prova Selecao 2009_1

Universidade Federal de Uberlândia
Instituto de Física
Programa de Pós-graduação em Física
Processo seletivo 2009-1
Nome:
Número:
MECÂNICA CLÁSSICA
Considere duas partículas de massas m1  m 2  m presas a molas de constantes K conforme a
figura abaixo:
Sejam x1 e x 2 os deslocamentos das massas em relação as suas posições de equilibrio. Utilize
x1 e x 2 como coordenadas generalizadas e despreze o atrito.
a) Qual a energia cinética e a energia potencial elástica do sistema;
b) Qual o Lagrangiano do sistema?
c) Utilize as equações de Lagrange para determinar as equações de movimento;
d) Assuma que x1 (t )  A1 cos(t ) e x 2 (t )  A2 cos(t ) e determine as duas frequências
normais, i.e.
f (k ) 
 (k )
.
2
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MECÂNICA ESTATÍSTICA
Um gás ideal de
N partículas está confinado em um cilindro de raio R e comprimento infinito,
mantido à temperatura constante, T . Assuma que o campo gravitacional seja uniforme e
independente da altura. Determine:
a) o hamiltoniano do sistema;
b) a função de partição clássica Z (T , V , N ) do sistema;
c) a energia média do sistema;
d) o calor específico do sistema.
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MECÂNICA QUÂNTICA
Uma partícula de massa
m está sujeita a um potencial:
se x  0
,
V ( x)   1
2 2
 2 m x , se x  0
(a) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo para
(b) Determine as autofunções para
x  0 e x  0;
x  0 e x  0;
(c) Determine os autovalores do sistema.


Sugestão: Utilize o fato que: os autovalores do oscilador harmônico são: En   n 
1
 , e
2
  m x2
 e  2 c0  c2 x 2    cn x n , se n  par
suas autofunções são  n    m x 2
,
   2
3
n
c1  c3 x    cn x , se n  impar
e


com as constantes,
k  0, 1, 2, 3, 


cn , obtidas pela relação de recorrência: ck  2 
m
( k  n)

ck , onde:
(k  1)( k  2)
2
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ELETROMAGNETISMO
No estado fundamental, a distribuição de carga eletrônica,  (r ) , do átomo de hidrogênio é
descrita pela seguinte função:
 (r ) 
onde a constante
 q 2r / a
,
e
 a3
a representa o raio médio da órbita do elétron no seu estado fundamental, e
q a carga do elétron.
a) Determine a carga total contida na região r  a . (Sugestão: utilize integração por
partes);
b) Determine o campo elétrico em função de r . (Sugestão: utilize a lei de Gauss, e
integração por partes);
c) Demonstre que para valores de r muito maiores que a , r  a , o campo elétrico
gerado pela densidade  (r ) , descrita acima, será igual ao de uma carga pontual q na
origem.