Trabalho Raízes

Trabalho Computação Científica II
Solução de Equações Não-Lineares
1 – Implemente no MatLab os métodos da Secante e Newton-Raphson e determine a solução para
os problemas seguintes com tolerância 10 14 , comparando o número de iterações necessárias para a
convergência e tempo de solução.
a) e x  x 2  3x  2  0 para 0  x  1 ;
b) ( x  2) 2  ln( x)  0 para 0,2  x  0,3 e 1,2  x  1,3 .
Exemplo para a medição do tempo de cálculo no Matlab.
Medindo Tempo de Execução com cputime
cputime - tempo total de CPU time (em segundos) usado pelo MATLAB a partir do tempo que
ele é iniciado.
Examples
O código seguinte retorna o tempo de CPU utilizado para executar o programa.
t = cputime;
programa a ser executado;
e = cputime-t



e = tempo em segundos
2 – Utilizando o Método de Newton, determine a solução com uma tolerância de 10 14 para os
seguintes problemas e apresente os resultados com o número de iteração para a convergência e
tempo de cálculo.
x 2  2 xe x  e 2 x  0 [0,1] ;
x
x(
 2)
2
b) cos( x  2) 
 0 [2,1] ;
2
c) x 3  3x 2 (2  x )  3x(4  x )  8  x  0 [0,1] ;
a)
d) e 6 x  3(ln 2)e 2 x  (ln 8)e 4 x  (ln 2) 3  0 [1,0]
3 – Altere o Método de Newton, incorporando a sugestão de Ralston e Rabinowitz para o cálculo de
raízes múltiplas:
x k 1  x k 
f (xk ) f ' (xk )
[ f ' ( x k )] 2  f ( x k ) f '' ( x k )
Repita o exercício anterior utilizando a modificação para raízes múltiplas. Compare os resultados
obtidos em termos de convergência e tempo de cálculo.
5 – A partir de um computador da UFSC acesse o site http://www.bu.ufsc.br . Entre no Portal de
Periódicos CAPES. Faça a busca pelo periódico Mathematical and Computer Modelling, Procure o
pelo Volume 52, Issues 1–2 e o “A family of iterative methods with sixth and seventh order
convergence for nonlinear equations” . Leia o artigo e implemente os algoritmos MK6 e MK7
apresentados no item 3. Sejam os exemplos:
1 - x 3  4 x 2  10  0
raiz=1.365230013414097 Valores iniciais xo=3 e xo=10
2 - sin( x)  x  1  0
raiz=1.404491648215341 Valores iniciais xo=10 e xo=15
2
2
3 - x 2  exp( x)  3x  2  0
4 - sin( x  1)  x  2  0
5 - x  exp( x)  x  1  0
3
6-
x 3  10  0
7-
x  2x  x 1  0
8-
( x  1) 3  1  0
3
raiz=0.257530285439861 Valores iniciais xo=3 e xo=10
raiz=2.07076672709785 Valores iniciais xo=-1 e xo=0
raiz=-1.38070588484698. Valores iniciais xo=0 e xo=-1,2
raiz=2.15443469411846. Valores iniciais xo=0 e xo=0,01
2
raiz=1.75491057842537. Valores iniciais xo=1 e xo=1,02
raiz=2 Valores iniciais xo=1 e xo=1,04
Para uma tolerância de 10 14 resolva os exemplos usando o algoritmo normal de Newton Raphson e
os algoritmos do artigo. Compare os resutados em termos de número de iterações e tempo de
cálculo.