exercicios de estatistica - Instituto de Economia

DISCIPLINA – INTRODUÇÃO A ESTATISTICA ECONOMICA – ECN26
PROFESSOR HENRIQUE DANTAS NEDER
EXERCICIOS DE ESTATISTICA
PROBABILIDADE
1. a. Se P(A ou B) = 1/3, P(B) = 1/4 e P(A e B) = 1/5, determine P(A).
b. Se P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5, que se pode dizer quanto a P(A ou B) se A e B são
eventos mutuamente excludentes?
c. Se P(A) = 0,4 e P(B) = 0,5, que se pode dizer quanto a P(A ou B), se A e B não
são mutuamente excludentes?
2. Se A e B são mutuamente excludentes e B e C também o são, os eventos A e C
devem ser mutuamente excludentes? Dê um exemplo que confirme sua resposta.
3. Como se modifica a regra da adição, se utilizamos ou exclusivo em lugar de ou
inclusivo? Recorde que ou exclusivo significa um ou outro, mas não ambos.
4. Dado que P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B), estabeleça uma regra formal para
P(A ou B ou C). (Sugestão: Trace um diagrama de Venn)
5. Determine a probabilidade de que, em 25 pessoas selecionadas aleatoriamente,
a. Não haja duas com a mesma data de aniversário.
b. Ao menos duas tenham a mesma data de aniversário.
6. a. Determine uma fórmula de não obter A ou Bem um único experimento. Isto é,
dê uma expressão para P (A ou B).
b. Determine unia fórmula para a probabilidade não obter B em unia única prova;
isto é, de u P( A ou B).
c. Compare os resultados das partes (a) e (b). são diferentes?
7. Devemos extrair aleatoriamente duas cartas, sem baralho bem misturado.
Determine a probabilidade de obter um 10 na primeira extração e uma carta de
paus na segunda.
8. Três moedas são jogadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de obter 2
caras? Qual é a probabilidade de obter pelo menos 2 caras?
1) Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que a
soma dos números mostrados nas faces de cima seja 7.
2) Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de que o
máximo seja maior ou igual a 3.
3) Para a Copa do Mundo 24 países são divididos em seis grupos, com 4 países
cada um. Supondo que a escolha do grupo de cada país é feita ao acaso,
calcular a probabilidade de que dois países determinados A e B se encontrem
no mesmo grupo. ( Na realidade a escolha não é feita de forma completamente
aleatória).
9. Uma loteria tem N números e só um prêmio. Um jogador compra n bilhetes em
uma extração. Outro compra só um bilhete em n extrações diferentes. (Ambos os
jogadores apostam portanto a mesma importância). Qual deles tem maior
probabilidade de ganhar o prêmio?
10. Seis bolas são colocadas em três urnas diferentes. Qual é a probabilidade de
que todas as urnas estejam ocupadas?
11. Um número entre 1 e 300 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade
de que ele seja divisível por 3 ou por 5.
12. Um torneio é disputado por 4 vezes A,B, C e D. Ë 3 vezes mais provável que A
vença do que B, duas vezes mais provável que B vença do que C e é 3 vezes
mais provável que C vença do que D. Quais as probabilidades de ganhar para
cada um dos times?
13. Uma caixa contem 20 peças em boas condições e 15 em más condições. Uma
amostra de 10 peças é extraída. Calcular a probabilidade de que ao menos uma
peça na amostra seja defeituosa.
14. Uma cidade tem 30 000 habitantes e três jornais A, B e C. Uma pesquisa de
opinião revela que:
12 000 lêem A;
8 000 lêem B;
7 000 lêem A e B;
6 000 lêem C;
4 500 lêem A e C;
1 000 lêem B e C;
500 lêem A,B e C.
Qual é a probabilidade de que um habitante leia:
a)
Pelo menos um jornal;
b)
Só um jornal.
15. s algarismos 1,2,3,4,5 são escritos em 5 cartões diferentes. Estes cartões são
escolhidos (sem reposição) aleatoriamente e os algarismos que vão aparecendo
são escritos da esquerda para a direita, formando um número de 5 algarismos.
a)
b)
calcular a probabilidade de que o número escrito seja par
Se a escolha fosse com reposição qual seria a probabilidade?
16. Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcular a probabilidade de
que exatamente uma urna seja deixada desocupada.
17. Dez pessoas são separadas em dois grupos de 5 pessoas cada um. Qual é a
probabilidade de que duas pessoas determinadas A e B façam parte do mesmo
grupo?
18. 5 homens e 5 mulheres compram 10 cadeiras consecutivas na mesma fila de
um teatro. Supondo que se sentaram aleatoriamente nas 10 cadeiras, calcular:
a)
b)
a probabilidade de que homens e mulheres se sentem em cadeiras
alternadas;
A probabilidade de que as mulheres se sentem juntas.
19. Um número entre 1 e 200 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade
de que seja divisível por 5 ou por 7.
20. Uma moeda foi cunhada de tal forma que é 4 vezes mais provável de dar cara
do que coroa. Calcular as probabilidades de cara e coroa.
21. Aos números inteiros entre 1 e n são designadas probabilidades proporcionais
aos seus valores. Calcular P(i) para 1  i  n
22. Três dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de obter
12 como a soma dos resultados.
23. Sejam A e B eventos tais que
1
1
1
P ( A)  , P(B) 
e P(A  B) 
2
4
5
Calcular :
a) P( A  B)
b) P(A)
c) P(B)
d) P(A  B)
e) P(A  B)
f) P(A  B)
g) P(A  B)
24. No jogo da Sena são sorteadas 6 dezenas distintas entre as dezenas 01 – 02
- ...- 50. O apostador escolhe 6 dessas 50 dezenas e é premiado se são sorteadas
4 (quadra), 5 (quina), 6 (Sena Principal) das dezenas por ele escolhidas ou se as
dezenas sorteadas são escolhidas aumentadas (Sena Anterior) ou diminuídas
(Sena Posterior) de uma unidade (50 +1 = 01, 01 – 1 = 50). Determine a
probabilidade de uma apostador fazer:
a)
b)
c)
d)
uma quadra
uma quina
a Sena Principal
A Sena Anterior ou a Posterior.
25. No jogo da Loto são sorteadas 5 dezenas distintas entre as dezenas 01 – 02 ...- 99 - 00. O apostador escolhe 6,7,8,9 ou 10 dezenas e é premiado se são
sorteadas 3 (terno), 4 (quadra) ou 5 (quina) das dezenas escolhidas. Determine a
probabilidade de uma apostador que escolheu 10 dezenas fazer:
a) um terno
b) uma quadra
c) a quina
26. Na Loteria Esportiva há 13 jogos e o apostador deve indicar em cada um
deles a vitória do time 1, a vitória do time 2 ou o empate. Um jogador é premiado:
a) com 10 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e erra os dos 3
últimos;
b) com 11 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e acerta apenas
um dos resultados dos 3 últimos;
c) com 12 pontos, se acerta os resultados dos 10 primeiros jogos e acerta apenas
2 dos resultados dos 3 últimos;
d) com 13 pontos, se acerta os resultados dos 13 jogos.
Supondo que em cada jogo os resultados possíveis tenham probabilidades iguais,
determine a probabilidade de um apostador ser premiado:
a)
b)
c)
d)
com 10 pontos;
com 11 pontos;
com 12 pontos;
com 13 pontos.
27. Escolhem-se ao acaso duas peças de um dominó. Qual é a probabilidade
delas possuírem um número comum?
28. Em um armário há n pares de sapatos. Retiram-se ao acaso p pares de
sapatos desse armário. Qual a probabilidade de haver entre esses pés
exatamente k pares de sapatos?
29. Colocam-se ao acaso n botões em um tabuleiro n x n, não sendo permitido
haver dois botões em uma mesma casa. Qual é a probabilidade de não haver dois
botões nem na mesma linha nem na mesma coluna?
30. Um polígono regular de 2n + 1 lados está inscrito em um círculo. Escolhem-se
3 dos seus vértices, formando-se um triângulo. Qual é a probabilidade do centro
do círculo ser interior ao triângulo?
31. Tem-se n urnas. Bolas são colocadas ao acaso nas urnas, uma de cada vez,
até que alguma urna receba duas bolas. Qual é a probabilidade de colocarmos
exatamente p bolas nas urnas?
32. João e Pedro lançam, cada um, um dado não-tendencioso. Qual é a
probabilidade do resultado de João ser maior ou igual ao resultado de Pedro?
33. Numa prova há 7 perguntas do tipo verdadeiro-falso. Calcular a probabilidade
de acertarmos todas as 7 se:
a) escolhermos aleatoriamente as 7 respostas,
b) escolhermos aleatoriamente as respostas mas sabendo que há mais respostas
“verdadeiro” do que “falso”.
34. Sabe-se que 80 % dos pênaltis marcados a favor do Brasil são cobrados por
jogadores do Flamengo. A probabilidade de um pênalti ser convertido é 40 % se o
cobrador for do Flamengo e de 70 % em caso contrário. Um pênalti a favor do
Brasil acabou de ser marcado:
a) Qual a probabilidade do pênalti ser cobrado por um jogador do Flamengo e ser
convertido?
b) Qual a probabilidade do pênalti ser convertido?
c) Um pênalti foi marcado a favor do Brasil e acabou de ser desperdiçado. Qual é
a probabilidade de que o cobrador tenha sido um jogador do Flamengo?
35. Marina quer enviar uma carta a Verônica. A probabilidade de que Marina
escreva a carta é de 8/10. A probabilidade de que o correio não perca é de 9/10. A
probabilidade de que o carteiro entregue é de 9/10. Dado que Verônica não
recebeu a carta, qual é a probabilidade condicional de que Marina não a tenha
escrito?
36. Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é
de 4/10. O Fluminense ganha um jogo em um dia com chuva com probabilidade
de 6/10 e em um dia sem chuva com probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o
Fluminense ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que
choveu neste dia?
37. Num exame há 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas é certa.
Portanto, para cada pergunta, um aluno tem probabilidade de 1/3 de escolher a
resposta certa se ele está adivinhando e 1 se sabe a resposta. Um estudante sabe
30 % das respostas do exame. Se ele deu a resposta correta para uma das
perguntas, qual é a probabilidade de que a adivinhou?
38. Um jogador deve enfrentar, em um torneio, dois outros A e B. Os resultados
dos jogos são independentes e as probabilidades dele ganhar de A e de B são 1/3
e 2/3 respectivamente. O jogador vencerá o torneio se ganhar dois jogos
consecutivos, de uma série de 3. Que série de jogos é mais favorável ao jogador:
ABA ou BAB?
39. A probabilidade de fechamento de cada relé do circuito apresentado na figura
abaixo é igual a p, 0 < p < 1.
2
3
1
4
5
B
A
Se todos os relés funcionam independentemente, qual é a probabilidade de que
haja corrente circulando entre os terminais A e B?
40. Escolhe-se ao acaso um número entre 1 e 50. Se o número é primo qual é a
probabilidade de que seja ímpar?
41. Uma moeda é jogada 6 vezes. Sabendo-se que no primeiro lançamento deu
coroa, calcular a probabilidade condicional de que o número de caras nos 6
lançamentos supere o número de coroas.
42. Uma moeda é jogada 4 vezes. Sabendo que o primeiro resultado foi cara,
calcular a probabilidade condicional de obter pelo menos 2 caras.
43. Joga-se um dado duas vezes. Calcule a probabilidade condicional de obter 3
na primeira jogada, sabendo que a soma dos resultados foi 7.
44. Duas máquinas A e B produzem 3000 peças em um dia. A máquina A produz
1000 peças, das quais 3 % são defeituosas. A máquina B produz as restantes
2000, das quais 1 % são defeituosas. Da produção total em um dia uma peça é
escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que é defeituosa. Qual é a
probabilidade de que a peça tenha sido produzida pela máquina A?
45. Um estudante resolve um teste do tipo verdadeiro-falso. Ele sabe dar a
solução correta para 40 % das questões. Quando ele responde uma questão cuja
solução conhece, dá a resposta correta, e nos outros casos decide na cara ou
coroa. Se uma questão foi respondida corretamente, qual é a probabilidade que
ele sabia a resposta?
46. Sejam A e B dois eventos independentes tais que
P(A) = 1/3 e P(B) = ½
Calcule
P( A  B), P(A  B) e P(A  B)
47. Sejam A e B dois eventos independentes tais que
P( A)  1 / 4 e P(A  B)  1/3
Calcule P(B)
48. Uma moeda equilibrada é jogada duas vezes. Sejam A e B os eventos:
A: cara na primeira jogada;
B: cara na segunda jogada
Verifique que A e B são independentes
49. Jogue um dado duas vezes. Considere os eventos:
A = o resultado do 1º lançamento é par;
B = o resultado do 2º lançamento é par;
C = a soma dos resultados é par.
A e B são independentes? e A e C? e B e C? e A, B e C?
50. Uma pessoa com um molho de n chaves tenta abrir uma porta. Apenas uma
das chaves consegue abrir a porta. Qual é a probabilidade dela só conseguir abrir
a porta na k-ésima tentativa:
supondo que após cada tentativa mal sucedida ela descarta a chave usada;
supondo que ela não faz isso.
(Problema de Chevalier de Méré) Determine a probabilidade de obter:
ao menos um 6 em 4 lançamentos de um dado;
ao menos um duplo 6 em 24 lançamentos de um par de dados.
51. A probabilidade de um homem ser canhoto é 1/10. Qual é a probabilidade de,
em um grupo de 10 homens, haver pelo menos um canhoto?
52. Sacam-se, sucessivamente e sem reposição, duas cartas de um baralho
comum (52 cartas). Calcule a probabilidade de a 1 ª carta ser uma dama e a 2ª ser
de copas.
53. Um exame de laboratório têm eficiência de 95 % para detectar uma doença
quando essa doença existe de fato. Entretanto o teste aponta um resultado “falso
positivo” para 1 % das pessoas sadias testadas. Se 0,5 % da população tem a
doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que seu exame
foi positivo?
54. A lança uma moeda n+ 1 vezes e B lança a mesma moeda n vezes. Qual é a
probabilidade de A obter mais caras que B?
55. Quantas pessoas você deve entrevistar para ter probabilidade igual ou
superior a 0,5 de encontrar pelo menos uma que aniversarie hoje?
56. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 7 bolas brancas. A e B sacam
alternadamente, sem reposição, bolas dessa urna até que uma bola vermelha seja
retirada. A saca a primeira bola. Qual é a probabilidade de A sacar a bola
vermelha?
57. Em uma cidade com n+ 1 habitantes, uma pessoa conta um boato para outra
pessoa, a qual por sua vez conta para uma terceira pessoa, etc. Calcule a
probabilidade do boato ser contado m vezes:
sem retornar à primeira pessoa;
sem repetir nenhuma pessoa.
58. Sacam-se, com reposição, n (n > 1) bolas de uma urna que contem 9 bolas
numeradas de 1 a 9. Qual é a probabilidade do produto dos números das n bolas
extraídas ser divisível por 10?
59. Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado não tendencioso para que
a probabilidade de obter algum 6 seja superior a 0,9?
60. Um júri de 3 pessoas tem dois jurados que decidem corretamente (cada um)
com probabilidade p e um terceiro jurado que decide por cara ou coroa. As
decisões são tomadas por maioria. Outro júri tem probabilidade p de tomar uma
decisão correta. Qual dos júris tem maior probabilidade de acerto?
61. Um dia você captura 10 peixes em um lago, marca-os e coloca-os no lago
novamente. Dois dias após, você captura 20 peixes no mesmo lago e constata
que 2 desses peixes haviam sido marcados por você.
se o lago possui k peixes, qual era a probabilidade de, capturando 20 peixes,
encontrar dois peixes marcados?
para que valor de k essa probabilidade é máxima?
62. Qual é a probabilidade de, em um grupo de 4 pessoas:
haver alguma coincidência de signos zodiacais?
as quatro terem o mesmo signo?
duas terem o mesmo signo, e as outras duas, outro signo?
três terem o mesmo signo e, a outra, outro signo?
todas terem signos diferentes?
63. Deseja-se estimar a probabilidade p de um habitante de determinada cidade
ser um consumidor de drogas. Para isso realizam-se entrevistas com alguns
habitantes da cidade. Não se deseja perguntar diretamente ao entrevistado se ele
usa drogas, pois ele poderia se recusar a responder ou, o que seria pior, mentir.
Adota-se então o seguinte procedimento: propõe-se ao entrevistado duas
perguntas do tipo SIM-NÃO:
Você usa drogas?
Seu aniversário é anterior ao dia 2 de julho?
64. Pede-se ao entrevistado que jogue uma moeda, longe das vistas do
entrevistador, e que se o resultado for cara, responda à primeira pergunta e, se for
coroa, responda à segunda pergunta.
sendo p1 a probabilidade de um habitante da cidade responder sim, qual é a
relação entre p e p1 ?
se forem realizadas 1000 entrevistas e obtidos 600 sim é razoável imaginar que
p1  0,6. Qual seria, então, sua estimativa de p?
65. Uma firma fabrica “chips” de computador. Em um lote de 1000 “chips”, uma
amostra de 10 “chips” revelou 1 “chip” defeituoso. Supondo que no lote houvesse
k “chips” defeituosos:
66. Calcule a probabilidade de em uma amostra de 20 “chips” haver exatamente 1
“chip”defeituoso.
Determine o valor de k que maximiza a probabilidade calculada no item a).
67. Jogamos uma moeda não viciada 10 vezes. Qual é a probabilidade de
obtermos exatamente 5 caras?
68. Um aluno marca ao acaso as respostas em um teste múltipla-escolha com 10
questões e 5 alternativas por questão. Qual é a probabilidade dele acertar
exatamente 4 questões?
69. Joga-se uma moeda não viciada. Qual é a probabilidade de serem obtidas 5
caras antes de 3 coroas?
70. Lança-se um dado não viciado até a obtenção do terceiro 6. Seja X o número
do lançamento em que isto ocorre. Calcule:
P(X = 10); b) P(X > 10); c) P(X = 10).
71. Dois adversários A e B disputam uma série de partidas. A probabilidade de A
ganhar uma partida é 0,6 e não há empates. Qual á probabilidade de A ganhar a
série?
72. Dois adversários A e B disputam uma série de partidas. O primeiro que obtiver
12 vitórias ganha a série. No momento o resultado é 6 x 4 a favor de A. Qual é a
probabilidade de A ganhar a série sabendo que em cada partida as probabilidades
de A e B vencerem são respectivamente 0,4 e 0,6?
73. Motores de avião funcionam independentemente e cada motor tem uma
probabilidade p de falhar durante o vôo. Um avião voa com segurança se a
maioria de seus motores funciona. Para que valores de p um avião com 3 motores
é preferível a um avião com 5 motores?
74. Suponha que uma característica (como a cor dos olhos, por exemplo) dependa
de um par de genes. Representemos por A um gen dominante e por a um gen
recessivo. Assim um indivíduo com genes AA é dominante puro, um com genes aa
é um recessivo puro e um com genes Aa é um híbrido. Dominantes puros e
híbridos são semelhantes em relação à característica. Filhos recebem um gen do
pai e um da mãe. Suponha que pai e mãe sejam híbridos e tenham 4 filhos.
Qual é a probabilidade do primeiro filho ser um recessivo puro?
Qual é a probabilidade de exatamente um dos 4 filhos ser um recessivo puro?
75. (O problema das caixas de fósforos de Banach1) Um matemático sai de casa
todos os dias com duas caixas de fósforos, cada uma com n palitos. Toda vez que
ele que acender um cigarro, ele pega (ao acaso) uma das caixas e retira daí um
palito. O matemático é meio distraído, de modo que quando ele retira o último
palito de uma caixa, ele não percebe que a caixa está vazia. Como ele fuma
muito, em certa hora ele pega uma caixa e constata que ela está vazia. Qual é a
probabilidade de nesse momento a outra caixa conter exatamente k ( 0  k  n )
palitos?
76. Lança-se repetidamente um par de dados não tendenciosos. Qual é a
probabilidade de obtermos duas somas iguais a 7 antes de obtermos três somas
iguais a 3?
77. Uma moeda tem probabilidade 0,4 de dar cara. Lançando-a 12 vezes qual o
mais provável valor do número de caras obtidas?
78. Suponha que uma variável aleatória T tem a seguinte distribuição de
probabilidade
T
P(T=t)
0
2
0,5
0,2
1
0,3
Ache P(T <= 0)
Ache P(T >= 0 and T < 2)
Calcule E(T), a média da variável aleatória T.
79. Suponha que você escolha uma bola de uma urna contendo 7 bolas
vermelhas, 6 bolas brancas , 5 bolas azuis e 4 bolas brancas. Qual é a
probabilidade de que você escolha uma bola vermelha?
80. Suponha que você escolha uma bola aleatoriamente de uma urna 7 bolas
vermelhas, 6 bolas brancas, 5 bolas azuis e 4 bolas amarelas. Qual é a
probabilidade de que você escolha uma bola branca?
81. Um dado não viciado é jogado duas vezes. Ache a probabilidade de sair um 5
ou 6 no primeiro lance e um 1, 2 ou 3 no segundo lance.
82. Ache a probabilidade de não sair um 5 ou 6
jogadas de um dado não viciado.
1 Stefan Banach (1892-1945), matemático polonês
em qualquer uma de duas
83. Você tem um baralho de 52 cartas bem embaralhadas. Qual é a probabilidade
de escolher dois valetes consecutivos se a primeira carta não é recolocada no
baralho?
84. Uma urna contem 5 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 6 bolas azuis.
Determine a probabilidade de que elas sejam escolhidas na ordem azul, branca e
vermelha dado que cada bola é recolocada na urna depois de escolhida.
85. Uma urna contem 5 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 6 bolas azuis.
Determine a probabilidade de que elas sejam escolhidas na ordem azul, branca e
vermelha dado que cada bola não é recolocada na urna depois que ela é
escolhida.
86. A urna A contem 2 bolas vermelhas e 3 azuis. A urna B contem 8 bolas
vermelhas e 2 azuis. Você joga uma moeda honesta. Se amoeda mostra cara
você escohe uma bola da urna A. Se a moeda mostra coroa você escolhe uma
bola da urna B. Determine a probabilidade de que você escolha uma bola
vermelha.
87. Você tem 6 bolas, cada uma de cor diferente. De quantas maneiras distintas
você pode dispo-las em uma fila?
88. De quantas maneiras possíveis 8 pessoas podem sentar-se em um banco se
apenas estão disponíveis 3 assentos?
89. De quantas maneiras números de 3 algarismos podem ser formados com os
dígitos 0,1,2,..,9 se repetições são permitidas?
90. De quantas maneiras números de 3 algarismos podem ser formados com os
dígitos 0,1,2,..,9 se repetições não são permitidas?
91. Três diferentes livros de Ciências, 5 diferentes livros de Inglês e 4 diferentes
livros de Economia são arranjados em uma estante. De quantas maneiras é
possível dispo-los se todos os livros de cada assunto precisam ficar juntos?
92. Três diferentes livros de Ciências, 5 diferentes livros de Inglês e 4 diferentes
livros de Economia são arranjados em uma estante. De quantas maneiras é
possível dispo-los se somente os livros de Ciências precisam ficar juntos?
93. De quantas maneiras pode um comitê de 6 pode ser escolhido de 10 pessoas?
94. A partir de 4 médicos e de 6 enfermeiras, um comitê consistindo de 3 médicos
e 4 enfermeiras precisa ser formado. De quantas maneiras isto pode ser feito se
um particular médico deve ser incluído e se qualquer enfermeira pode ser
incluída?
95. A partir de 4 médicos e de 6 enfermeiras, um comitê consistindo de 3 médicos
e 4 enfermeiras precisa ser formado. De quantas maneiras isto pode ser feito se
uma particular enfermeira não pode ser incluída no comitê?
96. De quantas maneiras diferentes saladas de frutas podem ser feitas de maçã,
laranja, tangerina e banana?
97. A partir de 6 consoantes e 4 vogais, quantas combinações distintas de letras
podem ser feitas?
98. Quais dos seguintes pares de eventos são mutuamente exclusivos?
a. A: os números pares ;
B: o número 5;
b. A: os números ímpares;
B: os números maiores do que
10;
c. A: os números menores que 5;
B: todos os números negativos
d. A: os números maiores do que 100;
B: os números menores do que
200;
e. A: os números negativos;
B: os números pares
99. Uma carta é escolhida de um baralho padrão de 52 cartas. Ao descrever a
ocorrência de dois possíveis eventos, um Ás e um Rei, estes dois eventos são:
independentes
mutuamente exclusivos
variáveis aleatórias
aleatoriamente independentes.
100. Suponha que certa característica oftalmológica é associada com a cor dos
olhos. 300 indivíduos selecionados aleatoriamente são estudados e apresentam
os seguintes resultados:
Cor dos olhos
Característi
ca
Azuis
Castanho
Outra
Total
s
Sim
70
30
20
120
Não
20
110
50
180
Tota
l
90
140
70
300
Qual é a probabilidade de que uma pessoa tenha
olhos azuis ?
O que você espera que seja o valor de P(Ter a
característica e olhos azuis) se a cor dos olhos e a
existência da característica são independentes ?
Quais das seguintes expressões descrevem a
relação entre os eventos A = a pessoa tem olhos
castanhos e B = a pessoa tem olhos azuis ?
(marque a resposta correta).
i. independente
iii. simples
ii. exaustivo
iv. mutuamente exclusivos
101. Uma amostra de 1000 pessoas diagnosticada com certa doença é distribuída
de acordo com a altura e o status (evolução) da doença a partir de um exame
clínico de acordo com a seguinte tabela:
Sem a
doença
Fraca
Modera
da
Severa
Totais
Alta
122
78
139
61
400
Média
74
51
90
35
250
Baixa
104
71
121
54
350
Totais
300
200
350
150
1000
Como você estimaria, a partir dessa tabela, a probabilidade de ser
média ou baixa em altura e ter moderado ou severo grau de evolução da
doença ?
a. 600/1000 * 500/1000
d. 300/600
b. 300/500
e. 800/1000
300/1000
102. De cerca de 25 artigos, nove são defeituosos, seis tem defeitos superficiais e
três tem defeitos importantes. Determine a probabilidade de que um artigo
selecionado aleatoriamente tenha defeitos importantes dado que ele tem defeito.
1/3
0,25
0,24
0,08
103. A seguinte tabela de duas entradas mostra as frequências de ocorrência de
uma exposição hipotética e a doença em um grupo de 1000 pessoas.
D
Totais
Presente
Ausente
o
e
n
ç
a
Exposição
Presente
75
325
400
Ausente
25
575
600
Totais
100
900
1000
Qual é a probabilidade de exposição no grupo ?
Qual é a probabilidade conjunta de tanto exposição como de doença estar
presente no grupo ?
Calcule a probabilidade de doença estar presente condicionada a presença de
exposição e condicionada a ausência de exposição.
104. Um epidemiologista acredita que as rodovias têm alguma relação com o
desenvolvimento de uma nova doença porque a probabilidade de uma pessoa
estar morando a menos de uma milha das rodovias, dado que ela tem a doença, é
0,80. Você concorda com ele ? Porque ou porque não ?
105. Um dormitório de um campus universitário abriga 200 estudantes. 120 são
homens, 50 são dos graus mais avançados e 40 são homens dos graus mais
avançados. Um estudante é selecionado ao acaso. A probabilidade de selecionar
um estudante de grau menos elevado, dado que o estudante é mulher, é:
(a) 7/8
(d) 7/20
(b) 7/15
(e) 1/4
2/5
106. Uma amostra de 2000 indivíduos é distribuída de acordo com a cor de olho
e a presença ou ausência de uma certa característica oftalmológica como segue:
Característica
Sim
Não
Total
Cor dos olhos
Castanho
Azul
400
270
200
650
600
920
Outro
130
350
480
800
1200
2000
Em uma seleção aleatória de um indivíduo da população em estudo,
Qual é sua estimativa da probabilidade de:
a pessoa tem olhos azuis? ___________
a característica está presente e a pessoa tem castanhos? ____________
a pessoa nem não tem olhos castanhos nem olhos azuis dados
que a característica está ausente? _______________
d. a pessoa nem não tem olhos de outra cor nem olhos azuis e a
característica está presente _______________
e. a pessoa não tem olhos castanhos? _______________
f. a pessoa tem olhos azuis ou nem não tem olhos azuis nem olhos castanhos?
__________
g. a pessoa não tem a característica ou não tem olhos castanhos? ________
107. Um sindicato de trabalhadores local consiste de associados encanadores e
eletricistas, classificado de acordo com grau:
Encanadores
Eletricistas
Aprendiz
25
15
40
Jornaleiro
20
40
60
Oficial
30
20
50
Total
75
75
Um associado do sindicato é selecionado ao acaso. Dado que a pessoa
selecionada é um encanador, a probabilidade de que ele é um jornaleiro é:
1/2
1/3
4/15
2/15
nenhuma das anteriores.
108. Entre vinte e cinco artigos, nove são defeituosos, seis tem somente um
defeito não importante e três têm um defeito importante. Determine a
probabilidade de que um artigo selecionado ao acaso tenha defeitos importantes
dado que ele tenha defeitos.
1/3
0,25
0,24
0,08
109. Os depositantes do Banco X são categorizados por idade. Selecionaremos
aleatoriamente um indivíduo desse grupo de 2.000 depositantes
Sexo/
Idade
30 ou menos
31 ou mais
Homem
Mulher
800
400
600
200
Então P(mulher de 30 ou menos) =
a) 2/5 b) 3/4 c) 3/7 d) 3/10 e) nenhuma das anteriores
Então P[homem ou (31 ou mais)] =
a) 1/5 b) 3/10 c) 1/2 d) 7/10 e) nenhuma das anteriores
Então P(mulher) =
a) 3/10 b) 2/5 c) 3/5
d) 2/3
e) nenhuma das anteriores
110. Qual é a probabilidade condicional de que um depositante escolhido
idade de 30 anos ou menos, dado que ele é homem?
a) 2/3
b) 7/10
c) 4/7
d) 2/5
tenha
e) nenhuma das anteriores
São as idades e sexos dos depositantes independentes para o Banco X? Porque?
111. Um epidemiologista sente que as rodovias têm alguma relação com o
desenvolvimento de uma nova doença porque a probabilidade de que uma pessoa
esteja morando a uma milha ou menos da rodovia, dado que ela tem a doença é
0,80. Você concorda com ele? Explique porque.
112. Existem duas urnas marcadas com H e T. A urna H contem 2 bolas
vermelhas e 1 bola azul. A urna T contem 1 bola vermelha e 2 azuis. Uma moeda
é jogada ao acaso. Se sai cara é escolhida uma bola da urna H. Se sai coroa, uma
bola é escolhida da urna T. Ache as seguintes probabilidades.
a. P(cara e vermelha)
d. P(azul)
b. P(coroa)
c. P(vermelha)
e. P(cara|vermelha)
113. A seguinte tabela de contingência fornece uma distribuição de freqüências
conjunta para os votos populares apurados na eleição presidencial de 1984 por
região e por partido político. Os dados estão em milhares, arredondados para o
mais próximo milhar.
Democrata Republicano Outros
P1
P2
P3
Total
Nordeste R1 9.056
11.336
101
20.493
Meio Oeste R2 10.511
14.761
169
25.441
Sul
R3 10.998
17.699
136
28.833
Oeste
R4 7.022
10.659
214
17.895
Total
37.587
54.455
620
92.662
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Quantos pessoas votaram no partido Republicano?
Quantas pessoas no Meio Oeste votaram?
Quantas pessoas no Sul votaram no partido Democrata?
Determine a probabilidade dos eventos R3 e P2 (simultâneos).
Calcule Pr(R3 ou P2), usando a tabela de contingência diretamente
Calcule Pr(R3 ou P2), usando a regra geral da adição de probabilidade, isto
é, Pr(A ou B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr (A e B).
g. Ache Pr(R3 | P2).
h. Calcule Pr(P1) e Pr(P1 | R4).
i. São os eventos P1 e R4 independentes? Explique sua resposta.
São os eventos P1 e R4 mutuamente exclusivos? Explique sua resposta.
114. Em um bairro existem três empresas de TV a cabo e 20 mil residências. A
empresa TA tem 2100 assinantes, a TB tem 1850 e a empresa TC tem 2600
assinantes, sendo que algumas residências em condomínios subscrevem aos
serviços de mais de uma empresa. Assim, temos 420 residências que são
assinantes de TA e TB, 120 de TA e TC, 180 de TB e TC e 30 que são assinantes
das três empresas. Se uma residência desse bairro é sorteada ao acaso, qual a
probabilidade de:
a. Ser assinante somente da empresa TA?
b. Assinar pelo menos uma delas?
c. Não ter TV a cabo?
115. Das pacientes de uma Clínica de Ginecologia com idade acima de 40 anos,
60% são ou foram casadas e 40% são solteiras. Sendo solteira, a probabilidade
de ter tido um distúrbio hormonal no último ano é de 10%, enquanto que para as
de mais essa probabilidade aumenta para 30%. Pergunta-se:
a. Qual a probabilidade de uma paciente escolhida ao acaso ter tido um distúrbio
hormonal?
b. Se a paciente sorteada tiver distúrbio hormonal, qual a probabilidade de ser
solteiro?
c. Se escolhemos duas pacientes ao acaso e com reposição, qual é a
probabilidade de pelo menos uma ter o distúrbio?
116. Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O
candidato do partido de direita tem 30% da preferência eleitoral, o de centro tem
30% e o da esquerda 40%. Em sendo eleito, a probabilidade de dar efetivamente
prioridade para Educação e Saúde é de 0.4; 0.6 e 0.9 para os candidatos de
direita, centro e esquerda respectivamente.
a. Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo
governo?
b. Se a área teve prioridade, qual a probabilidade do candidato de direita ter ganho
a eleição?
117. Um médico desconfia que um paciente tem tumor no abdômen, pois isto
ocorreu em 70% dos casos similares que tratou. Se o paciente de fato tiver o
tumor, o exame ultra-som o detectará com probabilidade 0.9. Entretanto, se ele
não tiver o tumor, o exame pode, erroneamente, indicar que tem com
probabilidade de 0.1. Se o exame detectou um tumor, qual é a probabilidade do
paciente tê-lo de fato?
118. Uma família viaja ao litoral para passar um fim de semana. A probabilidade
de congestionamento na estrada é de 0.6. Havendo congestionamento, a
probabilidade dos seus dois filhos brigarem no carro é de 0.8 e, sem
congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade 0.4. Quando há
briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade do pai perder a paciência
com os filhos é de 0.7. É claro que havendo congestionamento o pai pode perder
a paciência com os filhos mesmo sem brigas o que aconteceria com probabilidade
0.5. Quando não há nem congestionamento, nem briga, o pai dirige tranqüilo e
não perde a paciência. Determine a probabilidade de:
a) Não ter havido congestionamento se o pai não perdeu a paciência com seus
filhos.
b) Ter havido briga, dado que o pai perdeu a paciência.
119. Na verificação rotineira de máquinas, observam-se as partes elétricas,
mecânica e estrutural. A probabilidade de aparecer uma falha em qualquer uma
das partes é 0.01; independente das demais. O tempo de conserto é de 10, 20 ou
50 minutos para falha elétrica, mecânica ou estrutural, respectivamente. Se a falha
elétrica aparece junto com a falha mecânica, teremos um acréscimo de 20 minutos
devido à complicações no conserto. Para uma máquina escolhida ao caso, qual a
probabilidade do tempo de conserto:
a. Durar menos de 25 minutos?
b. Ultrapassar 40 minutos?
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E DISTRIBUIÇAO BINOMIAL
1. O número de paradas de máquinas em uma grande fábrica durante uma
semana tem a seguinte distribuição de probabilidade:
B
P(B = b)
5
0,25
10
0,30
15
0,25
20
0,15
25
0,05
Usando essa distribuição, Calcule E[B] e V[B]
2. A Companhia Beta comprou 80 componentes eletrônicos de um fornecedor que
declara que somente 2 % dos componentes que ele vende são defeituosos e que
os componentes defeituosos são misturados aleatoriamente com os componentes
bons. Cada componente defeituoso custará a Beta US$ 250 em custos de reparo.
Se o fornecedor está certo, qual será o número esperado de componentes
defeituosos ? E qual é o custo esperado de reparo?
3. Um vendedor de carros oferece a todos os seus clientes potenciais uma corrida
de 30 milhas no tipo de carro que o cliente está interessado em comprar, mais um
almoço ou jantar gratuitos. Todos estes custos são cerca de US$ 50. Se o cliente
não compra o carro, o vendedor perde US$ 50, mas se o cliente comprar o carro,
o lucro médio do vendedor é de cerca de US$ 500 (dos quais os custos da corrida
e da refeição devem ser deduzidos). No passado, 20 % dos clientes compraram o
carro depois da corrida e da refeição gratuita. Qual é o lucro esperado para o
vendedor nessa situação?
4. Um processo de produção é paralisado para ajuste toda vez que uma amostra
aleatória de cinco itens, selecionada com reposição, apresenta dois ou mais
defeituosos. Ache a probabilidade de que o processo será paralisado após uma
inspeção se ele está produzindo:
20 % de defeituosos
10 % de defeituosos
5 % de defeituosos
5. Um simples míssil de certa variedade tem uma probabilidade de ¼ de derrubar
um bombardeiro, uma probabilidade de ¼ de danificá-lo e uma probabilidade de ½
de errá-lo. Além disso, dois tiros danificadores derrubarão o avião. Se quatro
destes mísseis são lançados, qual é a probabilidade de derrubar um avião?
6. De acordo com um cientista político, a população votante de certa cidade
consiste de 46 % do candidato A, 40 % do candidato B, 11 % do candidato C e 3
% do candidato D. Em uma amostra aleatória de 5 votantes, qual é a
probabilidade de que a amostra contenha:
Dois votantes para o candidato A e um de cada das outras categorias?
Três votantes para o candidato A e dois para o candidato B?
Nenhum votante para o candidato D?
7. Em cada caso, determine se a função dada é uma distribuição de probabilidade.
a. P(x)= 1/2x onde x = 1, 2, 3, . . . .
b. P(x)= 1/2x onde x = 1, 2, 3, . . . .
c. P(x) = 3/[4(3 - x)! x!] onde x = 0, 1, 2, 3,
d. P(x)= 0,4(0,6)x-1 onde x = 1, 2, 3, . . . .
8. A média e o desvio-padrão de uma variável aleatória x são 5.0 e 2,0,
respectivamente. Determine a média e o desvio-padrão das seguintes variáveis
aleatórias:
3+x
3x
3x + 4
9. Selecionam-se aleatoriamente os algarismos (0, 1, 2,.... 9) para números de
telefone em pesquisas. A variável aleatória x é o algarismo escolhido.
Ache a média e o desvio-padrão de x.
Ache o escore z para cada um dos valores possíveis de x; determine então a
média e o desvio-padrão da população de escore z.
10. Suponha que a variável aleatória discreta x possa tomar os valores 1, 2, ... n, e
que esses valores sejam igualmente prováveis.
Mostre que  = (n + 1) /2.
h. Mostre que  2 = (n2 - 1) / 12.
c. Um experimento consiste em escolher aleatoriamente um número inteiro entre 1
e 50; a variável aleatória x é o valor do número escolhido. Determine a média e o
desvio-padrão de x.
(Sugestão: 1 + 2 + 3 + --- + n = n (n + 1) /2
12 +22 + 32 + ... + n2 = n (n + 1)(2n + 1)/6.)
11. Se um caso satisfaz todas as condições de um experimento binomial, exceto
pelo fato de o número de provas não ser fixo, pode-se aplicar a distribuição
geométrica. A probabilidade de obter o primeiro sucesso na xma prova é dada por
P(x) = p(l - p)x -1, onde p é a probabilidade de sucesso em uma prova. Suponha
que a probabilidade de um componente de computador ser defeituoso é de 0,2.
Determine a probabilidade de o primeiro defeito ocorrer no sétimo componente.
12. No caso de amostragem sem reposição de uma população finita, pequena,
não devemos utilizar a distribuição binomial, porque os eventos não são
independentes. Se a amostragem se faz sem reposição e os resultados
comportam apenas dois tipos utiliza-se a distribuição hipergeométrica. Se uma
população tem A objetos de um tipo e os B objetos restantes são do outro tipo e
se extraímos n objetos sem reposição, então a probabilidade de obter x objetos do
tipo A e n - x objetos do tipo B é
P( x) 
A!
B!
( A  B)!


( A  x)! x! ( B  n  x)!(n  x)! ( A  B  n)! n!
Na Loto 54, um apostador escolhe 6 números de 1 a 54 (sem repetição),
sorteando-se posteriormente uma combinação ganhadora. Determine a
probabilidade de:
Acertar todos os 6 números ganhadores.
Acertar exatamente 5 dentre os 6 números ganhadores.
Acertar exatamente 3 dentre os 6 números ganhadores.
Não acertar qualquer número ganhador.
13. A distribuição binomial se aplica apenas a casos que envolvem 2 tipos de
resultado, enquanto a distribuição multinomial envolve mais de 2 categorias.
Suponha que tenhamos 3 tipos de resultados mutuamente excludentes denotados
por A, B: e C. Seja P(A) = p1, P(B) = P2 e P(C) = p3, Em n provas independentes,
a probabilidade de x1 resultados do tipo A, x2 resultados do tipo B e x3 resultados
do tipo C é dada por
n!
 p1x1  p 2x2  p3x3
( x1!)( x 2 !)( x3 !)
14. Um experimento de genética envolve 6 genótipos mutuamente excludentes
identificados por A, B, C, D, E e F, todos igualmente prováveis. Testados 20
indivíduos, determine a probabilidade de obter exatamente 5 A's, 4 B's, 3 C's, 2
D's, 3 E's e 3 F's desenvolvendo a expressão acima de forma que ela se aplique a
6 t17. A Providence Computer Supply Company sabe que 16% de seus
computadores necessitarão de reparos sob garantia dentro de um mês da
expedição. Em um mês típico, são expedidos 279 computadores.
Se x é a variável aleatória que representa o número de computadores que exigem
reparos sob garantia dentre os 279 computadores vendidos no mês, determine a
média e o desvio-padrão de x.
Para um mês típico em que são vendidos 279 computadores, qual seria um valor
excepcionalmente baixo para o número de computadores, que exigem reparo sob
garantia dentro de um mês? Qual seria um valor excepcionalmente elevado?
(Esses valores ajudam a determinar o número de técnicos necessários.)
15. a. Se uma empresa fabrica um produto com 80% de bons resultados (o que
significa que 80% consistem em itens considerados bons), qual é o número
mínimo de itens a serem produzidos para que haja no mínimo 99% de certeza de
que a empresa produz pelo menos 5 itens bons?
b. Se a empresa produz lotes de itens, cada um com o número mínimo
determinado na parte (a), ache a média e o desvio-padrão do número de itens
bons em tais lotes.
16. Em um levantamento recente, a probabilidade de que um acidente de carro é
causado por um motorista embriagado é cerca de 0,229. Nos próximos três
acidentes, qual é a probabilidade de que:
a. exatamente um acidente seja causado por um motorista embriagado?
b. No mínimo um acidente seja causado por um motorista embriagado?
c. Se você tem os seguintes resultados de probabilidade de acidentes
causados por motoristas embriagados nos 10 próximos acidentes
pdf (*)
0 0,0742
1 0,2205
2 0,2947
3 0,2334
4 0,1213
5 0,0432
6 0,0107
7 0,0018
8 0,0002
9 0,0000
10 0,0000
Cdf (**)
0,0742
0,2947
0,5893
0,8227
0,9440
0,9873
0,9980
0,9998
1,0000
1,0000
1,0000
(*) Pdf = Probability Distribution Function (Função de Distribuição de
Probabilidade)
(**) Cdf = Cumulative Distribution Function (Função de Distribuição Cumulativa)
1. Ache Pr(x = 3).
2. Ache Pr(5 < x  9).
3. Qual é a média e a variância da distribuição tabulada acima?
17. Um dentista tem 5 cadeiras disponíveis para pacientes em sua sala de espera.
A distribuição de probabilidade do número de cadeiras ocupadas, x, é dada por
x
0
1
2
3
4
5
p(x)
0,304
0,228
0,171
0,128
0,096
0,073
a. Ache a média  da variável aleatória x.
b. Calcule o desvio padrão,  , da variável aleatória x.
c. Calcule Pr(2  x  5).
d. Desenvolva (no formato tabular a cdf (Cumulative Distribution Function Função de Distribuição Acumulada) dessa distribuição.
18. Uma função de probabilidade é uma regra de correspondência ou uma
equação que:
a) Acha o valor médio da variável aleatória
b) Atribui valores de x a eventos de um experimento probabilístico
c) Atribui probabilidades para valores de x
d) Define a variabilidade no experimento
e) Nenhuma das anteriores é correta
19. Suponha que a variável aleatória T tenha a seguinte distribuição de
probabilidade:
t
P(T = t)
0
0,5
1
0,3
2
0,2
a. Ache P(T <= 0)
b. Ache P(T >= 0 e T < 2)
Calcule E(T), a média da variável aleatória T.
20. Um teste de estatística consiste em 10 questões do tipo múltipla escolha, cada
uma com 5 respostas possíveis. Para alguém que responda aleatoriamente (por
palpite) todas as questões, determine a probabilidade de passar, se o percentual
mínimo para aprovação é 60%. A probabilidade é suficientemente elevada para
justificar o risco de tentar passar por palpite em lugar de estudar?
21. A Air America adota a política de vender 15 passagens para um avião que
dispõe de apenas 14 assentos. (A experiência passada mostra que apenas 85%
dos que reservam lugar comparecem efetivamente ao embarque.) Determine a
probabilidade de não haver assentos suficientes no caso de a Air America vender
15 passagens.
22. De acordo com o Ministério da Justiça dos EUA, 5% de todos os lares
americanos sofreram pelo menos um assalto no último ano, mas a polícia de
Newport relata 4 casos de assalto em uma comunidade de 15 lares, no último ano.
Com base na probabilidade de 4 ou mais assaltos em uma comunidade de 15
lares em um ano, pode-se dizer que aquela comunidade foi vítima apenas do
acaso?
23. A Telektronic Company compra grandes lotes de lâmpadas fluorescentes e
adota o seguinte método: selecionar aleatoriamente e testar 24 lâmpadas e aceitar
todo o lote se no máximo uma não funcionar. Se determinado lote de lâmpadas
tem efetivamente 4 % de unidades defeituosas, qual é a probabilidade de todo o
lote ser aceito?
24. A probabilidade do 7 em uma roleta é 1/38. Em um experimento, a roleta é
girada 500 vezes. Se esse experimento é repetido muitas vezes, determine a
média e o desvio-padrão do número de 7s.
25. A probabilidade de ganhar na loteria do estado de Nova York é de
1/25.827.165. Determine a média e o desvio-padrão do número de ganhos para
alguém que joga duas vezes por semana durante 50 anos (ou seja, 5200 vezes).
(Expresse suas respostas com três algarismos significativos.)
26. Em uma pesquisa sobre reconhecimento de marca, 95% dos consumidores
reconheceram Coke (com base em dados da Total Research Corporation). Devese fazer uma nova pesquisa junto a 1200 consumidores selecionados
aleatoriamente. Para tais grupos de 1200,
a. Determine a média e o desvio-padrão do número dos que reconhecem a marca
Coke.
b. É incomum obter 1170 consumidores que reconhecem o nome Coke?
considere incomum qualquer resultado que difira da média por mais de dois
desvios-padrão; isto é, os valores incomuns ou são inferiores a   2 ou são
superiores   2 .
27. 0 Departamento de Saúde do Estado de Nova York relata uma taxa de 10%
de incidência do vírus HIV para a população "de risco". Desenvolve-se em uma
região uma intensa campanha educativa no sentido de reduzir essa taxa de 10%.
Posto em prática o programa, faz-se um estudo subseqüente sobre 200 indivíduos
do grupo de risco.
a. Admitindo que o programa não tenha produzido efeito, determine a média e o
desvio-padrão do número de casos de HIV em grupos de risco de 200 pessoas.
b. Entre as 200 pessoas submetidas ao teste subseqüente, 7% (ou seja, 14
pessoas) tiveram resultado positivo no teste de HIV. Se o programa não produz
efeito, essa taxa é excepcionalmente baixa? Este resultado sugere que o
programa é eficaz?
28. A Loja de Departamentos Newtower constatou uma taxa de 3,2% de queixas
de clientes e decidiu reduzir essa taxa mediante um programa de treinamento de
seus empregados. Ao fim do programa, observaram-se 850 clientes.
a. Admitindo que o programa de treinamento não tenha produzido efeito,
determine a média e o desvio-padrão do número de queixas nesses grupos de
850 clientes.
b. No grupo de 850 clientes observados, 7 tiveram alguma queixa. Esse resultado
é excepcional? 0 programa de treinamento parece ter sido eficaz?
29. De acordo com a Nielsen Media Research, Inc., 30% dos televisores são
sintonizados na NFL Monday Night Football quando ele é transmitido. Suponha
que esse programa esteja sendo transmitido e que sejam aleatoriamente
escolhidos 4000 televisores.
a. Para tais grupos de 4000, determine a média e o desvio-padrão do número de
televisores sintonizados no NFL Monday Night Football.
b. É fato incomum constatar que 1272 dentre os 4000 televisores estão
sintonizados no NFL Monday Night Football.? Qual é a causa provável de uma
taxa tão superior a 30%?
30. Um patologista sabe que 14,9% de todas as mortes podem ser atribuídas a
infarto do miocárdio.
a. Ache a média e o desvio-padrão do número dessas mortes que ocorrerão em
uma região típica com 5000 mortes.
b. Em certa região, examinam-se 5000 certidões de óbito, constatando-se 896
mortes por infarto do iniocárdio. Há razões, para preocupação? Por quê?
31. Um teste de percepção extra-sensorial envolve o reconhecimento de uma
forma. Pede-se a 50 indivíduos de olhos vendados que identifiquem uma forma
dentre as possibilidades de um quadrado, um círculo, um triângulo, uma estrela,
um coração e o perfil do ex-presidente Millard Fillmore (1800-1874).
a. Admitindo que todos os 50 indivíduos dêem respostas aleatórias, determine a
média e o desvio-padrão do número de respostas corretas nesse grupo de 50.
b. Se 12 das 50 respostas são corretas, esse resultado pode ter ocorrido por mera
chance? 0 que podemos concluir?
32. A Providence Computer Supply Company sabe que 16% de seus
computadores necessitarão de reparos sob garantia dentro de um mês da
expedição. Em um mês típico, são expedidos 279 computadores.
a. Se x é a variável aleatória que representa o número de computadores que
exigem reparos sob garantia dentre os 279 computadores vendidos no mês,
determine a média e o desvio-padrão de x.
b. Para um mês típico em que são vendidos 279 computadores, qual seria um
valor excepcionalmente baixo para o número de computadores, que exigem
reparo sob garantia dentro de um mês? Qual seria um valor excepcionalmente
elevado? (Esses valores ajudam a determinar o número de técnicos necessários.)
33. a. Se uma empresa fabrica um produto com 80% de bons resultados (o que
significa que 80% consistem em itens considerados bons), qual é o número
mínimo de itens a serem produzidos para que haja no mínimo 99% de certeza de
que a empresa produz pelo menos 5 itens bons?
b. Se a empresa produz lotes de itens, cada um com o número mínimo
determinado na parte (a), ache a média e o desvio-padrão do número de itens
bons em tais lotes.
34. A Washington and Chang Trucking Company opera uma grande caminhões.
No ano passado, houve 84 casos de avariaria.
a. Determine o número diário médio de avarias.
b. Determine a probabilidade de 2 caminhões apresentarem avaria em um dia
selecionado aleatoriamente.
35. Um cassino é flagrado tentando utilizar um par de dados viciados. No
julgamento, ficou evidenciado que alguns pontos pretos eram escavados,
enchidos com chumbo e repintados a fim de parecerem normais. Além da
evidência física, os dados foram jogados no tribunal, com os seguintes resultados;
12 8 9 12 12 9 8 7 12 10
12 3 2 12 10 9 12 11 11 12
3. Um perito em probabilidade afirma que, na jogada de dados equilibrados
(honestos), a média deve ser 7,0, e o desvio-padrão deve ser 2,4.
a. Determine a média e o desvio-padrão dos valores amostrais obtidos, no
julgamento.
b. Com base nos resultados obtidos no julgamento, qual é a probabilidade de
obter um 12? Compare esse resultado com a probabilidade de 1/36 (ou
0,0278) para dados equilibrados.
c. Se a probabilidade de obter 12 com dados equilibrados é 1/36, determine a
probabilidade de obter ao menos um 12 em 20 jogadas de dados equilibrados.
d. Se o leitor fosse advogado de defesa, como refutaria os resultados obtidos no
tribunal?
36. Uma variável aleatória X tem a seguinte função de distribuição:
se x < -1
0
0,2 se -1  x<2;

0,5 se 2  x<5;
F(X )
0, 7 se 5  x<6;
0,9 se 6  x<15;

se x  15
1
Determine a função de probabilidade de X.
37. As pacientes diagnosticadas com câncer de mama precocemente têm 80% de
probabilidade de serem completamente curadas. Para um grupo de 12 pacientes
nessas condições, calcule a probabilidade de:
a. Oito ficarem completamente curadas.
b. Entre 3 e 5 (inclusive) não ficarem curadas.
c. Não mais de 2 permanecerem com a doença.
38. Considere uma variável aleatória X ~ G(0.8). Construa uma nova variável Y tal
que Y = X para os valores 0,1,2,...,5 e Y = 6 para X ³ 6. Dessa forma, Y
corresponde ao truncamento de X a valores menores ou iguais a 6. Obtenha a
função de probabilidade de Y e calcule:
a. P(Y = 2).
b. O valor da função de distribuição (acumulada) no ponto 2.5.
c. P(Y=3 | Y£ 5).
d. P(Y³ 3,X<8)
39. Em um estudo sobre o crescimento de jacarés, uma pequena lagoa contém 4
exemplares de espécies A e 5 da espécie B. A evolução de peso e tamanho dos 9
jacarés da lagoa é acompanhada pelos pesquisadores através de capturas
periódicas. Determine a probabilidade de, em três jacarés capturados de uma vez,
obtermos:
a. Todos da espécie A.
b. Nem todos serem da espécie B.
c. A maioria ser da espécie A.
40. Para condenar um acusado são necessários ao menos 9 votos de um júri
composto por 12 jurados. Suponha que a probabilidade de que um jurado vote que
um culpado seja inocente é 0,2 e a probabilidade de que um jurado vote que um
inocente seja culpado é 0,1. Se cada jurado age independentemente e se 65%
dos acusados são culpados, encontre a probabilidade de que o júri tome a decisão
correta. Que porcentagem de culpados é condenada?
41. Em 10000 lançamentos independentes de uma moeda obteve-se 5800 caras.
É razoável assumir que a moeda não é justa? Explique analiticamente.
42. Se X _e uma variável aleatória com media µ e desvio padrão σ. Mostre que
E[(X - b)2], como função de b, é minimizada quando b = µ.
43. Para determinar a existência de certa doença, 100 pessoas são submetidas a
um teste sanguíneo. Contudo decide-se realizar o teste em grupos de 10 pessoas,
isto _e, o sangue de cada grupo será misturado para fazer o teste. Se o resultado
for negativo um teste é suficiente para as 10 pessoas e se o teste é positivo, cada
uma das 10 pessoas será testada individualmente e, para tal grupo serão
realizados 11 testes. Assuma que qualquer pessoa, independente das outras,
tenha probabilidade 0.1 de ter a doença e calcule o numero esperado de testes
necessários para as 100 pessoas.
44. Uma urna contem 5 bolas brancas e seis pretas, enquanto uma segunda urna
contem 8 bolas brancas e 10 pretas. Duas bolas são selecionadas aleatoriamente
da primeira e colocadas na segunda urna. Se três bolas são selecionadas
casualmente da segunda urna, qual o número esperado de bolas brancas entre
estas três?
45. Um bandido é preso em uma cela que contém 3 portas. A primeira porta o leva
a um túnel que o conduz à própria cela depois de 2 dias de viagem. A segunda
porta leva-o a um túnel que o conduz à própria cela depois de 4 dias de viagem. A
terceira porta o conduz à liberdade depois de um dia de viagem. Se assumirmos
que o bandido seleciona as portas 1, 2 e 3 com probabilidades 0.5, 0.3 e 0.2
respectivamente, qual o número esperado de dias para que alcance a liberdade?
46. Considere uma urna contendo um grande número de moeda e suponha que
cada uma das moedas tem alguma probabilidade p, 0 < p < 1, de resultar cara
quando lançada. Contudo este valor p varia de moeda para moeda. Suponha que
a composição da urna é tal que se uma moeda é selecionada aleatoriamente da
urna, então sua probabilidade de cara, p, pode ser considerada como sendo o
valor de uma variável aleatória uniformemente distribuída em [0; 1]. Se uma
moeda é selecionada aleatoriamente da urna e lançada duas vezes calcule a
probabilidade de que o primeiro lançamento resulte em cara. Calcule a
probabilidade de que os dois lançamentos resultem em cara.
47. Lança-se uma moeda equilibrada até observar 100 caras. Determine a
probabilidade aproximada de que sejam necessários, no mínimo, 221
lançamentos.
48. Uma urna contem 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Duas amostras aleatórias
de tamanhos 3 e 3 são retiradas da urna, sucessivamente e sem reposição. Seja
X o número de bolas brancas na primeira amostra e Y o número de bolas brancas
na segunda amostra. Calcule E[Y ].
49. O submarino Malik I dispara cinco torpedos, em cadência rápida, contra o
navio Pégaso. Cada torpedo tem probabilidade iguala 75% de atingir o alvo. Qual
a probabilidade de o navio receber pelo menos um torpedo?
50. A probabilidade de recuperação de uma cápsula registradora de dados,
montada em um balão meteorológico, é iguala 90%. Lançados sete balões, qual a
probabilidade de serem recuperadas exatamente cinco cápsulas ?
51. A probabilidade de um sapato apresentar defeito de fabricação é de 2 %. Para
um par de sapatos ser rejeitado pelo controle de qualidade basta que um dos pés,
direito ou esquerdo, apresente defeito. Numa partida de 10.000 pares, qual o valor
esperado e o desvio-padrão do número de pares totalmente defeituosos?
52. Certa empresa fabricante de artigos para desenho resolveu inserir em seus
produtos determinados tipos de lápis, cujos grafites são importados. Esses grafites
vêm acondicionados em embalagens contendo seis unidades cada. Após a
primeira remessa recebida, verificou-se que 3% deles são recebidos com quebra.
Calcular a probabilidade de:
a.
menos da metade dos grafites de certa caixa apresentarem defeitos;
b.
no mínimo três caixas, de um grupo de oito, apresentarem um grafite
quebrado.
53. Uma organização de testes deseja avaliar o peso de determinado produto e
verificar se está de acordo com as especificações da embalagem. Para tal,
seleciona, aleatoriamente, uma amostra de cinco embalagens do mesmo produto
no estoque e classifica a marca satisfatória se nenhum dos produtos apresentar
diferenças entre peso versus especificação da embalagem nessa amostra. Sabese que, anteriormente, esse mesmo produto apresentou uma diferença no peso de
10% por unidade produzida. Calcular a probabilidade de que:
a.
o seu peso venha a ser considerado novamente insatisfatório na amostra;
b.
no máximo, uma amostra, de um grupo de seis amostras desse produto,
venha a ser considerado satisfatório;
c.
apenas duas amostras, do mesmo grupo de seis, tenha no mínimo dois
produtos com pesos diferentes das especificações por amostra.
54. Uma pesquisa de opinião pública revelou que 1/4 da população de
determinada cidade assiste regularmente à televisão. Colocando 300
pesquisadores, sendo que cada um possa entrevistar 10 pessoas diariamente,
fazer uma estimativa de quantos desses pesquisadores informarão que até 50%
das pessoas entrevistadas são realmente telespectadoras habituais.
55. Se a probabilidade de ocorrência de uma peça defeituosa é de 20%,
determinar a média e o desvio-padrão da distribuição de peças defeituosas de um
total de 600.
56. Determinada empresa tem quatro eventuais compradores de seu produto, que
pagam preços em função da qualidade:
• o comprador A paga 1.300 dólares por peça, se em uma amostra de cinco peças
não encontrar nenhuma defeituosa e 650 dólares pelo restante;
• o comprador B paga 900 dólares por peça, desde que encontre no máximo
uma peça defeituosa em cinco peças, pagando pelo restante 700 dólares;
• o comprador C paga 620 dólares por peça, aceitando até três defeituosas em
uma amostra de cinco, e paga pelo restante 430 dólares;
• o comprador D não exige nenhuma inspeção, mas paga apenas 540 dólares por
peça.
Qual dos compradores não deveria ser escolhido pelo empresário, se ele sabe
que na produção 8% são totalmente defeituosas?
57. A Empresa Spelunke S.A. adota o seguinte critério no setor de controle de
qualidade: para cada lote de 90 unidades de seu produto, testa, por amostragem,
apenas oito. O critério de avaliação final é feito da seguinte maneira: se forem
encontradas no máximo duas peças defeituosas, o lote é aceito normalmente,
caso contrário, deve-se passar por outra inspeção. Admitindo-se a existência de
três peças defeituosas por lote, calcular:
a. a probabilidade de não haver inspeção total em certo lote;
b. a probabilidade de somente dois lotes, de um grupo de cinco lotes iguais,
apresentarem, no máximo, uma peça defeituosa por lote;
c.
se o custo operacional para cada lote for de 600 dólares, estimar o custo
médio de inspeção para 60 lotes recebidos.
58. Dois terços da população de certo município não assistem regularmente a
programas de televisão. Colocando-se 400 pesquisadores, cada um entrevistando
oito pessoas, estimar quantos desses pesquisadores informarão que até duas
pessoas são telespectadoras habituais.
59. O fluxo de carros que passam em determinado pedágio é 1,7 carro por minuto.
Qual a probabilidade de passarem exatamente dois carros em dois minutos?
60. Uma pesquisa científica revelou que para cada mil pessoas entrevistadas, uma
está sujeita a choques traumáticos, quando da aplicação de penicilina. Determine
a probabilidade de que, entre três pessoas entrevistadas ao acaso, uma sofra
aquele choque nas mesmas condições.
61. Sabe-se por experiência que 1,5% das pastilhas de freio fabricadas por
determinada empresa apresentam defeito. O controle de qualidade da empresa,
para tal, escolheu, ao acaso, cem peças de pastilhas. Determinar a probabilidade
de que:
a. no máximo duas sejam defeituosas;
b. pelo menos duas apresentem defeitos.
62. Uma editora apresenta a probabilidade de se encontrar uma página editada
com erro igual a 0,8%. Em um livro de 500 páginas, determinar a probabilidade de
se encontrar, no máximo, quatro páginas com correção.
63. Um distribuidor de gasolina tem capacidade de receber, nas condições atuais,
no máximo, três caminhões por dia. Se chegarem mais que três caminhões, o
excesso deve ser enviado a outro distribuidor, e, nesse caso, há uma perda média
de 800 dólares, por dia, em que não se pode aceitar todos caminhões. Sabendose que o número de caminhões que chegam diariamente obedece à distribuição
de Poisson de média 2, calcular:
a. a probabilidade de chegarem de três a cinco caminhões no total de dois dias;
b. a probabilidade de, em certo dia, ter-se que mandar caminhões para outro
distribuidor;
c. a perda média mensal (30 dias) por causa de caminhões que não puderam ser
aceitos.
64. Ao decolar de um porta-aviões, determinado avião tem probabilidade igual a
0,02% de se perder por queda no mar. Qual a probabilidade. de dois ou mais
acidentes dessa natureza em 500 decolagens?
65. Uma loja vende, em média, 2,5 fogões por dia. Certo dia, ao encerrar o
expediente, verifica-se existirem três fogões em estoque, e sabe-se que a nova
remessa só chegará depois de dois dias. Qual a probabilidade de, no fim desses
dois dias, a loja não ter deixado de atender, por falta de estoque, às pessoas que
vierem comprar?
66. O número de rádios vendidos por dia por uma empresa de eletrodomésticos
possui uma distribuição aproximadamente de Poisson com média 2. Calcule a
probabilidade de a firma vender, ao menos, três rádios num período de dois dias.
67. Dada a distribuição normal N(10,25), calcular as probabilidades:
a. P( X > 4);
c. P(X = 10);
b. P( 5  X  15); d. P(0  X  20).
69. Impostos pagos por uma grande amostra de contribuintes distribuem-se
normalmente de tal forma que 30% são inferiores a U$ 1.200,00 e 10% são
superiores a US$ 3.000,00. Pede-se determinar o imposto médio.
70. No engarrafamento do refrigerante Ki Kola, a quantidade de líquido colocada
na garrafa é uma variável de média 292 cm 3 e desvio-padrão 1,1 cm3. Garrafas
com menos de 290 cm3 são devolvidas para completar o enchimento. Calcular
qual a porcentagem de garrafas devolvidas.
71. Uma máquina de empacotar determinado produto oferece variações de peso
que se distribuem com um desvio-padrão de 20 g. Em quanto deve ser regulado o
peso médio desses pacotes para que apenas 10% deles tenham menos que 500
g?
72. Uma peça cromada resiste a um ensaio de corrosão por três dias, em média,
com desvio-padrão de cinco horas.
Pede-se calcular:
a. a probabilidade de uma peça resistir menos que 3,5 dias; b. a probabilidade de
uma peça resistir entre 60 e 70 horas; c. sabendo-se que 10% das peças resistem
menos que certo valor, determiná-lo.
73. Numa distribuição normal, 30% dos elementos são menores que 45 e 10% são
maiores que 64. Calcular os parâmetros que definem a distribuição (média e
desvio-padrão).
74. O consumo de gasolina por km rodado, para certo tipo de carro, em
determinadas condições de teste, tem uma distribuição normal de média 100 ml e
desvio-padrão 5 ml. Pede-se calcular a probabilidade de:
a. um carro gastar de 95 a 110 ml;
b. em um grupo de seis carros, tomados ao acaso, encontrarmos três carros que
gastaram menos que 95 ml;
c. idem, todos terem gasto menos que 110 ml.
75. Para uma família de certo status econômico, as despesas alimentação (A),
educação (E), saúde (S) e habitação (H), bem como os desvios padrões, estão
mostrados na tabela a seguir:
76. Certo produto tem peso médio de 10 g, com desvio-padrão de 0,5 g. Ele é
embalado em caixas de 120 unidades que pesam, em média 150 g e desviopadrão 8 g. Determine a probabilidade de que uma caixa cheia pese mais que
1.370 g.
77. Para n fixado, a variância de uma distribuição binomial B(n,p) é apenas função
de p. Mostre, então, que a variância é máxima para p = 0,50.
78. Pequenos defeitos em folhas de compensado ocorrem ao acaso na média de
uma falha por metro quadrado. Determine a probabilidade de que uma folha de
1,50 m x 2,20 m apresente no máximo duas falhas.
79. A voltagem média de uma bateria é de 15,0 volts, com desvio-padrão de 0,2
volts. Qual a probabilidade de quatro dessas baterias ligadas em série terem uma
voltagem combinada maior que 60,8 volts?
80. Uma máquina produz esferas metálicas cujo diâmetro D (medido em mm) é
uma variável aleatória aproximadamente normal de valor esperado 9 mm e desviopadrão 0,35 mm. Toda esfera produzida é testada em dois calibres: um de 9,5 mm
e o outro de 8,5 mm, sendo aceito pelo controle de qualidade se passa pelo maior
e não passa pelo menor, caso contrário é rejeitado. Escolhidas duas esferas, qual
a probabilidade de pelo menos uma ser rejeitada?
81. Se 3% das canetas de certa marca são defeituosas, determinar a
probabilidade de que em uma amostra de 10 canetas escolhidas ao acaso desta
mesma marca, tenhamos:
a. nenhuma defeituosa;
b. três defeituosas;
c. pelo menos duas defeituosas;
d. no máximo três defeituosas.
82. Determinado atacadista verificou, estatisticamente, que metade de seus
clientes solicita que os pedidos sejam entregues em domicílio e outra metade vai
retirar diretamente seus pedidos no depósito. Para fazer frente aos crescentes
pedidos, o comerciante adquire três veículos, recebendo em média cinco pedidos
de entrega diária. Qual a probabilidade de o comerciante não poder atender aos
pedidos de entregas domiciliares?
83. Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na universidade se
formar é 9,5%. Determinar a probabilidade de que entre seis estudantes
escolhidos aleatoriamente:
a. nenhum se forme;
b. pelo menos 1 se forme
c. todos se formem
84. O Supermercado Vende Tudo Ltda. recebe, em média, quatro pedidos diários
de um produto perecível. O preço de custo é de 30 dólares por unidade, o preço
de venda é de 90 dólares por unidade, e o produto não vendido no dia é devolvido,
conseguindo-se 40 dólares por unidade. Estudar, em termos de lucro médio diário,
qual o melhor contrato de compra que deve o supermercado optar: quatro ou cinco
unidades por dia.
85. Um teste de múltipla escolha consiste de 100 quesitos, cada um deles com
quatro alternativas, das quais apenas uma é correta. Um estudante é submetido
ao leste. Se ele conhece as respostas corretas de 20 quesitos e para responder os
restantes apela para a sorte, qual é a probabilidade de ele acertar entre 45 e 50
quesitos no total?
86. O tempo de vida de transistores produzidos pela Indústria Zeppelin Ltda. tem
distribuição aproximadamente normal, com valor esperado e desvio-padrão igual a
500 horas e 50 horas, respectivamente. Se o consumidor exige que pelo menos
95% dos transistores fornecidos tenham vida superior a 400 horas, pergunta-se se
tal especificação é atendida. Justifique!
87. As chegadas de automóveis a um posto de gasolina, para abastecimento,
entre 1Oh00 e 16h00, ocorrem de acordo com os postulados de Poisson. Se no
transcurso de tal período apresentam-se por hora uma média de 30 automóveis,
qual a probabilidade de nenhum se apresentar em certo intervalo de cinco
minutos?
88. O Departamento de Atendimento da Empresa Mondubim Ltda. está
dimensionado a poder atender, no período diário normal, a até cinco pedidos de
clientes; se chegarem mais que cinco pedidos, o pessoal deve recorrer a horas
extras para cumprir o atendimento. Sabendo-se que o número de pedidos que
chegam diariamente são distribuídos segundo Poisson de média 4,2 pedidos,
calcular:
a. a probabilidade de se ter que fazer horas extras em certo dia;
b. sendo o custo diário de horas extras de US$ 4.500, qual será o custo médio
semanal em virtude das mesmas? Considerar semana de seis dias.
89. A Companhia de Aviação Mary Posa pode acomodar 300 passageiros em um
de seus aviões: 30 na primeira classe e 270 na classe econômica. Se essa
companhia reservar 30 lugares na primeira classe e 290 na classe econômica e se
a probabilidade de não comparecimento de quem faz uma reserva for de 10%,
pede-se a probabilidade de que todos os passageiros que comparecerem sejam
acomodados, se os lugares da primeira classe puderem ser usados pelos
passageiros de turismo.
90. Uma distribuição binomial possui média igual a 3 e variância 2. Calcule P(X >
2).
91. Considere X a importância em dinheiro que podemos receber de prêmio em
um certo jogo de azar. Se para participar do jogo temos de pagar a quantia de
US$ 4,00, pede-se determinar o ganho esperado, supondo E(X) = US$ 3,00.
92. Considere a distribuição de probabilidades:
X
-1
0
1
P(X) 0,375 0,25 0,375
Determine P(     X     )
93. Um processo de fabricação produz peças com peso médio de 20 g e desviopadrão de 0,5 g. Essas peças são acondicionadas em pacotes de uma dúzia cada.
As embalagens pesam em média 30 g com desvio-padrão de 1,2 g. Determinar a
média e o desvio-padrão do peso total do pacote.
94. A Transportadora Yuki Ltda. possui uma frota de quatro caminhões de aluguel.
Sabe-se que o aluguel é feito por dia e que a distribuição diária do número de
caminhões alugados é a seguinte:
X
00
P(X) 10
01
20
02
30
03
30
04
10
Pede-se calcular:
a. o número médio diário de caminhões alugados, bem como o desvio-padrão;
b. a média e o desvio-padrão do lucro diário, sabendo-se que:
 o valor do aluguel por dia é da ordem de US$ 300;
 a despesa total diária com manutenção de cada veículo é iguala US$ 140,
quando este é alugado no dia, e de US$ 15 quando tal fato não acontece.
95. Uma fábrica de automóveis deve enviar peças pesadas de seu equipamento
para sua fábrica de montagem na cidade de Marimbá.
Sabe-se que:
• as peças podem ser enviadas por via aérea ou via marítima;
• o custo por via aérea é geralmente mais alto, porém há a possibilidade de haver
greve no embarque, o que atrasaria a chegada das peças a Marimbá.
A matriz de custo, expressa em US$, é dada por:
Decisão
Enviar por Avião
Enviar por Navio
Com Greve
2.000
6.000
Sem Greve
2.000
1.000
a. Se a probabilidade de acontecer uma greve é estimada em 40%, qual a toma de
decisão que minimizaria os custos esperados?
b. Até que valor de probabilidade de greve ainda é mais vantajoso o envio por via
aérea?
96. O número  de residências que um posto de Corpo de Bombeiros pode
atender depende da distância r (número de quarteirões) pelo qual uma mangueira
pode se estender durante certo período (fixo) de tempo. Suponha que  seja
proporcional à área de um círculo de raia r (quadras em prédios), com centro
nessa companhia de Corpo de Bombeiros:
  r 2
onde  é uma constante e r, unia variável aleatória relativa ao número de
quadras pelas quais a mangueira pode estender-se em determinado período de
tempo Para certo batalhão de bombeiros com   10 , a distribuição de

probabilidades de r é a indicada na tabela a seguir, onde P(r) = 0 para qualquer
r  20 ou r  27.
r
P(r)
21
0,05
22
0,15
23
0,35
24
0,25
25
0,15
26
0,05
Calcule o valor esperado para o número de residências  que podem ser
atendidas por esse posto de Corpo do Bombeiros.
97. A Companhia Security Ltda. transporta .seus produtos utilizando dois tipos de
containers: um do tipo A com dimensões de 8 x l0 x 30 m e outro do tipo B
medindo 10 x 12 x 35 m. Se 40% de seu transporte forem efetuados em container
do tipo A e o restante em container do tipo B, qual será o volume médio
transportado em cada container, supondo que eles estejam sempre cheios.
98. Uma caixa contém três bolas brancas e uma bola vermelha. Alexandra vai
retirar as bolas uma por uma, até conseguir a bola vermelha. Seja Y o número de
tentativas que serão necessárias para encontrar a bola vermelha. Determine a
distribuição de probabilidade da variável aleatória Y. Encontre a esperança e a
variância de Y.
99. Se X é uma variável aleatória com variância  2 , mostre que:
a.   X tem o mesma variância de X;
b. X tem variância 2 2
100. Mostre que em uma série de lançamentos do tipo cara ou coroa a esperança
matemática do número de caras antes do aparecimento da primeira coroa é dada
por q onde p e a probabilidade associada à probabilidade de ocorrer cara e q =
p
1-p.
101. Tita e Niki vão jogar cara ou coroa com uma moeda honesta. Eles combinam
lançar a moeda cinco vezes e vence a disputa aquele que ganhar em três ou mais
lançamentos. Cada um aposta US$ 56. Feitos os dois primeiros lançamentos, em
ambos os quais Tita vence, eles resolvem encerrar o jogo. Do ponto de vista
probabilístico, de que forma devem ser repartidos os US$ 112?
102. Seja uma variável aleatória que assume valores em 1, 0 e -1, com P(X = 0) =
1/5.
Mostre que -1/2  E(X)  1/2.
103. Seja  X > 0 o desvio-padrão de uma variável aleatória X. Dada uma
constante real   0 , mostrar que  X e  X satisfazem a relação da
forma  X   X , onde  é uma constante real. Qual o valor de  ?
104. A Profa. Rose está querendo ouvir uma melodia que sabe que está gravada
em uma das oito faixas de um disco. Como não sabe em qual das faixas está a
melodia gravada, ela experimenta a 1a. faixa, depois a 2a., e assim
sucessivamente, até encontrar a melodia procurada. Qual o número médio e o
desvio-padrão do número de faixas que deverá tocar até encontrar a melodia
procurada?
105. Um vendedor adquire uma revista por US$ 0,50 e vende ao preço de US$
1,00. Todas as revistas empatadas do final do mês são vendidas como papel
velho, proporcionando ao vendedor a quantia de US$ 0,10 por revista. Determine
o pedido mais econômico, calculando o lucro médio esperado para cada
alternativa, baseado na distribuição de probabilidades para cada demanda mensal
dessa revista.
Quantidade mensal
solicitada
100
120
140
160
180
Probabilidade de venda
0,30
0,30
0,20
0,10
0,10
106. Se chover, um vendedor de guarda-chuva pode ganhar 30 dólares por dia,
caso contrário pode perder 6 dólares. Determinar a esperança de ganho mensal
(30 dias), sabendo-se que a probabilidade de chuva é da ordem de 30%.
107. Uma variável aleatória X assume valores 0, 1, 2, 3,..., n, com probabilidade
constante dada por:
1
n 1
Pede-se determinar o valor de n, a fim de que seu valor esperado seja igual a sua
variância.
P(k ) 
108. Uma urna contém bolas brancas e pretas, em proporções respectivas p e q =
1 - p, onde 0 < p < 1. Dela, efetuamos extrações sucessivas, com reposição. Seja
Y a variável aleatória igual ao número de extrações necessárias, até a obtenção
da primeira bola branca. Pede-se calcular:
a. P(Y = n), n = 1, 2, 3, ...;
b. E(Y);
c. Var(Y).
109. Seja L uma variável aleatória discreta cujo conjunto de valores compreende
apenas dois pontos: 0 e 1. Mostre que:
Var(L) = 0,25
110. Calcular a média e o desvio-padrão da soma dos pontos obtidos no jogo de
dois dados honestos.
111. O fundo de investimento Alpha Ltda. recebe diariamente pedidos de compra
de cotas de participação, os quais distribuem-se segundo uma média por pessoa
de 2.200 cotas. Por outro lado, os resgates efetuados diariamente distribuem-se
segundo uma média por pessoa de 1.500 cotas. Ao encerrar um dia de trabalho,
verificou-se que o número de cotas já adquirido era de 4.500.000 cotas. Sabendose que no dia seguinte 25 pessoas irão adquirir cotas e outras 15 irão efetuar
resgates e supondo que as compras e os resgates sejam independentes entre si,
calcular a média do número de cotas já adquirido pelo fundo ao final desse outro
dia.
112. Determine a média e a moda de uma variável aleatória discreta Y, cuja
distribuição de probabilidades é dada por:
P(y)=2-y y=1,2,3, ...
113. Seja uma variável aleatória discreta X com: E [(X - 1)]2 = 10 e E [(X - 2)]2 = 6
Determine E(X) e Var(X).
114. A Empresa Alpha Ltda. deseja decidir entre dois projetos de investimentos
para modernização de sua linha de produção. Os valores mensais para o lucro e
os prejuízos dos projetos estão dispostos na tabela a seguir:
Probabilidade
sucesso
Valores em US$
A
B
Lucro
30.000
25.000
Prejuízo
2.000
5.000
de
p
p
Supondo que os dois projetos foram julgados equivalentes, pede-se
determinar com base no valor esperado a probabilidade de sucesso p.
115. Um vendedor de sorvete ganha US$ 20/dia, em média, quando é dia de
sol. Caso chova, ele ganha US$ 2/dia. Sabe-se também que,
indiferentemente do fato de ter sol ou chuva, ele sempre ganha US$ 12/dia
como pintor.
a. Se às 19h00 o homem do tempo diz que temos 60% de probabilidade de
chuva para o dia seguinte, deverá ele decidir por vender sorvete ou optar
por pintura?
b. Qual deverá ser a probabilidade de chover para que ele decida não vender
sorvete?
116. Um investimento pode resultar em uma das possibilidades possíveis: lucro
de US$ 4.000, lucro de US$ 8.000 ou prejuízo de US$ 10.000 com
probabilidades iguais a 45%, 55% e 26%, respectivamente. Determine o valor
esperado para um investimento potencial.
117. A organização financeira Betha Ltda. verificou que o lucro unitário L, obtido
numa operação financeira é dado pela seguinte expressão:
L = 1,9 V - 0,9 C - 4,5
Sabendo-se que o preço de venda unitário V tem uma distribuição de média
US$ 50,00 e desvio-padrão de US$ 2,00, e que o preço de custo unitário C
tem uma distribuição de média US$ 45,00 e desvio-padrão US$ 1,50, qual é
a média e o desvio-padrão do lucro unitário?
118. Um produto tem custo médio de US$ 10,00 e desvio-padrão de US$ 0,80.
Calcular o preço de venda médio, bem como seu desvio-padrão, de forma
que o lucro médio seja de US$ 4,00 e seu desvio-padrão de US$ 1,00.
119. Existindo E [X(X - 1)] mostrar que existem g = E(X) e a2 = Var(X)
satisfazendo à relação:
 2  E[ X ( X  1)]     2
120. As variáveis aleatórias X e Y têm variâncias respectivamente iguais a 3 e 1.
Determine a variância de X - 2Y sabendo-se que a covariância de X e Y é igual a
1.
121. X é uma variável aleatória para a qual existem  = E(X) e  2 = Var(X).


a. Verificar que E X   2   2  (   ) 2   R
b. Mostrar que E ( X   ) 2 assume um mínimo para    .
122. Em uma determinada cidade 20% dos habitantes utilizam o produto da marca
X. Numa pesquisa realizada com 200 habitantes, qual é a probabilidade de que
mais de 30 destes utilize tal produto?
123. Em um teste de múltipla escolha temos 200 questões, cada uma com 4
possíveis respostas, das quais apenas 1 é correta. Qual é a probabilidade de que
um estudante acerte entre 25 e 30 questões de 80 dentre as 200 das quais ele
não sabe nada?
124. Um dado honesto é lançado 100 vezes consecutivas.
a) Qual é a probabilidade de que em 18 ou mais destes lançamentos ocorra a face
2?
b) Qual é a probabilidade de que ocorra face par em mais de 65 lançamentos?
125. Uma central telefônica de uma empresa recebe chamadas que tem um tempo
(em minutos) distribuído uniformemente sobre o intervalo 0,5 - 5. Supondo que um
dos troncos tenha recebido em um determinado dia 104 chamadas, calcule a
probabilidade de que o tempo de utilização do tronco tenha ultrapassado 3,5
horas.
126. Em uma linha de produção certo tipo de eixo apresenta o diâmetro com
comportamento uniforme entre 3,5 mm e 3,8 mm.
a) Qual é a porcentagem de eixos com diâmetro superior a 3,7 mm?
b) Qual é o diâmetro esperado para este tipo de eixo?
c) Se a aplicabilidade deste tipo de eixo exigisse um diâmetro de no máximo 3,72
mm, poderíamos considerar que esta linha de produção apresenta 80% dos eixos
produzidos atendendo esta exigência?
d) Considerando que um eixo apresenta seu diâmetro superior a 3,7 mm, qual é a
probabilidade de que o diâmetro seja menor do que 3,75 mm?
127. Em uma fábrica as falhas no equipamento industrial ocorrem segundo uma
distribuição exponencial. Sabe-se que a probabilidade de que a primeira falha
ocorra após uma hora de trabalho é de 0,22313.
a) Determinar a probabilidade de que a primeira falha ocorra após 3 horas de
trabalho.
b) Podemos afirmar que é de 0,91 a probabilidade de que a primeira falha ocorre
antes dos 30 minutos iniciais de trabalho?
128. Uma fábrica de lâmpadas especiais tem sua produção com um tempo de vida
médio igual a 120 meses, seguindo um comportamento exponencial.
a) Qual é o percentual de lâmpadas com durabilidade superior a 100 meses?
b) Qual deve ser a garantia do fabricante para que deva repor apenas 5% da
produção?
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
1. Suponha os escores z distribuídos normalmente com média 0 e desvio-padrão
1.
Se P(0 < z < a) = 0,3212, determine a.
Se P(-b < z < b) = 0,3182, determine b.
Se P(z > c) = 0,2358, determine c.
Se P(z > d) = 0,7517, determine d.
Se P(z < e) = 0,4090, determine e.
2. Para uma distribuição normal padronizada, determine a percentagem dos dados
que estão
a menos de 1 desvio-padrão da média
a menos de 1,96 desvios-padrão da média
entre  - 3  e  + 3 
entre 1 desvio-padrão abaixo da média e 2 desvios-padrão acima da média.
a mais de 2 desvios-padrão de distância da média
3. Na Fórmula 5-1, com  = 0 e  = 1, e aproximando e por 2,7 e
obtemos
2 por 2,5,
4. No estudo de um conjunto de dados, a construção de um histograma revela que
a distribuição é aproximadamente normal; constrói-se um boxplot com os
seguintes valores de quartis: Q1= 62, Q2 =70, Q3 = 78. Calcule o desvio-padrão.
5. Um professor dá um teste e obtém resultados distribuídos normalmente com
média 50 e desvio-padrão 10. Se as notas são atribuídas segundo o esquema a
seguir, determine os limites numéricos para cada conceito:
A: 10% superiores
B: Notas acima dos 70% inferiores e abaixo dos 10% superiores
C: Notas acima dos 30% inferiores e abaixo dos 30% superiores
D: Notas acima dos 10% inferiores e abaixo dos 70% superiores
F: 10% inferiores
6. De acordo com os dados da College Entrance Examination Board (Comissão de
Exame Vestibular), a nota média do SAT de matemática é 475 e 17,0% das notas
estão acima de 600. Determine o desvio-padrão e use o resultado para achar o 99º
percentil. (Admita que as notas sejam distribuídas normalmente.)
7. A Comissão de Exame Vestibular escreve que "para os Testes SAT, em dois
terços das vezes, sua nota deve estar em um intervalo de 30 pontos acima ou
abaixo de sua capacidade efetiva. Este intervalo é chamado erro-padrão da
mensuração (SEM = standard error of measurement)." Use esta afirmação para
estimar o desvio-padrão das notas de um indivíduo em um tal teste. (Admita que
as notas tenham distribuição normal.)
8. Seja X normalmente distribuída com média  = 100 e desvio padrão  = 7
(daqui a diante indicaremos tal distribuição como X ~ N(100;7) ). Determinar:
a. P(X = 80)
b. P(X > 100)
c. P( X  95  5)
d. P( X  100  10
9. Dado que X é uma variável aleatória normal com média  = 10 e P(X > 12) =
0,1587, qual é a probabilidade de que X esteja incluído no intervalo (9,11) ?
10. Os pesos de certos produtos em quilogramas são normalmente distribuídos
com média  = 180 e desvio padrão 2 = 4. Se uma unidade deste produto é
escolhida aleatoriamente, qual é o peso desta unidade se a probabilidade de
ocorrência:
a. De um peso maior é igual a 0,10?
b. De um peso menor é igual a 0,05?
11. Se W é uma variável aleatória normal e se P(W < 10) = 0,8413 e P(W < -10) =
0,0668, qual é E(W) e V(W) respectivamente ?
12. Há dois procedimentos para possibilitar que um determinado tipo de avião
esteja pronto para a decolagem. O procedimento A requer um tempo médio de 27
minutos com desvio padrão de 5 minutos. Para o procedimento B,  = 30 e  = 2
minutos, respectivamente. Qual procedimento deve ser utilizado se o tempo
disponível é de 30 minutos? 34 minutos?
13. Uma centena de estudantes realizou um teste no qual o escore médio foi de
73 com uma variância de 64. Um grau A foi dado para quem obteve um escore de
85 ou mais. Quantos As foram obtidos aproximadamente, assumindo que os
escores São normalmente distribuídos? (escolha o mais próximo)
1.
2.
3.
4.
5.
42
7
58
5
22
14. Se uma distribuição normal tem média 200 e desvio padrão 20, ache K tal que
a probabilidade de que um valor amostral seja menor do que K é 0,975.
a. 239
f. 230
b. 204
g. 239
c. 210
h. 250
d. 215
e. 220
15. A distribuição do tempo de vida de certo tipo de lâmpada elétrica é
normalmente distribuída com média de 1000 horas e um desvio padrão de 100
horas. Ache o 33º Percentil da distribuição de tempo de vida.
a. 560
b. 330
c. 1044
d. 1440
e. nenhuma das anteriores
16. O valor de Z correspondente ao 52º percentil é:
a. 2,06
b, 2,05
c, 1,99
d, 0,48
e, 0,05
17. Pr(Z > +1.96 ou Z < -1.65) é
1)
2)
3)
4)
5)
0,025
0,05
0,0745
0,0495
Nenhuma das anteriores
18. Em uma distribuição normal com média 3 e variância 49, quais são o limite
superior e inferior para os 50 % dos dados centrais?
a.
b.
c.
d.
e.
-29,83 e 35,83
-1,31 e 7,69
-1,69 e 7,69
3,00 e 24,00
nenhuma das anteriores
19. Os prazos de substituição de aparelhos de TV têm distribuição normal com
média de 8,2 anos e desvio-padrão de 1,1 ano (com base em dados do "Getting
Things Fixed", Consumer Reports). Determine a probabilidade de um aparelho de
TV selecionado aleatoriamente acusar um tempo de substituição inferior a 7,0
anos.
20. Os prazos de substituição para CD players têm distribuição normal com média
de 7,1 anos e desvio-padrão de 1,4 ano (com base em dados do "Getting Things
Fixed", Consumer Reports). Determine a probabilidade de um CD player escolhido
aleatoriamente ter um prazo de substituição inferior a 8,0 anos.
21. Supondo que os pesos do papel descartado semanalmente pelas residências
tenham distribuição normal com média de 9,4 lb e desvio-padrão de 4,2 lb (com
base em dados do Garbage Project da Universidade do Arizona), determine a
probabilidade de escolher aleatoriamente uma residência que descarte entre 5,0 lb
e 8,0 lb de papel em uma semana.
22. Com base nos resultados amostrais do Conjunto de Dados 2 do Apêndice B,
suponha que as temperaturas do corpo humano tenham distribuição normal com
média de 98,20º F e desvio-padrão de 0,62º F. Definindo como febre uma
temperatura acima de 100º F, que percentagem de pessoas normais e sadias
pode ser considerada como tendo febre? Essa percentagem sugere que o limite
de 100º F é apropriado?
23. Uma aplicação clássica da distribuição normal é inspirada em uma carta a
Dear Abby, em que uma esposa alegava ter dado a luz 308 dias após uma rápida
visita de seu marido que estava servindo na Marinha. Os prazos da gravidez têm
distribuição normal com média de 268 dias e desvio-padrão de 15 dias. Com base
nessa informação, determine a probabilidade de uma gravidez durar 308 dias ou
mais. Que é que o resultado sugere?
24. Os prazos de duração da gravidez têm distribuição normal com média de 268
dias e desvio-padrão de 15 dias. Definindo corno prematura uma criança nascida
com ao menos três semanas de antecipação, qual a percentagem das crianças,
nascidas prematuramente? (Essa informação é importante para os
administradores de hospitais, que devem providenciar para ter à mão o
equipamento necessário para atender às necessidades especiais dos
prematuros.)
25. De acordo com a Opinion Research Corporation, os homens gastam em média
11,4 minutos no chuveiro. Suponha que esses tempos tenham distribuição normal
com desvio-padrão de 1,8 min. Escolhido um homem aleatoriamente, determine a
probabilidade de ele gastar ao menos 10,0 min no chuveiro.
26. De acordo coma International Mass Retail Association, as jovens com idade
entre 13 e 17 anos gastam em média $31,20 em compras cada mês. Suponha que
as importâncias desses gastos tenham distribuição normal com desvio-padrão de
$8,27. Selecionada aleatoriamente uma jovem naquela faixa etária, qual é a
probabilidade de ela gastar entre $35,00 e $40,00 em um mês?
27. Os escores de QI têm distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 15.
A Mensa é uma organização para pessoas com QI elevado, e a admissão exige
um QI superior a 131.5.
a. Escolhida aleatoriamente uma pessoa, determine a probabilidade de ela
satisfazer aquela exigência da Mensa.
b.
Em uma região típica de 75.000 habitantes, quantos serão candidatos à
Mensa?
28. Um subfornecedor da IBM foi contratado para fabricar substratos
de
cerâmica, utilizados para transmitir sinais entre chips de silício para computador.
As especificações exigem uma resistência entre 1,500 ohm e 2,500 ohms, mas a
população tem resistências distribuídas normalmente com média de 1,978 ohm e
desvio-padrão de 0,172 ohm. Que percentagem dos substratos de cerâmica foge
às especificações do fabricante? Esse processo de fabricação parece estar
funcionando bem?
29. Os níveis de colesterol sérico em homens entre 18 e 24 anos de idade têm
distribuição normal com média de 178,1 e desvio-padrão de 40,7. Todas as
unidades são em mg/100 mL, e os dados se baseiam no National Health Survey.
Escolhido aleatoriamente um homem entre 18 e 24 anos de idade, determine a
probabilidade de seu nível de colesterol sérico estar entre 200 e 250.
30. Analisam-se medidas de crânios humanos de diferentes épocas, para
determinar se variam com o tempo. Mede-se a largura máxima de crânios de
homens egípcios que viveram por volta de 3300a.C. Os resultados mostram que
essas larguras têm distribuição normal com média de 132,6 mm e desvio-padrão
de 5,4 mm (com base em dados do Ancient Races of the Thebaid, por Thomson e
Randall-Maciver). Um arqueólogo descobre o crânio de um homem egípcio e a
medida revela uma largura máxima de 119mm.Determine a probabilidade de obter
o valor 119 mm ou menos para um crânio, selecionado aleatoriamente, do período
de 3300 a.C. É provável que o crânio recentemente encontrado seja daquela
época?
31. 0 Corpo de Fuzileiros Navais da Marinha dos EUA exige homens com altura
entre 64 in. e 78 in. Determine a percentagem dos homens que satisfazem essa
exigência. (0 National Health Survey mostra que as alturas dos homens têm
distribuição normal com média de 69,0 in. e desvio-padrão de 2,8 in.)
32. As máquinas "caça-níqueis" são fabricadas de modo que seus proprietários
possam ajustar os pesos das moedas que são aceitas. Se são encontradas muitas
moedas falsificadas, faz-se um ajuste para rejeitar mais moedas, com o efeito de
que a maioria das moedas falsificadas é rejeitada juntamente com muitas moedas
legítimas. Suponha que as moedas tenham pesos distribuídos
normalmente
com média de 5,67 g e desvio-padrão de 0,070 g. Se uma máquina "caça-níqueis"
é ajustada para rejeitar moedas que pesem menos de 5,50 g ou mais de 5,80 g,
qual é a percentagem de moedas legítimas rejeitadas?
33. Uma centena de estudantes fazem um teste no qual o valor médio foi 73 e a
variância foi 64. Um grau A é dado para todo estudante que tiver nota igual ou
superior a 85. Aproximadamente quantos A’s ocorreram assumindo distribuição
normal?
34. Se uma distribuição normal tem média 200 e desvio-padrão 20, ache K de
forma que a probabilidade de que um valor amostral menor do que K seja 0,975.
35. A distribuição dos tempos de vida de certo tipo de bulbo de lâmpada é
normalmente distribuída com uma média de 1000 horas e um desvio-padrão de
100 horas. Ache o 33º percentil da distribuição de tempos de vida.
36. Assuma que as notas de 600 estudantes são normalmente distribuídas com
uma média de 76 e um desvio-padrão de 8. Qual é o número de estudantes com
notas entre 70 e 82?
37. Considere uma distribuição normal com µ = 67 e σ 2. Se cada valor é
aumentado de 7 pontos, que percentagem dos novos valores é menor do que 74?
38. Uma variável aleatória contínua X apresenta distribuição normal com média 40
e desvio padrão igual a 3. Determine os valores de X para os seguintes valores de
Z:
a) 0,10 b) 2,00 c) 0,75 d) –2,53 e) –3,00 f) –3,20
39. Uma variável aleatória contínua X apresenta distribuição normal com média 50
e desvio padrão igual a 5. Determine os percentuais de valores de X que estão em
cada um dos seguintes intervalos:
a) P(40 < X < 50) b) P(49 < X < 50) c) P(40 < X < 45)
d) P(56 < X < 60) e) P(40 < X < 65) f) P(45 < X < 55)
40. Suponha que o escore dos estudantes no vestibular seja uma variável
aleatória com distribuição normal com média 550 e variância 900. Se a admissão
em certo curso exige um escore mínimo de 575, qual é a probabilidade de um
estudante ser admitido? E se o escore mínimo for 540?
41. Você pode escolher entre 2 empregos. Em uma indústria seus ganhos
mensais terão distribuição normal com média de $4000 e desvio padrão de $500.
Como vendedor de uma firma seus ganhos mensais terão distribuição normal com
média de $3200 e desvio padrão de $2600.
a) Você ganha atualmente (salário fixo) $3500. Qual é a probabilidade de ganhar
mais nos dois possíveis empregos?
b) Com base no resultado do item a, qual dos dois empregos você escolheria?
42. Existe um processo para fabricação de eixos que apresenta comportamento
praticamente normal com média de 3,062 mm e variância de 0,0001 mm2.
a) Qual é o percentual de eixos produzidos com diâmetro superior a 3,05 mm?
b) Se o diâmetro deverá ter no mínimo 3,04 mm e no máximo 3,08 mm, e se o
custo por eixo é de $1,2 e é vendido por $5, e que eixos produzidos ou muito
largos ou muito estreitos são perdidos, qual é o lucro esperado numa produção de
100 eixos?
43. Sabe-se que a precipitação anual de chuva em certa localidade, cuja altura é
medida em cm, é uma variável aleatória normalmente distribuída com altura média
igual a 29,5 cm e desvio padrão de 2,5 cm de chuva.
a) Qual é altura de chuva ultrapassada em cerca de 5% das medições?
b) Se em mais de 45% das vezes a altura de chuva ultrapassar 32 cm torna-se
viável a instalação de um sistema para coleta e armazenamento de água da chuva
(como complemento à atual malha de abastecimento). É viável instalar o sistema
na localidade?
44. Uma empresa produz televisores a garante a restituição da quantia paga se
qualquer televisor apresentar algum defeito grave, no prazo de 6 meses. Ela
produz televisores do tipo A- comum e do tipo B- Luxo, com um lucro respectivo
de $1000 e $2000 caso não haja restituição, e com um prejuízo de $3000 e $8000
se houver restituição. Suponha que o tempo para a ocorrência de algum defeito
grave seja, em ambos os casos, uma variável aleatória com distribuição normal,
respectivamente com médias de 9 meses e 12 meses, e variâncias de 4 meses2 e
9 meses2. Se você tivesse que planejar uma estratégia de marketing para a
empresa você incentivaria as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B?
45. Um professor aplica um teste e obtém resultados distribuídos normalmente
com média 50 e desvio padrão 10. Se as notas são atribuídas segundo o esquema
a seguir, determine os limites numéricos para cada conceito:
A: 10% superiores; B: notas acima dos 70% inferiores e abaixo dos 10%
superiores; C: notas acima dos 30% inferiores e abaixo dos 30% superiores; D:
notas acima dos 10% inferiores e abaixo dos 70% superiores; E: 10% inferiores
Sugestão: faça um desenho da distribuição normal com os percentuais (áreas).
46. O tempo de vida de um determinado componente eletrônico distribui-se
normalmente com média de 250 horas e variância de 49 horas2. Você adquire um
destes componentes.
a) Qual é a probabilidade de que seu tempo de vida ultrapasse as 260 horas?
b) Qual deveria ser o prazo de garantia para estes componentes para que o
serviço de reposição atendesse a somente 5% dos componentes adquiridos?
18).
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL E AMOSTRAGEM
1. Suponha que os dividendos anuais de quatro ações sejam respectivamente $
2,00, $ 4,00, $ 6,00 e $ 8,00. Deduza a distribuição amostral de X
considerando as seguintes hipóteses :
1. tamanho amostral n = 2.
2. método de amostragem: amostragem aleatória simples com reposição
Para a distribuição amostral deduzida de X , verifique por demonstração que
a. E( X ) = 
b. V( X ) = 2 /n
c. Se a amostragem for sem reposição deduza a distribuição de X e demonstre




que E( X ) =  e V( X ) =    ( N  n) / ( N  1)

n
d. Se a amostragem fosse realizada com reposição, qual é o valor de V( X )?
2. Uma população consta de 4 números: 3, 7, 11 e 15. Considerar todas as
amostras possíveis que podem ser retiradas com reposição. Determinar: a) a
média populacional; b) o desvio padrão da população; c) a média da
distribuição amostral das médias; d) o desvio padrão da distribuição amostral
das médias. Verificar (c) e (d) diretamente e por meio de (a) e (b) através das
fórmulas apropriadas.
3. Certas válvulas fabricadas por uma companhia têm uma vida média de 800
horas e desvio padrão de 60 horas. Determinar a probabilidade de uma
amostra aleatória de 16 válvulas, retiradas do grupo, ter a vida média: (a) entre
790 e 810 horas; (b) inferior a 785 horas. Para realizar esses cálculos, o que é
necessário supor? Explique a razão de sua afirmativa.
4. De acordo com o exercício 8. Se for tomada uma amostra de 64 válvulas,
como será resolvido? Explicar a diferença.
5. Os pesos de fardos recebidos por um depósito têm média de 150 kg e um
desvio padrão de 25 kg. Qual é a probabilidade de 25 fardos, recebidos ao
acaso e carregados em um elevador, não exceder o limite específico desse
último , que é de 4100 kg ? Neste caso, para a solução do problema, é
necessário especificar a forma da distribuição estatística (função densidade de
probabilidade) dos pesos dos fardos na população ?
n
6. Questão teórica. Demonstre que s 2 
(X
i 1
 X )2
n
N
para a variância populacional  2 
i
(X
i 1
i
é um estimador viesado
 ) 2
, onde n é o tamanho da
N
amostra e N é o tamanho da população. Calcule o valor do viés. O que ocorre
com esse valor quando n tende ao infinito. (Lembrar que um estimador ̂ de um
parâmetro  é dito não viesado se E[ ̂ ] = 
7. Questão teórica
a. Enuncie o Teorema do Limite Central e o interprete da melhor forma possível
b. O que é considerado população finita (e infinita) para fins estatísticos ?
c. Assinale as condições em que é necessário realizar a correção de
população finita, justificando a resposta:
 quando a população é infinita, não importando se a amostragem é feita







com ou sem reposição
quando a população é finita, não importando se a amostragem é feita
com ou sem reposição
quando a população é finita e a amostragem é feita com reposição
quando a população é finita e a amostragem é feita sem reposição
quando a população é infinita e a amostragem é feita com reposição
quando a população é infinita e a amostragem é feita sem reposição
quando a população é finita ou a amostragem é feita com reposição
existem outras alternativas não enumeradas acima
8. Se X é a média de uma amostra extraída de uma distribuição normal com 
= 10,  2 X = 25 e n = 9, então P( X > 15) é:
(a) 0,001350
(b) 0,998650
(c) 0,98778
(d) 0,15866
9. Uma amostra aleatória de tamanho 25 é escolhida de uma população com
média 7 e variância 4. A média amostral é calculada como 8. Qual é o valor da
variável normal padrão (z) correspondente a média amostral?
a.
b.
c.
d.
e.
25
1,25
–1,25
+2,5
nenhuma das anteriores
10. Suponha que para uma amostra de 36 Auxiliares de Enfermagem de diversos
hospitais similares, uma avaliação de competência com intervalo entre 0 e 100
foi obtida a partir de um teste clínico. Suponha que a média populacional da
avaliação para todas as Auxiliares de Enfermagem destes hospitais foi de 80 e
a variância populacional foi de 100. Para uma amostra de 36 Auxiliares de
Enfermagem, qual é a probabilidade de que a nota média esteja entre 75 e 80?
a. 0,4987 b. 0,1915 c. 0,5013 d. 0,2287 e. 0,5115
11. Uma companhia fabrica cilindros que tem uma média de 2 polegadas de
diâmetro. O desvio padrão dos diâmetros dos cilindros é de 10 polegadas. Os
diâmetros de uma amostra de 4 cilindros são medidos todas as horas. A média
amostral é usada para decidir se o processo de fabricação está operando
satisfatoriamente ou não. A seguinte regra de decisão é aplicada: se diâmetro
médio da amostra de 4 cilindros é maior ou igual a 2,15 polegadas, ou menor
ou igual a 1,85 polegadas, interrompe-se o processo.
Qual é a probabilidade de parar o processo se a média do processo 
permanece constante no valor de 2,00 polegadas ?
b. Qual é a probabilidade de parar o processo se a média do processo muda para
 = 2,10 polegadas ?
c. Qual é a probabilidade do processo continuar operando se a média do
processo mudar para  = 2,15 polegadas ?
a.
12. Qual (ou quais) das seguintes sentenças descreve “inferência estatística” ?
a. uma sentença verdadeira sobre uma população feita através de uma
informação amostral de uma população
b. uma conjectura acerca de uma população feita a partir da informação contida
em uma amostra daquela população
c. uma sentença verdadeira acerca de uma amostra feita a partir da informação
contida em uma população.
13. Para uma certa população normalmente distribuída, o valor do desvio padrão
é conhecido, mas o valor da média é desconhecido. Qual será o efeito de
mudanças no tamanho amostral e do grau de confiança no comprimento do
intervalo de confiança da estimativa da média populacional?
a. Aumentando o tamanho amostral aumenta o comprimento dado um grau de
confiança fixo.
b. Aumentando o grau de confiança reduz o comprimento, dado um tamanho
amostral fixo.
c. Aumentando o tamanho amostral reduz o comprimento, dado um grau de
confiança fixo.
d. Nenhuma das anteriores.
14. A distribuição das médias de todas as possíveis amostras de tamanho (n)
escolhidas de uma população se aproximará de uma curva normal se
a.
b.
c.
d.
e.
n é grande o bastante
a população é grande
a população é simétrica
a média de cada amostra é igual a média da população
nenhuma das anteriores é correta
15. A distribuição amostral das médias de amostras aleatórias de tamanho n
extraídas de uma população se aproximará de uma distribuição normal se
a. somente se a população é normalmente distribuída e se n é grande
b. somente se a população é normalmente distribuída não importando o valor
de n
c. se n é grande não importando a forma da distribuição da população
d. não importa o valor de n e não importa a forma da distribuição da
população original
16. Uma amostra no ano de 1989 de 130 mulheres que visitaram um ginecologista
em uma determinada universidade do Noroeste dos EUA indicou que 113
tiveram experiência sexual.
a. Assumindo que essas mulheres são uma amostra aleatória simples da
população de todas as mulheres daquela universidade, calcule um
intervalo de confiança para a proporção da população que é
sexualmente ativa.
b. O intervalo seria mais largo, mais estreito ou da mesma largura se 520
mulheres fossem amostradas? (Você não precisa fazer nenhum cálculo)
Explique.
c. O intervalo seria mais largo, mais estreito ou da mesma largura se
resultassem 73 mulheres com experiência sexual 130 mulheres
amostradas? (Você não precisa fazer nenhum cálculo) Explique.
d. Você acha que é razoável assumir que essas mulheres formam uma
amostra aleatória? Explique.
17. Não execute nenhum cálculo para responder o seguinte. Explique seu
raciocínio em cada caso.
a. Tres pesquisadores Alex, Bob e Chuck selecionam de maneira independente
amostras aleatórias da mesma população. Os tamanhos amostrais são 1000
para Alex, 4000 para Bob e 250 para Chuck. Cada pesquisador constrói um
intervalo de confiança de 95 % para a partir de seus dados. A semi-amplitude
dos três intervalos são 0,015; 0,031 e 0,062. Relacione cada semi-amplitude
com o pesquisador.
b. Cada um dos dois pesquisadores Donna e Eileen selecionam amostras
aleatórias de tamanho 1000 de populações diferentes e constróem intervalos
de confiança de 95 % para p (a proporção populacional). A semi-amplitude do
intervalo de Donna é 0,030 e a de Eileen é 0,025. Dado que as proporções
amostrais foram p1 =.20 e p2 =.40, relacione cada pesquisadora com a sua
proporção amostral.
c. Um pesquisador de nome Fran seleciona 100 indivíduos aleatoriamente de
uma população, observa 50 sucessos e calcula 5 intervalos de confiança. Os
níveis de confiança são 80 %, 90 %, 95 %, 98 % e 99 % e os cinco intervalos
são (0,402 ; 0,598), (0,371 ; 0,629), (0,418 ; 0,582), (0,436 ; 0,564) e (0,384 ;
0,616). Relacione cada intervalo com o seu nível de confiança.
18. Suponha que 80 % de todos os habitantes da Pensilvânia comam Peru no Dia
de Ação de Graças. Suponha além disso que você planeja selecionar uma
amostra aleatória simples (AAS) de 300 habitantes da Pensilvânia visando
determinar a sua proporção que come peru no Dia de Ação de Graças.
a. 80 % é uma parâmetro ou uma estatística? Que símbolo você deve usar para
representá-lo?
b. De acordo com o Teorema do Limite Central, como a proporção amostral de
quem come peru no Dia de Ação de Graças varia de amostra para amostra ?
c. Determine a probabilidade de que menos do que 3 quartos da amostra comam
peru no Dia de Ação de Graças.
d. Seria a resposta a (c) menor, maior ou a mesma se o tamanho amostral de 800
fosse usado? (você não precisa executar o cálculo). Explique.
d. Podemos mostrar que nesse contexto P( p  0,80)  0.15. Se essa afirmativa
não estiver correta escreva uma verdadeira que a substitua. Escreva uma ou
duas sentenças explicando para um leigo o que essa afirmativa significa.
19. Os prazos de substituição para CD players têm distribuição normal com média
de 7,1 anos e desvio-padrão de 1,4 ano (com base em dados do "Getting Things
Fixed", Consumer Reports). Determine a probabilidade de 45 CD players
selecionados aleatoriamente terem prazo de substituição superior a 7,0 anos.
20. De acordo com a Opinion Research Corporation, os homens gastam em média
11,4 minutos no chuveiro. Admita que os tempos tenham distribuição normal corri
desvio-padrão de 1,8 minuto. Selecionados aleatoriamente 33 homens, determine
a probabilidade de que seus tempos no chuveiro tenham média entre 11,0 min e
12,0 min.
21. De acordo com a International Mass Retail Association, as jovens de 13 a 17
anos de idade gastam em compras uma média mensal de $31,20. Suponha que
essas importâncias tenham um desvio-padrão de $8,27. Selecionadas
aleatoriamente 85 jovens, qual é a probabilidade de que a média de suas compras
mensais fique entre $30,00 e $33,00?
22. Para as mulheres na faixa etária de 18 a 24 anos, a pressão sistólica do
sangue (em mm Hg) tem distribuição normal com média de 114,8 e desvio-padrão
de 13,1 (com base em dados do National Health Survey dos EUA).
a. Selecionada aleatoriamente uma mulher nessa faixa etária, determine a
probabilidade de a sua pressão sistólica ser superior a 120.
b. Selecionadas aleatoriamente 12 mulheres nessa faixa etária determine a
probabilidade de sua pressão sistólica inédia ser superior a 120.
c. Dado que a parte (b) envolve uma amostra de tamanho não superior a 30, por
que podemos usar o teorema central do limite?
23. As quantidades de precipitação anual rio estado de Iowa aparentam ter
distribuição normal com média de 32,473 in e desvio-padrão de 5,601 in. (com
base em dados do Ministério de Agricultura dos EUA).
a. Escolhido um ano aleatoriamente, determine a probabilidade de a precipitação
anual correspondente ser inferior a 29,000 in.
b. Para uma década selecionada aleatorianienle, determine a probabilidade de a
média das precipitações anuais ser inferior a 29,000 in.
c. Como a parte (b) envolve uma amostra de tamanho não superior a 30, por que
podemos aplicar o teorema central do limite?
24. As idades dos aviões comerciais dos EUA têm unia média de 13,0 anos e um
desvio-padrão de 7,9 anos (com base em dados do Departamento de Aviação
Civil dos EUA). Se a Administração Federal da Aviação seleciona aleatoriamente
35 aviões comerciais para um teste especial de resistência, determine a
probabilidade de a idade média desse grupo de aviões ser superior a 15,0 anos.
25. Uma análise dos números de horas por semana que os calouros universitários
(nos EUA) dedicam ao estudo acusa média de 7,06 horas e desvio-padrão de 5,32
horas (com base em dados do The American Freshman). Selecionados
aleatoriamente 55 calouros, determine a probabilidade de seu tempo semanal
médio de estudo exceder 7,00 horas.
26. 0 gerador de números aleatórios de um computador típico produz números
com uma distribuição uniforme entre 0 e 1, com média de 0,500 e desvio-padrão
de 0,289. Gerados 45 números aleatórios, determine a probabilidade de sua
média ser inferior a 0,565.
27. Realizou-se um estudo da utilização de cintos de segurança entre crianças
envolvidas em acidentes de automóvel que exigiram hospitalização. Verificou-se
que as crianças que não usavam nenhum dispositivo de segurança acusaram uma
estada média de 7,37 dias em hospitais, com desvio-padrão de 0,79 dias [com
base em dados de "Morbidity Among Pediatric Motor Vehicle Crash Victims: The
Effectiveness of Seat Belts" (Morbidade entre Acidentes de Automóvel com
Vítimas Infantis: A Eficácia dos Cintos de Segurança), por Osberg e Di Scala,
American Journal of Public Health, Vol. 82, No. 3]. Selecionadas aleatoriamente 40
dessas crianças, determine a probabilidade de sua permanência média em
hospital ser superior a 7,00 dias.
28. A cidade de Newport tem um serviço de coleta de lixo que acusa sobrecarga
se a média do lixo das suas 4872 casas exceder 27,88 Ib em uma semana. Os
pesos totais têm distribuição normal com média de 27,44 Ib e desvio-padrão de
11,46 lb (com base em dados do Projeto do Lixo da Universidade do Arizona).
Qual é a proporção de semanas em que o serviço de coleta de lixo acusa
sobrecarga? Trata-se de uma situação aceitável, ou devem-se tomar providências
para corrigir um problema de sobrecarga no sistema?
29. Os testes verbais SAT têm distribuição normal com média de 430 e desviopadrão de 120 (com base em dados do College Board ATP). Escolhem-se
aleatoriamente testes verbais SAT dentre a população de estudantes que fizerem
o curso preparatório na Tillman Training School. Admita que esse curso de
treinamento não influa nas notas do teste.
a. Escolhido aleatoriamente 1 estudante, determine a probabilidade de ele ter
obtido uma nota superior a 440.
b. Selecionados aleatoriamente 100 estudantes, determine a probabilidade de a
nota média ser superior a 440.
c. Se 100 estudantes da Tillman conseguem uma média amostral de 440, parece
razoável concluir que o curso é eficiente porque os estudantes se saem melhor no
SAT?
30. As durações da gravidez têm distribuição normal com média de 268 dias e
desvio-padrão de 15 dias.
a. Selecionada aleatoriamente uma mulher grávida, determine a probabilidade de
a duração de sua gravidez ser inferior a 260 dias.
b. Se 25 mulheres escolhidas aleatoriamente são submetidas a uma dieta especial
a partir do dia em que engravidam, determine a probabilidade de os prazos de
duração de sua gravidez terem média inferior a 260 dias (admitindo que a dieta
não produza efeito).
c. Se as 25 mulheres têm realmente média inferior a 260 dias, há razão de
preocupação para os supervisores médicos?
31. Utilizando uma medida-padrão de satisfação com os salários, um estudo
constata que os administradores de universidade têm uma média de 38,9 e um
desvio-padrão de 12,4 [com base em dados de "Job Satisfaction Among Academic
Administrators" (Satisfação com o Emprego entre Administradores Acadêmicos),
por Glick, Research in Higher Education, Vol. 33, No. 5]. Um pesquisador
seleciona aleatoriamente 150 administradores de faculdade e mede seus níveis de
satisfação com o salário.
a. Determine a probabilidade de a média ser superior a 42,0.
b. Se uma amostra de 150 administradores acusa média de 42,0 ou mais, há
razão para crer que essa amostra provenha de uma população com média
superior a 38,9?
32. Os bombons M&M têm peso médio de 0,9147 g e desvio-padrão de 0,0369 g
(com base em dados do Conjunto de Dados 11 do Apêndice B). Os bombons
M&M usados naquele Conjunto de Dados provêm de um pacote contendo 1498
bombons, e o rótulo do pacote informa que o peso líquido é de 48,0 oz (3 lb), ou
1361 g. (Se cada pacote tem 1498 bombons, o peso médio deve exceder
1361/1498 = 0,9085 g para que o conteúdo líquido pese no mínimo 1361 g )
a. Selecionado aleatoriamente 1 bombom M&M, determine a probabilidade de
pesar mais de 0,9085 g.
b. Selecionados aleatoriamente 1498 bombons M&M, determine a probabilidade
de seu peso médio ser no mínimo de 0,9085 g,
c. A vista desses resultados parece que a Mars Company esteja dando aos
consumidores de M&M as quantidades indicadas no rótulo?
33. A população de pesos de homens tem distribuição normal com média de 173
lb e desvio-padrão de 30 lb (com base em dados do National Health Survey dos
EUA). Um elevador do Clube Masculino de Dallas impõe o 1imite de 32
ocupantes, mas haverá uma sobrecarga se esses 32 ocupantes tiverem peso
médio superior a 186 Ib (dando um peso total de (32)(186) = 5952 lb). Se os 32
ocupantes homens resultam de uma seleção aleatória determine a probabilidade
de seu peso médio exceder 186 lb, ocasionando uma sbrecarga no elevador. Com
base no resultado obtido, há
preocupação?
34. Uma população consiste nos valores 2, 3, 6, 8, 11, 18.
a. Determine  e .
b. Relacione todas as amostras de tamanho n = 2 que podem obtidas sem
reposição.
c. Determine a população de todos os valores de x achando a média de cada
amostra da parte (b).
d. Ache a média  e o desvio-padrão , para a população de médias amostrais da
parte (c).
e. Verifique que
x  
e
x 

n
N n
N 1
35. 0 fator de correção para população finita pode ser desprezado quando a
amostragern se faz com reposição ou quando n  0,05N, No caso de uma
amostra (sem reposição) que representa 5% da população N, que é que os
valores do fator de correção para populações finitas têm em comum para valores
de N  600?
36. As notas da parte de biologia do exame de admissão ao Medical College
(EUA) têm distribuição normal com média de 8,0 e desvio-padrão de 2,6. Dentre
os 600 candidatos que fizeram o exame, quantos podemos esperar que tenham
nota entre 6,0 e 7,0?
37. A Chemco Company fabrica pneus de automóveis cuja vida útil (em distância
percorrida) tem distribuição normal com média 35.600 milhas e desvio-padrão de
4275 milhas.
a. Escolhido aleatoriamente um pneu, qual a probabilidade de durar 30.000
milhas?
b. Escolhidos aleatoriamente 40 pneus. qual a probabilidade de suas vidas úteis
terem média superior a 35.000 milhas?
c. Se o fabricante deseja garantir os pneus de modo que a 3% deles precisem ser
substituídos antes do número de milhas, por quantas milhas os pneus devem ser
garantidos?
38. Uma amostra de duas observações da variável X é retirada. Nos vários casos
listados abaixo, determine a função de probabilidade S2 e constate se ele é não
viciado para estimar a variância.
a) X é Uniforme Discreta em {1; 2; 3}.
b) X é Bernoulli com p = 0,2.
c) X é Binomial com n = 3 e p = 0,5.
39. Sendo a variável amostrada uma Normal de media µ e variância 25, obtenha o
valor de P( X    2) nos casos de tamanho da amostra igual a 2, 20 e 60.
Comente os resultados obtidos.
40. Para se ajustar a uma maquina a correia deve ter entre 60 e 62 cm de
comprimento. Tendo em vista o processo de fabricação, o comprimento dessas
correias pode ser considerado como uma variável aleatória com distribuição
Normal de media 60.7 cm e desvio padrão 0,8 cm. Pergunta-se:
1. Qual a probabilidade de uma correia, escolhida ao acaso, poder ser usada na
maquina?
2. Um grande revendedor dessas correias estabelece um controle de qualidade
nos lotes que compra da fabrica: ele sorteia 4 correias do lote e só aceita o lote se
o comprimento médio estiver dentro do tamanho aceito pela maquina. Calcule a
probabilidade de aceitação do lote.
41. Com o objetivo de simular a distribuição amostral de X, realize as seguintes
tarefas:
1. Gere 100 amostras de tamanho 30 de uma Normal com media 200 e desvio
padrão 5. Calcule então a media de cada amostra e faca o histograma
correspondente a esse conjunto de medias amostrais. Qual conclusão pode ser
tirada? Calcule medidas descritivas das 100 médias obtidas e comente.
2. Repita o item (1) para as amostras geradas de uma Binomial com parâmetros n
= 50 e p = 0:45. Comente a respeito do histograma e das medidas descritivas
obtidas, tendo em vista o Teorema do Limite Central.
42. Gere 200 observações do modelo Uniforme Contínuo [0;20]. Construa um
intervalo de confiança de 95% para a media. Repetindo 120 vezes esse
procedimento, quantos intervalos conterão a verdadeira media? Comente os
resultados e as suposições feitas.