LOGARITMO 1- Introdução O pesquisador John Napier nasceu na Escócia (1550 – 1630). Ele, depois de 20 anos pesquisando logaritmo introduziu o seu conceito, que foi aperfeiçoado por Henry Briggs, pesquisador nascido na Inglaterra (1561 – 1630). O interesse sobre os estudos dos logaritmos decorreu em virtude de alguns cálculos excessivamente trabalhosos para a época, como por exemplo: 45,3287 x 0,23459 ou 45,3287 0,23459. Como é mais fácil somar em vez de multiplicar ou diminuir no lugar de dividir, ele buscou essa alternativa através dos logaritmos que possibilita a transformação de um produto em uma soma e de uma divisão em uma subtração, entre outras transformações possíveis. Na realidade, logaritmo é, como iremos ver, o nome que se dá ao expoente de uma potência. Sabe-se que 34 = 81, onde 3 é a base, 4 o expoente e 81 o resultado que denominamos de potência. Utilizando o linguajar dos logaritmos, temos que 4 é o logaritmo de 81 na base 3, onde, simbolicamente escrevemos 4 = Log3 81. 2- Definição Dada a relação bx = a, com a > 0, 1 b > 0 e x . Dizemos que x é o logaritmo de a na base b. Simbolicamente temos: Log b a = x, onde, a é o logaritmando ou antilogaritmo, b a base e x o resultado que denominamos de logaritmo de a na base b. Em resumo temos: Log b a = x bx = a - Bases de um sistema de logaritmo. 1ª)Logaritmo Decimal (ou Comum): apresenta o número 10 como base do sistema de logaritmos sendo representado simbolicamente por Log a (lê-se: logaritmo de a na base 10). Log a = x 10x = a 2ª) Logaritmo Neperiano (ou Natural): apresenta o número irracional e = 2,718...(número neperiano), como base do sistema de logaritmos, sendo representado simbolicamente por Ln a ou Log e a (Lê-se: logaritmo neperiano ou natural de a na base e). É o sistema de logaritmo muito utilizado nos estudos de vários fenômenos da natureza. Ln a = x 10x = a Obs.: O número e = 2,718... foi denominado de número neperiano em homenagem ao descobridor dos logaritmos, John Napier. Exemplos 1- Calcule o valor de cada logaritmo: a) Log 2 32 8 d) Log 2 27 3 g) Log 3 0,333... 1 b) Log 3 9 c) Log 2 8 e) Log 5 5 f) Log 7 1 h) Log 100.000 i) Log 0,00001 Solução a) Log 2 32 = n 2n = 32 2n = 2 5 n=5 1 b) Log 3 = n 3n = 9 1 9 1 3n = 2 3 n 3 = 3-2 n = -2 c) Log 2 8 = n 2n = 2n = *Decompondo em fatores primos: 32 = 25 Propriedade da potência: Propriedade da potência: 1 a b b a 8 23 c 2n = 23/2 n = 3/2 n 2 8 8 d) Log 2 = n 27 3 27 3 3 2 2 3 3 3 n b ac a b n 2 2 3 3 n=3 3 ac Propriedade da potência: c b a b c e) Log 5 5 = n 5n = 5 n=1 f) Log 7 1 = n 7n = 1 7n = 7 0 n=0 g) Log 3 0,333... = n 3n = 0,333.. 0,333... 3 3 1 31 9 3 3n = 3-1 n = -1 h) Log 100.000 = n 10n = 100.000 10n = 105 n=5 i) Log 0,00001 = n Potência de base 10: 100.000 = 105 10n = 0,00001 Potência de base 10: 0,00001 = 10-5 10n = 10-5 n = -5 * Decomposição em fatores primos. 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 25 3- Propriedades dos logaritmos -Considerando a, b 1 e c números reais positivos, temos: 1ª) Quando o logaritmando (ou antilogaritmo) for igual a base, o logaritmo vale 1. Log b b = 1 2ª) Quando o logaritmando for igual a 1, independentemente do valor da base, o logaritmo vale 0. Log b 1 = 0 3ª) Logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente da potência pelo logaritmo da base da potência. Log b (an) = n.Log b a Obs.: Log b an(logaritmo da potência) (Log b a)n (potência de um logaritmo) 4ª) Uma potência cujo expoente é um logaritmo, se a base da potência for igual a do logaritmo, o resultado será o logaritmando. b Log b a = a 5ª) Logaritmo do produto de números em uma determinada base é a soma dos logaritmos desses números na mesma base. Log n (a.b) = Log n a + Log n b Log n (a.b.c) = Log n a + Log n b + Lognc Log n (a.b.c. ... .m) = Log n a + Log n b + Logn c + ... + Logn m 6ª) Logaritmo do quociente de dois números a e b 0, em uma determinada base, é igual a diferença dos logaritmos desses números na mesma base. a Log n = Log n a – Log n b b 7ª) Mudança de base: Existem problemas que, direta ou indiretamente, solicita que você mude a base do logaritmo que está trabalhando, afim de encontrar a solução desejada. Neste caso, aplica-se a regra abaixo: Log b a Log n a Log n b (n é um número real positivo diferente de 1) Log b a a (quociente dos log aritmos) (log aritmo do quociente) Log b c c Obs.: Log b Exemplos 1) Calcule o termo desconhecido em cada igualdade: a) Log 2 x = 4 b) Log 2 x = -4 d) Log 3 27 = x e) Log 2 (1/4) = x g) Log x 9 = 2 h) Log x 4 = -2 c) Log 9 x = 1/2 f) Log (2/3) (9/4) = x i) Log x 3 = 1/3 Solução: a) Log 2 x = 4 x = 24 x = 16 b) Log 2 x = -4 x = 2-4 x = 1/24 x = 1/16 c) Log 9 x = 1/2 x = 91/2 x= 9 x=3 d) Log 3 27 = x 3x = 27 3x = 3 3 x =3 x 1 1 e) Log 2 = x 2x = 4 4 2x f) Log 2 3 9 2 9 =x 4 3 4 x 32 2 2 2 3 1 = 2 2 x 2 3 3 2 2x = 2-2 x 2 2 3 3 x = -2 x = -2 g) Log x 9 = 2 x2 = 9 h) Log x 4 = -2 x-2 = 4 1 4 x2 x2 = 1/4 1 x 4 1 1 x , pois , não serve 2 2 x 9 x=3 1 i) 1 Log x 3 = x 3 3 3 3 x 3 x 3 3 2 3 3 x = 27 (elevando ao cubo) 2 2) Sabendo que Log x = 2 e Log y = 3, determine: x a) Log(x.y) b) Log y d) Log 4 x e) Log 5 c) Log x4 y2 f) Log y x Solução a) Log (x.y) = Log x + Log y = 2 + 3 = 5 x b) Log = Log x – Log y = 2 – 3 = -1 y c) Log x4 = 4.Log x = 4.2 = 8 d) Log 4 x = (Log x)4 = 24 = 16 2 2 2 6 2 5 5 e) Log y = Log y = .Log y .3 = 1,2 5 5 5 Log y 3 f) Log x y = = = 1,5 Log x 2 (Prop. 6) (Prop. 7) (Prop. 3) (Prop. 3) (Prop. 7) 3) Sabendo que Log 2 = 0,3 e Log 3 = 0,5, determine: a) Log 6 b) Log 36 1 2 d) Log 5 e) Log 2 c) Log 3 2 f) Log 3 2 Solução a) Log 6 = Log (2x3) = Log 2 + Log 3 = 0,3 + 0,5 = 0,8 b) Log 36 = Log (22x 32) = Log 22 + Log 32 = 2.Log 2 + 2.Log 3= 2.0,3 + 2.0,5 = 1,6 1 1 0,3 3 c) Log 2 = Log 2 2 = .Log 2 = = 0,15 2 2 10 d) Log 5 = Log = Log 10 – Log 2 = 1 – 0,3 = 0,7 2 1 2 e) Log 2 Log 2 2 Log 2 = f) Log 3 2 = 1 Log 2 0,3 = = 0,6 Log 3 0,5 0,3 FUNÇÃO LOGARITMICA 1- Conceito: Denomina-se Função Logarítmica toda função do tipo f(x) = Log n x, sendo que o logaritmando (x) pode assumir qualquer valor real posiivo x * e, a base (n), somente valores positivos diferentes de um n * 1 . Exemplos: a) f(x) = log 2 x b) Log 0,5 x c) Log 4 (3x) d) Log 2/3 (x + 3) 2- Função Logaritmica Crescente e Decrescente. Observe que as funções acima ora apresentam as bases maiores que um (n > 1), ora apresentam as bases entre zero e um (0 < n < 1). Então, através da base podemos verificar se uma função logaritmica é crescente ou decrescente. 2.1- Função Logaritmica Crescente. Nos exemplos a e c, as bases são maiores que um (2 e 4), nesses casos, as funções são ditas crescentes. 2.2- Gráfico da Função Logaritmica Crescente. Exemplo: - Construir o gráfico da Função Logaritmica f(x) = Log 2 x. Vamos atribuir valores arbitrários, que facilitam nossos cálculos, para a variável independente x, encontrando valores correspondentes para a função y. Em seguida, substituir os pares determinados, no plano cartesiano. x y (x, y) 1/2 -1 (1/2, -1) 1 0 (1, 0) 2 1 (2, 1) f(x) = Log 2 x y (1/2) = -1 4 f(1) = 0 f(2) = 1 3 4 2 (4, 2) f(4) = 2 2 8 3 (8, 3) f(8) = 3 1 1/2 0 -1 1 2 4 8 x Analisando o gráfico, verifica-se que: a) A função logarítmica é crescente, pois, além da base ser um número maior que um, observa-se que um aumento (ou diminuição) de x, acarreta um aumento (ou diminuição) de y. b) O domínio é o conjunto dos reais positivos e não-nulos (D = +*).. Observe no gráfico que x só assumem valores positivos e não-nulos. c) A imagem y, é representada pelo conjunto dos reais (Im = ). 2.3- Função Logaritmica Decrescente. Nos exemplos b e d, as bases estão compreendidas entre 0 e 1, nesses casos, a função exponencial é dita decrescente. 2.4- Gráfico da Função Logaritmica decrescente. Exemplo: - Construir o gráfico da função logaritmica f(x) = Log 1/2 x. x y (x, y) 1/4 2 (1/4, 2) 1 0 (1, 0) 2 -1 (2, -1) f(x) = Log 2 x (1/4) = 2 f(1) = 0 f(2) = -1 4 -2 (4,- 2) f(4) = -2 8 -3 (8, -3) f(8) = -3 Analisando o gráfico, verificamos que: a) A função logaritnica é decrescente, pois, além da base ser um número pertencente ao intervalo ]0, 1[, observa-se que um aumento (ou diminuição) de x, acarreta uma diminuição (ou aumento) de y. b) O domínio é o conjunto dos reais positivos e não-nulos (D = +*). Observe no gráfico que x só assumem valores positivos e não-nulos. c) A imagem y, é o conjunto dos reais (Im = ). 3- Domínio da Função Logarítmica. Para encontrar o domínio (campo de existência) de uma função logarítmica, devemos verificar a localização da variável independente x. Se ela estiver no logaritmando, o mesmo deverá ser positivo, porém, se ela estiver na base, a mesma deverá assumir valor positivo, mas, diferente de 1 (um). Exemplo 1- Encontrar o domínio de cada função: a) f(x) = Log (2x – 8) b) y = Log (x-1) 3 c) y = Log (x-1) (x2 – 4) Solução a) f(x) = Log (2x – 8) Como x está no logaritmando, temos a seguinte condição: 2x – 8 > 0 x > 4 D = {x / x > 4} b) y = Log (x-1) 3 Como x está na base, temos as seguites condições: x–1>0x>1 e x–1≠1x≠2 D = { x / 2 ≠ x > 1} c) y = Log (x-1) (x2 – 4) Como x se apresenta no logaritmando e na base, temos: 1) x2 – 4 > 0 2) x - 1 > 0 e x - 1 1 x=2 x>1 x 2 D = {x / x > 2} ou ]2, +) 4- Equações Logarítmicas Para resolvermos equações logarítmicas devemos seguir alguns passos: 1º) Instituem-se as condições de existência dos logaritmos; 2º) Utilizam-se as propriedades dos logaritmos para resolver a equação; 3º) Verificar se o resultado do 2º passo pertence ao conjunto solução do 1º passo. Exemplos: 1- Resolva a equação Log 2 (x + 3) + Log 2 x = 2. 1º passo: Condição de existência (C.E.). 1) x + 3 > 0 x > -3 2) x > 0 2º passo: Resolvendo a equação. Log 2 (x + 3) + Log 2 x = 2 (propriedade) Log 2 [(x + 3).x] = 2 Log 2 (x2 + 3x) = 2 (definição) x2 + 3x = 22 x2 + 3x – 4 = 0 (aplicando a fórmula de Bháskara) x' 1 x" 4 3º passo: observe que apenas x = 1 satisfaz a C.E. (x > 0), logo, S = {1} 2- Encontre o conjunto solução da equação Log 2 1º passo: Condição de existência (C.E.). I) x > 0 x > 0 II) -x + 5 > 0 x < 5 x + Log 4 (-x + 5) = 1. 2º passo: Resolvendo a equação. x + Log 4 (-x + 5) = 1 ( mudança de base) Log 2 Log 2 x Log 2 ( x 5) 1 Log 2 4 ( Log 2 4 2 ) Log 2 x Log 2 ( x 5) 1 2 (m.m.c. = 2) 2.Log 2 x Log 2 ( x 5) 2 Log 2 x 2 Log 2 ( x 5) 2 (propriedade) Log 2 x Log 2 ( x 5) 2 (propriedade) x(x 5) 2 2 (definição) x 5x 4 0 x' 4 x" 1 (fórmula de Bháskara) Log 2 x(x 5) 2 2 3º passo: observe que os resultados 4 e 1 pertencem ao conjunto C.E., logo, S = {1, 4} 5- Inequações Logarítmicas Se uma inequação apresenta a variável independente no logritmando ou na base de um logaritmo, denomina-se a mesma de inequação logarítmica. Para resolver inequações logarítmicas devemos seguir, como nas equações, os seguintes passos: 1º) Instituem-se as condições de existência dos logaritmos; 2º) Resolve-se a inequação logarítmica: 2.1- Se a base for maior que 1 (b > 1), conserva-se o sinal da desigualdade. 2.2- Se a base estiver entre 0 e 1(0 < b < 1), inverte-se o sinal da desigualdade. 3º) Encontra-se a intersecção do resultado do 1º com o do 2º passo. Exemplos 01- Resolva a inequação Log (3x – 6) – Log (x + 2) > 0. 1º passo: Condição de existência (C.E.). I) 3x – 6 > 0 x > 2 II) x + 2 > 0 x > -2 2º passo: Resolvendo a inequação. Log (3x – 6) – Log (x + 2) > 0 Log (3x – 6) > Log (x + 2) (b > 1, permanece o sinal da inequação) 3x – 6 > x + 2 x > 4 Nota: Normalmente o resultado da inequação seria S = {x / x > 4}, porém, vamos ao 3º passo. 3º passo: Encontra-se a intersecção do resultado do 1º com o do 2º passo. 02- Encontre o conjunto solução da inequação Log ½ (1 – x2) -3. 1º passo: Condição de existência (C.E.). 1 – x2 > 0 (a = -1 a < 0) x' 1 1 – x2 = 0 x" 1 2º passo: Resolvendo a inequação. Log ½ (1 – x2) -3 (sendo b = ½, inverte-se o sinal da inequação) 1 – x2 (1/2)-3 1 – x2 8 -x2 - 7 0 (-1) x2 + 7 0 x2 + 7 = 0 {x’ e x” ------------------------------------------------------m/a x Nota: Normalmente o resultado da inequação seria S = , porém, vamos ao 3º passo. 3º passo: Encontra-se a intersecção do resultado do 1º com o do 2º passo. 6- Característica e Mantissa de um logaritmo Procurando na tábua dos logaritmos ou na calculadora científica o logaritmo de 235,4 encontramos, como resultado, aproximadamente 2,378. Separando a parte inteira da decimal, temos: 2,378 = 2 + 0,378. A parte inteira (2) denomina-se característica e a parte decimal (0,378) de mantissa. Para calcular a característica do Log 235,4 deve-se subtrair a quantidade de dígitos da parte inteira do logaritmando (3) de um (1) encontrando 2 como resultado. Esse cálculo é feito quando o logaritmando assumir um valor real positivo e maior que 1. Já, a mantissa (0,378) é encontrada na tábua dos logaritmos. Quando o logaritmando for um número real positivo e menor que 1 (um), a característica será a quantidade de zeros que antecedem o 1º dígito não-nulo acompanhada do sinal negativo (-). Exemplos: 1) Determine a característica de cada número abaixo: a) Log 2,345 b) Log 367,45 c) Log 0,356 d) Log 0,045 e) Log 0,003004 Solução a) Log 2,345 b) Log 367,45 c) Log 0,356 d) Log 0,045 e) Log 0,003004 C = 1 – 1 = 0, logo, o resultado do logaritmo é 0, mantissa. C = 3 – 1 = 2, logo, o resultado do logaritmo é 2, mantissa. C =-1, logo, o resultado do logaritmo é -1, mantissa C = -2, logo, o resultado do logaritmo é -2, mantissa C = -3, logo, o resultado do logaritmo é -3, mantissa 2) Qual é a característica de um número real positivo menor que 1 que apresenta, na forma decimal, 4 zeros antecedendo o primeiro dígito não-nulo? Solução Observe o seguinte número Log 0,00035. A quantidade de zeros que antecede o 1º dígito não-nulo 4, logo, a característica é -4.