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(Aula07-Tóp1) Testes para Extremos Locais 1
EXERCITANDO (Aula 07 – Tóp.1)
Nos exercícios 1 a 14, para cada função, encontre: (a) Os intervalos de
crescimento e decrescimento; (b) Os valores extremos locais, usando o teste da derivada
primeira.
1. f (x)  x3  3 x 2  6x  2;
2. g( x)  x 4  2x 2 ;
3. h(x)  20  20x  5x 3  x 5 ;
2
1
1
4. F( x)  x 2 ( x  1) 3 ;
5. G(x)  x 2  162 ;
6. H(x)  x 2  x 2 ;
7. j( x)  3 x 2  x  1;
8. J ( x)  x( x  1) 2 ;
9. k ( x)  3 ( x  1) 2 ( x  3);
x
10. m( x )  33 x  1  x;
11. n(x)  x2 2 ;
x 1
13. q(x)  2 sen x  cos 2x , 0,2;
2
12. p(x)  4  1 ;
x
x2
14. q(x)  (1  sen x)cos x,  2,2.
Nos exercícios 15 a 22, para a função dada, encontre os valores extremos locais:
(a) Usando o teste da derivada n-ésima; (b) Que são valores extremos absolutos no
domínio da função.
15. f (x)  x  13 ;
16. g(x)  x  4 ;
17. h(x)  2 x 2 ;
3x
18. j(x)  2 x ;
x 1
(x  12)
3x x
19. k(x)  x 2 x ;
21. G(x)  cos x  sen 2x , 0,2;
2
2
3x  1
20. F(x)  (x  1)100 ;
22. H(x)  2 sen x  cos 2x ,  2,2.
2
23. Ache a função polinomial de grau três que tenha valores extremos iguais a 2 e 2
em 1 e 1, respectivamente. Quais desses valores extremos é mínimo ou máximo?
24. Seja f (x)  (ax  b) n onde a  0 e n é inteiro  2, mostre que:
(a) f tem mínimo local em x   ba se n é par;
(b) f não tem extremo local se n é ímpar.
25. Se f (x)  x 3  3ax  b, mostre que f tem mínimo e máximo locais se a  0 e não
tem nenhum valor extremo local se a  0.
26. Uma função f tem derivada igual a (x  1)(x  2)2 (x  3)3 (x  4)4 , encontre os números
onde f tem valores extremos. Quais desses valores extremos é mínimo ou máximo?
27. Mostre que a equação:
(a) 2x 3  3x 2  6x  2  0 tem exatamente uma raiz real:
(b) x 3  x  b  0 tem exatamente uma raiz real para qualquer valor de b;
(c) 6x 4  7x  2  0 tem exatamente duas raízes reais distintas;
(d) x 5  5x 2  1  0 tem exatamente três raízes reais distintas.
28. Prove as desigualdades:
(Aula07-Tóp1) Testes para Extremos Locais 2
(a) (1  x) r  1  rx para 0  r  1 e x  1;
(b) (1  x) r  1  rx para r  0 ou r  1 e x  1;
 ab 
(c) ax 2  bx  c  0 se, e somente se,
2
 ac e a  0.
(d) x  sen x se x  0 e x  sen x se x  0, com x próximo de 0.
29. Se f (x)  x 4  2  sen 1x  para x  0 e f (0)  0, mostre que f tem valor mínimo
absoluto igual a f (0)  0 no seu domínio. Use a função f para mostrar que a
recíproca do teste da derivada primeira para extremos locais, não é verdadeira.
30. Se a 1 , a 2 ,..., a n são valores fixos, mostre que a expressão
n
 x  a i 2
é mínima, se
i 1
x é a média aritmética dos a i (i  1,2,..., n).
31. Seja f uma função derivável num intervalo aberto I contendo m. Se f ( x)  0 para x
em I com x  m e f (m)  0, mostre que f tem extremo local em x  m se, e
somente se, f 2 tem extremo local em x  m.
32. Demonstre a parte (b) do teorema 2 do tópico 2 desta aula.
33. Demonstre o restante da parte (a) do teorema 3 do tópico 2 desta aula, isto é, f tem
máximo local em m, se n é par e f (n) (m)  0.
RESPOSTAS (Exercícios ímpares)
1. (a) crescimento ( ,1) e (2,),
f (1)  11
, mínimo f (2)  8;
2
decrescimento
( 1,2),
(b) máximo
3. (a) crescimento ( 2,2), decrescimento ( ,2) e (2,), (b) máximo h(2)  68,
mínimo h( 2)  28;
5. (a) crescimento ( 2,0) e (2,), decrescimento ( ,2) e (0,2), (b) mínimo
G( 2)  G(2)  8;
7. (a) crescimento ( ,0)
mínimo j52    53 3
52 ,,
e
4 ;
25
 3, 53 
9. (a) crescimento ( ,3),
 
decrescimento
e (1,), decrescimento
k(1)  0, máximo k  53   34 3 4 ;


11. (a) crescimento 2  5,2  5 , decrescimento


0, 2 
(b) máximo n 2  5 
13. (a) crescimento
5
10 4 5
e
0, 52 ,

, mínimo n 2 
32 ,2,
,2  5
5
;
e
(b) máximo
 53 ,1,
(b) mínimo
2 

5, ,
5
4 5 10
decrescimento
j(0)  0,
2 , 32 , máximo
q
2   32
e
(Aula07-Tóp1) Testes para Extremos Locais 3
q2  12 , (b) q(0) 
1
2
e q32    52 ;
1 , mínimo
17. (a) máximo h (2)  128
1 ,
h (2)   128
(b) Não tem extremos absolutos;
15. (a) máximo f (1)   43 , mínimo e f (1)  43 , (b) Não tem extremos absolutos;
19. (a) máximo k 13   16 , mínimo k (1)   12 , (b) Não tem extremos absolutos;
21. (a) máximo G 6  
3 3
4
e G (2)  1, mínimo G(0)  1 e G
(b) máximo G6 , mínimo G 5
;
6
56    3 43 ,
23. a  1, b  d  0 e c  3, f ( 1) é máximo e f (1) é mínimo.