ENEM-03) Uma editora pretende despachar um lote de
livros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x 30
cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em
caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x 40 cm x
60 cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse
envio é:
A) 9 B) 11 C) 13 D) 15 E) 17
555... (UERJ-01) Um recipiente cilíndrico de 60 cm de altura e
base com 20 cm de raio está sobre uma superfície plana
horizontal e contém água até a altura de 40 cm, conforme
indicado na figura.
Portanto, a área total da superfície de um cilindro (ST) deve ser:
ST  2r  h  r 2  r 2
ST  2rh  2r 2
2ª dobra
46
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
Imergindo-se totalmente um bloco
cúbico no recipiente, o nível da água
sobe 25%.
Considerando  igual a 3, a medida,
em cm, da aresta do cubo colocado
na água é igual a:
A) 10 2
B) 103 2
C) 10 12
D) 103 12
111000... (RURAL-RJ) Carlos é um rapaz viciado em beber
refrigerante diet. Um dia, voltando do trabalho, ele passou
em frente a uma companhia de gás, onde viu um enorme
reservatório cilíndrico de 3 metros de altura e 2 metros de
diâmetro e pensou... “Em quanto tempo eu beberia aquele
reservatório inteiro, se ele estivesse cheio de refrigerante
diet?”
Considerando  = 3,14 e sabendo-se que Carlos bebe 3
litros de refrigerante diet por dia, pode-se afirmar que ele
consumirá todo o líquido do reservatório em um período de:
a) 86 dias.
b) 86 meses.
c) 86 anos.
d) 8,6 anos.
e) 860 meses.
20c
m
60c
m
40c
m
666... (UFF-04) “Uma das soluções encontradas para a
escassez de água na região semi-árida do nordeste
brasileiro é a captação da água da chuva que escorre dos
telhados das casas. A água captada é conduzida por meio
de calhas para um reservatório com a forma de um cilindro
circular reto.”
Superinteressante, Edição 177, junho de 2002.
GABARITO
1-B; 2-C; 3-B; 4-C; 5-D; 6-C; 7-A; 8-A
O reservatório citado tem altura aproximada de 1,8 metro e
capacidade para armazenar 16000 litros da água da chuva.
Pirâmides
Considerando R o raio da base do reservatório, pode-se
afirmar que R2, em metro quadrado, é aproximadamente:
a) 1,4 b) 1,9 c) 2,8 d) 3,8 e) 7,8
Considere um plano  e um polígono contido
neste plano. Considere também um ponto V que não
pertence a ao plano .
777... (FUVEST-04) Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos
de dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais são moldadas
a partir de chapas metálicas retangulares de lados a e 2a,
soldando lados opostos dessas chapas, conforme ilustrado
ao lado.
Barril do TIPO A
a
V
a
2a
Barril do TIPO B
2a

A figura geométrica formada pela reunião de todos
os segmentos de reta que têm uma extremidade no
ponto V e a outra num ponto do polígono P
denomina-se pirâmide.
2a
a
Se VA e VB indicam os volumes dos barris do tipo A e B,
respectivamente, tem-se:
a) VA = 2VB
b) VB = 2VA
c) VA = VB
d) VA = 4VB
e) VB = 4VA
ST = Sl + Sb
ELEMENTOS
vértice
V
aresta lateral
888... (UFF-01) Um reservatório, na forma de um cilindro
circular reto, tem raio da base r, altura h e volume V.
Deseja-se construir outro reservatório que tenha, também, a
forma de um cilindro circular reto, volume V, porém, raio da
base igual a r/2r e altura H.
A relação entre as alturas desses reservatórios é dada por:
altura
face lateral

aresta da base
999... (UFRJ) Mário e Paulo possuem piscinas em suas
casas. Ambas têm a mesma profundidade e bases com o
mesmo perímetro. A piscina de Mário é um cilindro circular
reto e a de Paulo é um prisma reto de base quadrada. A
companhia de água da cidade cobra R$1,00 por metro
cúbico de água consumida.
a) Determine qual dos dois pagará mais para encher de
água a sua piscina.
b) Atendendo a um pedido da família, Mário resolve duplicar
o perímetro da base e a profundidade de sua piscina,
mantendo, porém, a forma circular.
Determine quanto Mário pagará pela água para encher a
nova piscina, sabendo que anteriormente ele gastava RS
50,00.
base
base: é o polígono convexo situado no plano .
vértice: é o “ponto de encontro” das arestas.
faces laterais: são os triângulos.
arestas das bases: são os lados do polígono da base.
arestas laterais: são segmentos que ligam o vértice da
pirâmide aos vértices do polígono da base.
altura: distância entre o vértice da pirâmide e o plano .
As pirâmides são classificadas de acordo com o polígono
da base, ou seja, podem ser:
 triangulares – quando a base é um triângulo.
 quadrangulares – quando a base é um quadrilátero.
 pentagonais – quando a base é um pentágono. Etc.
47
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
Sb é a área da base menor do tronco da pirâmide.
IMPORTANTE:
IMPORTANTE:
A relação entre os volumes e as alturas das
pirâmides acima é
Uma pirâmide é regular quando sua base é um
polígono regular e a projeção ortogonal do vértice
sobre o plano da base é o centro da base.
Numa pirâmide regular, as faces laterais são triângulos
isósceles congruentes.
A altura de cada um desses triângulos é chamada de
apótema da pirâmide.
V1  h1 
 
V2  h2 
onde V1 é o volume da pirâmide maior (pirâmide inicial),
V2 é o volume da pirâmide menor (obtida com a secção
plana), h1 é a altura da pirâmide maior e h2 é a altura da
pirâmide menor.
EXERCÍCIOS
VOLUME (V)
O volume de uma pirâmide é a terça parte do
produto da área da sua base pela sua altura.
Seja P uma pirâmide cuja área da base é Sb e a
sua altura, h. Então, seu volume será:
V
11.. (FUVEST) O número de faces triangulares de uma pirâmide é
11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui:
a) 33 vértices e 22 arestas.
b) 12 vértices e 11 arestas.
c) 22 vértices e 11 arestas.
d) 11 vértices e 22 arestas.
e) 12 vértices e 22 arestas.
Sb h
3
22.. (UNIRIO) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm bases
com a mesma área. Se o volume do prisma é a metade do volume
da pirâmide, a altura da pirâmide é:
a) H/6 b) H/3 c) 2H
d) 3H
e) 6H
ÁREA TOTAL DA SUPERFÍCIE DA PIRÂMIDE (ST)
A área total da superfície de uma pirâmide regular é a
soma das áreas lateral e da base, ou seja:
33.. (UNIRIO) Uma pirâmide é mergulhada num aquário cúbico
cheio d’água, como na figura.
O número que expressa a relação entre a
quantidade de água final no aquário e a inicial
(antes de mergulhar a pirâmide) é de,
aproximadamente,
a) 25%. b) 33%. c) 50%. d) 67%. e) 72%.
onde Sl é a área lateral e Sb é a área da base.
Lembre-se de que a área de um triangulo é:
S
base  altura
2
44.. (Transpetro-2006) A pirâmide reta, ilustrada abaixo, tem
base quadrada de aresta igual a
V
10cm, o ponto O como centro do
quadrado, M como ponto médio de
AB, e VM = 13cm. O volume dessa
B
C
pirâmide, em cm3, é:
M
O
VOLUME DO TRONCO DA PIRÂMIDE
Considere uma pirâmide seccionada (“cortada”) por um
plano paralelo a base da pirâmide, que intercepta todas
as suas laterais; o sólido limitado pela base da pirâmide e
pelo plano secante é chamado de tronco de pirâmide.
D
A
a) 1 200
h
Sb
k

c) 250
d) 4003
e) 2503
66.. (UERJ-98) Dispondo de canudos de refrigerantes, Tiago
deseja construir pirâmides. Para as arestas laterais, usará sempre
canudos com 8 cm, 10 cm e 12 cm de comprimento. A base de
cada pirâmide será formada por 3 canudos que têm a mesma
medida, expressa por um número inteiro, diferente das anteriores.
Veja o modelo abaixo:
SB
h
S B  S B  Sb  Sb
3
b) 400
555... (FUVEST-2003) Um telhado tem a forma da superfície lateral de
uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a
altura da pirâmide 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas
em lotes que cobrem 1m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas
desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas
a ser comprado é:
a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130
d
VT 
3

onde
h é a altura da pirâmide,
SB é a área da base maior do tronco da pirâmide e
12
8
10
48
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
A quantidade de pirâmides de bases diferentes que Tiago poderá
construir, é:
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7
77.. (UERJ-2000) A figura abaixo representa o brinquedo Piramix.
Ele tem a forma de um tetraedro regular, com cada face dividida
em 9 triângulos equiláteros congruentes.
Se, a partir de cada vértice, for retirada
uma pirâmide regular cuja aresta é 1/3
da aresta do brinquedo, restará um novo
sólido.
A razão entre as superfícies totais desse
sólido e do Piramix equivale a:
a)4/9 b) 5/9 c) 7/9 d) 8/9
88.. (UERJ-02) Leia os quadrinhos.
HAGAR, o horrível
20
Determine o volume da pirâmide P2.
111000... (UFF-2005) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção
localizada no Egito, é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137
m de altura. Cada face dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja
altura relativa à hipotenusa mede 179 m.
A área da base dessa pirâmide, em m2 é:
a) 13.272 b) 26.544 c) 39.816 d) 53.088 e) 79.432
Chris Browne
BEM,
LEVEI 20 ANOS, MAS
FINALMENTE, ECONOMIZEI O
BASTANTE
PARA
COMPRAR
AQUELE PEDACINHO DE TERRA
QUE QUERIA
É PRA
COLOCAR
ONDE?
GABARITO:
1-E; 2-C; 3-D; 4-B; 5-A; 6-C; 7-C; 8-D; 9-a) 625 cm3, b) 16.875/13 cm3; 10-D
Cones
Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de-mão do
personagem seja igual ao do sólido esquematizado na figura abaixo,
formado por uma
pirâmide
reta
sobreposta a um
paralelepípedo
70cm
retângulo.
Na figura a seguir, temos um plano , um círculo
C não contido em  e um ponto V que não pertence a .
V
(O globo, março 2000)
40cm
60cm
100cm

Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de
trabalho é, em dm3, igual a:
A) 12
B) 13 C) 14
D) 15
Um cone reto pode ser obtido pela rotação
A
(revolução) de um triangulo retângulo em torno de
figura
um de seus catetos. O cone é denominado cone de
geomé
revolução.
trica
formada pela reunião de todos os segmentos de reta que
têm uma extremidade no ponto V e a outra num ponto
do círculo C denomina-se cone circular ou, simplesmente,
cone.
999... (UFRJ-2006-1ª fase) Em um tanque no formato de um cubo de
aresta 25 cm, contendo líquido, foi posta uma pirâmide P1, de altura igual
a 6 cm, com a base apoiada no fundo do tanque. Com isso, o nível de
líquido passou de 18 cm para 19 cm.
18
19
V
a) Calcule o volume, em cm3, da pirâmide P1.
b) A pirâmide P1 foi retirada do tanque e o nível de líquido voltou ao
inicial. Uma pirâmide P2, de 30 cm de altura, foi então posta no tanque,
com a base apoiada no fundo, o que elevou em 2 cm o nível de líquido.
 C

ELEMENTOS
V
vértice
geratriz
altura
49
 C
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
eixo
1
VCONE  S B  h
3
O
base
onde SB é a área da base do cone e h, a sua altura.
base: é o círculo C, de centro O.
vértice: é o ponto V.
altura: é a distância do ponto V ao plano da base.
eixo: é a reta que contém o vértice V e o centro do círculo
da base.
geratriz: é qualquer segmento que liga o vértice a
qualquer ponto da circunferência da base.
ÁREA TOTAL DA SUPERFÍCIE DO
CONE (ST)
A área total da superfície de um cone é a soma da
sua área lateral com a sua base.
Ao “descascarmos” o cone, temos duas regiões
planas: um círculo (base do cone) e um setor circular
(área lateral do cone). Portanto, a área total da superfície
de um cone será:
Um cone é classificado como oblíquo quando o seu eixo é
oblíquo ao plano da base. Neste caso, o eixo não coincide
com a altura do cone.
Área da base + Área lateral
V
onde r é o raio da base do cone e g é o comprimento da sua
geratriz.
EXERCÍCIOS
11.. (UNI-RIO) Uma tulipa de chopp tem a forma cônica, como
mostra a figura a seguir. Sabendo-se que a sua capacidade é de
100  ml, a altura h é igual a:
2
10cm
r + rg
Um cone é classificado como reto quando o seu eixo é
perpendicular ao plano da base. Neste caso, o eixo
coincide com a altura do cone.
h
V
22.. (CESGRANRIO) No desenho a seguir, dois reservatórios de
altura H e raio R, um cilíndrico e outro cônico, estão totalmente
vazios e cada um será alimentado por uma torneira, ambas de
mesma vazão. Se o reservatório cilíndrico leva 2 horas e meia
para ficar completamente cheio, o tempo necessário para que isto
ocorra com o reservatório cônico será de:
altura do cone
IMPORTANTE:
geratriz
do cone
a) 2h b) 1h 30min c) 1h d) 50min e) 30min
33.. (CESGRANRIO) Uma ampulheta é formada por dois cones
de revolução iguais, com eixos verticais e justapostos pelo vértice,
o qual tem um pequeno orifício que permite a passagem de areia
da parte de cima para a parte de baixo. Ao ser colocada para
marcar um intervalo de tempo, toda a areia está na parte de cima
e, 35 minutos após, a altura da areia na parte de cima reduziu-se
à metade, como mostra a figura. Supondo que em cada minuto a
quantidade de areia que passa do cone de cima para o de baixo é
constante, em quanto tempo mais toda a areia terá passado para
a parte de baixo?
raio da
base do cone
VOLUME (V)
O volume de um cone é a terça parte do volume
de um cilindro que tenha a mesma base a mesma altura
do cone.
50
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
a) 5 minutos. b) 10 minutos. c) 15 minutos.
d) 20 minutos. e) 30 minutos.
a) 12 m.
44.. (UFF-98) A figura abaixo representa um prisma obliquo de
bases quadradas. Na base inferior foi inscrita uma circunferência
C e na base superior foram traçadas as diagonais RT e SU.
Assinale a alternativa que estabelece a comparação correta entre
os volumes VR, VP e VT dos três cones de base comum C e
vértices R, P e T, respectivamente.
a) VR < VP < VT
b) VR < VP = VT
c) VR > VP > VT
d) VR = VP = VT
e) VR = VP < VT
R
c) 8 m.
d) 6 m.
e) 5 m.
77.. (UFF-2006) Populariza-se, na região da seca no nordeste do
Brasil, a construção de cisternas que armazenam as águas das
chuvas. Uma vez tratada, a água abastecerá as famílias que ali
vivem.
(Texto adaptado de Discutindo Geografia. Ano 1 nº 3. 2005)
U
Considere os três recipientes a seguir que podem ser usados para
carregar água das cisternas.
P
S
b) 10 m.
T
O cilindro I tem a forma de um cilindro circular reto, de raio da
base igual a L e altura igual a 2L.
55.. (UFRJ-2001-Não específica) Um recipiente em forma de
cone circular reto de altura h é colocado com vértice para baixo e
com eixo na vertical, como na figura. O recipiente, quando cheio
até a borda, comporta 400 ml.
2L
L
O recipiente II tem a forma de um tronco de cone com raio da
base maior igual a 2L, raio da base menor igual a L e altura igual a
L.
h
2L
Determine o volume de líquido quando o nível está em h/2.
L
66.. (UFF-01) Considerando um lustre de formato cônico com
altura e raio da base igual a 0,25 m, a distância do chão (H) em
que se deve pendurá-lo para obter um lugar iluminado em forma
de círculo com área de 25  m2, é de
L
O recipiente III tem a forma de um paralelepípedo de base
quadrada de lado igual a L e altura igual a 2L.
2L
L
51
PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
L
Considerando VI, VII e VIII os volumes dos recipientes I, II e III,
respectivamente, pode-se afirmar que:
a) VI  VII  VIII
b) VI  VIII  VII
c) VII  VI  VIII
d) VII  VIII  VI
e) VIII  VI  VII
88.. (ENEM-01) Um fabricante de brinquedos recebeu o projeto
de uma caixa que deverá conter cinco pequenos sólidos,
colocados na caixa por uma abertura em sua tampa. A figura
representa a planificação da caixa, com as medidas dadas em
centímetros.
Quando duas bolhas unidas possuem o mesmo
tamanho, a parede de contato entre elas é plana,
conforme ilustra o esquema:
Considere duas bolhas de sabão esféricas, de mesmo
raio R, unidas de tal modo que a distância entre seus
centros A e B é igual ao raio R.
A parede de contato dessas bolhas é um círculo cuja
área tem a seguinte medida:
Os sólidos são fabricados nas formas de
I. um cone reto de altura 1 cm e raio da base 1,5 cm.
II. um cubo de aresta 2 cm.
III. uma esfera de raio 1,5 cm.
IV. um paralelepípedo retangular reto, de dimensões 2 cm, 3cm e
4 cm.
V. um cilindro reto de altura 3 cm e raio da base 1 cm.
R 2
2
3R 2
b)
2
3R 2
c)
4
4R 2
d)
3
a)
O fabricante não aceitou o projeto, pois percebeu que, pela
abertura dessa caixa, só poderia colocar os sólidos dos tipos
A) I, II e III
B) I, II e V
C) I, II, IV e V
D) II, III, IV e V
E) III, IV e V
GABARITO
1-12 cm; 2-D; 3-A; 4-D; 5-50 ml; 6-E; 7-C; 8-C.
Questão Esfera
01. (UERJ-2012-2ºEQ)
Na fotografia abaixo, observam-se duas bolhas de
sabão unidas.
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PROF ANDRÉ FONSECA
GEOMETRIA
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